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Geometría-Resolución hoja 4-Parte 1 - Contenido educativo

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Subido el 5 de mayo de 2025 por Carolina F.

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Nos dan una recta R, pero nos dan sus ecuaciones paramétricas. 00:00:03
Nos dicen que X es 7 menos 2T, y menos 4 más 3T. 00:00:11
Esta es una forma de expresar la recta. 00:00:26
Entonces, ¿para qué sirve esto de menos 2T y más 3T? 00:00:28
resulta que lo que nos están dando 00:00:36
es el vector director 00:00:45
de la recta 00:00:49
el vector director de esta recta 00:00:51
sus coordenadas son 00:00:53
las dos que acompañan a la t 00:00:55
y el 3 00:00:57
dicho de otra manera 00:01:00
si nos hubieran dicho 00:01:02
escribe la ecuación de una recta 00:01:06
que pasa por el punto tal 00:01:07
y tiene como vector director 00:01:10
menos 2, 3 00:01:11
las primeras ecuaciones que podríamos 00:01:12
haber escrito serían estas 00:01:15
solamente de ver 00:01:16
la ecuación 00:01:21
de la recta podemos deducir 00:01:22
que su vector director es este 00:01:25
entonces el ejercicio dice 00:01:26
que hallemos una paralela 00:01:28
y otra perpendicular 00:01:30
y que además tienen que pasar 00:01:31
por el punto M 00:01:34
menos 2 00:01:37
¿cómo sabemos 00:01:39
que una recta es paralela? 00:01:47
Pues una paralela tiene el mismo vector. 00:01:49
Yo creo que lo vas a ver ahora enseguida. 00:01:57
Las dos, las coordenadas que acompañan a la t, que esta es menos 2 y esta es 3, son las coordenadas del vector director. 00:02:00
Lo vas a ver ahora. 00:02:12
verás. Las rectas paralelas tienen el mismo vector director, tienen que seguir la misma 00:02:13
dirección, con lo cual en el fondo, en el apartado A, lo que me están pidiendo es que 00:02:23
escriba la ecuación de una recta que pasa por el punto M1-2 y que tiene como vector 00:02:34
director, menos 2, 3. Y esto es lo que sabemos hacer. Había muchas ecuaciones de la recta 00:02:45
pero la primera que planteábamos era x igual a x0, 1. Y ahora, la primera coordenada del 00:02:58
vector multiplicado por un parámetro, que lo podemos llamar a, lo podemos llamar con 00:03:08
una letra griega o lo podemos llamar T, como lo están llamando ya en este ejercicio, y 00:03:17
la I es igual a la segunda coordenada del punto y luego la segunda coordenada del vector 00:03:26
que me dan multiplicada por ese parámetro. Esto, lo que pasa es que ya no te acuerdas 00:03:38
seguramente, pero lo hemos hecho en varios ejercicios cuando veíamos la ecuación de 00:03:49
la recta. Decíamos, sacamos primero esta. Luego después de esta, si despejamos la T 00:03:54
e igualamos, sacamos otra ecuación y al final llegamos a la de toda la vida. Esto lo íbamos 00:04:03
haciendo progresivamente. La primera ecuación que sacamos siempre son estas, cuando me dan 00:04:10
un punto y un vector. Esta es la paralela y ahora me piden otra perpendicular. 00:04:17
Como parte de la teoría que vimos el primer día, el vector director de una recta perpendicular 00:04:48
lo conseguíamos, vamos a llamarle Q para que no sea el V, lo conseguíamos intercambiando 00:05:12
las coordenadas y a una de las dos, cualquiera, de signo. O sea, si el vector este es menos 00:05:20
2, 3, el perpendicular es 3 y menos 2, pero aún no tenemos que cambiar de signo, entonces 00:05:29
es más fácil cambiar al 2 de signo. O sea, este es un vector perpendicular o también 00:05:38
este. Se intercambian y a uno de ellos le cambiamos de signo. Entonces estamos en la 00:05:47
misma. Vamos a escribir la ecuación de una recta que pase por el punto M1-2, pero ahora 00:05:57
tiene que tener como vector director este, el 1. Entonces, su ecuación será X igual 00:06:03
a 1 más 3T y ahí será menos 2. Lo que te digo de la recta no me merezca la pena perder 00:06:10
el tiempo en esto, pero si ahora 00:06:46
siguiésemos, ¿sabes? El siguiente paso sería 00:06:48
aquí arriba despejar la t 00:06:50
y aquí abajo despejar la t e igualar 00:06:52
y al final llegamos 00:06:54
a la ecuación de una recta de este tipo 00:06:56
ax más bi 00:06:58
más c 00:07:00
igual a c 00:07:02
si siguiésemos todos los pasos 00:07:03
pero según en qué ejercicio 00:07:06
nos piden trabajar con una 00:07:09
forma o con otra de las ecuaciones 00:07:10
el 4 00:07:12
de esta misma hoja 00:07:17
y cerrado el triángulo de vértices 00:07:21
2, 3, 5, 2 y 7, 9 00:07:37
vamos a hallar 00:07:39
la medida de los lados 00:07:41
y la de los ángulos 00:07:42
mi consejo es que siempre que se pueda representar 00:07:44
te lo representes 00:07:53
aunque sea así en un boceto 00:07:55
para hacernos una idea 00:07:56
de si vamos bien, si vamos mal 00:08:00
si los ángulos pega 00:08:02
que sean esos o no 00:08:03
entonces yo voy a intentar dibujar así a grosso modo los tres puntos que me están dando 00:08:05
el punto A, dices el 2, 3, estaría por aquí 00:08:11
el punto B, el 5, 2 00:08:17
y el punto C es el 7, 9 00:08:24
y voy a escribir aquí para que sea más fácil las medidas 00:08:32
A es 2, 3 00:09:08
B es 5, 2 00:09:10
Y 3, 7, 9. Apartado A, la medida de los lados. Bueno, pues para cada lado podemos hallar el vector que va de A a B, el vector que va de A a C, o el vector que va de B a C y hacerle el módulo. 00:09:14
vamos a poner aquí que es 00:09:51
haríamos el módulo de los vectores correspondientes 00:09:55
entonces 00:09:58
que va de A a C 00:10:06
si te acuerdas 00:10:09
a este lado le llamamos B pequeña 00:10:11
porque es el lado opuesto 00:10:14
al del punto B 00:10:16
para calcular después el ángulo 00:10:19
entonces el AC 00:10:22
que lo vamos a llamar B pequeña 00:10:24
el vector sería 00:10:25
Primera coordenada, 7 menos 2, que es 5. 00:10:28
Segunda coordenada, 9 menos 3, que es 6. 00:10:34
Entonces este es el vector 5, 6 y su módulo era hacer la raíz cuadrada. 00:10:39
Sería la raíz cuadrada de 5 al cuadrado más 6 al cuadrado. 00:10:45
25 más 36 es 7,8. 00:10:54
cuando no nos dan unidades 00:11:03
se suele poner una u pequeñita 00:11:12
7 con 8 unidades 00:11:14
las que sean 00:11:16
para el AB 00:11:17
este lado le vamos a llamar C 00:11:21
porque sería el opuesto 00:11:27
al punto C 00:11:28
el vector sería 00:11:30
5 menos 2 es 3 00:11:36
y 2 menos 3 00:11:39
es menos 1 00:11:44
entonces un módulo 00:11:45
se calcula como la raíz cuadrada de 3 al cuadrado 00:11:50
que es 9 más 1 al cuadrado 00:11:55
o sea, es raíz de 10 00:11:57
que es 3,16 unidades 00:12:00
de momento cuadra 00:12:06
pero si ese lado pintado es así más largo 00:12:09
es 7,8, pues el otro es más cortito 00:12:12
3,16 00:12:14
vamos bien 00:12:15
Y luego si hacemos el BC, le vamos a llamar lado A, pequeño, y sería 7 menos 5, 2, y 9 menos 2, 7, sus coordenadas. 00:12:21
Pero el módulo será la raíz cuadrada de 2, 4 más 7 al cuadrado, 49. 00:12:52
B. Y esto da 7,3 unidades, que también parece más o menos como el B, pero un poquito más 00:13:00
corto. Bueno, pues ya tenemos la medida de los lados. Ya podríamos, por ejemplo, calcular 00:13:12
el perímetro. Vamos al apartado B, los ángulos. Este de aquí, los ángulos se van a llamar 00:13:25
como el vértice, como el punto del vértice. Vamos a empezar por calcular el ángulo A 00:14:26
con un burrito. Para calcular ángulos, hacíamos el producto escalar. Y el producto escalar 00:14:31
tiene dos fórmulas, digamos. Y lo que hacíamos era utilizar las dos fórmulas e igualar. 00:14:44
Primera fórmula, el producto escalar, para calcular el ángulo A, con esto también hay 00:15:00
que tener cuidado es el vector AB por el vector AC, AB por AC. Entonces, primera fórmula, 00:15:06
la primera coordenada del AB por la primera coordenada del AC más la segunda por la segunda, 00:15:22
es decir, con números, que me voy a explicar mejor. 5 por 3, ¿vale? O dicho de otra manera, 00:15:29
3 por 5, o sea, esta coordenada por esta, más 6 por menos 1, o menos 1 por 6, 6, ¿vale? 00:15:43
Primera coordenada de la B por primera coordenada de la C, más segunda por segunda, y esto 00:16:00
es 15 menos 6. El producto escalar es un número, ¿vale? 9. Segunda forma de expresar 00:16:07
el producto escalar, el módulo de AB por el módulo de AC, que ya nos tenemos calculado, 00:16:23
por el coseno del ángulo que forman. Entonces el módulo de AB era 3,16 por el módulo de 00:16:31
AC era 7,8, el coseno del ángulo que uso. Y entonces ahora igualo estas dos expresiones 00:16:43
porque las dos pertenecen al producto escalar. 00:16:59
De hecho, de otra manera, voy a poner aquí una flechita 00:17:03
y voy a decir que esta expresión es igual a 9. 00:17:06
Entonces, el coseno de A es 9 partido de 3,16 por 7,8. 00:17:12
Entonces es 0,365. 00:17:29
Y ahora con la calculadora hacemos la inversa del coseno, con lo cual me sale el ángulo 68,6. 00:17:34
Siguiente. A ver, ahora viene un pequeño problema, pero un solo pequeño. 00:18:49
Para calcular, por ejemplo, el ángulo B, cuando hago esta expresión, el módulo por el módulo por el coseno, no pasa nada. 00:18:57
Pero cuando expreso el producto vectorial de esta manera, tengo que tener en cuenta que ahora, si yo quiero calcular el ángulo B tal y como está escrito, 00:19:13
tengo que 00:19:22
los vectores que tengo que multiplicar 00:19:24
son el BC 00:19:27
por el BA 00:19:29
entonces 00:19:35
el BC 00:19:41
el vector BC es 00:19:42
2,7 tal como lo tengo escrito 00:19:45
pero el vector BA 00:19:48
es el contrario 00:19:50
del que tengo escrito 00:19:52
porque tengo escrito el AB 00:19:53
no es lo mismo que vaya para un lado 00:19:54
que vaya para el otro 00:20:00
con lo cual 00:20:02
el vector BA es justo el que tiene 00:20:03
signos opuestos 00:20:06
en vez de 3 menos 1 es el 00:20:07
menos 3, 1 00:20:10
¿sí? 00:20:11
porque 00:20:17
ahora estoy haciendo este producto 00:20:18
es del BC por el BA 00:20:22
tienen que partir los dos 00:20:24
del punto B 00:20:26
entonces BC por BA 00:20:27
a la hora de multiplicar 00:20:43
las coordenadas 00:20:45
son 2 por menos 3 00:20:46
menos 6 00:20:51
más 7 por 1, 7 00:20:53
y sin embargo los módulos me salen lo mismo 00:20:57
para los módulos son las distancias 00:21:10
para los módulos no me importa, ya tenía 00:21:13
el módulo del BC era 7 con 3 00:21:16
el módulo del BA es el mismo que el módulo del AB 00:21:19
3 con 16 00:21:23
el coseno del ángulo que forman 00:21:25
que lo voy a llamar B 00:21:33
y entonces ahora 00:21:34
esto lo igualo 00:21:40
a 1 00:21:43
por la otra expresión del producto vectorial 00:21:44
el coseno de B 00:21:47
tiene que ser igual 00:21:55
a 1 partido de 00:21:58
7,3 por 3,16 00:21:59
que es 0,043 00:22:04
Entonces con la calculadora puedo hacer la inversa del coseno y me sale que el ángulo B es 87,5 grados. 00:22:10
Y ahora el ángulo que falta, o lo calculamos de esta manera también en un momento, 00:22:47
yo lo voy a hacer para practicar, o ya se podría hacer 180 menos este menos el otro. 00:22:55
El ángulo C lo podríamos calcular directamente como 180, menos 68,6, menos 87,5, porque la suma de los tres ángulos de un triángulo tiene que dar 180. 00:23:00
Aquí los vectores que estoy multiplicando son el CA y el CB. 00:23:54
Tengo que cambiar las coordenadas a los dos porque los tenía expresados como AC y BC. 00:24:03
Pero como le cambio las coordenadas a los dos, pues me va a quedar todo negativo, con lo cual me va a dar igual. 00:24:09
Pero lo hacemos. Este sería menos 5 menos 6 y el CB sería menos 2 menos 7. 00:24:24
Pero en definitiva, menos 5 por menos 2 me queda más 10 y menos 7 por menos 6 me queda 42. 00:24:38
Entonces es 10 más 42, 52. 00:24:46
Y lo otro es 7,8 por 7,3 por coseno de ese ángulo, que es el C. 00:24:55
Y entonces esto lo igualamos a 52. 00:25:09
despejando de aquí el coseno de C 00:25:11
me queda que el coseno de C es 0,91 00:25:15
y si calculo el ángulo C 00:25:20
me tiene que dar de las dos formas más o menos lo mismo 00:25:21
más o menos 24 00:25:25
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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    • Bachillerato adultos y distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
Subido por:
Carolina F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
5 de mayo de 2025 - 19:46
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Descripción ampliada:
×
Duración:
25′ 32″
Relación de aspecto:
1.75:1
Resolución:
894x510 píxeles
Tamaño:
382.17 MBytes

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