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Análisis Castilla La Mancha 2017 - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Pedro L.

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Bien, este problema nos dice que tenemos una chapa metálica, entiendo que de forma rectangular, así que vamos a dibujarla aquí, y mide 8 por 5. 00:00:00
Bien, queremos cortar cuadrados en las esquinas, así que vamos a hacer este corte, de manera que levantamos por aquí y queremos una caja de volumen máximo. 00:00:20
vale, el volumen, la caja sería un prisma y el volumen de un prisma sabéis todos que es la superficie de la base por la altura 00:00:42
bien, si levantamos esto llamamos x al lado del cuadradito que estamos cortando 00:00:49
con lo cual la nueva caja, su base será 8 menos x menos x, es decir, 8 menos 2x 00:00:55
este sería el largo, el ancho sería 5 menos 2 veces y 00:01:07
5 menos 2 veces x, perdón, no y 00:01:12
y la altura es x 00:01:16
con lo cual ya tengo una función que podemos llamar función del volumen 00:01:19
que además vamos a desarrollar 00:01:25
y nos queda 00:01:28
40 menos 10x 00:01:29
menos 16x 00:01:34
más 4x cuadrado 00:01:37
todo ello multiplicado por x 00:01:39
Definitivamente el volumen, después de operar y ordenar el polinomio me queda 00:01:41
4x cubo menos 26x al cuadrado más 40x 00:01:47
Esto es una función que me va a dar el volumen de la caja en función de x 00:01:56
¿Cómo optimizamos esta función? 00:01:59
Pues vamos a hacer la derivada 00:02:04
La derivada de la función será 12x al cuadrado menos 52x más 40, que como todos sabéis, como todos son múltiplos de 4, podemos hacer esta simplificación 13x más 10. 00:02:05
Y ahora sabemos que la derivada es 0 si solo si 3x cuadrado menos 13x más 10 es igual a 0, porque este producto será 0 cuando una de las dos cosas sean 0 y el 4 nunca puede ser 0. 00:02:27
Hacemos esta ecuación de segundo grado, que nos queda que la x es 13 más menos la raíz cuadrada de 169 menos 120 00:02:44
Y todo dividido entre 6 00:02:58
Si operáis la ecuación de segundo grado hay dos soluciones 00:03:09
una da 10 tercios y otra da 1 00:03:13
las dos son factibles porque esto sería 3 y pico 00:03:17
y ¿puedo quitar 3 y pico a cada lado? 00:03:21
no, esta no es factible 00:03:24
esta no me sirve para el problema 00:03:25
porque esto es 3,3 periodo 00:03:28
entonces si quito 3,3 a cada lado 00:03:33
y 3,3 a este lado 00:03:37
pues yo a 5 no le puedo quitar 6,6 00:03:38
Si no nos damos cuenta de que esta solución no es factible, no es mucho problema 00:03:41
Porque todavía no hemos visto si esto es el máximo o el mínimo 00:03:45
¿Cómo vamos a ver eso? Con la segunda derivada 00:03:50
Si hacemos la segunda derivada de mi función 00:03:52
La segunda derivada la podemos hacer aquí, sería 24x menos 52 00:03:54
Ahora, estudiando el signo de la segunda derivada en el 10 tercios 00:04:00
y en el 1 vamos a ver cuál de los dos es máximo o es mínimo 00:04:06
resulta que en el 1 es negativo 00:04:11
y en el 10 tercios es positivo 00:04:15
eso quiere decir que me he equivocado 00:04:18
es al revés 00:04:25
eso pasa por no escribir la cuenta entera 00:04:28
en el 1 el signo de la segunda derivada es 24 por 1 menos 52 00:04:31
claramente 24 menos 52 es menor que 0 00:04:37
con lo cual, x igual a 1 es un máximo 00:04:40
y queda demostrado, y en el de 10 tercios, pues 24 00:04:44
por 10, 240 entre 3, 80 menos 52 00:04:48
es positivo, con lo cual en el x igual a 10 tercios 00:04:52
lo que tiene la función es un mínimo y no nos sirve 00:04:57
solución del problema, tiene que medir 1, es decir 00:05:00
Nos quedaría una caja de, podemos dibujarla aquí, mediría 6, 3 y 1 de alto. 00:05:04
Sería este paralelopípedo, más o menos. 00:05:20
Y no lo preguntan aquí, pero nos podrían preguntar, ¿y cuál sería el volumen de esa caja? 00:05:26
Pues el volumen sería 6 por 3 por 1, 18 centímetros cúbicos. 00:05:29
¿De acuerdo? 00:05:36
Autor/es:
Pedro Lomas Nielfa
Subido por:
Pedro L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
72
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 22:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ATENEA
Duración:
05′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
32.36 MBytes

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