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Probabilidad de Kolmogorov - Contenido educativo

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Subido el 2 de abril de 2019 por Manuel D.

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Se presenta la definición axiomática de probabilidad de Kolmogorov y se deducen muchas propiedades de ésta con tan sólo axiomas.

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En un vídeo anterior habíamos visto que, si repetimos un experimento aleatorio muchísimas 00:00:02
veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a acercarse a un valor teórico límite 00:00:12
que llamamos probabilidad. Este hecho se llamaba ley de los grandes números. Habíamos visto 00:00:18
también que es habitual que el espacio muestral descomponga como unión de sucesos elementales 00:00:25
equiprobables. Esto sucede en los juegos de azar, como tirar dados, extraer cartas de una baraja o 00:00:30
sacar una bola de una urna. En estos casos, la probabilidad de un suceso compuesto se puede 00:00:35
calcular entonces a través de la ley de Laplace, dividiendo los casos favorables entre casos 00:00:42
posibles. El problema, como vimos, es que no siempre es sencillo determinar los sucesos 00:00:46
elementales y la equiprobabilidad de los mismos. No fue hasta pleno siglo XX cuando el matemático 00:00:52
ruso Kolgomorov encontró la forma de dar mayor rigor al trabajo con probabilidad proponiendo 00:01:00
una definición axiomática. Se fijó para ello en las propiedades básicas de la teoría 00:01:06
de conjuntos y de la frecuencia relativa de un suceso. Y lo mejor de todo, fue capaz de 00:01:10
demostrar un montón de propiedades de la probabilidad a partir de tan solo tres axiomas 00:01:15
de tremenda sencillez. Vamos con ellos. Supongamos que realizamos un experimento aleatorio 00:01:20
n veces si nos fijamos en un suceso A. Como la frecuencia de A está entre 0 y n, la frecuencia 00:01:26
relativa de A estará entre 0 y 1, evidente. Si A es imposible, su frecuencia será 0 y 00:01:32
si A es seguro, su frecuencia será 1. Además, si dos sucesos A y B son incompatibles, esto 00:01:39
es, no pueden ocurrir a la vez, la intersección es el vacío, entonces la frecuencia de la 00:01:45
unión de los dos sucesos será la frecuencia de A más la frecuencia de B, con lo que las 00:01:51
frecuencias relativas verifican la misma igualdad. Con estas propiedades elementales, Kolgomorov 00:01:55
definió la probabilidad de un experimento aleatorio con espacio muestra al gamma como 00:02:01
una función definida sobre el conjunto de sucesos posibles que verifica las siguientes 00:02:06
propiedades. 1. La probabilidad de un suceso es mayor o igual que 0. 2. Si los sucesos 00:02:10
son incompatibles, la probabilidad de la unión es la probabilidad de A más la probabilidad 00:02:16
de B. Y tres, la probabilidad del suceso seguro es uno. A partir de tan solo estos tres axiomas 00:02:20
se pueden demostrar un montón de propiedades de la forma más sencilla posible. Veámoslo. 00:02:27
La primera de ellas, muy sencilla, ¿cómo calcular la probabilidad del complementario? 00:02:34
Pues como uno menos la probabilidad de A. Entonces, ¿cómo probar esta y otras propiedades 00:02:39
de la probabilidad. Bien, la idea consiste en utilizar sobre todo esta propiedad 2 que 00:02:44
indica que si los sucesos son incompatibles, entonces la probabilidad de la unión es la 00:02:52
suma de las probabilidades. Y lo que vamos a hacer es descomponer una serie de sucesos 00:02:56
como unión disjunta de sucesos que no se intersecan. Por ejemplo, en este caso, si 00:03:01
tenemos el suceso espacimuestral, es el suceso total, el suceso A, pues el complementario 00:03:06
está fuera y no se corta con A, es decir, que el total es igual a A unión A complementario 00:03:14
y esta unión es disjunta, es decir, estos dos sucesos son incompatibles. 00:03:23
Por tanto, podemos decir que la probabilidad descompone como probabilidad de A más probabilidad de A complementario 00:03:27
porque esto es precisamente la unión. 00:03:39
Bien, aquí estamos aplicando exactamente la propiedad 2 que tenéis ahí. 00:03:42
La segunda parte de esta demostración consiste simplemente en que esto vale 1 por la propiedad 3, esta de aquí, 00:03:51
y eso demuestra lo que estamos buscando, que es que la probabilidad del complementario es 1 menos la probabilidad de A. 00:04:04
Y así podemos hacer con muchas otras propiedades. 00:04:09
Bien, vamos a demostrar la siguiente propiedad. La propiedad del conjunto vacío del suceso imposible es 0. Esto es simplemente porque el conjunto vacío es el complementario del suceso seguro y entonces por la propiedad 4 la probabilidad del suceso imposible es 0. 00:04:11
vamos con la propiedad 6 de la probabilidad 00:04:35
que dice que la probabilidad de A intersección B complementario 00:04:39
es igual a la probabilidad de A menos la probabilidad de A intersección B 00:04:45
este suceso a veces también se le conoce como el suceso A menos B 00:04:52
si dibujamos este suceso tenemos dos sucesos que se cortan 00:04:58
unos A y otros B, la probabilidad de A intersección B complementario sería la probabilidad de este suceso de aquí. 00:05:03
Es decir, son los elementos que están en A y no están en B. 00:05:10
Entonces, ¿cómo demostramos esto? Pues simplemente de la siguiente forma. 00:05:14
Fijaos que A descompone como unión disjunta de A intersección B complementario y A intersección B. 00:05:22
¿Por qué? Porque los elementos que están en A o no están en B o sí están en B. 00:05:29
fácil entonces ahora aplicando la propiedad 2 tendremos y si despejamos de 00:05:33
aquí pues tenemos la propiedad buscada que es listo bueno vamos a demostrar una 00:05:44
de las propiedades más importantes que permite calcular la probabilidad de la 00:05:55
unión de dos sucesos cuando la intersección es no vacía es decir dos 00:05:58
sucesos a y b y si se cortan tienen intersección no vacía lo que vamos a 00:06:02
hacer es descomponer esta unión como unión disjunta de tres sucesos de la 00:06:07
siguiente forma y ahora la probabilidad de la unión disjunta de sucesos es la 00:06:12
suma de las probabilidades por lo tanto y en la anterior propiedad vimos cómo 00:06:21
calcular la probabilidad de la resta sustituyendo y ahora lo único que 00:06:28
tenemos que hacer es simplificar y obtenemos la fórmula exactamente la 00:06:39
fórmula pedida. Vamos con esta propiedad 8 que dice que si A es un subconjunto de B, 00:06:45
un subsuceso de B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad 00:06:59
de B. Y esto lo vamos a deducir directamente de la propiedad 6. Fijaos, B va a descomponer 00:07:02
como unión de A con B intersección A complementario. Los sucesos que están en B o están en A 00:07:08
o están fuera de A. Eso significa, en términos de probabilidades, lo siguiente. 00:07:17
Y ahora bien, este suceso tiene probabilidad mayor o igual que cero, 00:07:26
porque es un suceso que podría ser imposible, pero puede tener una probabilidad mayor que cero. 00:07:32
¿Eso qué significa? Bueno, pues directamente significa que la probabilidad de B 00:07:38
tiene que ser mayor o igual que la probabilidad de A, necesariamente. 00:07:43
Como consecuencia inmediata de esta propiedad, de la propiedad 8, tenemos que para todo suceso, la probabilidad de ese suceso es menor o igual que 1. 00:07:47
Y eso es porque todo suceso está dentro del suceso seguro. Significa por la propiedad 8 que la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad del suceso seguro. 00:07:57
Y como vemos por la propiedad 3, esto es igual a 1. Inmediato, ¿verdad? 00:08:07
Bueno, y la última propiedad que vamos a demostrar es la regla de Laplace 00:08:11
Vamos a demostrarla a partir de esta axiomática de Kolgomorov 00:08:16
¿Qué decía la regla de Laplace? 00:08:19
Bueno, pues decía que si un espacio muestral descompone como unión disjunta de sucesos elementales 00:08:21
Que son, pues, incompatibles 2 a 2 y equiprobables 00:08:28
Es decir, cuya probabilidad siempre es la misma, la de los sucesos elementales 00:08:31
Entonces, la probabilidad de un suceso B es el número de casos favorables 00:08:35
es decir, los K sucesos elementales favorables a B, partido por el número total de casos posibles, que es N. 00:08:40
¿Cómo lo vamos a demostrar? Bueno, pues en realidad es muy sencillo. 00:08:48
Si yo tengo el espacio mostral descompuesto como N casos elementales, 00:08:52
y las sumas son disjuntos y la suma total es 1, entonces ¿qué debe ocurrir? 00:09:06
Pues que si la suma de todos es 1 y todas las probabilidades son iguales, eso significa que n veces la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales va a ser 1. 00:09:13
Y eso significa que la probabilidad de cada uno de esos sucesos elementales tiene que ser necesariamente 1 partido por n. 00:09:28
Bien, y si ahora yo tengo un determinado suceso B que está formado por K sucesos elementales, eso significará que la probabilidad de B va a ser, pues, probabilidad del primero más así la probabilidad de estos K sucesos elementales. 00:09:35
Y como todos valen 1 partido por n, pues esto va a ser 1 partido por n más 1 partido por n, así k veces. 00:09:58
Es decir, esto es k partido por n, que es el número de casos favorables a b partido por el número total de casos. 00:10:08
Y esto ha sido todo. Espero que os haya gustado el vídeo. Nos vemos en próximos vídeos. Un saludo. 00:10:19
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
538
Fecha:
2 de abril de 2019 - 16:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
10′ 32″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
168.74 MBytes

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