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Pirámides y cilindros - Contenido educativo

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Subido el 8 de abril de 2026 por Distancia cepa parla

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Vale, pues ya la tenemos. A ver, estábamos por geometría, estuvimos viendo los prismas, ¿verdad? Lo último que vimos antes de Semana Santa, porque nuestra última clase fue antes de Semana Santa. 00:00:00
Esto, los prismas rectangulares, estuvimos viendo cómo calcular el área total con las áreas laterales y las áreas de la base 00:00:18
Y luego el volumen, que la fórmula del volumen era la misma para todas, que era el área de la base por la altura 00:00:33
¿Os acordáis? Vale, hicimos algunos ejemplos 00:00:42
Y hoy pensaba terminar la lección con las pirámides, los conos y cilindros 00:00:47
Pensaba ver esas tres cosas y con eso terminar la lección 00:00:56
Porque me he dado cuenta que nos queda todavía otro tema que dar, el de probabilidad y estadística 00:01:00
estadística y luego vuestro examen, creo que es el 3 de mayo, ¿no? ¿Puede ser? 00:01:07
Sí, el 6 de mayo. 00:01:14
A ver, un momentito, que lo tengo aquí. Si no lo cambian o si no lo modifican en principio, 00:01:19
yo creo que estaba puesto, ah, sí, sí, el 6, el 6 miércoles. 00:01:28
¿Le vas a preparar tú o le vas a preparar el profesor? 00:01:35
¿El qué? Prepararlo no lo sé, pero siempre los corrijo yo 00:01:38
Y la otra vez no estuve presente porque me tocó en jueves 00:01:48
Pero si cae miércoles, yo los miércoles por las tardes estoy 00:01:53
Así es que si es el miércoles yo estoy aquí en el examen 00:01:57
¿Pero le preparas tú el examen? 00:02:01
Pues es que no lo repartimos, cada profesor, como hay matemáticas nivel 1, nivel 2 00:02:03
Y ciencias nivel 1, nivel 2, hay cuatro bloques 00:02:09
pues cada profesor se prepara uno y a mí cada trimestre me toca preparar uno diferente. 00:02:12
Cuando nos reunamos y me lo digan, pues yo os lo comento. 00:02:19
Vale, gracias. 00:02:23
Pero vamos, a lo que iba, que como queda todavía otro tema, pues me gustaría terminar este tema en la clase de hoy. 00:02:24
Y bueno, pues vamos a ir viendo las pirámides. 00:02:33
mirar las pirámides lo que tienen en común es que sus caras son triángulos todas 00:02:37
y no tienen por qué ser triángulos equiláteros normalmente son triángulos isósceles con dos 00:02:46
lados iguales y otro diferente y claro de esos triángulos para calcular sus áreas vamos a 00:02:51
tener que ver la fórmula de base por altura partido por dos o sea que esa va a ser normalmente nuestra 00:02:59
primera dificultad, calcular las áreas de las caras laterales, que ya digo que son triángulos, 00:03:06
porque cuando eran prismas eran todos rectángulos, daba igual como fuera el prisma pero todos 00:03:15
eran rectángulos, pero aquí va a ser triángulos, eso por un lado, la base puede ser o un triángulo 00:03:21
o un cuadrado, un pentágono o un hexágono 00:03:29
según sea la base, pues ahí le aplicaremos la fórmula del área 00:03:32
al triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono 00:03:37
vale, y luego el volumen 00:03:41
¿cómo será el volumen en cualquier pirámide regular? 00:03:44
es que estoy viendo que no aparece por aquí la fórmula 00:03:50
Pues por favor apuntarlo, que el volumen de cualquier pirámide regular es igual, área de la base en el numerador, área de la base, o sea, lo estoy multiplicando, área de la base por la altura de la pirámide, ojo, partido por 3. 00:03:55
área de la base por la altura partido por 3 00:04:25
ese va a ser, para calcular el volumen, acordaros en cúbicos 00:04:29
entonces, de cualquiera de estas pirámides 00:04:34
el área de esta base lo que dé por la altura de la pirámide 00:04:38
que estará dentro, la altura de la pirámide va 00:04:42
desde este vértice hasta el centro, hasta aquí 00:04:46
eso es lo alta que es la pirámide 00:04:50
Por dentro, esta altura está dentro, aquí la cuadrangular va hasta aquí, por dentro, esa es esta h, esa altura que a veces no la dan, otra vez la tendremos que sacar, vale, pues eso es para el volumen. 00:04:54
área de la base por la altura par dio por 3 00:05:09
¿por qué? pues porque en un prisma rectangular 00:05:13
cogíamos y decíamos área de la base por la altura y ya está 00:05:19
pero de un prisma sacamos 3 pirámides 00:05:25
con lo cual por eso dividimos entre 3 00:05:28
no es que exactamente en este se vea bien 00:05:30
pero si tuviéramos que sacar el volumen de esto, pues a lo mejor sería el equivalente a tres veces esto para sacar un prima cuadrangular o rectangular. 00:05:35
Bueno, nos tenemos que aprender esta fórmula para el volumen. 00:05:49
Venga, pues vamos a empezar a hacer algún ejercicio o vamos a ver, por ejemplo, este ejemplo que tenemos aquí. 00:05:54
Nos dan una pirámide de base cuadrada, vale, tiene las siguientes dimensiones, la altura me la dan, que es 20, el lado es 5, el lado de la base es 5 y nos piden el área total y el volumen. 00:06:03
Ah, vale, es que estoy viendo... A ver, aquí están calculando esta línea. Tenemos sí o sí que necesitamos para... A ver, que me estoy explicando fatal. 00:06:24
Perdonad, mirad, para calcular las áreas laterales, estos triángulos laterales, nos dicen, pues el área del triángulo es base por altura partido por 2. 00:06:50
Bueno, pues de este triángulo, base por altura partido por 2. 00:07:05
la base la tenemos de este triángulo verde 00:07:13
la base la tenemos que es 5 00:07:19
pero la altura no la tenemos 00:07:21
porque la que tenemos es la altura de la pirámide 00:07:22
pero no la que han puesto aquí como apotema 00:07:26
en realidad no es un apotema pero bueno 00:07:28
vamos a llamarla AP 00:07:30
esta altura de este triangulito no la tenemos 00:07:31
y si vemos en 3D 00:07:35
esta zona sombreada 00:07:37
pues tenemos la altura H que son 20 00:07:40
y esta de aquí sería la mitad de 5 que es 2,5 00:07:44
entonces 2,5 sería la mitad de la base que corresponde a este triangulito 00:07:48
y dice, si yo porque me tengo que inventar aquí dentro de un triángulo 00:07:57
pues me lo tengo que inventar para conseguir esta medida 00:08:00
porque esta medida que la han llamado AP es la altura de este triángulo 00:08:03
ya digo que no la tenemos 00:08:09
Bien, pues aplicamos Pitágoras y esta P al cuadrado es igual a H al cuadrado más 2,5 al cuadrado. Aplicamos esto para sacar AP sin el cuadrado, la raíz de esto más esto, 400 más 6,25, total que esto nos da 20,16. 00:08:11
Pero 20 con 16 es esta medida de aquí. Esta medida que es, ya digo, la altura del triángulo de las caras laterales. Y ahora ya sí, ahora ya podemos calcular esas caras laterales. 00:08:37
El área es base por altura 5, 5 largas de estas, no 2,5, 5 por 26,5 partido por 2 y con esto tenemos 1, 1 área. 00:08:53
Como la pirámide tiene 4, multiplicamos las áreas laterales por 4 y da 201,6. Esas son las áreas de los 4 triángulos de la base. 00:09:08
No sé si se entiende lo que estoy calculando. Pues cualquiera de estos triángulos, este área lateral, 50,4, ya digo, multiplicamos por 4 y ya tenemos 4 áreas laterales. 00:09:25
Y ahora nos falta la de la base. La de la base es un cuadrado, 5 por 5, lado por lado, esto es lado al cuadrado, 25 metros cuadrados. 00:09:40
Pues bien, el área total ya sí que la tenemos, es esta, esta área lateral y el área de la base que acabamos también de hallar, lo sumamos y ya tenemos el área total en metros cuadrados. 00:09:53
vale, vamos a ver el volumen 00:10:10
el volumen, he comentado antes que es área de la base por la altura partido por 3 00:10:13
el área de la base la tenemos que es 25 00:10:19
la altura nos la dan, es un dato del enunciado 00:10:22
y además aquí se ve muy bien dibujadito que es 20 00:10:28
partido por 3 y esto da 166,67 cúbicos 00:10:31
Como es volumen, es metros cúbicos. Bien, pues si esto se entiende, vamos a avanzar un poquito más y en vez de una pirámide con la base triangular o cuadrangular, tenemos una pirámide con la base hexagonal. 00:10:38
En esta pirámide nos dicen, calcula el área lateral, que son las seis de fuera, las seis caras, que son triángulos, y el área total. 00:11:05
Vale, pues el área total necesitamos también la de la base. Os recuerdo que cuando hacíamos los prismas, en todos estos multiplicábamos por dos veces el área de la base, dos, una de arriba y otra de abajo. 00:11:22
Siempre calculamos este también y el de abajo también 00:11:39
Vale, pues aquí no, aquí como solo tenemos una base, pues es más fácil 00:11:43
Ponemos el área de la base y las 6, en este caso 6, triángulos laterales y ya está 00:11:49
Dice, vale, en este triángulo me pasa lo mismo 00:11:57
Tengo esta medida, la tengo 00:12:06
Y tengo esta medida también, 28, porque es 28 centímetros de arista lateral, no dice que sea de altura de la pirámide, como era el caso anterior 00:12:09
En el caso anterior nos daban la altura de dentro, ahora no, ahora nos dan la arista de fuera 00:12:21
Entonces, si con la arista de fuera y la base tengo dos medidas, no puedo sacar el área del triángulo 00:12:28
Entonces, me tengo que construir aquí un triángulo rectángulo, bueno, perdonad, pero con el ratón se me da fatal. 00:12:38
Y esta altura es la que tengo que hallar sabiendo que esta mitad de aquí, esta mide 8, el lado mide 28 que lo tengo 00:13:03
Sin embargo, la altura de este triángulo es un dato que me falta y lo puedo calcular por pitágoras 00:13:14
Aquí está dibujado mucho mejor de lo que estoy hablando 00:13:23
Tengo la hipotenusa y tengo los dos catetos 00:13:27
De los dos catetos me falta uno. Entonces, yo aquí puedo decir 28 al cuadrado, que es la hipotenusa, es igual a un cateto al cuadrado y más otro también, al cuadrado los dos. 00:13:31
Vale, ¿cómo despejo yo este cateto de aquí? 00:13:46
Pues a 28 al cuadrado le resto 8 al cuadrado 00:13:51
Que esto por aquí no lo veo que está demasiado bien escrito 00:13:55
Pero bueno, da igual 00:14:00
AP sería la raíz de 28 al cuadrado 00:14:01
Menos 8 al cuadrado también 00:14:11
Y este es el cálculo que viene aquí arriba indicado, que es la raíz de 720. Entonces, AP es 28 al cuadrado, ya digo, vaya número, esto es 720, la raíz de 720. 00:14:19
Bueno, si lo hacéis vosotros en casa 00:14:39
Y esto da 26,83 00:14:43
Total, que esta medida que tiene que ser menor de la hipotenusa es 26,83 00:14:46
Vale, una vez que ya tenemos la altura de este triángulo 00:14:54
La base que la sabemos, ya sí que podemos sacar el área 00:15:06
El área de cada cara es base por altura partido por 2 00:15:10
base que es 16, cada lado mide 16 de base 00:15:15
arista de la base 00:15:19
por la altura que la acabamos de hallar 00:15:22
partido por 2 nos da 214,64 00:15:24
vale 00:15:28
el área de la base 00:15:29
es, aquí tenemos otra complejidad 00:15:34
que es perímetro por apotema partido por 2 00:15:38
esta base 00:15:41
no conocemos cuánto mide la apotema 00:15:43
pero sí la podemos sacar también por Pitágoras 00:15:48
porque comenté el otro día que en un hexágono 00:15:51
los tres lados son de un triángulo equilátero 00:15:55
me refiero, en este caso la base de esta pirámide es hexagonal 00:16:01
Bien, pues los seis hexágonos son triángulos equiláteros, entonces este lado mide 16, este mide 16, este también, este también, este también, eso se comentó el otro día, pues todos los lados miden 16, pero estas medidas de aquí de los triángulos, al ser equiláteros, miden 16 también, esto mide 16 cada una. 00:16:10
Vale, pues por Pitágoras sacamos la hipotenusa, perdón, la apotema de este hexágono 00:16:33
Que es lo que nos faltaría para calcular el área de la base, perímetro por apotema partido por 2 00:16:42
El perímetro, no sé dónde está puesto por ahí, pero el perímetro es 8 por 16 00:16:48
No, perdón, 16 por 6 00:16:59
Vale, está puesta aquí, bueno pues ya lo veo 00:17:03
Pues ese sería el perímetro, es la suma de los lados, los lados miden 16, 6 lados, 16 por 6 00:17:10
Y esta apotema la hemos sacado por Pitágoras 00:17:20
En Pitágoras esta sería la hipotenusa, este trocito mide 8 00:17:24
Y igual que aquí, la apotema es la raíz cuadrada de 16 al cuadrado menos 8 al cuadrado 00:17:31
No sé si me estáis entendiendo 00:17:41
A ver, lo voy a poner aquí 00:17:44
La apotema es igual 00:17:47
Como es al cuadrado, pues para quitar ese cuadrado estoy aplicando Pitágoras 00:17:49
esta es la hipotenusa al cuadrado que es 16 al cuadrado menos este lado de aquí que es 8 al cuadrado, vale, esto da la raíz de 192 y la raíz de 192 es 13,86 00:17:57
Veis, encima en estos cálculos de los volúmenes y de las áreas es rarísimo que dé exacto, casi todo da con decimales, tanto las apotemas como las alturas, etc. 00:18:28
Entonces, pues bueno, pues es más engorroso, quiero decir, a la hora de calcular, pero lo vamos poniendo con mucho cuidado y ya está. 00:18:44
Total, que esta medida, ya digo, es la apotema 00:18:54
El perímetro lo teníamos, esta es la apotema de aquí 00:19:01
Perímetro por la apotema, partido por dos, el área de la base 00:19:05
Con lo cual, el área total es, en las áreas laterales 00:19:11
que hemos visto que eran 6 por esta medida, que son 1.287,84, más el área de la base, que es esta. 00:19:17
Seguimos teniendo todo unidades centímetro cuadrado, pues ya está. 00:19:29
Y en pirámides no se va a pedir nada más difícil, ya está bien, 00:19:35
Nada más difícil que una pirámide o triangular o cuadrangular o hexágono y pentágono, que es exactamente lo mismo, que es la misma fórmula para el área de la base y la misma fórmula para calcular las áreas laterales. 00:19:42
Vamos a hacer algún ejercicio que venga propuesto por aquí 00:19:57
Pues me da igual hacer esto de arriba que este de aquí 00:20:07
Pero sobre todo es que en este se ve muy bien a la hora de los cálculos 00:20:14
Y se ve muy bien lo que te dan y lo que te piden 00:20:19
Pero ya digo, a mí me daría lo mismo hacer esto de aquí que este de aquí 00:20:22
pero esto ya viene en dibujo, pues casi prefiero hacer este. Te dice que es rectangular, entonces 00:20:27
si es rectangular, la base mide 10, de 10 centímetros de arista básica, 12 centímetros 00:20:45
de altura, esto mide 5, no, perdón, que he leído mal, que es cuadrangular, y decía 00:21:00
yo, pues me falta una medida, vale, pues eso mide 10, esto también mide 10, o bueno, lo 00:21:08
voy a poner en verde, y, por ejemplo, el área de la base, pues esa sí que la puedo ya calcular, 00:21:14
que es la más fácil, área de la base, al ser cuadrada, 10 al cuadrado, lado por lado, 00:21:24
lado al cuadrado, 10 al cuadrado, pues ponemos 100, como estamos en centímetros, centímetros 00:21:31
cuadrados. Para calcular las áreas laterales tendríamos, primero que, voy a poner aquí 00:21:43
el área lateral, es base por altura partido por 2, la base la tenemos, la altura no la 00:22:00
tenemos de esas áreas laterales. Tenemos la altura de la pirámide, que es 12, pero 00:22:10
esta de aquí la tenemos que hallar por Pitágoras. Entonces, le llaman apotema, pues bueno, pues 00:22:16
vamos a llamarle apotema, pero ya digo que es la altura del triángulo lateral. Bien, 00:22:23
pues para calcular esta es la raíz cuadrada, ya digo que estamos por Pitágoras, de 12 00:22:32
al cuadrado, más, ¿por qué más? Pues porque estoy calculando la hipotenusa, entonces sumo 00:22:40
los catetos. En la anterior, en esta de aquí no estaba calculando la hipotenusa, estaba 00:22:51
calculando un cateto y por eso lo restábamos, en Pitágoras restábamos, pero en esta, 00:22:57
Como nos dan este cateto y este también, este es 12, este es 5, aunque no lo le dieran, pero si esto es 10 y esto es 5, 12 al cuadrado más 5 al cuadrado y esto es 144 más 25. 00:23:03
no sé si voy un poco rápido, pero ya lo vamos calculando, 169, y esta da 13, exactamente 13, esta de aquí, esta apotema, vale, entonces, el área lateral, base, que la tenemos 10 por la altura que la acabamos de calcular, 00:23:25
Base 10 por 13 partido por 2, 130 entre 2, 65, pues 65 centímetros cuadrados. 00:23:56
Entonces, si queremos hallar el área total de esta pirámide, tendríamos el área de la base. 00:24:21
vamos a poner aquí el área total sería 00:24:29
el área de la base que hoy son 100 00:24:33
más 4 áreas laterales 00:24:38
4 por 65 00:24:43
y acordaros cuando se suman o se operan con números enteros 00:24:46
que no puedo decir 100 más 4 hasta que no haga este producto 00:24:57
pues no puedo sumárselo a 100 00:25:01
así es que primero hago 4 por 65 más 100 00:25:03
Y todo eso me va a dar 360 centímetros cuadrados. El área total de esta pirámide cuadrangular. El área de la base más cuatro áreas triangulares. 00:25:07
Ya lo último que me quedaría es el volumen, pues para calcular el volumen era área de la base por la altura, lo vuelvo a poner aquí la fórmula, área de la base por la altura de la pirámide, ojo, partido por 3 00:25:25
Bueno, el área de la base la tenemos, que es 100 centímetros cuadrados 00:25:45
La altura es 12, en este caso la tenemos dibujada 00:25:53
100 por 12 partido por 3 00:25:58
Y esto da 400 centímetros cúbicos 00:26:02
Centímetros cúbicos, que es una medida de volumen 00:26:11
si nos pidieran rellenarlo con algún líquido 00:26:21
pues hay que recordar que el centímetro cúbico no es igual que el litro 00:26:26
el litro era el decímetro cúbico 00:26:30
pero bueno, en principio las pirámides se calcularían así 00:26:32
las áreas laterales, el área de la base solo una 00:26:37
y el volumen, esta misma fórmula para todas las tres o cuatro tipos de pirámides que hemos visto 00:26:41
Si no hay ninguna pregunta, pues continúo, porque me quedan... 00:26:50
Una cosita, por ejemplo, en el ejercicio 3 habría que dibujar la pirámide, ¿no? 00:26:53
¿En cuál? 00:26:58
En el ejercicio 3, por ejemplo, en ese se habría que dibujar la pirámide, ¿no? 00:26:59
Ah, 1, 2, 3, calcule el área y total de una pirámide hexagonal de... 00:27:04
Es que aquí hay 4, yo veo que hay 4 pirámides. 00:27:09
O sea, que habría que dibujar las 4. 00:27:14
Pues más que porque te lo pidan, no te lo piden 00:27:16
pero yo es que si no la dibujo no la veo bien 00:27:21
Pues aquí nos dan la arista básica que es esta 00:27:24
la arista de la base es esta y la arista lateral es esta 00:27:30
Si nos piden calcular en esta una pirámide hexagonal 00:27:34
bueno, primero habría que dibujarse el hexágono 00:27:40
Pero luego, o sea, las medidas que nos están dando de esto, si hubiera que calcularlo y tal, nos están dando la arista de la base y la arista lateral, esta y esta. No nos están dando la altura de la pirámide como nos han dado aquí. 00:27:44
bueno, esto sería una cosa así 00:28:03
pues encima para dibujarla 00:28:06
hacer un hexágono regular 00:28:08
el día del examen es más complicado 00:28:09
en esta de aquí 00:28:12
es la pirámide escuadrada 00:28:13
entonces es como esta 00:28:15
pero también, aquí hay un montón 00:28:17
de ejercicios, pues 00:28:20
son para diferentes pirámides 00:28:21
y cada uno de ellos 00:28:24
aquí lo que te dan es la altura de la pirámide 00:28:25
en este caso te dan la medida 00:28:28
de aquí, la altura 00:28:30
y el lado de la base. Y aquí sin embargo la arista de la base y la arista lateral. Bueno, pues nada, para ir calculando y practicando está bien. 00:28:31
Vamos a ver con los cuerpos redondos el cilindro y el cono. Primero recordar un poco, en el cilindro, si nosotros tuviéramos que ver el área lateral y desarrolláramos un cilindro, pues tenemos que ver que es un rectángulo. 00:28:48
Dices tú, pero bueno, esto yo no lo he dado con esta forma 00:29:11
Pues es verdad, no hemos dado 00:29:14
Pero al estirar, imaginar, pues yo que sé, una lata de conservas 00:29:17
Le quitamos la parte de arriba, le quitamos la de abajo 00:29:23
Y lo que nos queda, lo cortamos y lo estiramos 00:29:25
Y nos queda un rectángulo 00:29:31
Este lado corto es la altura, la altura del cilindro 00:29:33
¿Y cuánto mide la parte de abajo? La parte de abajo es la longitud de esta circunferencia. Entonces, la longitud es 2 pi r. 00:29:39
Puedo recordar un poco las fórmulas. De la base, la longitud de esa circunferencia que coincide con el lado largo de las paredes laterales es 2 por pi y por r, bueno, una r minúscula. 00:29:51
Y luego, para calcular el área de la base, es pi r cuadrado. Esto es pi, pi por r cuadrado. 00:30:10
Entonces, el área lateral sería, al ser un rectángulo, h por 2 por pi por r. 00:30:24
h por 2 por pi por r, ese sería el área lateral, por eso lo pone aquí, 2 pi r y h, ¿vale? Se está 00:30:35
refiriendo a eso, el área de la base pi r cuadrado. El área total, pues sumamos un solo área lateral, 00:30:44
solo hay una, y dos áreas de la base, porque aquí tenemos base arriba y base abajo. Es la única 00:30:52
diferencia con las pirámides. En las pirámides había una sola base, ahora tenemos dos bases y un 00:30:58
rectángulo, que es el área lateral, y el volumen tenemos igual que los primas, área 00:31:03
de la base por la altura. Esa fórmula es tan más sencilla, no hay que partirlo por 00:31:11
3, área de la base por la altura. Nos ponen aquí este ejemplo, dice, calcula el área 00:31:16
lateral y el total de un cilindro de 2 metros de radio, de radio 2 metros, y 2,5 de altura, 00:31:23
O sea, aquí h sería 2,5. r, 2 en metros y h, que es la altura del cilindro, 2,5. 00:31:32
Bien, pues vamos a ver el área lateral por una parte h, que es esta, por 2 por pi por r. 00:31:47
Pues vamos multiplicando todo. Pi se puede tomar 3,14. Si coges la calculadora y marcas la tecla pi, pues te aparecen infinitas cifras decimales y el resultado no da exactamente igual, pero a mí me va igual de bien que cojáis 3,14 o la tecla de la calculadora que marca pi con más cifras porque dará un poquito más al final, pues los dos resultados son perfectos. 00:32:00
El radio por 2 y por la altura sustituimos. Luego el área de la base es pi r cuadrado. Aquí la verdad que como no tenemos triángulo, no tenemos apotemas y tal, tanto el cono como el cilindro son mucho más fáciles de calcular. 00:32:30
Pero bueno, pi r cuadrado, pues si el radio es 2, pues pi por 4, 12,56 metros cuadrados. 00:32:52
Total, que el área total sumamos esta más esta y área de la base multiplicado por 2, 00:33:02
porque tenemos la base de arriba y la de abajo y daría 56,52 metros cuadrados. 00:33:11
Si nos pidieran también el volumen, pues cogeríamos el área de la base multiplicado por la altura y ya se calcularía así. 00:33:18
Bien, pues voy a bajar un momentito. Vale, he encontrado aquí un ejercicio que lo voy a resolver. 00:33:28
este. Una lata de terminado refresco tiene una forma cilíndrica y sus dimensiones son 00:33:47
7 centímetros de diámetro y 15 centímetros de altura. Voy a resolver este ejercicio. 00:33:54
Dice, vale, si es un refresco, pues la figura que nos representa es el cilindro y si son 00:34:02
siete centímetros de diámetro, el radio, que es la mitad, es 3,5. Entonces, 3,5 centímetros 00:34:11
de radio y 15 centímetros de altura. Haya el área total y el volumen. Pondríamos por 00:34:22
una parte o sea no voy a dibujar la lata porque sí bueno la puedo dibujar aquí 00:34:35
pero no sirve de mucho el radio el radio es 3,5 entonces por 00:34:41
ejemplo el área de la base el área de la base 00:34:54
es pierre cuadrado 00:35:00
Pi, ya digo, o ponéis 3,14 o ponéis la tecla de pi al cuadrado 00:35:04
Que dará una chispita más, pero ese valor también me vale 00:35:15
Pues pi r al cuadrado, esto es 38,5 centímetros 00:35:19
Sí, como es una lata son centímetros al cuadrado 00:35:34
Vale, el área lateral, pues el área lateral, ojo que no estoy haciendo la de la esfera 00:35:37
Hemos dicho que es un rectángulo que tiene h por lo largo, que sería la lata, que es la longitud de la circunferencia 00:35:45
por 2 por pi por r, h por 2 por pi y por r. A ver, pongo r mayúscula porque la minúscula 00:35:59
me iba a quedar hecha un churro, pero bueno. Si voy sustituyendo h que mide 15, pi 3,14 00:36:10
y el radio 3,5 00:36:19
pues ese área lateral 00:36:21
es 329 00:36:24
ya digo, si vamos sustituyendo los valores que me han dado 00:36:30
0,86 00:36:38
si no es exactamente igual es porque yo he cogido el pi de la calculadora 00:36:39
centímetros cuadrados 00:36:45
vale, y el área total sería 00:36:47
dos veces el área de la base 00:36:54
dos veces el área de la base 00:36:58
más el área lateral 00:37:03
que también la tenemos aquí calculada 00:37:07
pues sumaríamos esto multiplicado por 2 más 329 00:37:09
y a mí me da un total de 406,86 cm2 00:37:15
Pues con eso tendríamos el área total y ahora para calcular el volumen, solo en el 00:37:27
prisma área de la base por la altura y ya está, área de la base que la tenemos por 00:37:42
H, o sea, 38,5 por 15 centímetros y a mí eso me da 5.775, 5.775 centímetros cúbicos. 00:37:52
Vale, pues cuidado con los centímetros cuadrados de las áreas y con los centímetros cúbicos del volumen 00:38:17
Entonces, pues a lo mejor, igual que en los prismas hicimos algún ejercicio de una habitación o lo que sea 00:38:32
Pues igual te ponen los volúmenes del prisma así a lo mejor en forma de enunciado 00:38:42
o te lo ponen dibujadito, como este de aquí, y te dan los datos. 00:38:50
Pero ya digo, el cilindro es bastante más fácil que las pirámides que hemos visto antes. 00:38:57
Si no hay ninguna pregunta, ¿se ha entendido? 00:39:06
Yo sí, pero en lo último, ¿habría que dividirlo entre tres? 00:39:09
No, no, no, no. El volumen es área de la base por la altura, así, tal cual. 00:39:14
igual que los prismas, es la misma fórmula del volumen 00:39:19
área de la base por la altura 00:39:22
dividir entre 3 en las pirámides 00:39:24
las pirámides 00:39:34
que no lo ponen en vuestros apuntes 00:39:35
pero el volumen de la pirámide sí hay que dividir entre 3 00:39:40
pero solo para las pirámides 00:39:43
triangular, cuadrangular, lo que sea 00:39:45
pero el cilindro no 00:39:47
el volumen en el área de la base por la altura 00:39:51
y ya está, y uno es 2 pi r por h 00:39:55
y la base pi r cuadrado 00:39:58
vale, y el que me quedaría por ver 00:40:01
es el cono, en el cono 00:40:07
dices, vale, la base es un círculo 00:40:10
pues el área de la base pi r cuadrado, bien 00:40:15
Pero la parte de acá arriba, pues esta no es un círculo, ni es un triángulo, ni es una forma normal. Si la destripáramos, pues tendría una forma tal que así. 00:40:18
Una cosa así rarísima, que luego al juntarla, bueno, está fatal dibujada, pero bueno, la parte de fuera no es una figura geométrica conocida, pero sin embargo tiene esta fórmula. 00:40:35
El área lateral es pi por r y por g, g es la generatriz, la generatriz sería la medida del lateral del cono 00:40:50
No podemos considerarlo un arista, porque no tiene ninguna arista el cono, que sería como el gorro de un payaso 00:41:02
Bueno, pues eso no tiene aristas, pero sí que tiene esta medida que si la logramos saber, que es la generatriz, pues ya tenemos el área lateral 00:41:10
Ya digo, pi por r y por la generatriz 00:41:19
Volvemos a Pitágoras y dice, vale, pues yo me puedo calcular esta generatriz si me dan la altura del cono 00:41:24
Pues perfectamente, y ya está 00:41:31
Y entonces ya tendríamos el área lateral, el área de la base 00:41:34
Y aquí el volumen vuelve a tener partido de 3 00:41:39
Este volumen, sí, área de la base por la altura partido de 3 00:41:44
¿Por qué? Pues es parecido a una pirámide, sería como una tercera parte de un cilindro. 00:41:48
Entonces, vamos a hacer este ejemplo, dice, calcula el área lateral y el área total de un cono, cuya generatriz mide 25, pues ya no la dan. 00:41:58
El radio mide 12 y ya, pues el área lateral, primero el área de la base pi r al cuadrado, pi por r al cuadrado, o sea 12 al cuadrado, 12 por 12, 144, sería este el área de la base. 00:42:09
el área lateral pi por R y por la generatriz 00:42:29
en este caso me la dan, si no me la dan y me dan la altura 00:42:33
la calculo por Pitágoras 00:42:37
y tendríamos pues 3,14 por 12 y por 25 00:42:39
vale, 942 00:42:46
ese es el área lateral 00:42:49
un área de la base solo hay una, el área total es 00:42:53
una de cada, el área lateral más una de la base y ya la tendríamos. En este caso no te piden el volumen, pero si te pidieran el volumen es área de la base por la altura, 00:42:57
que por ejemplo aquí no nos la dan, pero la podemos calcular. La altura de este cono, un momentito, la altura, o a lo mejor con azul se ve mejor, la altura del cono no me la dan, 00:43:15
pero me dan la hipotenusa y el otro cateto 00:43:36
entonces digo, vale, pues yo la calculo 00:43:40
ya digo, esta altura solo la necesitaría para el volumen 00:43:45
si no me piden el volumen, pues no hace falta 00:43:50
pero bueno, vamos a calcularla 00:43:53
para calcular esta h sería 25 al cuadrado menos 12 al cuadrado 00:43:55
todo ello sería h al cuadrado 00:44:01
Pues raíz de 25 al cuadrado menos 12 al cuadrado, vale, esos son 25 al cuadrado es 625 menos 144, 481 raíz y esto da 21,93 00:44:03
Ya podía dar exacto, pero bueno, 21,93 00:44:37
Esto es, como es una medida lineal, pues en centímetros 00:44:42
Vale, pues si tengo h, ya sí que puedo calcular v 00:44:48
No me lo han pedido, pero bueno, lo calculamos 00:44:53
Y v es pi, área de la base, pi r cuadrado 00:44:56
pi r cuadrado por la altura 00:45:03
dividido entre 3 00:45:10
entre 3 porque es un cono 00:45:13
pero si fuera el cilindro 00:45:16
pues no hay que dividirlo entre 3 00:45:20
vale, entonces sustituimos 00:45:22
pi es 3,14 00:45:26
r al cuadrado es 12 00:45:28
Venga, lo pongo, pi por 12 al cuadrado, y por h, que es 21,93, que la vamos a calcular, dividido entre 3, y ya tendríamos el volumen del cono. 00:45:31
Bueno, esto da 3,3,3,3,0,7,22, pero ya digo, yo como el pi lo meto en la calculadora, pues a lo mejor no es 3,14, sino a mí me da un poquito más. 00:45:58
al ser el volumen centímetros cúbicos 00:46:18
centímetros cúbicos 00:46:23
entonces 00:46:26
no os pueden pedir ninguna otra cosa 00:46:28
o el volumen o el área lateral 00:46:32
del cono, del cilindro lo mismo 00:46:35
y eso 00:46:38
y de las pirámides lo mismo 00:46:40
no sé si tenéis alguna duda 00:46:43
Mira, aquí estoy aplicando Pitágoras 00:46:45
Entonces yo digo que 25 al cuadrado es igual a H al cuadrado más 12 al cuadrado 00:46:59
esto es lo que me diría el teorema de Pitágoras 00:47:15
porque esta es la hipotenusa 00:47:18
y estos dos son los catetos 00:47:20
y los sumo 00:47:22
vale, pero como yo no quiero calcular la hipotenusa 00:47:23
sino que quiero calcular un cateto que es este 00:47:26
h, este me lo llevo para allá 00:47:28
y lo resto 00:47:31
25 al cuadrado menos 12 al cuadrado 00:47:32
y este cuadrado lo quito 00:47:34
y calculo la raíz 00:47:36
¿se entiende? 00:47:39
cuando nos han pedido la hipotenusa 00:47:41
pues fenomenal, porque lo sumamos y ya está 00:47:45
pero cuando nos piden uno de los catetos 00:47:48
lo tenemos que restar 00:47:49
para pasar este al otro lado, pues pasa restando 00:47:51
vale, y lo demás se entiende 00:47:54
bueno, pues 00:48:00
de esta lección 00:48:04
no hay nada más 00:48:07
me refiero que no 00:48:11
no voy a, no se va a pedir 00:48:12
bueno, esto es la razón 00:48:17
de volúmenes de cuerpos semejantes con esta fórmula y tal 00:48:21
dejarlo y la esfera pues también 00:48:24
vale, así es que veríamos solo hasta aquí 00:48:28
de esta lección y los ejercicios pues bueno 00:48:33
pues eso sí, irlos calculando pero vamos 00:48:37
que para el examen hasta aquí 00:48:40
y a la semana que viene 00:48:43
empiezo ya 00:48:44
con probabilidad y estadística 00:48:47
y dejo también 00:48:49
a ver si alguna clase para 00:48:50
repaso o lo que sea 00:48:52
como además el examen es en miércoles 00:48:54
nada, bueno 00:48:57
pues que vamos un poco pillado de tiempo 00:48:58
porque ha sido semana santa 00:49:00
y tenemos poco tiempo para estas clases 00:49:02
pero bueno 00:49:05
ya no queda nada 00:49:06
y como el tema anterior 00:49:08
pues yo creo que se lleváis bien 00:49:11
todo lo que hemos visto 00:49:13
antes, si tenéis alguna duda 00:49:17
me lo preguntáis ahora 00:49:19
en la próxima clase, ¿vale? 00:49:21
Vale, muchas gracias 00:49:23
Bueno, pues hasta la semana que viene 00:49:24
Buenas 00:49:27
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Autor/es:
Gloria Royo Mejia
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Distancia cepa parla
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Reconocimiento - No comercial
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Fecha:
8 de abril de 2026 - 19:27
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB RAMON Y CAJAL
Duración:
49′ 36″
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