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7. Curvatura y puntos de inflexión - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Estudio de la curvatura y puntos de inflexión de funciones

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La siguiente aplicación que vamos a ver es la del estudio de la curvatura de una función 00:00:02
y el cálculo de puntos de inflexión. 00:00:07
Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar si la función es cóncava o condensa. 00:00:12
Y eso lo vamos a saber con la derivada segunda. 00:00:20
Si el signo de la derivada segunda es menor que cero, negativo, 00:00:23
pues entonces la función es cóncava 00:00:29
Si el signo de la derivada segunda es positivo 00:00:33
pues entonces la función será convexa 00:00:36
Un punto de inflexión va a ser aquel en el cual la función cambia la curvatura 00:00:40
de cóncava a convexa o de convexa a cóncava 00:00:48
Vamos a ver primero un ejemplo con una función polinómica 00:00:52
La forma de proceder va a ser parecida al cálculo de máximos y mínimos en una función 00:00:55
Calculamos la derivada segunda en este caso y la igualamos a cero 00:01:02
La derivada primera es 3x cuadrado menos 12x más 9 00:01:09
La segunda derivada es 6x menos 12, lo igualamos a cero 00:01:13
y obtenemos un punto en el cual puede ser que haya un punto de inflexión 00:01:16
Vamos a estudiarlo. ¿Cómo lo estudiamos? 00:01:23
Pues viendo qué pasa en los intervalos que quedan definidos cuando en la recta real, 00:01:26
en este caso el dominio de la función, sabemos que la función de tipo polinómico es todo r, 00:01:32
situamos el punto que nos ha dado candidato, es decir, derivada según de igual a 0 para x igual a 2, 00:01:40
lo situamos en la recta real y quedan definidos dos intervalos, en este caso, 00:01:48
De menos infinito a 2 y de 2 a infinito 00:01:54
Estudiamos ahora el signo de la derivada segunda 00:01:57
En este caso, por ejemplo, en este primer intervalo hemos cogido para 0 00:02:00
Y en 0 la derivada segunda me da negativa 00:02:05
¿Eso qué significa? 00:02:09
Que en todo este intervalo 00:02:10
La derivada segunda va a ser negativa 00:02:12
Por lo tanto la función va a ser cóncava 00:02:16
Llamando cóncava, en este caso 00:02:18
El criterio que vamos a tomar 00:02:20
es que es así, con las ramas 00:02:22
hacia abajo. De 2 a infinito 00:02:25
cogemos un punto, en este caso 00:02:28
hemos cogido el 3 00:02:30
la derivada segunda 00:02:31
en este punto es positiva 00:02:34
por lo tanto, para cualquier 00:02:36
punto de este intervalo 00:02:39
también lo va a ser 00:02:40
entonces la función 00:02:42
en este intervalo que va 00:02:44
de 2 a infinito es convesa 00:02:46
convesa 00:02:49
y cuando convesa a esta forma 00:02:50
¿Qué ocurre? Que vemos que la función pasa de ser cóncava en este intervalo a ser conversa en este otro 00:02:52
Si la función derivada segunda se me anulaba en 2 y veo un cambio de curvatura cuando paso de la izquierda a la derecha de este punto 00:03:02
Pues entonces eso significa que en x igual a 2 hay un punto de inflexión 00:03:14
punto de inflexión como igual que hacíamos en máximos y mínimos 00:03:20
calculamos su coordenada x que sería x igual a 2 y su coordenada y 00:03:25
y la coordenada y como siempre sustituyendo en la función 00:03:30
para x igual a 2 la imagen de la función es 2 también 00:03:35
por lo tanto hay un punto de inflexión en el punto de coordenadas 2,2 00:03:40
y ahora vamos a ver el estudio de la curvatura y puntos de inflexión 00:03:44
para una función racional, en este caso para y igual a x menos 1 partido de x cuadrado. 00:03:51
En una función racional el dominio, como hemos visto anteriormente, son todos los números 00:04:00
reales excepto aquellos valores de x que anulan el denominador. En este caso serían dominio 00:04:04
de f todos los números reales exceptuando el 0. Calculamos la derivada primera, que 00:04:12
Sería esta que tenemos aquí en primer lugar, el resultado de menos x más 2 partido de x cubo y calculamos la derivada segunda. 00:04:19
En la derivada segunda, que nos ha quedado 2x menos 6 partido de x a la cuarta, es la que tenemos que igualar a 0 para ver los posibles candidatos a ser puntos de inflexión. 00:04:28
En este caso, igualando a cero el numerador, 2x menos 6 igual a cero resulta x igual a 3. 00:04:43
¿Qué intervalos tenemos que considerar en una función racional? 00:04:51
Pues teniendo en cuenta que en cero la función no está definida, ese punto tiene que aparecer en la recta numérica 00:04:55
y por otro lado los puntos que hayan anulado la derivada segunda. 00:05:02
Por lo tanto, en nuestro caso aparecen tres intervalos 00:05:06
De menos infinito a cero, de cero a tres y de tres a infinito 00:05:11
Para estudiar el signo de la derivada segunda vamos cogiendo un punto de cada intervalo 00:05:15
En el intervalo que va de menos infinito a cero, la derivada segunda la hemos evaluado en menos uno 00:05:21
Hemos cogido aquí x igual a menos uno 00:05:27
y sustituyendo en la derivada segunda, vemos que el signo es negativo. 00:05:30
Eso significa que para cualquier punto de este intervalo, la derivada segunda es negativa, 00:05:40
con lo cual la función es cóncava. 00:05:46
En el siguiente intervalo, de 0 a 3, tomamos también otro punto, 00:05:51
hemos tomado el punto x igual a 1, 00:05:56
y sustituyendo la derivada segunda el resultado es negativo también. 00:05:58
Eso significa que la función en el intervalo que va de 0 a 3 tiene la curvatura cóncava. 00:06:04
Y por último de 3 a infinito cogemos un punto, hemos cogido el valor x igual a 4 00:06:13
y vemos que el signo de la derivada segunda es positivo. 00:06:20
Es decir, en todos los puntos de este intervalo la función segunda, la derivada segunda es positiva 00:06:26
Eso significa que la función va a ser con B 00:06:35
Vemos que en 0 tenemos una asíntota vertical de la función y ahí no vamos a tener nada 00:06:37
En este caso nos daba en los dos casos cóncava a la izquierda de 0 y a la derecha de 0 00:06:49
Pero aunque nos hubiera dado cóncava y convesa luego, no podemos concluir que x igual a cero sea un punto de difusión, 00:06:55
porque ahí la función ni siquiera está definida. 00:07:04
x igual a tres, pues aquí vemos que a la izquierda de tres la función es cóncava y a la derecha de tres la función es convesa. 00:07:07
Observamos un cambio en la curvatura de la función. 00:07:19
Eso significa que en x igual a 3 tenemos un punto de inflexión. 00:07:23
Y como siempre, para calcular la coordenada y, 00:07:30
sustituimos el valor x igual a 3 en la función. 00:07:35
De tal manera que, como la imagen de 3 es 2 novenos, 00:07:41
Tenemos un punto de inflexión en esta función, en el punto de coordenadas, 3 y 3 dos novenos. 00:07:53
Por último vamos a estudiar la función que ya habíamos calculado máximos y mínimos 00:08:03
y estudiado el crecimiento de crecimiento, la monotonía, 00:08:09
que tenía un máximo en el 1 menos 3 y un mínimo en el 3 menos 1. 00:08:14
Vamos a ver ahora la curvatura de la función, donde la función es cóncava y donde es convexa y si tiene puntos de inflexión. 00:08:20
Para eso tenemos que calcular la derivada segunda. 00:08:29
En la derivada segunda, derivamos con un cociente de nuevo, sería la derivada del numerador, 2x menos 4, 00:08:33
por la función del denominador sin derivar 00:08:43
menos la función del numerador sin derivar 00:08:48
por la derivada del denominador 00:08:54
que en este caso sería 2 que multiplica a x-2 00:09:00
y en el denominador la función x-2 al cuadrado 00:09:04
otra vez elevada al cuadrado, o sea, quedaría elevado a la cuarta 00:09:12
Aquí en estas funciones racionales conviene, antes de seguir operando, sacar factor común a x-2 y simplificarlo 00:09:15
Aquí tenemos un x-2 elevado al cuadrado, aquí tenemos otro x-2 en este otro término o sumando 00:09:25
y en el denominador tenemos x-2 00:09:36
pues vamos a extraer factor común del numerador a un x menos 2 00:09:40
de manera que se vaya con 1 y abajo 00:09:44
entonces en ese caso simplificando un x menos 2 00:09:47
aquí me quedaría elevado a 3 00:09:51
y aquí me quedaría 2x menos 4 que multiplica a x menos 2 00:09:54
menos, esto lo voy a poner delante 00:09:59
menos 2 que multiplica a x cuadrado menos 4x más 3 00:10:03
Esto sería igual a, hacemos todas las operaciones, 2x cuadrado menos 4x menos 4x más 8 menos 2x cuadrado más 8x menos 6. 00:10:10
Dividido por el número 2 elevado a algo. 00:10:35
Simplificamos todo lo que se pueda 00:10:37
Menos 4x menos 4x con este más 8x 00:10:40
Finalmente el resultado de la derivada segunda sería 00:10:45
8 menos 6 es 2 partido de x menos 2 elevado al cubo 00:10:48
Esta derivada segunda es la que vamos a igualar a 0 00:10:55
¿Qué ocurre? Que en este caso, como el numerador es 2 00:11:00
2 siempre es distinto de c, entonces no tenemos candidatos a puntos de inflexión 00:11:05
con lo cual los intervalos a estudiar la curvatura se reducen en este caso a 2 00:11:11
y a 2 porque al ser una función racional tenemos que colocar el punto donde la función no está definida que era en 2 00:11:17
así que los intervalos serán de menos infinito a 2 y de 2 a infinito 00:11:26
estudiamos en cada uno de esos intervalos el signo de la derivada segunda 00:11:30
para todos los puntos que pertenecen de menos infinito a 2 00:11:37
vamos a coger por ejemplo para x igual a 0 00:11:41
el signo de la derivada segunda 00:11:44
el 0 nos queda positivo entre negativo y negativo 00:11:47
menos que 0 00:11:54
Por lo tanto, la derivada segunda en todos los puntos de ese intervalo va a ser negativa 00:11:55
Y la función va a ser obesa 00:12:02
Para el otro intervalo, de 2 a infinito, cogemos otro punto 00:12:06
Por ejemplo, para x igual a 3 00:12:19
En ese caso, la derivada de la función en 3 resulta positivo entre positivo 00:12:22
positivo 00:12:30
y de igual manera sería para cualquier punto de ese intervalo 00:12:31
el signo de la derivada segunda sería positivo 00:12:37
la función en ese intervalo entonces es cóncava 00:12:39
hemos dicho que en 2 teníamos una síntata 00:12:43
por lo tanto, aunque la función cambie de curvatura 00:12:51
a la izquierda de 2 sea convesa 00:12:54
y aquí sea cóncava 00:12:58
no significa que en 2 haya un punto de inflexión 00:13:00
en 2 no hay función 00:13:02
hay una asíntota, 2 no tiene imagen 00:13:04
por lo tanto no hay puntos de inflexión 00:13:07
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:28
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
13′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
34.35 MBytes

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