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Posición relativa de tres planos - Contenido educativo

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Subido el 30 de marzo de 2025 por Francisco J. M.

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Hola chicas, hola chicos. Vamos a estudiar en este vídeo en qué posición se encuentran, se pueden encontrar tres planos, ¿vale? 00:00:00
Lo que se conoce como posiciones relativas de tres planos. 00:00:07
Y concretamente vamos a ver que vamos a separar una de estas ocho posiciones que tenéis dibujadas, ¿vale? 00:00:11
Va a haber ocho casos posibles de cómo pueden estar colocados entre sí tres planos. 00:00:17
Entonces, ¿cómo vamos a hacer esto? ¿Qué vamos a tener de los planos? 00:00:23
Pues vamos a tener sus ecuaciones implícitas, o vamos a suponer que las tenemos. 00:00:26
En caso de que no tengáis las ecuaciones implícitas de los planos, que os hayan dado otro tipo de ecuación, 00:00:31
lo primero que tendréis que hacer es pasar las tres ecuaciones a su forma implícita. 00:00:36
Que eso ya, por supuesto, que lo sabéis hacer. 00:00:41
Vale, fijaros que esas tres ecuaciones forman un sistema, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 00:00:45
que en el tema de álgebra habéis aprendido a discutir. 00:00:51
Entonces, vamos a ver la posición relativa de esos tres planos discutiendo este sistema y para ello vamos a formar las dos matrices del sistema, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada. 00:00:54
Y fijaros además que la matriz de los coeficientes del sistema, cada una de sus filas, son las coordenadas de los vectores normales de cada plano. 00:01:10
La primera fila de la matriz de los coeficientes, que es a1, b1, c1, si os fijáis en la ecuación de arriba, 00:01:19
pues son los coeficientes de la x, de la y y de la z del plano, es decir, es su vector normal. 00:01:25
Y eso también lo vamos a utilizar para averiguar la posición relativa en algunos casos. 00:01:31
En definitiva, discutiendo los rangos de estas matrices y la relación entre las filas, 00:01:39
es como vamos a ver la posición relativa de los planos. 00:01:43
Entonces, vamos a empezar por los primeros casos. 00:01:47
Primero vamos a suponer que el sistema tiene solución, es decir, que es compatible. 00:01:49
Si el sistema es compatible, eso significa que los planos tendrán puntos en común. 00:01:55
Las soluciones del sistema cumplen las tres ecuaciones a la vez y por tanto serán puntos comunes a los tres planos. 00:02:00
Y vamos a tener varios casos. 00:02:07
El primer caso que os tengo ahí puesto es que el rango de las dos matrices de la mayoría de los coeficientes 00:02:09
será ampliada sea 3 y sea igual, por tanto, al número de incógnitas y tendremos un sistema 00:02:14
compatible determinado. Eso quiere decir que vamos a tener una única solución para el sistema, es 00:02:19
decir, que las tres ecuaciones van a tener un único punto en común, ¿vale? Y ese es el punto donde se 00:02:25
van a cortar los tres planos. Es decir, si el rango de las dos matrices es 3, entonces los tres planos 00:02:31
se cortan en un punto y la solución del sistema sería justo ese punto donde se cortan los tres 00:02:39
planos. En este caso los planos están dibujados perpendicularmente unos a otros pero no tiene 00:02:45
por qué ser así. Los planos pueden formar otro ángulo pero en cualquier caso los tres planos 00:02:50
se cortarán en un punto. Veamos ahora qué ocurre si las dos matrices tienen rango 2. Bueno, en este 00:02:56
caso el sistema va a ser compatible indeterminado porque las dos matrices tienen el mismo rango 00:03:04
pero es menor que el número de incógnitas, ¿vale? Que sería el número de incógnitas 00:03:10
es 3. Tiene infinitas soluciones, ¿vale? Es decir, los planos van a tener infinitos 00:03:14
puntos en común. Si resolvemos el sistema, que sería un sistema determinado, en este 00:03:19
caso fijaros que la solución va a depender de un parámetro, ¿vale? A una de las incógnitas 00:03:24
le vais a llamar lambda y la vais a pasar al otro miembro y vais a despejar los demás 00:03:29
y las tres incógnitas van a depender de ese parámetro lambda. 00:03:33
Y eso nos da las ecuaciones paramétricas de una recta. 00:03:37
Esa solución que os sale son las ecuaciones paramétricas de una recta. 00:03:40
En definitiva, en este caso, los planos se van a cortar formando una recta. 00:03:44
Pero lo pueden hacer de dos maneras distintas, que vamos a ver. 00:03:49
En el primer caso, los tres planos forman un determinado ángulo entre sí, ¿vale? 00:03:54
Y se cortan formando la recta que hemos mencionado antes. 00:03:59
Pero también puede darse otro caso que es que dos de los planos sean coincidentes, estén uno encima del otro, se superpongan y el otro los corta. 00:04:02
Y en ese caso los tres planos también se cortan en una recta. 00:04:12
En estos dos casos el rango de las dos matrices sería 2 y vamos a ver cómo distinguir uno de otro y por qué el rango de las dos matrices es 2. 00:04:16
Y fijaros, en este caso, además del dibujo anterior, os he puesto un dibujo como de perfil de los tres planos 00:04:24
Los dos dibujos que tenéis ahí, el de la izquierda y el de la derecha, serían los tres mismos planos 00:04:33
Uno visto como desde un lateral y el otro visto desde el perfil 00:04:39
En este caso, la recta en la que se cortan los tres planos saldría de vuestra pantalla 00:04:43
Sería perpendicular a vuestra pantalla 00:04:47
Entonces fijaros, también están dibujados a la derecha los tres vectores normales de los tres planos 00:04:49
Que os recuerdo que son las filas de la matriz de los coeficientes 00:04:56
Y como veis, los tres vectores no son paralelos entre sí 00:05:00
Los tres vectores están en el mismo plano, que sería el plano de la pantalla 00:05:04
Y por tanto el rango de esos tres vectores sería 2 00:05:09
Porque son linealmente dependientes al estar en el mismo plano, pero no son paralelos 00:05:14
entonces además fijaros cómo se distingue ese caso 00:05:19
como los vectores normales no son paralelos entre sí 00:05:24
las filas de la matriz de los coeficientes tampoco son proporcionales 00:05:28
es decir una vez que sabéis que el rango de las matrices es 2 00:05:32
lo que os fijáis es o en las filas de la matriz de los coeficientes 00:05:36
o en los vectores normales de los planos que son los mismos 00:05:40
y comprobáis que ninguna de las filas es proporcional a la otra 00:05:44
Mientras que en el segundo caso, si os fijáis en el dibujo de la derecha, 00:05:49
que en este caso tenemos dos planos coincidentes y otro que los corta, 00:05:52
los dos vectores normales de los dos planos coincidentes, eso sí que son paralelos entre sí. 00:05:57
Y por tanto, en la matriz de los coeficientes, en la matriz M, 00:06:02
tiene que haber dos filas que sean proporcionales, porque hay dos vectores normales proporcionales. 00:06:06
O también podéis sacar los vectores normales de cada plano y observar que hay dos que son proporcionales. 00:06:10
proporcionales. Esto siempre sabiendo que el rango de las dos matrices es 2. Entonces, si estáis en 00:06:16
ese caso, tenéis dos planos coincidentes y otro que los corta. Bueno, y el último caso en el que el 00:06:22
sistema puede ser compatible, es decir, puede tener solución, es que el rango de las dos matrices sea 00:06:30
1. Y en este caso, como es también menor al número de incógnitas, el sistema será compatible 00:06:35
indeterminado. ¿Pero qué quiere decir que el rango de las dos matrices sea 1? Pues fijaros, en este 00:06:41
caso las tres filas serían proporcionales, es decir, las tres ecuaciones serían proporcionales, 00:06:47
una sería la otra multiplicada por un número, ¿vale? Y las tres ecuaciones tienen exactamente 00:06:54
las mismas soluciones, es decir, en realidad las tres ecuaciones son el mismo plano dado que todas 00:06:59
las soluciones son comunes, ¿vale? Y en ese caso los tres planos son coincidentes. Este caso es 00:07:04
bastante fácil de darse cuenta porque lo que tenéis es que los tres planos, todos sus coeficientes, 00:07:11
son proporcionales y es bastante fácil de distinguir. Bueno y estos son todos los casos en 00:07:16
los que el sistema tiene solución, una solución o infinitas soluciones y por tanto los planos tienen 00:07:23
puntos en común entre sí. Vamos a ver ahora los casos en los que el sistema de ecuaciones que 00:07:29
forman las ecuaciones de los tres planos no tiene solución, es incompatible y por tanto los planos 00:07:35
no tienen ningún punto en común entre sí pero también pueden estar colocados de distintas formas 00:07:42
entonces vamos sirviendo una por una. En el siguiente caso el rango de la matriz de los 00:07:48
coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3. Como decíamos antes el sistema es incompatible 00:07:56
no tiene solución y los tres planos no tendrán ningún punto en común. 00:08:03
Pero fijaros, como el rango de la matriz de los coeficientes es 2, 00:08:07
pues resulta que lo que ocurrirá es que los vectores normales del plano 00:08:14
estarán todos en el mismo plano, pero no son todos paralelos, ¿vale? 00:08:18
Los tres están en el mismo plano, son linealmente dependientes, 00:08:22
por eso el rango de la matriz es 2, pero no todos son paralelos. 00:08:25
Entonces, ¿qué casos se nos pueden dar ahí? 00:08:29
Pues, mirad, el primer caso es que los planos se corten de dos en dos, pero no tengan ningún punto en común los tres, ¿vale? 00:08:31
Y el segundo caso sería que tuviéramos dos planos paralelos y un tercero que les corte. 00:08:39
Vamos a distinguir entre estos dos casos y vamos a justificar el rango de las matrices. 00:08:45
Mirad, en el primer de los casos, ¿vale? 00:08:51
Fijaros, como antes os he hecho un dibujo así como en perspectiva y otro dibujo de perfil de los tres planos, como si en el primer dibujo los estuvierais mirando desde arriba. 00:08:55
Y he dibujado también los vectores normales. Si fijáis en los vectores normales, los tres vectores normales están en el mismo plano. 00:09:04
Por tanto, el rango de la matriz de los coeficientes, que es también la matriz de los vectores normales, será 2. 00:09:12
Pero ninguno de los tres vectores normales es paralelo a otro. ¿Cómo se va a distinguir esto? 00:09:19
Pues sabiendo, como os he dicho antes, que el rango de la matriz de los coeficientes es 2, el rango de la matriz ampliada es 3, pero si miramos las filas de la matriz de los coeficientes o de los vectores normales, ninguna fila va a ser proporcional a otra. 00:09:24
Y entonces estaríamos en este caso. 00:09:39
el otro caso, fijaros que está dibujado de perfil 00:09:41
las tres vectores también están en el mismo plano 00:09:48
no son los tres paralelos entre sí, con lo cual el rango de la matriz va a ser 2 00:09:52
pero en este caso los vectores normales a los planos que son paralelos entre sí 00:09:58
los vectores son paralelos entre sí 00:10:04
con lo cual de los tres vectores normales que tenéis 00:10:06
o de las tres filas de la matriz de los coeficientes, que es lo mismo, dos de ellas obligatoriamente 00:10:09
van a ser proporcionales. Es decir, si el rango de la matriz de los coeficientes es 2, el rango 00:10:14
de la matriz ampliada es 3 y además la matriz de los coeficientes tiene dos filas proporcionales, 00:10:22
estaríamos en este caso. Hay dos planos coincidentes y otro que les corta. Bueno, entonces, el sistema 00:10:28
también puede ser incompatible si el rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el rango de la 00:10:36
matriz ampliada es 2. Las matrices tienen distinto rango y el sistema es incompatible y de nuevo los 00:10:41
planos no tienen ningún punto en común. Pero fijaros, ¿qué significa que el rango de la matriz 00:10:48
de los coeficientes sea 1? Como hemos visto ya muchas veces, las filas de esa matriz son los 00:10:53
vectores normales de los planos, pues eso significa que los tres vectores normales son 00:10:58
proporcionales, entonces los tres vectores normales son paralelos entre sí. Y entonces, ¿cómo pueden 00:11:02
estar situados los planos? Pues puede que los tres planos sean paralelos, en ese caso los tres 00:11:08
vectores normales serían paralelos, o puede ocurrir también que dos planos sean coincidentes y el otro 00:11:13
paralelo. Fijaros que no puede ocurrir que los tres planos sean coincidentes porque entonces el 00:11:19
sistema no sería incompatible, tendría que ser compatible determinado. Ya hemos visto que en ese 00:11:24
caso el rango de las dos matrices sería 1. Vamos a ver cómo distinguimos entre estos 00:11:28
dos casos. Pues si los tres planos son paralelos, fijaros, si tomamos las filas de la matriz 00:11:35
ampliada o las ecuaciones de los planos de 2 en 2, al ser los planos paralelos ocurrirá 00:11:42
que los tres primeros coeficientes van a ser proporcionales, pero el último no. Fijaros, 00:11:47
esto es lo que vimos cuando vimos la posición relativa de dos planos. Pues ahora tiene que 00:11:52
pasar con todos los planos vistos de dos en dos y mientras que si dos planos son coincidentes y el 00:11:56
otro paralelo habrá dos filas en la que todos los coeficientes dos filas de la matriz ampliada o dos 00:12:05
ecuaciones de los dos planos en las que todos los coeficientes serán proporcionales que corresponde 00:12:11
a los dos planos que son coincidentes con el otro plano no pasará pero habrá dos filas que seguro 00:12:15
que sí, o mejor dicho, si en dos filas ocurre que sí y con la otra no, que todos los coeficientes 00:12:21
son proporcionales, pues entonces dos planos son coincidentes y el otro paralelo. Os recuerdo 00:12:28
que en este caso, en los dos casos, el rango de la matriz de los coeficientes tiene que 00:12:33
ser 1 y el rango de la matriz ampliada tiene que ser 2. Y con esto hemos discutido todos 00:12:37
los casos posibles, que son muchos y no son fáciles de recordar. Lo más fácil es intentar 00:12:43
razonarlo. A continuación os voy a subir algún vídeo también con algún ejercicio resuelto o como 00:12:50
podemos discutir distintos casos si la ecuación de alguno de los planos tiene un parámetro. 00:12:56
Vamos a hacer dos o tres problemas para aplicar toda esta parte teórica que hemos visto. Un saludo. 00:13:04
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Francisco Javier Majadas Garcia
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
13
Fecha:
30 de marzo de 2025 - 16:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN ISIDRO
Duración:
13′ 13″
Relación de aspecto:
16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
Resolución:
1152x720 píxeles
Tamaño:
24.37 MBytes

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