2º Bachillerato: Matemáticas II. Pizarra digital. Integral definida

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Vamos a hacer un primer ejemplo de área encerrada entre estas dos curvas. 00:00:05

Tenemos que integrar la resta, como hemos visto en teoría, hay que restar las dos curvas. 00:00:10

Lo que pasa que en este caso es que sabemos bien cómo son las dos curvas. 00:00:16

Esta es una parábola convexa y esta es una recta. 00:00:20

Para que dejen un área se tendrán que cortar. 00:00:23

Y para calcular este área no tenemos más que hallar en qué valores de la X se cortan 00:00:25

para integrar de este a este valor. 00:00:31

Entonces, resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de las funciones. 00:00:35

Está preparado para aplicar el método de igualación. 00:00:45

Como veis, me va a quedar una ecuación de segundo grado. 00:00:52

Si lo paso todo al segundo miembro, me queda en este orden, 00:00:55

el igual a cero del primer miembro que escribo ahí. 00:00:59

y ya resolvemos en un momento 00:01:02

la ecuación esta de segundo grado 00:01:03

x igual a menos b más menos 00:01:05

b cuadrado, esto es un 4 00:01:08

menos 4 hace menos por menos más 00:01:10

4 por 3, 12 00:01:12

partido por 2a que da 2 00:01:13

igual a menos 2 más menos 00:01:16

la raíz de 16 que es 4 00:01:18

entre 2 y esto me da 00:01:20

menos 2 más 4, 2 entre 2, 1 00:01:22

y menos 6 entre 2 00:01:24

menos 3, estos son mis dos valores 00:01:27

que buscaba para la x 00:01:29

Este de aquí es menos 3 y este es el 1. Ya podemos integrar de menos 3 a 1 y con eso tendremos el área buscada. 00:01:30

La teoría decía que si coloco valor absoluto, tengo que restar las dos funciones. 00:01:41

Colocando valor absoluto me da igual cómo reste, pero es que en este caso es que sé cómo restar el orden. 00:01:47

La de arriba menos la de abajo. Sé que la de arriba es la parábola, que es 4 menos x cuadrado y le tengo que restar la recta. 00:01:51

2x más 1. 00:02:00

Esta es la red. 00:02:04

La red está apropiada y por lo tanto me puedo olvidar del valor absoluto. 00:02:05

Si aquí está integral me va a dar positiva. 00:02:09

Le tengo que poner el diferencial de x. 00:02:11

También podría haber restado fuera de la integral y haber colocado ahí directamente lo que me daba. 00:02:13

Pero esta vez está muy fácil. 00:02:18

Entonces tenemos primero las x cuadrado que me quedan menos x cuadrado. 00:02:20

Después las x menos 2x. 00:02:23

Y después el 4 menos el 1 me queda más 3 00:02:26

Entre paréntesis por diferencial de x 00:02:32

Y esto son, todo esto es un polinomio 00:02:36

Los tres términos se integran en un momento 00:02:39

Ya sabéis, elevar a n más 1 00:02:41

Partido por n más 1 00:02:44

También menos 2x cuadrado partido por 2 00:02:46

Aunque esto ya se veía que esto es la derivada de x cuadrado 00:02:52

Que es lo que me va a quedar 00:02:56

Y el 3, la integral 3x 00:02:57

Y esto entre menos 3 y 1 00:03:00

Y ahora ya solo quedan las cuentas 00:03:05

Estos dos doces, mirad que se van 00:03:09

Solo quedan menos x cuadrado de ahí dentro 00:03:11

Entonces, para x igual a 1 00:03:13

Me queda menos un tercio 00:03:16

Menos, los dos S van, uno al cuadrado, otro 1 00:03:18

Y 3 por 1, más 3 00:03:22

Este es en el 1 00:03:25

Y ahora menos el valor de en el menos 3 00:03:27

Menos 3 al cubo, eso son menos 27 00:03:31

Que con el menos de delante pasa a positivo, 27 tercios 00:03:35

Aquí, menos 3, solo tengo la X cuadrado 00:03:39

Pues al cuadrado es un 9 con el menos de delante, menos 9 00:03:43

Y menos 3 por el 3 de ahí, pues menos 9 también. 00:03:48

Terminamos de hacer las cuentas. 00:03:54

Aquí tengo menos un tercio y esto es más 2. 00:03:56

Entonces tenemos menos un tercio. 00:03:59

El menos 1 más el 3 me da 2. 00:04:03

Aquí tenemos 27 tercios es 9. 00:04:07

Con el menos de delante, menos 9. 00:04:10

Bueno, lo que pasa es que aquí, como tengo un 9 menos este 9 de dentro, se van. 00:04:13

Solo me quedaría este menos 9, que con el menos de delante pasaría a ser más 9. 00:04:19

Total son 11 menos un tercio. 00:04:24

Y esto me da 33 menos 1, 32 tercios. 00:04:28

Si tengo la calculadora, lo saco con decimales y si no, le pongo unidades cuadradas y ese es el área que queríamos. 00:04:32

¿Entendido? 00:04:40

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