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Ejercicio 2. Vectores - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Bueno, vamos a ver ahora unos ejercicios que están basados en la definición general de módulo de un vector. 00:00:00
Hemos dicho que el módulo de un vector, u, se puede calcular como la raíz cuadrada positiva del producto escalar de dicho vector por sí mismo. 00:00:11
Generalmente, en casi todos los ejercicios, utilizamos esta otra fórmula. 00:00:23
Consideramos que u, si no nos dicen nada, es que están expresadas sus coordenadas en una base ortonormal 00:00:26
y podemos calcularlo así, el módulo de u como u sub 1 al cuadrado, o sea, raíz cuadrada de u sub 1 al cuadrado más u sub 2 al cuadrado 00:00:35
Y esta fórmula en realidad la utilizamos muy poco, sin embargo hay una serie de ejercicios en los cuales sí que es muy útil esta forma de definición 00:00:45
definir el módulo de un vector. Y es para aquellos ejercicios en los cuales me pidan 00:00:58
calcular el módulo de una suma de vectores o el módulo de la diferencia. En este tipo 00:01:05
de ejercicios los datos que me dan son el módulo de A, el módulo de B y el ángulo 00:01:19
lo que forman esos dos vectores. Vamos a ver cómo se calcula teniendo en cuenta esta definición 00:01:30
que acabamos de predecir aquí. Fijaros, el módulo de, o sea, si yo no tengo las coordenadas 00:01:37
de a y de b, sino que solamente tengo los módulos, yo no puedo calcular la suma de 00:01:45
los vectores y luego aplicar esta fórmula para calcular el módulo de ese vector. Imaginaos 00:01:50
que a más b me da s, el vector s, yo no puedo calcular s, las coordenadas de s, ni por lo tanto 00:01:57
luego aplicar esta fórmula para calcular su módulo. ¿Cómo puedo a partir de estos datos calcular el 00:02:03
módulo de la suma sin necesidad de calcular la suma? Pues fijaros, el módulo de a más b lo puedo 00:02:11
expresar, teniendo en cuenta esta definición, como la raíz cuadrada positiva de este vector 00:02:20
por sí mismo. Si nosotros multiplicamos a por a, sería módulo de a por el módulo 00:02:28
de a por el coseno del ángulo que forman, que sería el coseno de 0 que vale 1, con 00:02:47
lo cual me quedaría el módulo de a elevado al cuadrado. Luego tendría a por b, luego 00:02:53
Tendríamos B por A y por último B por B, que sería módulo de B por el módulo de B por el coseno del ángulo que forman B consigo mismo, que es cero. 00:03:05
Es decir, que el coseno de cero vale uno y me quedaría también aquí el cuadrado del módulo de B. 00:03:21
Bien, el producto escalar es conmutativo, me da lo mismo multiplicar A por B que B por A. 00:03:29
el resultado siempre va a ser módulo de A por el módulo de B por el coseno del ángulo que forman 00:03:37
es decir, que esta expresión me va a quedar módulo de A al cuadrado más 00:03:48
vamos a escribir ahora este, módulo de B al cuadrado más 00:03:58
fijaros como este sumando y este es el mismo en realidad voy a poner más dos veces 00:04:04
módulo de A, módulo de B, coseno de alfa 00:04:09
Entonces, yo puedo calcular el módulo de la suma de los vectores A y B 00:04:15
sin conocer las coordenadas de A y de B 00:04:24
sino simplemente el módulo de A, el módulo de B 00:04:27
y el ángulo que forman esos dos vectores 00:04:30
Vamos a hacer un ejemplo 00:04:33
Me dan los vectores A y B 00:04:36
A y B de los cuales se conoce el módulo de A que vale 2, el módulo de B que vale 5 y 00:04:47
el ángulo que forman que es 60. Me piden calcular el módulo de A más B. Pues haciendo 00:05:04
estos cálculos que hemos hecho aquí y que no es conveniente memorizar sino simplemente 00:05:19
desarrollar de nuevo, como los tenemos aquí, no los vamos a desarrollar ahora, sería módulo 00:05:24
de a al cuadrado, en este caso el módulo de a es 2, pues 2 al cuadrado, más módulo 00:05:34
de b al cuadrado, o sea 5 al cuadrado, más 2 por 2 por 5 por el coseno de 60, que es 00:05:41
el seno de 30, un medio. O sea, 4 más 25, esto vale un medio, o sea que este 2 con un 00:05:54
medio se me va y me queda más 10. 29 más 10, 39. Pues esto daría raíz de 39. De igual 00:06:10
manera, si en lugar de la suma es la diferencia. Haciendo los mismos cálculos, solamente que 00:06:25
ahora vamos a tener esto, multiplicaríamos a por a, a por menos b, menos b por a, menos 00:06:39
b por menos b, el resultado final, con pasos análogos a los que hemos visto antes y sabiendo 00:06:56
que el producto escalar es conmutativo, pues esto me quedaría módulo de a al cuadrado 00:07:03
más módulo de b al cuadrado menos dos veces el módulo de a por el módulo de b por el 00:07:10
coseno del ángulo. Y tendría algo similar. Lo que pasa es que en este caso, si ahora 00:07:23
piden esto, pues el término que queda aquí sería, si lo hacemos con los mismos datos 00:07:29
que antes, pues nos quedaría 2 al cuadrado que es 4, más 5 al cuadrado que es 25, entonces 00:07:37
29, 29 ahora me quedaría menos 10, pues 19, raíz de 19. Vale, en este caso fijaros que 00:07:53
los datos eran estos, ¿no? Este, este y este. También me pueden dar como datos, me pueden 00:08:04
dar el módulo de a más b, o sea, darme esto como dato y que calcule alguno de los módulos 00:08:17
de los otros vectores, es decir, me pueden dar uno de ellos, me pueden dar el ángulo 00:08:33
y a partir de esos datos yo despejar de aquí y calcular el módulo de b. O también me 00:08:39
pueden dar como dato o la suma o la diferencia, o sea, el módulo de la suma o el módulo 00:08:48
de la diferencia, los módulos A y B y pedirme el ángulo que forman esos dos vectores. 00:09:00
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
29 de julio de 2024 - 16:12
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
09′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
27.15 MBytes

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