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SESIÓN 5 - Función lineal, cuadrática . - Contenido educativo

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Subido el 15 de abril de 2026 por M.purificación G.

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Se comentan aspectos básicos de las funciones polinómicas.

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Bienvenidos a esta sesión número 5 sobre funciones. 00:00:00
En esta sesión abordaremos la función lineal y afín, la función cuadrática, 00:00:13
y veremos de manera ligera la función de proporcionalidad inversa. 00:00:18
¿Qué tenemos que conseguir al terminar esta sesión de vídeo? 00:00:24
Leer la teoría, también curiosear por la red, ver otros vídeos, hacer la ficha correspondiente... 00:00:29
pendiente, pues deberíamos haber conseguido lo siguiente. Reconocer y diferenciar, ya sea por su 00:00:35
ecuación o por su gráfica, la función lineal de la función cuadrática de la de proporcionalidad 00:00:41
inversa. En cuanto a la función lineal, a partir de dos puntos dados por sus coordenadas, obtener 00:00:46
la pendiente de la recta que los une. Objetivo 3. Determinar la ecuación de una función lineal 00:00:53
para la otra. Ya veremos que es que tiene la misma pendiente. También relacionar las funciones 00:00:59
lineales con los sistemas de ecuaciones lineales para, entre otros fines, obtener un punto 00:01:04
de corte si es que un sistema es compatible y además determinado. Y por último, dada 00:01:08
una función cuadrática, determinar los puntos de corte con los ejes. Determinar el vértice, 00:01:13
el eje de simetría e identificar el sentido de las ramas. ¿Qué tipos de funciones tenemos 00:01:18
que reconocer? Las polinómicas. Mirad, una función lineal es y. A ver, x es la variable 00:01:25
independiente y depende de ella entonces si yo tengo una recta se llama función lineal en 00:01:32
matemáticas y este esta letra m es lo que nosotros llamamos pendiente esta recta función lineal va a 00:01:39
pasar siempre por el 0 0 porque porque cuando x vale 0 0 por lo que sea es 0 entonces si x vale 00:01:46
0 y vale 0 pasa por el origen de coordenadas la función afín es la misma que la lineal pero ya 00:01:53
no va a pasar por el 0, 0. Y dices, ¿cómo que no? No, porque es más n. Entonces, ese valor n te va a decir 00:02:00
dónde corta tu recta, tu función lineal, al eje y. La función cuadrática es de este tipo, ax cuadrado más bx más c. 00:02:09
Claro está que b puede ser 0 o bien c puede ser 0. ¿De acuerdo? Proporciona la inversa. Pues la x va a pasar 00:02:18
al denominador. La función exponencial, la x, está en un exponente. Pero las funciones 00:02:27
exponenciales, como las logarítmicas o muchos otros tipos de funciones, no nos corresponde 00:02:33
su estudio en este nivel. Y las funciones definidas a trozos, pues es algo sencillo, 00:02:40
una función formada por varias partes. Ok, esto es muy importante. ¿Qué es una función 00:02:46
lineal? Pues lo que acabamos de exponer 00:02:52
y igual a mx y su representación 00:02:54
es esta. ¿Cómo se 00:02:57
representa? A través de la tabla 00:02:58
de valores. Tú en 00:03:01
la variable independiente 00:03:02
en la x pones los valores que tú quieras. 00:03:05
Consejo, pon valores 00:03:07
bajos. ¿Por qué? 00:03:09
Porque luego tienes que 00:03:11
representarlos. Si tú pones x igual a 00:03:12
25, pues tienes 00:03:14
que hacer un eje muy grande o 00:03:16
por ejemplo, he hablado de valores 00:03:18
pequeños en valor absoluto, x menos 25 00:03:20
te tienes que ir también ahí 00:03:23
hacia cuenca a la derecha, pues no puede ser 00:03:24
¿de dónde sale menos 4, menos 2 00:03:26
0, 2 y 4? 00:03:29
de sustituir aquí la x por menos 2 00:03:30
2 por menos 2 es menos 4 00:03:33
si x vale menos 1 00:03:35
2 por menos 1 es menos 2 00:03:37
si x es 0, ¿vale? 00:03:38
poquito a poco 00:03:40
y ahora, esta pregunta última que está ahí 00:03:41
que parece que es el borde de la hoja 00:03:44
¿pertenece a la recta el punto 10, 20? 00:03:45
pues habría que saberlo 00:03:48
Y como lo averiguo, aquí pone que sí y todo eso, porque si x vale 10, 2 por 10 es 20, 00:03:49
entonces el punto 10, 20 está porque te verifica esta ecuación de la función. 00:03:56
Ok, a ver, las funciones lineales y las afines, que son las que tienen n, 00:04:02
es decir, que no pasan por el 0, 0, pasan por otro punto, van a tener su pendiente, 00:04:08
puede ser o creciente o decreciente. Para que nos aclaremos, las gráficas se leen siempre 00:04:15
izquierda a derecha y tú te sitúas por encima de la recta. Esto no es matemático, coloquialmente. 00:04:20
Si tú fueras aquí en una bicicleta o en una moto, tú estás subiendo una cuesta. Esa 00:04:28
función se va a decir que es creciente. Y la pendiente, mira cómo ha calculado esto. 00:04:35
Pues mira, yo he cogido los puntos de corte A y B 00:04:43
El punto A tiene por coordenadas menos 2, 0 00:04:47
El punto B tiene por coordenadas 0, 1 00:04:51
He sustituido, esto lo veremos más despacito, ¿vale? 00:04:55
Más adelante 00:04:58
La función en rojo, un trazo rojo, sin embargo, es decreciente 00:04:59
Porque su, bueno, si tú vas encima aquí 00:05:06
Las gráficas, te acuerdas, de izquierda a derecha 00:05:08
Vas por aquí en una bicicleta 00:05:10
Vamos, eso cuesta abajo. 00:05:12
La función afín es lo que acabamos de decir, que este valor no es cero, 00:05:15
entonces su representación es así, y su escritura algebraica está aquí. 00:05:22
Si m es mayor que cero, positiva, la gráfica está roja. 00:05:31
Si la m es negativa, la gráfica en azul. 00:05:36
Y por cierto, si m es 0, pues es que y vale todo el rato n, ¿vale? 00:05:39
Todas las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas entre sí. 00:05:46
Tú puedes dar la ecuación de la recta de diferentes formas. 00:05:51
Esta sería, esta de aquí, y igual a mx más n explícita. 00:05:55
Otra forma es la ecuación punto pendiente. 00:06:01
¿Y qué es esto? 00:06:05
Pues y0 y x0 son las coordenadas de un punto que te tengo que dar 00:06:05
Si no, no podrás calcularlo 00:06:13
Y si tú, ya sea la forma explícita o la ecuación punto pendiente 00:06:15
La igualas de esta manera, pues es una ecuación general 00:06:21
Vamos a ver, esta es la pendiente 00:06:24
Y dices, no entiendo nada 00:06:29
Luego vamos a hacer un dibujo y lo entenderás muy bien 00:06:30
Pero x1 y 1 son las coordenadas de un punto, x2 y 2 son las coordenadas de otro. 00:06:33
Si yo divido lo que crece en y, dividiendo a lo que he avanzado en la x, tengo la pendiente. 00:06:40
Ok, vamos a ver. Esto guarda relación con los sistemas de ecuaciones lineales. 00:06:49
Si el sistema es compatible determinado, las rectas son secantes. 00:06:55
Entonces, nos vamos al B. Como no hay ningún punto de corte, lo que decimos es que el sistema de ecuaciones es incompatible o no hay punto de corte, son paralelas. 00:07:00
Y en el apartado C, igual que en el apartado A, esto es compatible, pero las dos rectas se confunden en una. 00:07:13
Aparentemente, por su apariencia algebraica 00:07:22
Aparecen cosas distintas 00:07:26
Pero te pones a hacer una tabla de valores para cada una 00:07:27
Y luego lo representas y te queda esto 00:07:29
El sistema es compatible 00:07:31
Como el apartado va 00:07:34
Pero indeterminado 00:07:35
Porque tiene infinitas soluciones 00:07:38
Cada punto de una recta coincide con los puntos de la otra 00:07:39
Entonces se dice que las rectas son coincidentes 00:07:42
A ver, secantes 00:07:46
Paralelas 00:07:47
Coincidentes 00:07:49
Y en el plano no hay más posiciones relativas. 00:07:51
En el espacio, sí, las rectas también se pueden cruzar. 00:07:53
Pasamos a otro tipo de función, la función cuadrática. 00:07:57
Mirad, son parábolas. 00:08:00
Entonces, el dominio de una función cuadrática no nos da ningún problema, menos infinito infinito. 00:08:03
El recorrido de esta, que no de otras, empieza, por ejemplo, la roja es de cero a infinito. 00:08:09
Y en azul, porque los recorridos se expresan de abajo hacia arriba, esto sería menos infinito, cero. 00:08:16
En otras ocasiones, ese cero no existirá. 00:08:24
¿Cómo que no? 00:08:27
Será la coordenada y del vértice. 00:08:28
Y las parábolas, si tienen las ramas ascendentes que van para arriba, 00:08:33
pues primero, desde menos infinito hasta el vértice, decrece. 00:08:38
y del vértice, coordenada x del vértice, al infinito, crece. 00:08:42
En azul es al contrario, crece de menos infinito a cero 00:08:49
y decrece de cero a infinito. 00:08:52
Aquí tenéis una tabla de resumen, echadle un vistazo. 00:08:55
Y por último, siempre hay un mínimo absoluto, 00:08:58
bueno, relativo y absoluto, claro, coincide todo. 00:09:01
Si las ramas son ascendentes, este punto que está en la gráfica roja, 00:09:04
el vértice, será un mínimo. 00:09:08
en la gráfica azul sin embargo es el punto más alto 00:09:10
será un máximo 00:09:13
ok, que bonito dibujo 00:09:14
bueno, aquí si os acercáis 00:09:17
o paráis el vídeo 00:09:19
o entráis por ahí, os cuento 00:09:20
si yo por ejemplo 00:09:23
tengo 00:09:26
que el número que acompaña la x cuadrado 00:09:26
es positivo, ramas hacia arriba 00:09:29
se dice ascendentes 00:09:31
en lo que he escrito en el segundo renglón 00:09:33
si a es negativo 00:09:35
por ejemplo, ahí lo veis 00:09:36
Menos 0,1x cuadrado, la parábola tendrá las ramas hacia abajo. 00:09:39
Cuanto mayor es el coeficiente de x cuadrado, cuanto mayor en valor absoluto, más cerrada va a estar la parábola. 00:09:46
Por ejemplo, ¿qué crece más deprisa? 00:09:57
¿yx cuadrado o y igual a 2x al cuadrado? 00:10:00
2x al cuadrado 00:10:02
Porque para x, 1 00:10:05
En la primera, la roja, y vale 1 00:10:06
Pero es que en azul 00:10:09
2x al cuadrado, si x vale 1, ya vale 2 00:10:11
Es decir, que para el mismo valor de x 00:10:13
La gráfica azul 00:10:15
Sube más deprisa 00:10:18
O, si está en negativo 00:10:20
Baja más deprisa 00:10:22
¿Qué hay que saberse para representar 00:10:25
En una parábola el eje de simetría? 00:10:27
A ver, menos b partido de 2a 00:10:30
Si recordáis la fórmula de ecuaciones de segundo grado, aquí le faltaría más menos raíz cuadrada de b cuadrado menos 4ac. 00:10:32
Vale, pues como yo busco la mitad de sus puntos de corte de las soluciones de una ecuación de segundo grado, 00:10:41
esto es el eje de simetría. 00:10:46
La coordenada x del vértice es la misma. 00:10:49
Y cuando sustituyo el valor que he obtenido en la función, aquí, aquí, aquí, aquí, 00:10:53
Por ejemplo, x te queda 1, y esto es 2x cuadrado más 3x más 4. 00:10:58
Pues si tú pones el número que has obtenido de x en esta formulita, te queda 1 de y. 00:11:06
Los puntos de corte con los ejes de coordenadas se resuelven de la siguiente manera. 00:11:12
Veréis, en el eje y, x es 0, entonces voy a mi fórmula y quito la de x sustituyéndola por el valor 0, 00:11:16
y me quedará y igual a un número. 00:11:24
vale 00:11:26
me queda 0 00:11:28
y c es un número, si yo quiero 00:11:30
en los puntos de corte con el eje 00:11:32
de abcisas con el x 00:11:34
en el eje x lo que vale 0 es y 00:11:35
porque el punto está en el eje, no sube ni baja 00:11:38
pues entonces 00:11:40
me va a quedar siempre un número 0 00:11:42
resolviendo esta ecuación 00:11:44
vale 00:11:46
y aquí tenéis una función de proporcionalidad 00:11:48
inversa 00:11:50
en ciencias me imagino que sí, habéis visto 00:11:51
por ejemplo la ley de Boile-Mariot 00:11:54
Es decir, que la presión por el volumen en un sistema de gases ideales se va a mantener siempre constante 00:11:55
Quiere decir que la presión y el volumen son magnitudes inversamente proporcionales 00:12:02
O el tiempo y la velocidad 00:12:08
Si tú quieres ir de tu casa al cepa, cuanto mayor sea la velocidad, vas corriendo, tardarás más tiempo 00:12:11
No, tardarás menos 00:12:18
Pero la distancia es la misma 00:12:19
bueno, pues estas funciones 00:12:21
cuya representación está aquí 00:12:25
también faltaría una parte aquí 00:12:27
si la queremos dibujar completa 00:12:28
sería una función de 00:12:30
proporcionalidad 00:12:32
aquí tenéis el resultado del ejercicio 00:12:33
esto viene de María Verde 00:12:37
me parece que los apuntes son muy claritos 00:12:38
esto en matemáticas recibe el nombre de hipérbola 00:12:40
vale, ¿cómo se ha obtenido? 00:12:43
pues dando una tabla de valores 00:12:46
Bueno, vamos a ver 00:12:50
Vamos a hacer algún estudio completo 00:12:53
De algunas funciones cuadráticas 00:12:55
Si a mí me dan que y 00:12:57
Es igual a f de x 00:12:59
Esto siempre vale 00:13:02
x cuadrado más 3 00:13:02
Voy a calcular primero los puntos de corte con los ejes 00:13:04
Pues mira, en el eje x 00:13:07
Que es este horizontal, la y vale 0 00:13:08
Entonces pongo x cuadrado más 3 00:13:10
Igual a 0 00:13:13
Pero esto no tiene solución 00:13:13
Porque no hay ningún número que al cuadrado sea negativo 00:13:15
Pues no hay punto que dices 00:13:17
Uy, qué lío 00:13:19
No, no, que la gráfica no te corta el eje x, ya está, es la información que te da. 00:13:19
A ver, con el eje de ordenadas. 00:13:25
En el eje de ordenadas, lo que es 0 es la x. 00:13:26
Si tú vienes a la ecuación de tu función y la x la sustituyes por 0, te quedará 3. 00:13:30
Este es un punto de corte, el 0, 3. 00:13:36
Calculemos el vértice. 00:13:39
v de x es menos b partido de 2a. 00:13:41
Pero aquí no hay b, es 0, pues entonces la coordenada x del vértice es 0. 00:13:44
¿Cómo calculo la coordenada y del vértice? 00:13:48
Vengo aquí, quito x, pongo 0 00:13:51
y me queda 3 00:13:53
A es el coeficiente de x cuadrado 00:13:53
Dices, no hay ningún número 00:13:57
Sí, sí, está el 1 00:13:59
y es positivo, entonces las ramas son ascendentes 00:14:00
Para dibujar esto 00:14:03
he querido dibujarlo con GeoGebra 00:14:05
para que te quede bien lo entiendas 00:14:07
Tú, si tú vas a los puntos de corte 00:14:09
tienes que ir para arriba 00:14:10
y si te ves con dificultad para dibujarlo 00:14:11
búscate un valor 00:14:15
de X, lo sustituyes aquí 00:14:17
y obtienes 1 en Y. 00:14:19
¡Qué lío aquí, verdad! 00:14:23
Es lo mismo. 00:14:25
Menos X cuadrado. Pues ya lo tenemos. 00:14:26
A es menos 1. Las ramas son descendentes. 00:14:29
Van a ir para abajo. 00:14:31
He calculado los puntos de corte con el eje 00:14:33
de abscisas, resolviendo 00:14:35
la ecuación. Me quedan 00:14:37
dos puntos de corte. Me queda menos 3 00:14:39
y 1. 00:14:41
¡Ay, perdonad! Es que estos 3 00:14:48
esto tiene un error, perdón, perdón, digo, algo no he hecho yo bien, perdón, perdón, menos entre menos es más, 00:14:50
ay madre, estas profes que nos confundimos, es 3, como veis aquí, y 1, vale. 00:14:55
Si yo luego calculo el punto de corte con el eje y, el de ordenadas, x es 0 y vale menos 3, que es lo que tengo aquí. 00:15:01
Y hemos calculado también el vértice, primero, siempre, la coordenada x, menos b partido de 2a, sustituyes, 00:15:11
b es 4, pues ponemos menos 4 00:15:18
¿cuánto vale a menos 1? 00:15:20
haces esta cuenta y te queda 00:15:22
que la coordenada x del vértice es 2 00:15:23
vienes a la función 00:15:26
a la ecuación de tu función 00:15:28
quitas la x sustituyéndolo por 2 00:15:30
haces esta operación 00:15:32
mira, esto es menos 4 00:15:34
y menos 3 es menos 7 00:15:35
y esto es 8, pues te queda 1 00:15:37
¿qué es esto que está aquí 00:15:39
en trazo rojo discontinuo y que pasa 00:15:42
por el vértice, el eje de simetría? 00:15:44
si nosotros quisiéramos 00:15:47
doblar esta función por este eje, la parte de la izquierda 00:15:48
y de la derecha se solaparía. Muy bien. 00:15:52
Ejercicio número 2. Yo te doy dos puntos, A y B. 00:15:56
Los he representado gráficamente para explicártelo. Esto normalmente no es necesario. 00:16:00
Mira, A tiene aquí la coordenada Y y esta distancia es la coordenada 00:16:04
X del punto A. Lo mismo para el B. Todo esto 00:16:08
es la coordenada Y del punto B y todo esto 00:16:12
Todo esto, y b, x, perdonad, x, b, y b. 00:16:15
Y aquí esto es y a, esto es x a. 00:16:23
¿Para qué me hace el dibujo de una señal de tráfico? 00:16:26
Pues mira, una pendiente es algo muy intuitivo. 00:16:28
Es cuánto subo en vertical respecto a lo que he avanzado en horizontal. 00:16:32
Entonces, lo que yo he crecido en vertical es esto de aquí. 00:16:38
la diferencia de IB menos IA 00:16:44
este cachito que está en rojo 00:16:46
¿qué he hecho en horizontal? 00:16:48
pues mira, todo esto 00:16:51
es lo que he avanzado, pero que no partí del eje I 00:16:52
partí de aquí 00:16:54
entonces yo AX, XB 00:16:55
le resto XA 00:16:58
me queda 5 tercios 00:16:59
5 tercios es un número positivo 00:17:01
naturalmente, cuando yo uno va con B 00:17:03
esto es creciente 00:17:06
ejercicio número 3 00:17:07
es para que tracemos 00:17:10
paralelas, pues si yo te doy una función que es 3x menos 1 00:17:12
y quiero que me localices una paralela, pero que pase por 3, 5 00:17:17
las rectas paralelas tienen la misma pendiente, m, 3 00:17:20
pues entonces en esta formulita, m será 3 00:17:24
esta n es menos 1, pero yo solo puedo elegir 00:17:29
la misma pendiente, entonces mi recta va a ser 00:17:33
3x más n, y como determino yo n, como lo localizo 00:17:37
usando el dato 3, 5 00:17:41
cuando y vale 5 00:17:43
x vale 3 00:17:45
en esta fórmula tú quitas 00:17:46
y y x y sustituyes por las 00:17:49
coordenadas del punto 00:17:51
¿para qué? para localizar n 00:17:52
y ya vienes aquí y dices 00:17:55
ya conozco n, n es menos 4 00:17:56
vale, el ejercicio 3b 00:17:59
pues no ha hecho nada, es que no hay nada que hacer 00:18:01
verás, yo digo que determine 00:18:03
te pido, la ecuación de una función lineal 00:18:05
para la esta cuya ordenada 00:18:07
en origen sea menos 4 00:18:09
Que sea paralela, tiene que tener la misma pendiente 00:18:10
La ordenada en origen es menos 4 00:18:13
Pues quitas el menos 1 y pones menos 4 00:18:17
Fíjate que fácil 00:18:19
Y luego nos queda representar estas funciones 00:18:20
Espero que os haya sido de utilidad 00:18:24
Y lo entiendáis bien 00:18:33
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación de personas adultas
    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel II
Autor/es:
PURIFICACION GAYO REDONDO
Subido por:
M.purificación G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
15 de abril de 2026 - 18:31
Visibilidad:
Público
Centro:
IES FRANCISCO DE QUEVEDO
Duración:
18′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
480.59 MBytes

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