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SESIÓN 6 - PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS - Contenido educativo

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Subido el 28 de abril de 2026 por M.purificación G.

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Se presentan brevemente los conceptos de sucesión y progresión.

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Bienvenidos a la sesión número 6 de esta tercera evaluación. 00:00:00

A ver, vamos a ver brevemente qué es una sucesión con una progresión aritmética y una progresión geométrica. 00:00:05

Esta parte de las matemáticas va unida a las funciones, ya que a cada posición le vamos a encontrar un número diferente siguiendo un patrón numérico 00:00:14

Y es interesante porque describe situaciones que se dan en la vida cotidiana 00:00:26

¿Qué es una sucesión? 00:00:31

Bueno, pues vamos a ver 00:00:35

Hay que diferenciar los números ordinales 00:00:36

Que establecen un orden 00:00:41

Y qué número ocupa esa posición 00:00:42

Es decir, por ejemplo 00:00:47

En la sucesión 2, 4, 6, 8, 10 00:00:49

A1 es 2 00:00:51

A2 es 4 00:00:53

a sub 3 es 6, es decir, a cada orden de un número 00:00:55

le corresponde un número par, que sería 2n, y aquí estaría 00:00:59

su representación, en esta sucesión, sin embargo 00:01:03

vemos que 1, 1 medio, 1 tercio, 1 cuarto 00:01:07

esta sería una sucesión, se llama armónica, y si yo la describo 00:01:11

la dibujo, me da esta situación, vale 00:01:15

bueno, aquí tenemos más ejercicios 00:01:18

Esto viene de marea verde, acordaros, y si te dan un término general, te dicen, mira, n cuadrado más 3, y yo digo, no hombre, esa n tú la vas a sustituir por 1, por 2, por 3, en lugar de, para calcular qué número ocupa esa posición. 00:01:23

Por ejemplo, a 50 es cuánto, si yo sustituyo aquí n por 50, voy a calcular el número que ocupa esa posición. 00:01:46

Aquí tenemos otra, pues se procede de igual manera. 00:01:56

El número 75 es ocupado por qué número, pues tú sustituyes la n por 75 y llega a esta solución. 00:02:00

Venga, pasamos a las progresiones aritméticas. 00:02:11

son aquellas que se obtienen, un término le suma siempre una cantidad constante 00:02:14

delante al anterior, entonces no entienden mucho. 00:02:19

Por ejemplo, los números pares, el número 2, 4, 6, 8, se obtiene sumando 2 00:02:22

para obtener el número siguiente, o los números 1, 4, 7, ¿qué está haciendo? 00:02:29

Pues estoy sumando 3, esa sería nuestra diferencia de la progresión, ¿vale? 00:02:37

De manera que si yo voy sumando, sumando, sumando, pues al lugar n hemos obtenido, o sea, ¿qué número va a ocupar esa posición? 00:02:41

Pues el primero más n menos 1, esa diferencia, ¿vale? 00:02:54

A ver, aquí tenemos la gráfica, a veces esa diferencia puede ser negativa, si es 0, fíjate, 00:03:02

Todos los términos valen lo mismo, 3, 3, 3, 3, 3, o 1, 1, o lo que tú quieras. 00:03:11

Si es negativa, quiere decir que partimos de un número y cada vez, como le voy sumando algo negativo, pues va siendo más pequeño. 00:03:17

Y sin embargo, si va creciendo, pues le está sumando algo positivo, a diferencia de la versión expositiva. 00:03:25

Aquí está hecho aquí a mano una demostración muy chapucerilla. 00:03:32

Bueno, dice la leyenda que a Gauss, a Karl Friedrich Gauss, perdonad mi alemán horroroso, 00:03:36

era un niño muy inquieto, estos niños listos es lo que tienen, que se ponían muy nerviosos y no paran. 00:03:44

Bueno, pues el profesor le dijo, vas a sumar los primeros 100 números naturales. 00:03:49

Por lo visto el profesor se dio la vuelta y a los pocos minutos el niño levantó la mano. 00:03:55

Le había terminado y le dijo, pues un hombre imposible, ¿cómo va a sumar el crío 100 números si tiene 5 años? 00:04:00

Y sí, sí, el niño se dio cuenta, dice la leyenda, que ocurría lo siguiente. 00:04:06

Yo pongo los primeros 100 números y pongo debajo los mismos números, pero cambiados de orden. 00:04:11

Dices, ¿cómo? Pues que el que en la primera fila es el primero, o sea, es el último, lo pongo en la segunda fila el primero. 00:04:18

Y este que es el primero en la primera fila, aquí, la última posición. 00:04:25

Yo lo sumo y siempre me va a dar el mismo valor 00:04:31

Yo estoy sumando dos veces la misma sucesión 00:04:37

Entonces voy sumando, voy sumando 00:04:39

Pero es n veces lo mismo 00:04:42

Por ejemplo, si es 1, 2, 3, 4, ahí hasta el 100 00:04:44

Y aquí, 100, 99, 98, 2, 1 00:04:49

Siempre vas a obtener la misma suma 00:04:53

Y de la misma suma 00:04:57

Hombre, pues 1 más 100 es 101 00:04:58

Pero 2 más 99 es 101. 3 más 98 es 101. Es decir, n veces la misma suma. 00:05:01

Entonces, si 2 veces la suma de la progresión es lo mismo que n veces el primero más el último, 00:05:09

pues este 2 que está multiplicando pasa a dividir y es de donde viene la fórmula general de sumar n números de una progresión aritmética. 00:05:16

Ok, este es el ejemplo que os acabo de contar 00:05:25

De Gauss, dice la leyenda, a ver si es cierto 00:05:30

Bueno, lo digo también porque qué envidia que con 5 años nos diga algo que a los adultos nos cuesta un montón 00:05:33

Bueno, pues así es que la gente no lista 00:05:40

Bueno, una progresión geométrica ya no sumamos una cantidad constante 00:05:41

Sino que lo que hacemos es un número 00:05:47

al que llamo razón de la progresión 00:05:49

lo voy a aplicar a un término para calcular el siguiente 00:05:54

y el siguiente por la misma razón 00:05:57

entonces, un término que ocupa la posición 4 00:06:00

pues cojo la posición anterior 00:06:06

el número que ocupa la posición 3 por r 00:06:08

ya tengo la progresión 00:06:11

el término general será el primero 00:06:12

por la razón, pero n-1 veces 00:06:15

Aquí tenemos ejemplos para el vídeo de charlomestazo. 00:06:20

¿Y cómo se calcula la suma? 00:06:26

Bueno, pues a ver, es un poquito más peculiar. 00:06:28

Yo tengo aquí la suma de n términos 00:06:32

y decido multiplicar por r la suma. 00:06:36

Y aquí resto, pero a ver, de este conjunto de dos ecuaciones a esta, 00:06:43

¿qué ha ocurrido? 00:06:49

Mira, que A2 será R cuadrado, bueno, es que aquí falta una R, perdonad, perdonad, muy mal, aquí hay, no me lo coge, aquí falta una R, ¿vale? 00:06:50

Entonces, vamos a ver, entre esta fila, la primera fila y la tercera, r a 1 la dejas como está, pero a 2 tú sabes que es a 1 por r, entonces r por r es r al cuadrado, a 3 es r a 2, pero a 2 es r a 1, conclusión, r cubo a 1. 00:07:09

Y así sucesivamente. Cuando llegas a n, es r elevado a n-1 por a1, pero como tengo aquí una r, sumamos los exponentes y nos queda r elevado a n. 00:07:31

Si tú restas, mira lo que está en verde, se te va todo, excepto el primer término, a1, pero tiene un menos delante. 00:07:45

Y el último de aquí 00:07:53

Entonces, si tú sacas factor común 00:07:55

Sn 00:07:58

Te quedará 00:07:59

Sn multiplica a r menos 1 00:08:00

Que es lo mismo que esto de aquí 00:08:03

R menos 00:08:04

Y aquí, pues, dices 00:08:06

¿Qué es esto? ¿Qué es esto? 00:08:08

Y mira, tenías aquí 00:08:09

Rn a 1 menos a 1 00:08:11