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Mosaico Pitagórico

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Subido el 29 de enero de 2024 por Jose Luis M.

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Una de las demostraciones geométricas más sencillas del Teorema de Pitágoras se debe 00:00:00
al matemático hindú Bhaskara, que en su libro Vijaganita no añade más comentarios 00:00:15
que el de mira. 00:00:21
Con GeoGebra podemos hacer ese mira interactivo y observad que efectivamente se cumple el 00:00:23
Teorema de Pitágoras. 00:00:44
La demostración de Bhaskara también nos proporciona el siguiente mosaico pitagórico. 00:00:46
Vamos a construirlo. 00:01:09
Para ello hicimos, por ejemplo, GeoGebra clásico. 00:01:10
Vamos a quitar los ejes de la cuadrícula porque no nos interesa y comenzamos. 00:01:23
Comenzamos poniendo dos vértices, A y B. 00:01:31
Vamos a dibujar un arco de circunferencia que nos va a garantizar un ángulo de 90 grados 00:01:36
en C por la propiedad del ángulo inscrito. 00:01:43
Podemos ocultar así la semicircunferencia. 00:01:46
Voy a configurar GeoGebra para que no me ponga etiqueta a todos los segmentos que haga. 00:02:00
Vamos a propiedades y vamos a decir que no se etiquete ningún objeto nuevo o solo puntos 00:02:04
nuevos. 00:02:12
Vale, y a los segmentos le vamos a quitar la etiqueta, etiqueta visible, vamos a elegir 00:02:13
el segmento etiqueta visible, elegimos etiqueta visible, hemos cogido el triángulo en lugar 00:02:25
del segmento. 00:02:34
Segmento etiqueta visible y ya tenemos el triángulo, un triángulo que siempre es rectángulo. 00:02:35
Vamos a construir la figura que hace el mosaico, para ello podemos girar este triángulo respecto 00:02:50
de este punto 90 grados y ahora este triángulo lo podemos trasladar por el vector A B. 00:03:00
El vector A B lo podemos escribir aquí, vector A B y ahora si podemos decirle realiza una 00:03:17
traslación de este triángulo según este vector y este triángulo lo podemos ocultar. 00:03:26
Ocultamos también los vértices que se han generado, aquí hay que ocultar con cuidado 00:03:36
el A' selecciono el A y oculto, muy bien, ya vamos teniendo poco a poco la figura. 00:03:43
Ahora puedo marcar el punto medio entre A y B' y hacer una simetría central de este 00:04:00
triángulo por este punto y de este triángulo por este punto y obtenemos la figura base. 00:04:10
Por último nos quedaría también marcar este polígono. 00:04:21
Ahora nos quedaría limpiar la imagen, para ello cojo este triángulo y lo pongo rojo 00:04:31
y lo ponemos al 50%, por ejemplo rojo, este 50% rojo, este lo voy a poner más naranja, 00:04:46
aquí el 50% y este, pues aquí voy a enseñar un botón nuevo para no tener que estar copiando 00:05:12
estilo visual, cojo este triángulo y lo digo que este me lo ponga igual. 00:05:26
Por último me quedaría coger el cuadrado y por ejemplo pues le podemos poner este azul 00:05:34
al 50%, aquí se ve mejor lo del 50%, por último vamos a ocultar todos los elementos 00:05:42
que no nos interesan, para ello en esta ventana le voy a decir que me ordene los objetos por 00:05:55
tipo de objeto y esto va a agrupar los objetos según su naturaleza, permitiéndome seleccionar 00:06:02
todos los objetos de un tipo, por ejemplo puntos, voy a propiedades, como tengo seleccionado 00:06:10
todos los puntos lo voy a hacer ocultar y solo voy a dejar visibles el A, el B y el 00:06:21
C, que son los tres puntos que me definen el triángulo, además lo voy a cambiar de 00:06:33
color para que se distingan que son puntos importantes, voy a bajar también el vector 00:06:40
y lo voy a ocultar, que me queda ahora desplazar y hacer el mosaico, para eso voy a crear aquí 00:06:50
un deslizador aquí abajo de tipo entero con 1 a 30 y incremento de 1, se va a llamar 00:07:03
N, muy bien y fijaros, ahora hay que desplazar esas figuras para hacer el mosaico, yo voy 00:07:14
a enseñar un comando nuevo, que es secuencia, para repetir, fijaros este comando lo que 00:07:25
va a hacer es repetir una instrucción, yo quiero que este triángulo, perdón, yo quiero 00:07:40
que este triángulo que le voy a poner etiqueta para identificarlo, mejor aún lo voy a renombrar, 00:07:46
le voy a llamar T1, bueno pues T2, T1 va a ser este, T2, este le vamos a llamar T3 00:07:53
y este le vamos a llamar T4 y este le voy a poner también etiqueta visible, luego se 00:08:07
la quitaré, vale pues lo que vamos a hacer es trasladar el T2 según el vector A B un 00:08:17
número de veces, luego haremos lo mismo con el T3, con el T4 y con el T3 de forma que 00:08:26
conseguiremos desplazar esta imagen hacia la derecha, vamos a comenzar, recordad secuencia 00:08:34
si le doy aquí me dice lo que voy a necesitar, necesito una expresión, la expresión es 00:08:43
traslada el objeto T1, vamos a empezar por el T1, T1 según el vector V, según la flecha 00:08:50
pero vamos a poner N por V, bueno K por V, U y le vamos a decir que es la variable K empieza en 1 00:09:03
y termine en N, esta instrucción como podéis ver lo que nos va a hacer es repetir el comando traslada 00:09:18
un montón de veces, tantas como la N, como la N la tengo en 1 pues solo la traslado una vez 00:09:26
pero si la pongo en 2 lo traslado 2 veces, 3 veces, 4 veces, 30 veces, podemos coger y usando el 00:09:32
comando que os enseñé de copiar estilo visual marco este triángulo para que se copie aquí y se 00:09:42
pone rojo, bien, esto que acabo de hacer hay que hacerlo con cada figura, podemos traer secuencia 00:09:50
expresión traslada, ahora vamos a trasladar el triángulo T2 por el vector KU, la K que va a 00:10:04
empezar en 1 y va a acabar en N, bien, si me voy aquí a listas, se ha creado una lista con todos los 00:10:18
triángulos, puedo irme aquí a los tres puntitos y decir duplicar, entrada y ahora cambio esto 00:10:29
voy a usar este comando que no lo vamos a usar, puedo escribir secuencia, aquí pongo traslada 00:10:38
vamos ya con el T3, vector KU, la variable K que va a ir de 1 hasta N, voy a trasladar el de arriba, vuelvo a copiar lo mismo 00:10:53
secuencia, traslada, el triángulo T4 por el vector KU, la variable K que empieza en 1 y termina en N 00:11:11
y por último quedaría secuencia, traslada, el objeto C1 que es el cuadrado, K por U, la variable K en 1 y en N 00:11:28
ya tengo todo, ahora puedo hacerlo del estilo visual, le digo copia este aquí y aquí, doy a la flecha, vuelvo a darle a este y digo copia este aquí 00:11:50
le doy a la flecha, copio estilo visual, este y este, como veis si yo ahora agrando el museo se repite 00:12:06
ahora nos quedaría también que se vaya repitiendo para arriba, como veis tendremos que desplazar ahora un vector que empiece en A y apunte hacia arriba 00:12:18
para eso necesitaría saber un punto para indicar que vector O, es decir que el vector V va a ser el vector normal al vector U 00:12:45
así me va a formar justo el vector que forma 90 grados con el vector AB, con lo cual ya tengo mi vector para hacer la lista para arriba 00:13:06
ahora podría hacer lo mismo pero lo que vamos a hacer es en lugar de trasladar cada triángulo vamos a trasladar todos a la vez, fijaros que cada triángulo de esos está en una lista 00:13:17
debería haber dos naranjas, dos rojos, este verde me está sobrando, voy a borrarlo, vale, no pasa nada, ya que estaba bien 00:13:34
bien, pues ahora lo que voy a hacer es usar el comando secuencia pero en lugar de con los triángulos iniciales, con sus listas 00:13:58
vale, entonces voy a secuencia, traslada, traslada, L1, ahora voy a usar el vector V para que vaya para arriba, con K desde 1 hasta N 00:14:09
y me lo hace para arriba, pues sí, lo mismo, secuencia, traslada, he borrado L2, seguimos por L3, coma KV, K, 1, N 00:14:30
secuencia, traslada, L4, KV, K, 1, N 00:14:53
y estoy acabando, secuencia, repite, traslada, L1, L3, L4, L5, KV, K, 1, N 00:15:09
y me queda el cuadrado, secuencia, traslada, cuadrado será L6, KV, K, 1, N 00:15:29
y si hemos hecho bien, vale, ahora vamos a copiar el estilo visual, vamos a decir que este rojo tiene que ser este y este 00:15:55
voy aquí, el estilo visual de este naranja, tiene que ser este, no lo he cogido bien, estilo visual, el triángulo este y este 00:16:06
damos escape, cogemos la flecha, copia el estilo visual, el azul, y vemos que algo pasa 00:16:21
vamos a ver que ha pasado aquí, aquí hemos puesto L6, que es el cuadrado, por LV, aquí tenemos un error porque sería KV 00:16:36
ahora si, vale, y además fijaros que empezamos aquí ya en 1 porque ya lo hemos trasladado una vez 00:17:01
así es que lo que tendríamos que haber hecho era decirle a todas estas comandos que en lugar de 1 hubieran empezado en 0 00:17:12
vamos a cambiarlo, 0, 0, 0, 0, y ahora aquí ha aparecido el delgador misterioso y esta K también misteriosa 00:17:23
ya tenemos todas estas en 0, vamos a empezar también esta en 0 para que el primero sea el mismo 00:17:50
y aquí exactamente igual 00:18:01
vale, y ahora fijaros que como la N empieza en 1 pues algo nos queda, todo está en 0, muy bien 00:18:32
podemos decirle ahora que la N también empieza en 0 para que sea la posición inicial 00:18:47
y ahora tenemos así, y cuando agrandemos tenemos esto, si os dais cuenta veo que la primera está repetida más oscura 00:18:54
eso es porque la que desplaza para arriba está machacando encima de la que desplaza para abajo, así es que las originales las deberíamos de ocultar 00:19:11
y si también queremos podemos ocultar los triángulos iniciales 00:19:21
porque como hemos puesto que empieza en 0 00:19:28
ocultamos también el vector 00:19:35
y ya tenemos nuestro mosaico, podemos quitar la letra 00:19:39
y ahora fijaros, yo ahora hago así y mi mosaico empieza, puedo hacer el triángulo que quiera, puede ser así 00:19:43
si no quiero que se vean las líneas, como está pasando aquí que las líneas destacan mucho 00:19:59
me puedo ir a la lista, decirle propiedades y decirle aquí en el estilo que el grosor del trazo sea 0 00:20:05
si hago lo mismo aquí iré ocultando todas las líneas 00:20:22
como veis pues sale el mosaico bonito y además como quiera, y como le hemos puesto hasta 30 lo puedo agrandar todas las veces que quiera 00:20:28
eso si, lo que hemos configurado es de esta figura para delante 00:20:54
espero que os salga 00:21:11
Autor/es:
José Luis Muñoz Casado
Subido por:
Jose Luis M.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
42
Fecha:
29 de enero de 2024 - 5:24
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR JULIO PÉREZ
Duración:
21′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
142.88 MBytes

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