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Asíntotas de Logaritmos exponenciales e Inicio Derivadas - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Jose Andres G.

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Muy buenas, vamos a hacer una videoclase sobre asíntotas en funciones especiales. 00:00:02
Bueno, especiales. 00:00:10
La más rara es que te pueden caer en principio. No creo que vayan a caer, esto se ha dicho. 00:00:12
Y después un inicio de derivadas. 00:00:17
Todo esto se habrá visto en clase antes o después, así que es como un adelanto o un refuerzo. 00:00:21
Bien, empezamos por las funciones exponenciales. 00:00:28
Las funciones exponenciales son del estilo f de x igual a un número, a, es un número elevado a x. 00:00:30
O un número elevado a otra función. 00:00:39
Bien, siempre que sea una función exponencial, por ejemplo, 5 elevado a x, o, bueno, el número siempre va a ser positivo. 00:00:44
Si es negativo, eso no hay Dios que le meta mano. 00:00:51
Entonces, no os preocupéis. ¿Qué pasa si es negativo? No lo va a ser. 00:00:55
Puede ser 0, no tiene sentido, porque 0 elevado a lo que sea es 0. 00:00:57
Entonces, la cuestión está, y si es 1, tampoco tendría sentido, porque 1 lo que sea sería 1. 00:01:00
Entonces, si era la función constante, 1. 00:01:09
Entonces, nada. 00:01:12
Entonces, vamos a suponer siempre que sea, va a ser un número positivo, pero que no va a ser 1. 00:01:13
Un número positivo que no es 1. 00:01:21
Porque si fuese 1, es la función constante 1, y eso es una línea recta. 00:01:23
Entonces, ¿cómo se hace esto? 00:01:27
Funciones exponenciales a elevado a x, un número elevado a x, el número positivo, no 1. 00:01:32
Puede ser con decimales y sin decimales, pero no puede ser 1, ni puede ser 0, ni negativo. 00:01:41
En esos casos no te lo van a poner, tiene sentido. 00:01:46
Bien, lo que se hace es estudiar qué le pasa a la a, 00:01:49
porque el a puede ser mayor que 1 o 00:01:54
a ver, un segundo 00:01:57
para que recalque mejor las cosas 00:02:00
el a puede ser 00:02:02
mayor que 1 o menor 00:02:04
que 1, en el caso 00:02:06
de que a sea mayor que 1 00:02:11
lo que va a pasar 00:02:13
esto es la demostración, ¿vale? 00:02:14
que esto no te rompe la cabeza 00:02:18
lo que va a pasar es que el límite cuando x tiende a 00:02:19
menos infinito de a elevado a x 00:02:21
se va a ser 0 y el límite cuando x tiende a 00:02:23
infinito de a elevado a x es infinito 00:02:25
Si a está entre 0 y 1, es decir, a es 0 coma algo, pues entonces los límites van al revés. 00:02:27
¿Esto qué leche significa? 00:02:36
Pues lo significa que si es del estilo un número elevado a algo, siempre tiene asíntota horizontal en y igual a 0. 00:02:38
Y eso es el eje x. 00:02:55
Es decir, el eje x va a ser su asíntota horizontal 00:02:59
Y no tiene más asíntota 00:03:05
Esto no tiene más asíntota de ningún tipo 00:03:06
En el caso, un número elevado a x 00:03:09
¿Qué pasa si es del caso un número elevado a la función? 00:03:14
Vamos a hacer más simple de todo 00:03:21
Ponerse a hacer otra cosa más bestia 00:03:22
No, no tiene sentido 00:03:25
Es decir, tiene infinidad de opciones. 00:03:27
Es decir, vamos a ver que eso más simple es que lo de arriba es un polinomio. 00:03:30
Entonces, si lo de arriba es un polinomio, es decir, por ejemplo, 5... 00:03:35
Por cierto, el átice tiene que seguir siendo un número positivo, no 1. 00:03:41
Entonces, vamos, supongamos que fuese 3 elevado a 7x menos 1. 00:03:50
O 7x cuadrado más 2x menos 1, lo que quiera, vale, pero elevado. 00:03:57
Entonces, ¿cambia algo? 00:04:04
Podría cambiar que los límites cambien de forma. 00:04:06
Pero siempre uno de los dos límites va a ser 0. 00:04:11
Por lo tanto, no cambia nada. 00:04:15
Siempre hay una asíntota horizontal en y igual a 0. 00:04:18
Siempre. 00:04:25
En caso de duda, tienes que hacer estos límites y sacarlos. 00:04:27
Es decir, en caso de duda, haz esos límites y los sacas sin problema, ¿de acuerdo? 00:04:33
No hay ningún problema, los puedes sacar sin problema. 00:04:38
Pero no haría falta. 00:04:41
Para dibujarlas sí haría falta saber cuál de estos dos límites es el que te hace la cosa. 00:04:44
Pero eso si en la clase que hagamos gráficas, ya veremos cómo trabajamos con eso 00:04:50
y cómo incluso nos podemos saltar esto un poquito, haciendo un poquito de trampa, pero que sería válida. 00:04:56
Entonces, exponenciales, la más simple de todas, que son un número elevado a algo, 00:05:04
y me da igual lo que esté elevado, siempre va a tener una asíntota horizontal en y igual a cero, 00:05:09
que eso es el eje x. Y no tiene más asíntotas, no hay más asíntotas. 00:05:13
¿Pudiera haber más asíntotas si lo de arriba es un polinomio? No. 00:05:23
y si lo de arriba no es un polinomio 00:05:26
no te bajes 00:05:28
y ahí 00:05:30
si van arriba 00:05:32
a algo que no es un polinomio 00:05:35
vea que estás haciendo toda la idea 00:05:36
de que están haciendo un examen mortal de densidad 00:05:39
y eso ya es un 00:05:41
no tiene sentido 00:05:42
es más fácil que te toque la lotería 00:05:44
bien 00:05:46
siguiente, logarítmica 00:05:49
la logarítmica, la que decíamos 00:05:51
es la inversa de exponencial 00:05:53
y te lo puedes poner como logaritmo en base a de x 00:05:54
Y donde la es un número, por cierto, puede ser que no aparezca la y aparezca así. 00:05:57
Eso significa que el logaritmo se llama en base a 10. 00:06:03
No hace falta ni que sepanlo. 00:06:07
Lo que sepa es que puede aparecer así y también sirve para lo que son los logaritmos napoleanos, que se suele poner así. 00:06:10
Por cierto, se puede poner esto entre paréntesis o sin paréntesis. 00:06:18
¿Qué tendríamos que hacer? 00:06:24
El mismo ruido de antes, tendríamos que ver los límites. 00:06:28
en este caso, los límites 00:06:30
en el infinito 00:06:32
no te sirven para nada 00:06:33
recuerda 00:06:38
lo del dominio, para que fuese el dominio 00:06:41
tendría que ser lo de dentro 00:06:43
mayor que cero, no podría ser ni cero 00:06:45
y los límites 00:06:47
cuando se van al infinito, se van también al infinito 00:06:49
normalmente 00:06:51
entonces, en este caso, ¿qué ocurre? 00:06:51
bueno, el A de nuevo 00:06:57
el A tiene que ser mayor que 1 00:06:58
o también puede estar menor que 1 00:07:01
el A nunca va a ser negativo 00:07:03
Y tampoco va a ser 1 00:07:04
Entonces, en ambos casos 00:07:06
Estos límites que serían los que tendrías que hacer 00:07:09
Serían los que nos dirían lo siguiente 00:07:13
Y es que si el otro tenía una asíndota horizontal en y igual a 0 00:07:16
Este va a tener el contrario 00:07:23
Esto va a tener una asíndota vertical en x igual a 0 00:07:24
y siempre va a tener un asiento de vertical en x igual a cero, en este caso, ¿de acuerdo? 00:07:32
¿Eso qué es? Es el eje y. El eje y es un asiento de vertical. 00:07:39
¿Qué es lo que cambia? Si lo de aquí no es una sx, sino que es una función. 00:07:45
Y vamos a hacer lo mismo que lo anterior, suponer que es un polinomio. 00:07:54
Cualquier otra opción sería rompernos la cabeza y hacer un mogollón de opciones que no debían de caer. 00:07:59
Entonces tenemos logaritmo, vamos a suponer que ponemos x al cuadrado más 2x, por ejemplo, menos 3, ¿vale? 00:08:04
¿Vale? Recuerda, me da igual si es log, logaritmo en base 2, si es ln, si es simplemente log. 00:08:23
Todo lo que te voy a decir te sirve para todo ese tipo de logaritmo. 00:08:34
Lo importante es lo que tienes aquí. 00:08:37
Entonces, ¿qué hay que hacer en esos casos? 00:08:41
En esos casos, lo primero que tienes que hacer es ver dónde se anulan los del paréntesis. 00:08:43
Que te vuelvo a decir lo mismo. 00:08:55
¿Qué pasaría si no hubiese paréntesis? 00:08:57
Cuidado, que si no hay paréntesis, en estos casos de aquí, 00:09:01
el paréntesis solo se aplica hasta lo que hay antes de la primera suma o primera resta. 00:09:05
Normalmente, cuando es así, te van a poner un paréntesis entero. 00:09:13
¿Puede ser que no haya paréntesis y se refiere a todo como si hubiese un paréntesis? 00:09:17
No. 00:09:20
Matemáticamente, si no hay paréntesis, 00:09:21
el log solo afecta a lo que haya antes de una suma o una resta, no a todo. 00:09:23
No creo que te vayan a hacer esa borrada, pero bueno, por si acaso. 00:09:29
¿Ve dónde se anula? Lo del paréntesis. 00:09:34
¿Qué significa eso? Eso significa que coges lo del paréntesis, lo igualas a cero y lo solucionas. 00:09:36
Bien. 00:09:49
A partir de ahí, tiene las síntomas verticales en la solución. 00:09:51
Y no tiene ninguna asíntota de ningún tipo más. 00:10:01
Es decir, si tú solucionas esto, te va a salir, por ejemplo en nuestro caso, solucionas eso, te dejo que lo hagas. 00:10:14
Y si no recuerdas más, te va a salir que las soluciones son x igual a 1 y x igual a menos 3. 00:10:32
Menos 3. 00:10:42
Entonces, ¿qué implica eso? 00:10:45
Que tendría dos asíntotas verticales. 00:10:47
Además, ¿dónde? 00:10:51
En x igual a 1 y en x igual a menos 3. 00:10:52
Esto hazlo tú si quieres probarlo, ¿vale? 00:10:56
Entonces, en exponenciales no hay problema. 00:10:59
Porque en exponenciales te importa la leche lo que haya. 00:11:03
En logaritmos, si es una función, aquí sí tienes que tener cuidado. 00:11:06
Porque puedes tener más de una asíntota vertical. 00:11:10
Y es solamente donde hay soluciones. 00:11:13
¿Qué pasa si no me sale ninguna solución? 00:11:18
Pues no tiene asíntotas verticales. 00:11:20
Y no va a tener ni horizontales ni oblicuas. 00:11:22
¿Qué pasa si la función no es polinómica? 00:11:25
Pues que entonces la hemos liado. 00:11:29
Y como ya es tropecientos millones de opciones, 00:11:31
que hay infinitas opciones. 00:11:34
Entonces, quieto, pero nada. 00:11:35
Estudia Tata-Skate. 00:11:37
Y lo otro es, si quieren poner otra cosa, es que te quieren reventar. 00:11:37
Pero la filosofía será la misma. 00:11:42
Igual a la cero y tiras por delante. 00:11:44
¿Qué pasa con las irracionales o radicales? 00:11:48
Son donde aparecen raíces de cualquier tipo, pero nosotros trabajamos con raíces cuadradas. 00:11:51
En este caso, ¿qué se hace? 00:11:57
Ganar g de x. 00:12:00
Lo primero, es decir, miras lo que hay dentro de la raíz. 00:12:02
Y a partir de ahí tiras para adelante. 00:12:05
Es decir, lo primero que tienes que ver es que dónde se hace lo de dentro mayor que cero. 00:12:08
O cero. 00:12:13
Recuerda que tiene que ser sitio donde esté el dominio. 00:12:14
tendrías que ver primero el dominio y dentro del dominio lo que la función te diga es decir 00:12:17
si la función tenía asíntotas pues la función me refiero lo que tengo señalando y si los de 00:12:26
dentro de la raíz tenía asíntotas pues lo otro tiene asíntotas si no tenía asíntotas no tiene 00:12:31
asíntotas la más lógica que te van a poner con raíces lo que pasa es que no te lo van a poner 00:12:35
con asíntotas porque no tiene sentido es que g sea un polinomio es decir imagínate que te 00:12:41
apareciese aquí, pues no tenéis que 00:12:47
volver a escribir, ¿vale? 00:12:49
Si apareciese aquí esto. 00:12:51
Entonces, ¿en este caso qué significaría? 00:12:55
¿Los polinomios 00:13:06
tienen asíntota? No. Pues entonces 00:13:07
la raíz tampoco tiene asíntota. 00:13:09
Así de simple, así de fácil. 00:13:11
¿Qué te parece 00:13:13
una división? Pues 00:13:14
la raíz de la división. 00:13:17
Punto. 00:13:19
y además en donde te saliese la división 00:13:19
es como si la raíz no existiese para el tema de la asíndota 00:13:22
entonces 00:13:25
hace falta estudiarlo, no porque 00:13:26
estudiar lo de dentro, y lo de dentro ya lo hemos estudiado 00:13:28
anteriormente, bien, derivada 00:13:30
derivada, que bonito 00:13:34
bien, en clase 00:13:36
se te habrá 00:13:38
visto que la derivada 00:13:40
no quiero 00:13:44
negrita, es 00:13:46
la pendiente 00:13:49
de la recta tangente. ¿Qué leches es eso de la recta tangente? Vale. Imaginad que tenemos una gráfica. 00:13:52
Es decir, tenemos nuestro eje coordenado, tenemos el eje x, tenemos el eje y, y tenemos aquí un dibujito, una gráfica 00:14:04
que va haciendo, por ejemplo, esto, ¿de acuerdo? Por decirlo así. Nuestra gráfica sería esto, 00:14:16
¿bien? La recta tangente a la gráfica en un punto, vamos a suponer que tenemos un, 00:14:24
a ver, despacito, que tenemos un punto y vamos a coger este punto, por ejemplo, de la gráfica. 00:14:32
Voy a ampliarlo para que se vea mejor y me voy a llevar para allá. 00:14:42
Entonces, se entiende por recta tangente a la recta que pasa por ese punto, pero sin atravesar la gráfica. 00:14:49
Es decir, como que lo, por lo menos cerca de ella. 00:15:05
Algo como que le date refirón, por así decirlo. 00:15:10
A ver si lo hago bien. 00:15:12
Más o menos, aproximadamente, para que se entienda. 00:15:14
Es decir, es posible que por la zona donde está, 00:15:17
la línea no puede atravesar la gráfica. 00:15:21
Solo puede tocar, como rozar el punto. 00:15:23
Después, más en los extremos podría atravesar sin problema, 00:15:27
pero cerca del punto no puede atravesar la gráfica. 00:15:30
Solo rozarla en ese punto. 00:15:33
A esta línea de aquí, que la tienes ahora en naranja, se le llama recta tangente, ¿de acuerdo? Esa es la recta tangente. 00:15:35
¿Qué es la pendiente de la recta tangente? El mismo concepto que tenés de pendiente de una... 00:15:46
Cuando subes una cuesta tiene una pendiente, la misma. 00:15:55
En matemática lo que significa es, la pendiente es conforme te mueves, una unidad hacia la derecha, cuánto subes hacia arriba o cuánto bajas hacia abajo. Esa es la pendiente. 00:16:00
Ese es el concepto gráfico de derivada. ¿Cómo se saca la derivada? Mediante límite. ¿La vamos a hacer mediante límite? No. 00:16:12
¿Te lo voy a explicar mediante límite? No. Porque mediante límite ni te vas a enterar y va a ser peor el remedio que la enfermedad. 00:16:20
Entonces, ¿qué vamos a hacerlo? 00:16:29
Vamos a explicar caso a caso cómo se tiene que hacer. 00:16:31
Entonces, vamos a ver caso a caso. 00:16:35
Entonces, primer caso. 00:16:41
Primero, derivada de un número, lo que se llama función constante. 00:16:43
Entonces, nos vamos a aprender una regla. 00:16:56
Y tendrías que aprender esa regla sí o sí. 00:16:58
sería más fácil hacer por derivada 00:17:00
ni alto y no 00:17:02
es decir, si quieres 00:17:03
buscas por ahí el concepto por derivada 00:17:06
y vas a ver como es 00:17:08
una rista y una división 00:17:09
y vas a decir, mira, no, déjalo 00:17:11
y lo tengo que demostrar 00:17:13
por algo, no, no, te lo tienes que saber de memoria 00:17:16
y punto, derivado de un número 00:17:18
es una función constante, es decir 00:17:20
tenemos f de x 00:17:22
a veces en vez de f de x 00:17:23
recuerda que se puede poner como y igual a no sé qué 00:17:28
O y igual a f de x igual a no sé qué. 00:17:30
Son sinónimos, ¿de acuerdo? 00:17:35
F de x igual a un número. 00:17:37
Por ejemplo, el número 28. 00:17:39
Es decir, un número no lleva letra. 00:17:41
Eso se llama función constante. 00:17:43
En este caso siempre vale 28. 00:17:45
La derivada de una función constante, 00:17:47
para indicar que estás haciendo la derivada, 00:17:51
se pone ese simbolito. 00:17:53
Es como si le pusieras una línea arriba. 00:17:55
Eso significa que estás haciendo la derivada. 00:17:57
Pues la derivada de una función constante siempre vale, siempre, siempre, siempre, siempre vale cero. 00:17:59
Ya está. 00:18:05
Sea el número que sea. 00:18:06
La derivada de un número a seca y no tiene nada en el número es siempre cero. 00:18:08
Siguiente. 00:18:14
Vamos a por el segundo. 00:18:16
En el segundo. 00:18:23
Derivada de una letra, que normalmente la letra va a ser siempre, lógicamente, x. 00:18:27
sin elevar a nada 00:18:37
pues la derivada de una letra 00:18:40
es decir, en este caso tendríamos 00:18:43
f de x igual a x 00:18:45
la derivada de una letra 00:18:47
sin elevar a nada 00:18:51
la derivada siempre vale 00:18:52
todo esto te tendrás que aprender de memoria 00:18:56
vamos a por el siguiente 00:19:01
el siguiente 00:19:03
hasta que nos hagamos unos cuantos no podemos hacer 00:19:06
derivada 00:19:08
de una letra 00:19:10
que normalmente va a ser 00:19:13
con potencia. 00:19:15
Es decir, f de x 00:19:20
es igual 00:19:22
a x 00:19:24
elevado a 00:19:27
te voy a poner, por ejemplo, a 4. 00:19:29
Bien. 00:19:32
La primera es que hacemos algo rarito. 00:19:33
La derivada es 00:19:36
se coge 00:19:37
la potencia, el exponente 00:19:39
y se baja multiplicando. 00:19:41
Es decir, el x elevado a 4 se pone en 4 multiplicando aquí a x y se eleva a 1 menos que lo que estuviese elevado. 00:19:44
Es decir, en nuestro caso sería 4 por x elevado a 3. 00:19:54
Si lo queremos poner en plan con letra, sería x elevado a n nos daría que la derivada de f de x, 00:20:01
la n pasa multiplicando 00:20:14
y estaría elevado a 1 menos 00:20:23
que lo anterior 00:20:25
que tengo x elevado a 7 00:20:26
pues sería 7 por x elevado a 6 00:20:32
que tengo x elevado a 28 00:20:35
pues la derivada sería 28 00:20:37
por x elevado a 27 00:20:39
y así eternamente 00:20:40
cuarto 00:20:42
vamos a poner esto 00:20:49
derivada de un número 00:20:51
por una letra 00:21:04
elevada 00:21:07
me da igual 00:21:20
la letra puede estar elevada o puede no estar elevada 00:21:22
ejemplo 00:21:25
f de x igual 00:21:26
vamos a poner la fría que sea menos 7 00:21:27
por x elevado a 00:21:32
entonces 00:21:35
en este caso ¿qué se hace? 00:21:42
si yo quiero hacer 00:21:44
la derivada de la función 00:21:46
el número se deja 00:21:47
igual 00:21:50
el número se deja igual 00:21:51
y se multiplican por la derivada de la potencia. 00:21:54
Voy a poner este de la letra, ¿de acuerdo? 00:22:07
Y si la letra es la potencia, es la potencia. 00:22:13
Entonces, en nuestro caso sería, 00:22:16
en nuestro caso sería, 00:22:18
a ver, tecri, tecri, tecri, 00:22:21
bajo por aquí, para que se vea aquí, 00:22:23
sería menos 7 por la derivada de x elevado a 3 00:22:27
bajo el 3 00:22:32
por x elevado a 00:22:34
en nuestro caso no se puede dejar así 00:22:38
sería menos 7 por 3 menos 21 00:22:40
x al cuadrado 00:22:42
recuerda que si está multiplicando 00:22:44
no es necesario poner 00:22:46
el punto de multiplicar 00:22:48
y que si está multiplicando 00:22:49
números con letras por 10 pon siempre primero 00:22:52
el número y después la letra 00:22:54
que si no después te vas a hacer un lío 00:22:56
veamos otro caso 00:22:58
La derivada de x es igual a 2x. En este caso, su derivada sería, el 2 se mantiene, siempre que sea un número por una letra, el número se mantiene. 00:23:03
Y ahora, ¿cuál es la derivada de x? La derivada de x es 1. Lo hemos visto antes, es la segunda que hemos visto. 00:23:18
La derivada de una letra sin igual a nada es 1. Es más, esto lo podríamos explicar a partir de la tercera, porque la x es como x elevado a 1. 00:23:25
Entonces, ¿qué haría? Bajaría a ser 1 y x sería elevado a 1 menos 1, pero 1 menos 1 es 0. 00:23:36
Y cualquier cosa elevada a 0 siempre es 1. 00:23:43
Y por cierto, 2 por 1 sería 2. 00:23:47
Es decir, que si es un número por una letra sin elevada a nada, la derivada se va a quedar con el número. 00:23:50
Vamos a por la quinta y una vez que hagamos la quinta, ya podemos hacer más cosas. 00:23:58
Quinta. 00:24:08
Derivada de una suma o resta. 00:24:10
La derivada de una suma o una resta es la suma o resta de las derivadas. 00:24:18
¿Me explico? 00:24:37
Es decir, yo tengo f de x y vamos a poner el ejemplo más fácil. 00:24:38
f de x es igual a 5x más 8. 00:24:43
Entonces, si yo quiero hacer la derivada de f de x, hago como es una suma, primero la derivada de 5x. 00:24:54
Que hemos visto que un número por una letra, si no está elevado a nada, la derivada es el número. 00:25:03
Más la derivada de un número suelto que es 0 y 5 más 0 es 5. 00:25:09
Por ejemplo, supongamos que f de x es igual a x elevado a 3 más menos 4x elevado a 2 más 7x. 00:25:16
¿Qué ocurre en este caso? 00:25:47
Pues en este caso sería la derivada 00:25:50
Sería igual 00:25:52
Tiene que ir como 00:25:54
1 a 1 00:25:56
Y la suma y la resta 00:25:57
Te van diciendo como separarlo 00:26:00
Tengo este 00:26:02
Este 00:26:03
Y este 00:26:04
De x al cubo sería 00:26:07
Cuadrado 00:26:11
Menos. ¿Por qué menos? Porque aquí hay un menos. 00:26:14
¿Derivada de x cuadrado? Pues 2x, porque si es 2 menos 1 es 1. 00:26:16
Más 7 por x, pues la derivada de 7 por x es el número 7. 00:26:22
Ya está. 00:26:27
Antes de seguir, ¿qué hay más? Vamos a hacer algunos ejercicios. 00:26:30
Por ejemplo, el primero, ¿cuál sería la derivada de f de x? 00:26:36
Pues la derivada de f de x, si x es igual a 3, su derivada, como es un número, es 0. 00:26:39
Derivada de x más 5. Pues la derivada de x es 1 más la derivada de un número suelto es 0. 00:26:53
1 más 0, 1. Ya está. 00:27:02
la derivada de x elevado a 7 00:27:03
la derivada de x elevado a 7 00:27:06
es 7 por x 00:27:08
elevado a 1 menos 00:27:10
o sea, 6 00:27:11
te recomiendo que 00:27:13
esto lo pauses 00:27:15
y lo vayas haciendo tú antes de que yo lo resuelva 00:27:18
para ver si te sale o no 00:27:20
en el siguiente 00:27:22
la derivada de f de x 00:27:24
en el caso sería 00:27:27
son dos términos, vamos uno a uno 00:27:27
de x elevado a 6, pues 6x 00:27:30
elevado a 5 00:27:33
menos, porque hay un menos aquí 00:27:36
y de x elevado a 3 00:27:38
pues bajo el 3 00:27:40
x elevado a 1 menos 00:27:42
y 1 menos que 3 es 2 00:27:44
sigo 00:27:46
en este caso 00:27:49
de 2x elevado a 4 00:27:50
la derivada de un número por algo es 00:27:53
el número 00:27:56
por la derivada 00:27:56
del algo 00:28:00
de x elevado a 4, pues bajo el 4 00:28:00
multiplicando por x elevado a 1 menos que sea 3. 00:28:03
Pero no puedo dejarlo así. 00:28:07
¿Qué hago? 00:28:09
2 por 4 sub 8. 00:28:10
Si tengo varios números multiplicándolos, 00:28:14
le meto en mano. 00:28:17
El siguiente. 00:28:19
Y, bueno, esto. 00:28:22
3x más 3, pues empiezo. 00:28:26
La derivada de 3 por x es 3. 00:28:27
La derivada de 7 más 7 es 0, 00:28:30
pues 3 más 0 es 3. 00:28:32
Siguiente derivada es 5x. 00:28:35
Menos 2, mismo río de antes. 00:28:37
La derivada de 5x es 5. 00:28:39
Menos la derivada de un número que no tiene nada es 0. 00:28:42
Pues se queda en 5. 00:28:45
Este, uy, parece complicado. 00:28:47
Ten cuidado, no te confundas. 00:28:50
Este está hecho para que no te confundas. 00:28:52
Derivada de 2 elevado a 5. 00:28:55
Oye, pero es que 2 elevado a 5, te guste o no te guste, eso es un número. 00:28:57
No es una letra, es un número. 00:29:01
Y derivada de un número suelto es 0. 00:29:03
Siguiente, empiezo aquí, tengo tres términos, 1, 2 y 3, vale, de 5x cuadrado pues sería 5 por 2 por x elevado a 1 menos que sería x, 00:29:07
pero 5 por 2 son 10, menos la derivada de x, la derivada de una letra que está suelta siempre es 1, más 11, pero la derivada de 11 es 0, 00:29:29
pues se me queda 10x menos 1 00:29:41
bien, con esto 00:29:43
ya hemos hecho el repaso 00:29:45
de las primeras propiedades que teníamos que ver 00:29:47
sigamos con propiedades 00:29:49
ahora vamos para 00:29:51
la sexta 00:29:53
copiar y nos venimos 00:29:55
aquí, pegar 00:30:03
derivada de una multiplicación 00:30:10
vamos a hacer multiplicaciones 00:30:12
con 2, solamente con 2 00:30:17
si hay más de 2, no 00:30:19
solamente con 2 00:30:21
si hay más de 2, multiplicas primero y fuera 00:30:23
¿Cómo se hace la derivada de una multiplicación? 00:30:25
Es decir, en este caso tengo 00:30:29
f de x 00:30:30
por g de x 00:30:31
Lo voy a poner todo entre corchete 00:30:37
y ahora quiero hacer 00:30:41
la derivada 00:30:43
de esto 00:30:45
Si yo quiero hacer la derivada de esto 00:30:46
hay que aprenderse 00:30:49
una fórmula, lo siento mucho 00:30:51
Primera fórmula que te tienes que aprender 00:30:53
No va a ser la única 00:30:55
entonces para derivar una multiplicación se hace lo siguiente se empieza la derivada del primero 00:30:56
y eso se multiplica por la siguiente sin derivar y se suma siempre se suma por lo mismo pero al 00:31:03
revés es decir la primera sin derivar por la derivada de la segunda hay que hacer en este 00:31:11
orden si lo hace el orden contrario en este caso no pasaría nada en un futuro que será 00:31:19
La división sí pasará. 00:31:24
Por lo tanto, recomiendo que te acuerdes de este óptimo. 00:31:26
Es decir, derivada de un producto, pues, 00:31:29
la derivada del primero por el segundo sin derivar, 00:31:31
más el primero por la derivada del segundo. 00:31:34
Por cierto, en esta propiedad se basa 00:31:36
lo de la derivada de un número por una letra. 00:31:39
Entonces, atención con esto, ¿eh? 00:31:43
Importante. 00:31:48
Bien. 00:31:48
Es decir, imagínate que yo tuviese 00:31:50
2x más 3 00:31:51
y lo estoy multiplicando por 7x menos 5. 00:31:55
Y quiero hacer esa derivada. 00:32:02
Es decir, esta es mi función. 00:32:05
Mi función es esta. 00:32:08
Por cierto, se me olvidó decirte. 00:32:18
Normalmente utilizamos f de x. 00:32:20
Pero si te fijas, cuando tenemos que utilizar varias funciones a la vez, 00:32:23
vamos cambiando la f por g. 00:32:27
Pues puedes poner f de x, h de x, de x, k de x. 00:32:29
significa lo mismo. Entonces, si yo quisiera hacer la derivada de esta función, empezaría. 00:32:32
Tengo como dos partes. Tengo esa por un lado y esa por otro. Pues empiezo. 00:32:41
Derivada de lo primero. Te recomiendo ponerlo entre paréntesis al principio hasta que te des cuenta si hace falta o no. 00:32:47
¿Cuál es la derivada de 2x más 3? Derivada de una suma. Empieza. 00:32:54
derivada de 2x es 2 00:32:57
derivada de 3 es 0 00:32:59
por eso queda 2 00:33:01
la segunda sin derivada 00:33:02
y ahora más 00:33:04
la primera la dejamos tal como está 00:33:10
por 00:33:12
la derivada de la segunda 00:33:14
pero la segunda a la verde sería 00:33:16
derivada de 7x es 7 00:33:18
y derivada de 5, menos 5 es 0 00:33:20
¿se deja así? 00:33:22
pues va a ser que no 00:33:26
primero tienes que hacer esas multiplicaciones 00:33:27
Entonces, vamos a ver 00:33:31
Tienes que saber cómo se hace 00:33:34
Cómo se multiplican polinomios 00:33:36
Hemos hecho algo en algún momento en la clase 00:33:38
Empezaríamos 00:33:40
El 2 multiplica todo 00:33:41
2 por 7 ya son 14x 00:33:43
Una vez que hagas las multiplicaciones 00:33:45
Ya podéis quitándolo todo 00:33:47
2 por menos 5 es menos 10 00:33:48
Y ahora, en el otro caso 00:33:52
Tenemos que multiplicar 00:33:54
2x más 3 por 7 00:33:55
Como hay un más 00:33:57
Si no hubiese un más 00:33:58
lo de la derecha lo sigues dejando entre paréntesis 00:34:00
si hay un más 00:34:02
podéis quitándolo directamente 00:34:04
7 por 2 pues son 00:34:06
más 14x 00:34:08
y 7 por 3 son 21 00:34:09
y ahora no he terminado, solo puedo 00:34:11
ver una cosa con x, solo puedo ver un número sin letra 00:34:14
empezamos 00:34:16
14x 00:34:18
¿con quién lo puedo sumar? 00:34:19
pues solamente con lo que tenga x 00:34:22
puedo sumarlo o restarlo 00:34:23
14 más 14 son 28x 00:34:25
para saber si están sumando o restando 00:34:28
mira sus signos previos 00:34:30
y el otro me queda menos 10 más 21 00:34:31
pues más 11 00:34:34
pues esto de aquí 00:34:35
esto que hemos llegado ahí y tienes que llegar hasta ahí 00:34:38
es la derivada 00:34:40
de mi función 00:34:42
siguiente, vamos por lo siguiente 00:34:44
vamos a hacer más ejercicio 00:34:51
en nuestro caso 00:34:52
el 10 00:34:54
vamos a hacer esa derivada 00:34:55
sería derivada del primero 00:34:58
derivada de x 00:35:03
lo voy a señalar para que lo sigan mirando 00:35:04
primero y segundo 00:35:07
derivada de x es 1 00:35:09
como es 1 lo dejo 00:35:12
el segundo sin derivar 00:35:13
más 00:35:15
el primero sin tocar 00:35:19
por la derivada del segundo 00:35:21
pero la derivada de x menos 1 es 00:35:24
ahora que hago 00:35:27
ahora sigo 00:35:29
derivada de f de x 00:35:30
hago las multiplicaciones 00:35:32
1 por lo que sea 00:35:33
x menos 1 00:35:35
Más x por 1, x. 00:35:37
Y por dejarlo bonito, x más x son 2x y son 5 menos 1. 00:35:41
Por lo tanto, mi respuesta final es que la derivada de f de x es 2x menos 1. 00:35:47
En el siguiente caso, vamos a ver si es igual de fácil o no. 00:35:56
Empezaríamos. Tenemos los dos elementos. 00:36:02
Tenemos uno primero y uno segundo. 00:36:04
derivada de x más 1 00:36:06
pues la derivada de x más 1 es 1 00:36:10
porque la derivada de x 00:36:12
es 1 directamente y la derivada del 1 00:36:14
es 0, y 1 más 0 es 1 00:36:16
por 00:36:18
la segunda sin derivar, x menos 1 00:36:20
más 00:36:22
el primero tal cual 00:36:24
ahí, ya lo volví 00:36:26
vamos a 00:36:28
hacerlo más pequeño 00:36:30
ahí 00:36:32
por la derivada del segundo 00:36:34
Pero es que la derivada del segundo, la derivada de x menos 1 de lo verde, vuelve a ser 1. 00:36:38
Piénsalo. 00:36:42
Ahora, ¿qué ocurre? 00:36:44
Que cuando yo multiplico todo eso, que es lo primero que tienes que hacer, 00:36:46
te sale 1 por lo que sea, es lo que sea, y 1 por lo que sea, es lo que sea. 00:36:52
Y al final sería x más x, 2x. 00:37:01
Y atención, porque en este caso, 1 menos 1 es 0. 00:37:03
Así que te queda al final que la solución de eso es que te queda 2x. 00:37:10
Bien. 00:37:23
Hagamos unos cuantos de repaso, por si acaso, antes de seguir. 00:37:24
En este caso no son multiplicaciones, que son sumas rectas. 00:37:28
Menos 5x al cubo. 00:37:33
Vale, entonces esto sería... 00:37:36
Recuerda, en este caso no son multiplicaciones, son sumas y restas. 00:37:37
Hay que ir cogiendo cada una por separado. 00:37:42
Te pongo un colorico para que te vayas fijando en cada una por separado. 00:37:50
Para la última te pongo dos sin coloricos porque quedaría bien. 00:37:56
De menos 5x al cubo, pues el 3 pasa multiplicando, menos 5 por 3, menos 15. 00:37:58
x elevado a 1 menos, en vez de 3, 2. 00:38:04
más 4x cuadrados derivada 00:38:08
el 2 pasa multiplicando 00:38:11
4 por 2, 8 00:38:13
y la x en vez de 2 se queda elevado a 1 00:38:14
más 2 por x 00:38:18
la derivada de 2 por x es 2 00:38:20
más la derivada de un número suelto 00:38:21
es 0, si es 0 no lo pongo 00:38:23
ya lo tendría 00:38:25
y en este caso ya sale todo maravilloso 00:38:27
recuerda como antes, te recomiendo 00:38:29
que antes de que yo lo haga, tira tú 00:38:34
pausa y dirás adelante 00:38:36
derivada de f de x, pues 00:38:38
Lo mismo, tengo 1, 2, 3 y 4. 00:38:40
De x elevado a 3, pues sería 3x elevado a 2. 00:38:48
Menos de x al cuadrado, pues 2x más, derivada de 4x, 4. 00:38:54
La derivada de 5 es 0, ese no hace falta ponerlo, ya lo tengo hecho. 00:39:01
Siguiente, el 14, mismo rollo, derivada de f de x. 00:39:06
sería derivada de x elevado a 4 00:39:17
pues 4x elevado a 3 00:39:24
menos derivada de 4x al cubo 00:39:27
el 3 pasaría multiplicando 4 por 3 00:39:31
12 y x elevado a 2 00:39:33
derivada de 5 más 5x al cuadrado 00:39:37
ese 2 pasaría multiplicando 5 por 2 00:39:42
10 y x elevado a 1 menos x. El siguiente, 2x al cubo, el 3 pasa multiplicando, 2 por 3 son 6, x elevado a 1 menos x al cuadrado, más 3x al cuadrado, el 2 pasa multiplicando, 3 por 2 son 6, x elevado a 2, 1 menos x, menos... 00:39:45
Voy poniendo el signo, no me complico, porque son los mismos que vienen aquí. 00:40:10
Derivada de 6x, eso era 6, y derivada de un número suelto, 0. 00:40:14
Aquí, multiplicación. Tengo dos términos. Cuidado que aquí tengo dos términos. 00:40:20
Aquí sí voy a tener que poner paréntesis, por tanto, seguramente en algún momento. 00:40:24
Tengo s y s. 00:40:28
Derivada del primero, pero derivada de x más 1, es 1. 00:40:30
Por el segundo, sin derivar el segundo, o lo pongo sin derivar. 00:40:33
Vamos a quitarle ese color. 00:40:39
Más el primero sin derivar por la derivada del segundo. 00:40:47
Y como la derivada del segundo me va a salir una cosa grande, lo dejo quieto para abajo. 00:40:52
Es decir, lo pongo entre paréntesis. 00:40:56
Derivada del cuadrado, 2x. 00:41:02
Menos derivada de x, 1. 00:41:04
Derivada de 3, 0. 00:41:06
Ahora, ¿qué tengo que hacer? 00:41:08
Ahora tengo que hacer las multiplicaciones. 00:41:09
Cuidado con esto. 00:41:12
eso por un lado 00:41:13
esto por otro 00:41:15
vuelvo a repetir, como hay en medio 00:41:17
un más, lo de la derecha 00:41:20
lo puedo poner ya sin paréntesis 00:41:22
si fuese un menos 00:41:24
lo mantengo en paréntesis, pero en multiplicación 00:41:25
siempre va a ser un más, así que ahí no vas a tener problema 00:41:27
entonces me quedaría 00:41:30
el primero 00:41:32
si multiplico por uno 00:41:38
me lo deja todo igual 00:41:40
y ahora, ¿cómo se multiplicaba 00:41:42
polinomio por polinomio? 00:41:49
Pues aquí viene el cachondeo, tenía por un lado, este, este tiene uno y dos elementos 00:41:51
Y este tiene uno y dos elementos 00:41:58
Pues cada uno multiplicado por todo 00:42:10
Empezamos, x por 2x, pues suma y da más 2x al cuadrado 00:42:13
X por menos 1 00:42:20
X por menos 1 00:42:23
Amarillo por gris 00:42:25
Pues menos 1X 00:42:26
El 1 no hace falta ponerlo 00:42:28
Es decir, si quieres poner menos 1X está bien 00:42:30
Y si pones menos X significa lo mismo 00:42:32
Ya he hecho el amarillo por todo 00:42:34
Ahora tengo aquí el verde que es más 1 por todo 00:42:37
Pero 1 por todo es lo mismo 00:42:38
Es decir, me va a salir 2X 00:42:40
Menos 1 00:42:43
Porque 1 por 2X es 2X 00:42:45
Y 1 por menos 1 es menos 1 00:42:46
¿Lo he terminado? Va a ser que no 00:42:48
Porque recuerda que tienes que ordenarlo bonito, es decir, solo puede haber una letra con cada cosa. 00:42:50
Tendríamos, de x al cuadrado tengo este y este. 00:42:57
Pues, una x al cuadrado, recuerda que si no lleva números es 1 o menos 1 en función de su signo. 00:43:03
1 y 2 serían 3x al cuadrado. 00:43:08
Con x tengo menos x, menos x, más 2x, menos x, menos x, menos 2x, menos 2x, más 2x es 0x. 00:43:11
Cuando es 0 no se pone nada. 00:43:26
Nunca pongas 0x ni 0, solamente pones 0 si se va todo, todo, todo, todo. 00:43:29
Pues tienes que ir todo, no te queda nada. 00:43:34
Solamente en ese caso pones 0 y nunca pongas 0x ni 0, nada, 0. 00:43:37
Pero si hay más cosas, no pones nada. 00:43:41
Y 3 menos 1, menos 2. 00:43:43
Pues ya lo terminó. 00:43:47
El siguiente. 00:43:51
El siguiente tiene un poquito más de leche. 00:43:52
Porque sería, es lo mismo, tengo dos términos. 00:43:55
Me puede decir, pero mira, es que uno de los términos tiene potencia. 00:43:58
Me da igual. 00:44:03
Entonces, lo único que tengo que hacer es ir con mucho cuidado. 00:44:05
Vamos a ver cómo sería. 00:44:07
Si a derivada del primero, derivada de x es 1, 00:44:08
por el segundo 00:44:12
por el segundo 00:44:14
sin derivar 00:44:16
el segundo lo pongo tal cual 00:44:17
lo único que voy a hacer es quitarle 00:44:20
colorico 00:44:24
y bajarlo a 11 00:44:25
ahora es más 00:44:28
más, el primero 00:44:34
tal cual 00:44:36
por la derivada del segundo 00:44:37
bien 00:44:40
atención 00:44:42
¿qué se aplica aquí? 00:44:43
aquí se aplica 00:44:45
la generalización 00:44:47
del 00:44:50
a ver donde lo tengo 00:44:51
de la potencia 00:44:54
la generalización de la potencia 00:44:56
entonces esto sería la propiedad 5 00:44:58
6, la propiedad 7 00:45:02
perdón que no lo he copiado 00:45:04
copiar 00:45:15
y que se hace 00:45:19
que si yo tengo, si la función es 00:45:33
otra función 00:45:36
elevado a algo 00:45:38
¿cierto? el elevado a algo normalmente se suele poner 00:45:40
aquí, pero bueno, que no te confundas 00:45:45
que el elevado a algo 00:45:47
el n sería un número 00:45:48
entonces 00:45:50
la derivada de esa función 00:45:52
sería 00:45:55
lo mismo, se empieza, se baja 00:45:56
la potencia, el g 00:45:59
queda elevado a 1 00:46:01
menos, y ahora 00:46:03
se multiplica por la derivada 00:46:07
de esa función 00:46:10
es decir, que si yo tengo 00:46:14
por ejemplo 00:46:22
f de x igual 00:46:23
x al cuadrado 00:46:27
x al cuadrado más 00:46:31
3x menos 00:46:38
y esto está elevado a, por poner una cosa 00:46:41
si yo quiero hacer la derivada 00:46:45
sería, se baja el 5 00:46:48
a continuación 00:46:53
se pone 00:46:55
toda la potencia 00:46:56
digo, toda la potencia 00:46:59
todo lo que había entre paréntesis 00:47:01
pero ahora, en vez de estar elevado a 5 00:47:02
estaría elevado a 4 00:47:05
y se multiplica 00:47:06
por la derivada de lo que hay 00:47:08
en el paréntesis, es decir 00:47:11
por la derivada de 00:47:13
esto de aquí 00:47:14
que en ese caso sería, dx cuadrado es 2x 00:47:16
la igual es 3x3 y el otro 0 00:47:19
¿qué se hace en estos casos? 00:47:21
cuando es tan bestia como esto 00:47:24
se deja así 00:47:26
si esto de aquí se quedase 00:47:26
un poquito más bonito se podría desarrollar 00:47:29
pero si no, ni os preocupéis 00:47:32
lo dejáis así 00:47:34
solamente cuando queda bonito se puede desarrollar 00:47:34
que aquí seguramente me quede bonito 00:47:37
entonces, volvemos otra vez 00:47:39
al que estábamos 00:47:42
que era el 17 00:47:43
¿qué se hace en estos casos? 00:47:44
era, estamos ahora 00:47:48
con la derivada de lo de azul 00:47:50
si hace falta 00:47:51
tira para atrás 00:47:53
hasta que empezara el 17 y mira lo que 00:47:55
habíamos puesto 00:47:58
entonces mi quedado de la derivada de azul sería 00:47:58
2, porque bajo el 2 que es la 00:48:01
potencia, por 00:48:04
x menos 1 00:48:05
por la derivada de lo de dentro 00:48:06
pero es que la derivada de lo de dentro de x menos 1 00:48:09
es 1 00:48:11
y en este caso si 00:48:12
puedo hacer 00:48:15
el desarrollo, en este caso si puedo hacer el desarrollo 00:48:16
1 por lo que sea 00:48:19
es lo que sea 00:48:22
entonces hay que 00:48:23
tengo que hacer el x-1 al cuadrado 00:48:25
por el otro lado va a ser 00:48:28
más fácil, entonces me va a quedar 00:48:29
copiar 00:48:31
pegar 00:48:33
de desarrollar el x-1 00:48:36
al cuadrado que lo puedo hacer por 00:48:41
el cuadro de la recta 00:48:42
o por x-1 por x-1 00:48:44
porque x-1 al cuadrado 00:48:47
es x menos 1 por x menos 1 00:48:48
de eso te va a quedar 00:48:51
x al cuadrado 00:48:52
menos 2x 00:48:53
más 1 00:48:56
y si yo multiplico todo lo de la izquierda 00:48:57
todo de la derecha, perdón 00:49:01
como es, sería 1 00:49:02
por 2, 2 00:49:04
por x, x, es decir, esto sería 00:49:06
2x, yo sigo multiplicando 00:49:08
por x y por menos 1 00:49:11
por x, 2x 00:49:14
al cuadrado 00:49:16
y 2x por menos 1 00:49:18
menos 2x 00:49:21
esto te recomiendo que tú lo vayas desarrollando 00:49:22
poco a poco en casa 00:49:25
ahora que hago lo mismo 00:49:26
no lo puedo dejar así 00:49:28
aquí sí que no lo puedo dejar así 00:49:30
aquí lo que hago es 00:49:32
quito un poquito y empiezo 00:49:37
sería el x cuadrado 00:49:38
que recuerda que si no tiene número es 1 00:49:42
con más 2x cuadrado 00:49:44
nos deja 3x 00:49:46
al cuadrado 00:49:48
menos 2x 00:49:50
con menos 2x 00:49:52
menos 2, menos 2 00:49:54
es menos 4x 00:49:56
y el número 00:50:02
que sin letra está suelto, más 1 00:50:03
y ahora ya sí 00:50:05
este aquí no me cabe 00:50:07
voy a quitar 00:50:12
y me lo traigo 00:50:13
en este caso, ¿qué haría? 00:50:14
en este caso, si yo quiero hacer la derivada 00:50:18
empiezo 00:50:21
la derivada del primero 00:50:27
2 es 0 00:50:29
por el segundo sin derivar 00:50:30
x menos 1 00:50:33
al cuadrado 00:50:34
que significa que cuando tengo un número por una función 00:50:35
es el número por la derivada 00:50:42
de la función 00:50:44
que eso lo podemos coger como una propiedad 00:50:45
generalización de la anterior 00:50:47
es decir 00:50:49
octavo 00:50:53
derivada de 00:50:54
un número 00:50:56
por una función 00:50:58
pero que si no te acuerdas 00:51:04
aplica esto y ya está 00:51:08
es decir, si f de x es igual 00:51:09
a un número que lo voy a llamar n 00:51:12
que está multiplicando 00:51:16
a otra función 00:51:19
la derivada 00:51:20
de esa función es 00:51:24
el mismo n 00:51:26
por la derivada 00:51:28
de la otra, porque 0 00:51:31
por lo que sea es 0 00:51:34
y esto lo hemos cerrado de 00:51:36
a partir del producto, que no te acuerdas 00:51:38
puedes utilizar el producto y ya está, lo único que tienes que recordar 00:51:40
que 0 por lo que sea es 0. 00:51:42
Así que me quedaría 00:51:44
2 por la derivada 00:51:45
de aquí. 00:51:48
Y ahora cuidado, que la derivada de aquí 00:51:52
es una potencia. Entonces, el 2 00:51:54
pasa multiplicando. 00:51:56
Este 2 es de ese 2. 00:51:58
¿De acuerdo? 00:52:01
Me llamo tontería. 00:52:02
Por la derivada 00:52:04
de x menos 1. 00:52:06
Pero la derivada de x menos 1 es 00:52:08
¡Ay no! 00:52:10
por x menos 1 00:52:12
elevado a 1 menos 00:52:15
regla de potencia 00:52:16
por la derivada de lo dentro que es 1 00:52:17
es decir que me quedaría 00:52:20
si cojo todos los números de fuera 00:52:23
serían 2 por 2, 4 por 1 es 4 00:52:25
4 por x menos 1 00:52:27
y ahora esto sería 00:52:30
4x menos 4 00:52:32
vale, sigamos 00:52:37
tengo f de x igual a 3 por 00:52:40
3 menos 1 elevado a 4 00:52:47
¿Quién sería en este caso la derivada de f de x? 00:52:50
Pues atención, no te dejes engañar. 00:52:55
Son todos números. 00:52:57
No hay ninguna letra. 00:52:59
Por lo tanto, eso es una constante. 00:53:00
Así que automáticamente sería cero. 00:53:01
Oye, ¿en este caso me han puesto y? 00:53:04
Pues yo voy a poner y'x. 00:53:06
Te dije al principio que se podía poner como f de x. 00:53:08
Ah, no. 00:53:11
F de x igual a lo que sea. 00:53:12
Y igual a f de x igual a lo que sea. 00:53:15
Pues si me pone y, yo pongo y. 00:53:17
Como la y no lleva a x. 00:53:19
Y ahora, ¿qué es? 00:53:21
Es una potencia. 00:53:22
¡Uy! Tiene exponente negativo. 00:53:24
¿Y qué me importa que tenga exponente negativo? 00:53:26
Juego con la misma regla. 00:53:29
¿Qué sería? 00:53:30
Bajo el menos 2, multiplicando. 00:53:31
Y la x se lleva, atención, cuidado que aquí hay, al menos 2, restándole 1. 00:53:34
Problema, que restándole 1 al menos 2, sería menos 2 menos 1. 00:53:41
Y menos 2 menos 1 sería menos 3. 00:53:46
y se deja así 00:53:49
y no tienes que hacer nada 00:53:50
¿de acuerdo? nada 00:53:53
y vamos ya por el último 00:53:58
que el último es 00:54:01
la última propiedad que vamos a ver hoy 00:54:04
novela 00:54:10
derivada de una 00:54:22
división 00:54:23
cuando digo de una división 00:54:25
tiene que pasar que en el 00:54:28
numerador, en el 00:54:30
denominador 00:54:31
y si no te acuerdas, lo de abajo 00:54:32
o haya letras, porque si en el denominador no hay letras, solamente hay números, se trabaja como un polinomio. 00:54:36
O pones todo en fracción y fuera. 00:54:46
Bien, ¿qué pasaría? 00:54:49
Es decir, en este caso, lo que tengo es f de x dividido entre g de x. 00:54:51
Yo quiero hacer la derivada. 00:55:10
Se diría, atención, yo suelo empezar por lo de abajo. 00:55:16
aquí te voy a escribir a pie puntilla 00:55:20
segunda fórmula bestia que tiene 00:55:22
yo empiezo por lo de abajo 00:55:25
porque es muy fácil 00:55:27
lo de abajo va a ser lo mismo de abajo 00:55:28
pero elevado al cuadrado 00:55:31
y normalmente eso 00:55:33
no lo vas a desarrollar 00:55:35
solo desarrollar si necesitas hacer algo después 00:55:36
y ya veremos el caso y si no tienes 00:55:39
y arriba 00:55:41
es lo mismo que la multiplicación 00:55:42
pero 00:55:46
en vez de un más va a ser un menos 00:55:47
Y aquí sí que no te puedes equivocar. 00:55:49
Es derivado de lo de arriba por lo de abajo sin derivar. 00:55:51
Es decir, el primero por el segundo. 00:55:57
Menos el primero sin derivar, el de arriba sin derivar, por la derivada de lo de abajo. 00:56:04
Si tuvieses que... 00:56:11
Lo de arriba sí vas a tener que desarrollarlo. 00:56:11
Lo de abajo nunca. 00:56:14
Esta es la fórmula de la derivada de la división. 00:56:17
Te la tienes que saber. 00:56:22
De igual forma que muchas veces te digo, mira, esto es casi imposible que te caiga. 00:56:24
Aprenderá. 00:56:30
Vamos a aplicarla, por ejemplo, con una muy fácil, que es la 21. 00:56:34
En la 21 empezaríamos la derivada de la función. 00:56:39
Recuerda que no me puedes decir que voy muy rápido porque lo puedes pausar y echar para atrás todo lo que quieras. 00:56:50
Empezaríamos. 00:56:56
Yo empiezo por lo de abajo. 00:56:57
Es x más 1. Pues yo lo pongo entre paréntesis. 00:56:59
y x más 1 al cuadrado. 00:57:01
Ese cuadrado yo no lo desarrollo, yo lo dejo así. 00:57:04
Siempre lo dejo así. 00:57:07
Lo de abajo lo pongo entre paréntesis al cuadrado afuera. 00:57:08
Es esto. 00:57:12
Y arriba empiezo. 00:57:13
Derivada de lo de arriba, pero derivada de un número de 0, 00:57:15
por lo de abajo sin derivar, x más 1, 00:57:18
menos. 00:57:22
Y ese menos nos va a dar la lata después para hacer las cosas. 00:57:25
El de arriba sin derivar, 1, 00:57:29
por la derivada de lo abajo, pero la derivada de lo abajo es 00:57:30
derivada de x más 1 es 00:57:33
ahora arriba 00:57:36
hago 40, en este caso no voy a tener ningún problema 00:57:38
dios gracias 00:57:41
¿por qué? porque la vida es maravillosa 00:57:42
a veces 00:57:45
entonces te lo han puesto de otra forma 00:57:46
que no hay complicación, abajo lo dejo igual 00:57:49
y ya fíjate, 0 por lo que sea 00:57:51
¿cuánto es? 00:57:53
y 1 por 1 es 1 00:57:56
0 menos 1 que te queda 00:58:00
menos 1 así que arriba te va a quedar 00:58:02
menos 1 partido de 00:58:04
x más 1 al cuadrado 00:58:07
ya está hecho 00:58:11
hemos empezado por uno suave 00:58:12
vamos a por el que no es tan suave 00:58:13
este de aquí 00:58:17
f de x 00:58:18
vamos a poner línea de fracción y empezamos 00:58:24
empiezo por abajo 00:58:27
estoy con el 22 00:58:30
lo de abajo sería 00:58:30
pues lo mismo que está 00:58:33
X al cubo más X elevado siempre al cuadrado. 00:58:36
Arriba, empiezo. 00:58:44
Derivada de lo de arriba, pero derivada de X al cuadrado menos 3 es 2X. 00:58:45
Por. 00:58:51
Por cierto, lo he puesto entre paréntesis, pero si la derivada no te queda una suma de la resta, 00:58:52
lo puedes poner sin paréntesis, ya me lo digo. 00:58:56
Lo de abajo sin derivar. 00:58:59
Lo de abajo sin derivar, X al cubo más X. 00:59:00
Menos. 00:59:04
lo de arriba sin tocar 00:59:04
x al cuadrado 00:59:06
menos 3 00:59:09
ya le he dado al botón que no es 00:59:10
sigo dando al botón que no es 00:59:14
por la derivada 00:59:19
de lo de abajo 00:59:21
pero la derivada de abajo sería 00:59:22
derivada de x al cubo más x sería 3x cuadrado 00:59:24
más 1 00:59:27
ahora bien 00:59:30
lo puedo dejar así 00:59:32
lo de abajo sí, lo de arriba 00:59:35
Entonces vamos con lo de arriba 00:59:37
Es decir, igual que vos hicimos uno fácil 00:59:40
Este hemos cogido el largo 00:59:43
Empezamos 2x por todo esto de aquí 00:59:44
Como es el primero 00:59:48
Se puede ya quitar paréntesis en cuanto lo hagas tú 00:59:50
Entonces 2x por x al cubo nos sale 00:59:53
2x elevado a 4 00:59:56
2x por más x 01:00:02
Pues más 2x elevado a 2 01:00:06
Bien 01:00:09
Hay un menos, pongo un menos 01:00:16
Y ahora, el siguiente 01:00:18
Como hay un menos 01:00:20
Y mientras que no controles cómo hacerlo rápido 01:00:22
Todo lo que te salga lo vas a dejar entre paréntesis 01:00:24
Todo 01:00:27
Por cierto, todo lo de abajo 01:00:28
Lo de abajo, ni lo toco 01:00:30
Lo de abajo se va a quedar igual 01:00:33
Como esto me va a salir muy largo 01:00:34
Voy a minimizar el tamaño de esto 01:00:37
Para que tenga opciones de ponerlo todo bien 01:00:40
Sería 01:00:42
Recuerda, es 01:00:45
Empiezo por este y lo debo multiplicar por todo esto 01:00:47
X cuadrado por 3X cuadrado 01:00:51
Pues 3X elevado a 4 01:00:54
X cuadrado por más 1 01:00:57
Pues más X cuadrado 01:01:00
Cuando es un 1 no hace falta poner un X cuadrado 01:01:03
Pero que si lo pones está bien 01:01:06
Ahora tengo que utilizar el menos 3 01:01:07
Y lo multiplico todo por menos 3. 01:01:10
Pues menos 3 por 3x cuadrado, pues me saldrá menos 9x al cuadrado. 01:01:13
Y menos 3 por más 1, pues menos 3. 01:01:22
Esto es la derivada que se me olvidó poner aquí, el simpleto de la derivada. 01:01:29
Bien, y ahora sigo. 01:01:35
Y hago ahora. 01:01:41
aunque puedo hacer una simplificación 01:01:52
previa, lo que hago 01:01:54
lo primero lo escribo igual 01:02:02
eso no cambia, pero este 01:02:04
menos de aquí 01:02:09
lo que hace es que va a 01:02:10
desaparecer a cambio 01:02:13
de cambiar 01:02:15
todos los signos que están 01:02:17
dentro del paréntesis, es decir 01:02:19
ese menos en amarillo desaparece 01:02:21
y a cambio tienes que cambiar 01:02:24
todos los signos de lo que está 01:02:25
dentro del paréntesis de su derecha si hubiesen más cosas después del paréntesis que no en este 01:02:27
caso eso no afecta solamente aquí está pegado a su derecha entonces recuerda ese menos hace 01:02:32
que desaparezca que va a desaparecer a cambio de cambiar todo esto de aquí es decir que lo 01:02:38
que tengo que hacer es volver a poner todos estos de aquí lo que vamos a quitarle eso 01:02:43
Bueno, vamos a dejarlo en azul para que se vea bien. 01:02:49
Y ahora ¿qué haces? Cambia todos los signos. 01:02:52
El 3 no es positivo, pasa a negativo. 01:02:54
El x cuadrado positivo a negativo. 01:02:56
El menos 9, más 9. 01:02:59
El menos 3, más 3. 01:03:00
Hay gente que me diría, ¿podría haber hecho ya alguna simplificación? 01:03:03
Si quisiera, sí. 01:03:05
Voy a quitar ya el 5. 01:03:06
He terminado, pues no es o no. 01:03:08
Ni no es o no. 01:03:11
Porque lo de abajo lo sigo dejando igual. 01:03:12
Es un poquito pesado. 01:03:17
Y ahora lo de arriba sí tengo que hacerlo. 01:03:19
Es decir, mira, este que es x cuarta, pues lo tengo que juntar con este que también es x cuarta. 01:03:21
Entonces serían 2 menos 3 menos 1x elevado a 4. 01:03:27
Este 1 se puede quitar, pues si lo quitas está bien y si no lo quitas también está bien. 01:03:38
En este caso te lo voy a dejar para que veas que no pasa nada si lo dejas. 01:03:43
Después tengo el 2x cuadrado, que solo puede ir con x cuadrado, 01:03:46
Pero es que en este caso tengo, si no he simplificado antes, tengo otro 2. 01:03:51
2 menos 1 es 1, más 9, pues más 10x al cuadrado. 01:03:55
¿Y qué me queda ya solo? Ese 3, que es un número que está suelto. 01:04:02
Pues mira, no tengo ni que pensar, más 3. 01:04:05
Ahora ya se acabó, ya se tengo. 01:04:09
Lo de abajo lo desarrollo, ni se te ocurre. 01:04:11
Lo de arriba sí, lo de abajo no. 01:04:13
Solo hacer lo de abajo si te hiciese falta por algún causal morro. 01:04:15
Vale, te voy a borrar esto para poder... 01:04:21
Bueno, no, te lo quito. 01:04:24
Ahora vamos a hacer el 23. 01:04:26
Recuerda que puedes poner pausa y lo que quieras. 01:04:27
En el 23, mismo rollo. 01:04:30
Vamos a coger, copiar y pegar. 01:04:33
Empezamos. 01:04:37
Tengo este arriba, este abajo. 01:04:38
Este va a ser más fácil. 01:04:40
Derivada de lo de arriba, derivada de x más 1, 1. 01:04:42
Por lo de abajo, sin derivada, x. 01:04:44
Como es una sola cosa, no pongo paréntesis. 01:04:46
menos el de arriba tal como está 01:04:48
x más 1 por la derivada de lo de abajo 01:04:51
pero la derivada de abajo es 1 01:04:53
y abajo es lo de abajo al cuadrado 01:04:54
abajo al cuadrado 01:04:57
igual 01:05:00
hago cuenta, 1 por x 01:05:02
pues mira, 1 por x es x 01:05:05
o 1x 01:05:07
menos 01:05:08
1 por x más 1 01:05:10
1 por x más 1 sería 01:05:13
x más 1, entonces ¿qué hago? 01:05:15
como me doy cuenta 01:05:17
ya sé que voy a tener que poner eso 01:05:18
pero cambiando de signo 01:05:20
por ese menos 01:05:22
y eso va a ser menos x 01:05:23
menos 1 01:05:25
y abajo sigue siendo x al cuadrado 01:05:27
total 01:05:31
y abajo me queda 01:05:34
x al cuadrado 01:05:36
y arriba x menos x 01:05:38
se van 01:05:41
si se van no se pone nada 01:05:41
solo se pone 0 cuando se va todo todo todo 01:05:43
pero en este caso me queda un menos 1 01:05:46
por lo tanto 01:05:48
Dejo menos 1 01:05:49
Y esa sería la derivada 01:05:51
Y con esto ya tenemos suficiente 01:05:53
Por hoy 01:05:57
Espero que os sirva 01:05:58
Sobre todo si no estuviste 01:06:00
O si estuviste y no se os quedó muy claro 01:06:02
Mucho ánimo 01:06:04
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es
Materias:
Matemáticas
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      • Primer Curso
      • Segundo Curso
    • Ciclo formativo grado superior a distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
Autor/es:
Andrés GR
Subido por:
Jose Andres G.
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Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 11:13
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB PAULO FREIRE
Duración:
1h′ 06′ 08″
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