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CLASE CCFF 24 DE MARZO - Contenido educativo

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Subido el 24 de marzo de 2026 por M.jose S.

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Ayer hicimos hasta el 17, 17 incluido. 00:00:00
Venga, pues hacemos el 17, ¿vale? 00:00:09
El 17, que dice, tienes que expresar el plano en todas las posibilidades, 00:00:12
es decir, en vectorial, en paramétricas y la general, 00:00:19
de un plano que pasa por el punto 0, 0, 0 que es el origen de coordenadas 00:00:25
y contiene a la recta menos x más 2 igual a 3y igual a 1 menos z 00:00:32
fijaros, aquí el problema es el mismo que hemos estado solucionando hasta ahora 00:00:46
Si un plano contiene una recta, pues contendrá a dos puntos de la recta o a su vector director y un punto. 00:00:52
Si yo cojo, ya sabéis que ayer os lo insistí y vuelvo a insistirlo, que es importantísimo que tengáis claro que para poner la ecuación de un plano 00:01:02
necesitáis un punto y dos vectores directores o tres puntos. 00:01:13
Entonces, os han dado un punto, pero os dicen que esa recta está dentro del plano. 00:01:16
Es decir, que yo para conseguir los tres puntos solo tengo que coger dos puntos de la recta y ya tengo los tres puntos del plano. 00:01:23
¿De acuerdo? ¿Me seguís? 00:01:33
O, si queréis, el vector director de la recta y un punto, porque también me serviría cualquiera de las cosas. 00:01:35
El otro es el 0, 0, 0. 00:01:43
si, el otro ya me lo dan, es un plano que pasa por el punto, el origen de coordenadas, que es el 0, 0, 0, entonces, y me dicen que esta recta está dentro del plano, contiene, el plano contiene esta recta, luego si yo saco dos puntos de la recta, ya tengo tres puntos del plano, ¿no?, y con tres puntos del plano, ya sabéis, cojo un punto y cojo los dos vectores directores y resuelvo, a ver si sois capaces, venga, 10 minutos, os dejo 10 minutos, 00:01:44
ya sabéis que para sacar puntos de una recta 00:02:13
le dais valor a la X y sacáis la Y 00:02:15
y con ese valor de la Y sacáis la Z 00:02:17
ya empiezan a trabajar 00:02:19
con los tres puntos del plano 00:02:29
ya coges uno de los puntos 00:02:32
y primero haces los dos vectores directores 00:02:33
o sea, si tú tienes tres puntos 00:02:37
puedes hacer este vector director 00:02:39
y este vector director 00:02:42
y luego con el punto que quieras 00:02:43
con uno de los tres, pues ya tienes un punto 00:02:46
y dos vectores directores 00:02:47
o sea, tú tienes que coger 00:02:48
para sacar valores en la recta 00:02:51
para sacar puntos de la recta 00:02:53
tienes que coger por un lado esta igualdad 00:02:55
y por otro esta 00:02:57
con esta 00:02:58
claro, no, por eso te digo 00:03:00
que no es así, o sea, tú no puedes coger 00:03:04
esto por un lado, esto por otro, no 00:03:05
tú coges esta, y de aquí 00:03:07
dándole valor a la y, a la x, sacas la y 00:03:09
y con el valor de la y, coges este 00:03:11
y sacas el valor de la c 00:03:13
para sacar puntos de la recta 00:03:14
yo tengo que dar valores a la x primero 00:03:32
como le decía a vuestro compañero 00:03:34
yo cojo estas dos y digo 00:03:35
si le doy valor 1 a la x 00:03:37
entonces tendría 00:03:39
menos 1 más 2 00:03:41
igual a 3i, 1 igual a 3i y igual a un tercio y con esto, con este valor me voy a la otra ecuación, 3i igual a 1 menos z y entonces si aquí pongo 3 por un tercio igual a 1 menos z 00:03:43
me sale 3, 1, menos 1 igual a z, z igual a 0 00:04:04
luego mi siguiente punto es el punto 1, 1 tercio, 0 00:04:10
y ahora le voy a dar otro valor, ¿qué otra vez le doy? 00:04:18
2 por ejemplo, pues menos 2 más 2 igual a 3i 00:04:21
0 igual a 3i y igual a 0 00:04:28
y con este valor 3 por 0 igual a 1 menos z, 0 igual a 1 menos z, z igual a 1, luego el siguiente punto es el punto 2, 0, 1, ¿de acuerdo? 00:04:33
¿Vale? Tengo esos dos puntos 00:04:52
Entonces, ahora ya me olvido de todo 00:04:55
Y ya lo que tengo que hacer es hacer 00:04:58
La ecuación de un plano 00:05:00
Que pasa por esos tres puntos 00:05:04
Entonces, para eso hago 00:05:06
Cojo un punto 00:05:08
El 0, 0, 0 00:05:10
Y dos vectores directores 00:05:12
Si este es el punto A 00:05:15
Este es el punto A 00:05:17
Este es el punto B 00:05:18
Y este es el punto C 00:05:20
Si hago el punto es el punto 0, 0 y ahora el vector AB es el vector 1, 1 tercio, 0 y el vector AC es el vector 2, 0, 1. 00:05:22
Luego ya lo tengo, si quiero sacar ya tengo un punto y tengo dos vectores directores. 00:05:42
Si quiero sacar la ecuación general, pues tengo x menos la primera componente del punto, que es 0, y menos la segunda y z, porque menos 0. 00:05:47
Y aquí pongo 1, un tercio, 0 y 2, 0, 1. 00:06:00
Si hago esto, por aquí me queda un tercio de X, esto es cero y esto es cero y por aquí me quedan menos dos tercios de Z, cero y menos Y. 00:06:06
luego lo que tengo este sería mi plano, mi plano sería un tercio de X menos Y menos dos tercios de Z igual a cero. 00:06:22
¿Por qué te salía 8 si esto es 2? No, porque si yo pongo 2, menos 2 más 2 es 0, 0 y es 0, 00:06:38
Y si yo aquí pongo 0, 0 es igual a 1 menos Z, pues Z igual a 1. 00:06:47
Bueno, pero está claro, ¿no? 00:06:53
Cómo lo he hecho. 00:06:54
Sí, ya al final he llegado. 00:06:55
Vale. 00:06:57
Bueno, el siguiente. 00:06:59
¿Puedo pasar? 00:07:00
Pues estáis copiando. 00:07:01
No, porque si esto es 0, la Y es 0, no 3. 00:07:03
Eso lo veo yo. 00:07:08
Claro. 00:07:09
Bueno, ¿ya puedo? 00:07:12
Ya puedo. 00:07:13
Vamos al siguiente. 00:07:14
el 18 es exactamente igual 00:07:15
me dicen que hay en la ecuación del plano 00:07:18
que pasa por el punto m 00:07:22
que es el punto menos 1, 2, 1 00:07:23
y que contiene a la recta 00:07:27
x igual a menos 2 lambda 00:07:32
y igual a 2 menos lambda 00:07:35
y z igual a menos uno más tres data. 00:07:39
Este es el mismo ejercicio prácticamente, 00:07:46
la única diferencia es que aquí en vez de darme en forma continua la recta, 00:07:49
me las dan paramétricas, entonces para sacar los dos puntos que necesito, 00:07:55
exactamente igual que en la otra, yo en la otra daba un valor a la x y despejaba, 00:07:59
si me las dan en paramétricas para sacar puntos de la recta, 00:08:05
tengo que darle un valor a la lambda 00:08:09
y me sale la x, la y y la z 00:08:12
1 y 3 00:08:14
y el 1, 1 y 3 como te sale 00:08:16
no, no, no, ese sería 00:08:17
ese no 00:08:19
si lo haces así 00:08:20
puedes hacerlo 00:08:22
pero entonces tendría, el punto sería 00:08:25
el 0, 2, menos 1 00:08:27
¿vale? y el vector director 00:08:28
sería el menos 2, menos 1, 3 00:08:31
pero ya no serían dos puntos 00:08:33
ya estaría, habría escogido 00:08:35
un vector director y un punto, ¿de acuerdo? 00:08:37
O sea, porque este es el punto y este es el vector director. 00:08:39
Entonces, si lo quieres hacer así, lo puedes hacer así. 00:08:43
Pero si quieres sacar dos puntos, como hemos hecho con la otra, 00:08:45
que es lo que hemos hecho exactamente igual, que tenemos nuestro plano y la recta. 00:08:48
Entonces, yo saco dos puntos. 00:08:54
Para sacar puntos, cuando te las dan en paramétrica, solo tienes que darle un valor a la lambda. 00:08:56
Si le das valor 1, te salen tres valores. 00:09:01
Si le das valor 2, te salen otro punto. 00:09:03
Y así sucesivamente. 00:09:06
Aquí está. 00:09:07
¿Vale? 00:09:07
Venga. 00:09:08
Todo vuestro. 00:09:09
que es el número que he cogido yo, 00:09:09
es así, este es así, un tercio por tres, 00:09:10
este es cero, 00:09:13
entonces ahora es uno por uno, 00:09:15
un y menos un tercio por dos, 00:09:16
que son y, 00:09:20
totalmente, 00:09:21
o sea, lo normal, 00:09:22
luego haces dos tercios por x, 00:09:24
menos dos tercios por uno, 00:09:26
es que has juntado todo, 00:09:28
o sea, lo has hecho muy complicado, 00:09:31
es mucho más, 00:09:32
el punto, 00:09:35
y luego, como haces, 00:09:36
¿Ya lo hago? 00:09:37
¿Lo hago? 00:09:42
¿Cómo vais? 00:09:44
¿Cómo vais? 00:09:46
¿Lo hago? 00:09:46
¿Qué puntos te salen? 00:09:46
X, 0 y 2, que son los dos diferentes, pues, pero aquí tienen menos que z, ¿lo hago? 00:09:48
¿Vale? 00:09:54
Bueno, a ver, como tengo la recta, me la dan con sus paramétricas, para calcular un punto o puntos de la recta, 00:09:54
solo tengo que dar diferentes valores a la lambda. 00:10:02
Si le doy a la lambda el valor 0, entonces el punto que me sale es x es 0, esto es 2 y esto es menos 1. 00:10:05
Y si le doy el valor 1, me saldría x menos 2 y sería 2 menos 1 que es 1 y z sería menos 1 más 3 que es 2. 00:10:18
tengo esos dos puntos, podéis sacar los que queráis, podéis darle al lambda el valor que queráis 00:10:35
una vez que tengo esto yo digo bueno pues voy a coger este punto y dos vectores 00:10:42
el vector MA que es este menos este que es el 1, 2 menos 2, 0 y menos 1 menos 1 menos 2 00:10:46
y el mb, que es este menos este, menos 2 menos menos 1 es menos 1, 1 menos 2 es menos 1 y 2 menos 1 es 1, ¿vale? 00:10:57
Y el punto que voy a coger es el m, el menos 1, 2, 1, por lo tanto para sacar la ecuación de mi plano yo hago 00:11:11
x menos la primera componente del punto y menos la segunda y z menos la tercera 00:11:20
y aquí los dos vectores, 1, 0, menos 2, menos 1, menos 1, 1, si hago esto, esto es 0, esto es menos 1 por esto que es, esto es 0, 00:11:27
esto es menos 1 por esto que es menos z más 1 y esto por esto que es menos 1 por menos 2 es 2, luego más 2 y menos 4, eso por un lado, 00:11:42
luego por esto, esto es 0 y esto es 2 por esto que es menos 2X menos 2 y esto por esto por esto que es 1 pues menos Y más 2, multiplico, multiplico, o sea yo, os lo podéis sacar fuera si queréis, 00:11:55
pero, o sea, si yo hago esto y hago esto, esto por esto es 1 por menos 1 y por z menos 1, 1 por menos 1 es menos 1, por z menos 1 es menos z más 1, que es esto, y así todos, ¿de acuerdo? 00:12:16
vale, bueno y ahora si ordeno 00:12:34
todo esto, me queda 00:12:37
menos 2X 00:12:39
más 2Y menos Y 00:12:40
es más Y 00:12:45
menos Z 00:12:46
y números tengo 00:12:49
menos 3 00:12:51
igual a 0 00:12:54
este es el plano 00:12:55
¿os daba ese? ¿por qué? 00:12:57
¿cuál te ha dado? 00:13:00
algún número de trabajo, pero da igual, aunque cojas otros puntos 00:13:01
algo te ha pasado 00:13:03
vale, bueno 00:13:04
hacemos el siguiente 00:13:06
a ver, el siguiente lo voy a hacer yo que es un poco raro 00:13:08
pero para que veáis 00:13:10
como, vamos a ver 00:13:11
dice, te dan 00:13:14
tres puntos 00:13:16
un punto A, que es el punto 00:13:17
1, M 00:13:20
2, un punto 00:13:22
B, que es el 00:13:24
punto 2 00:13:26
3, M 00:13:27
y un punto C 00:13:30
que es el punto menos 1, menos 9, 8 00:13:32
y me dicen que cuánto tiene que valer esta M para que estos tres puntos estén alineados 00:13:39
aquí lo primero que hay que saber es que para que tres puntos estén alineados 00:13:44
tienen que estar en la misma recta 00:13:49
es decir, que si yo cojo estos dos y hago la recta que pasa por esos dos puntos 00:13:53
tiene que pasar que este punto tiene que cumplir esa ecuación, entonces, si yo hago la recta que pasa por dos puntos, ya sabéis que cojo un punto, el 1, m, 2, y un vector director, el vector director a, b, que es el vector 2, menos 1, 1, 3, menos m, y m, menos 2, ¿vale? 00:13:59
Entonces, la recta que pasa por estos dos puntos, si hago la continua, por ejemplo, sería x menos 1 partido por 1 igual a y menos m partido por 3 menos m igual a z menos 2 partido por m menos 2. 00:14:27
Acordaros que cuando yo tengo la recta que pasa por dos puntos, saco el punto y el vector director restándolos. 00:14:51
Y luego para montar la continua yo monto, estos son los componentes del punto y estos son los componentes del vector. 00:14:58
Muy bien, pues ahora yo digo, esta es la ecuación que tiene que cumplir esto. 00:15:06
Luego tiene que cumplirse esto y tiene que cumplirse esto. 00:15:11
Bueno, pues x es menos 1, menos 1 menos 1 partido por 1 tiene que ser igual a y que es menos 9, menos 9 menos m partido de 3 menos m. 00:15:16
¿De dónde? Menos 2 tiene que ser igual a menos 9 menos m partido de 3 menos m. 00:15:33
Esto pasa multiplicando, menos 2 por 3 menos m, tiene que ser igual a menos 9 menos m, esto es menos 6 más 2m, tiene que ser igual a menos 9 menos m, luego si esto pasa aquí, esto es un 3 y si esto pasa ahí es igual a menos 3m, de donde m es menos 1. 00:15:44
yo lo único que he hecho ha sido 00:16:11
recta que pasa por dos puntos 00:16:13
cojo este punto y hago el vector 00:16:15
director, el vector director lo hago restando 00:16:18
2 menos 1, 1 00:16:20
3 menos m, 3 menos m porque no sé lo que 00:16:21
vale m y m menos 2 00:16:24
porque no sé lo que vale m 00:16:26
y ahora monto la ecuación 00:16:27
la ecuación 00:16:30
continua de la recta 00:16:31
que es x menos la primera componente 00:16:34
del punto 00:16:37
partido de la primera componente 00:16:39
del vector, igual a y menos 00:16:41
la segunda componente del punto 00:16:43
partido de la segunda componente del vector 00:16:44
y z menos la tercera componente 00:16:46
del punto partido de la tercera componente 00:16:49
del vector 00:16:51
y ahora, esto ya está, ahora tengo que 00:16:51
comprobar 00:16:54
que este punto tiene que cumplir 00:16:55
esto, es decir, que donde pone 00:16:59
x, yo pongo el valor de la x 00:17:01
y si pone y, esto 00:17:02
tiene que pasar, porque si no 00:17:05
ese punto no está en la recta, si un punto 00:17:07
es que, a ver, la ecuación de una recta 00:17:08
Colocación de un plano es la ecuación que tiene que cumplir todos los puntos del plano y todos los puntos de la recta, eso es una cosa que tenéis que tener en la cabeza, es decir, si un punto pertenece a la recta, si yo las coordenadas del punto las meto en la ecuación, tiene que cumplirse la ecuación. 00:17:10
Entonces, si esta es mi ecuación, si yo ahora meto donde pone x pongo menos 1, donde pone y pongo menos 9 y donde pone z pone 8, esto me tiene que salir, porque si no, no pertenece al punto. 00:17:28
Entonces yo digo, cojo estas dos y digo, donde pone x pongo menos 1 y donde pone y pongo menos 9 y esto es una ecuación que para que esto se cumpla la desarrollo y sale que m tiene que ser menos 1. 00:17:41
Luego, para que este punto pertenezca a esta recta, m tiene que valer menos 1, es decir, la ecuación de esta recta, para que este punto esté en esta recta, para que estos tres puntos estén alineados, este punto tiene que ser el punto 1, menos 1, 2, este punto tiene que ser el punto 2, 3, menos 1, y este punto es el punto menos 1, menos 9, 8. 00:17:57
Estos tres puntos están alineados. ¿Por qué? Porque la recta que une A y B, este punto está dentro de esa recta. 00:18:23
Luego están aquí acá. Tres puntos están alineados, si cojo dos de ellos y saco la ecuación de la recta y compruebo que el tercero cumple la ecuación de esa recta. 00:18:33
Que un punto cumpla la ecuación de una recta quiere decir que si yo en la ecuación meto los valores de X, Y, Z, esto se cumple. 00:18:45
Eso es que cumple una ecuación. 00:18:55
¿Y el 8 por qué no se pone? 00:18:57
Puedes coger el 8 también. 00:18:59
Si en vez de coger estas dos para hallar M, coges estas dos, imagínate que coges estas dos. 00:19:01
Ah, vale, que tú has cogido solo X, Y... 00:19:06
He cogido estas dos. 00:19:08
Vale, vale, vale. 00:19:09
Cojo estas dos y de ahí saco el valor de M, porque lo que yo ando buscando es el valor de M. 00:19:10
pero si quiero puedo coger estas dos 00:19:14
o estas dos, me da igual 00:19:16
te va a salir el mismo valor 00:19:18
¿de acuerdo? 00:19:19
vale 00:19:22
y ahora dice, ah ya la ecuación del plano 00:19:22
tenemos los tres puntos otra vez 00:19:26
2, 3 00:19:35
y C 00:19:38
menos 1 00:19:40
menos 9, 8 00:19:42
me dice, si m es 0 00:19:44
haya 00:19:46
el plano que pasa por esos 3 puntos 00:19:48
siendo m 0, es decir 00:19:50
hallar el plano que pasa por los puntos 00:19:52
1, 0, 2 00:19:54
2, 3, 0 00:19:58
y c 00:20:01
menos 1, menos 9 00:20:02
¿vale? es la segunda 00:20:05
¿vale? hallar el plano que pasa por la ecuación 00:20:08
del plano que pasa por esos tres puntos 00:20:10
o sea, el ejercicio dice 00:20:12
que hay es el valor de m para que esos tres puntos 00:20:14
estén alineados y luego la segunda parte 00:20:16
dice, suponiendo que m es 0 00:20:18
haya la ecuación del plano que contiene 00:20:20
a esos puntos, es decir, que pasa por 00:20:22
¿el qué? 00:20:24
me pierdo haciendo la ecuación 00:20:32
pues sácate, haz lo que yo te he hecho 00:20:33
antes, sácatelo fuera 00:20:36
sácatelo fuera, aquí 00:20:37
sácatelo fuera, este por este por este 00:20:39
bueno, este es 0, pero este por este 00:20:42
y por este, pues 1 por menos 1 y por z 00:20:43
menos 1, haces esto 00:20:46
y luego ya esto por esto, esto por esto 00:20:47
es que no tiene mayor 00:20:49
sácatelos fuera 00:20:51
si no lo puedes hacer de cabeza 00:20:53
que yo entiendo que no lo puedes hacer de cabeza, si no estás acostumbrado 00:20:55
pues te lo sacas fuera y luego 00:20:58
este por este por este 00:20:59
pues menos 1 por menos 2 por y menos 2 00:21:01
siempre con sus paréntesis 00:21:03
y lo vas haciendo, si es que no tiene 00:21:05
ningún secreto 00:21:08
¿Cómo aparte? La x, la y, la z. 00:21:09
¿Cómo aparte? 00:21:13
Pues acá 9. 00:21:13
Sí, pues menos 9 por menos 8 son 72. 00:21:14
Y ahora por x menos 1, si tienes 72, por x menos 1, pues multiplicas esto por esto y esto por esto. 00:21:17
72x menos 72. 00:21:25
Y eso es lo que pones aquí y luego lo vas poniendo y luego ya sumas. 00:21:27
No estás resolviendo una ecuación, ¿eh? 00:21:31
Estás operando. 00:21:33
Resolver una ecuación es otra cosa. 00:21:35
Estás operando simplemente para sacarlo 00:21:37
No pasa nada, si te vale 00:21:40
Si no queréis lo hago, ¿eh? 00:21:42
¿Lo hago? 00:21:43
¿Lo hago? 00:21:45
Bueno, tengo tres puntos 00:21:47
Entonces voy a coger un punto, este 00:21:49
Y dos vectores 00:21:51
El AB 00:21:52
Que es el 1, 3, menos 2 00:21:53
Y el AC 00:22:00
que es el menos 2, menos 9, 6, vale, y ahora x menos 1, y z menos 2, y 1, 3, menos 2, y aquí menos 2, menos 9, 6, 00:22:02
multiplico 00:22:27
6 por 3 es 18 00:22:30
18 por x menos 1 es 18x menos 18 00:22:33
este por este es menos 9 00:22:37
menos 9 por esto es menos 9z más 18 00:22:40
y esto por este y por esto son 4 por y más 4y 00:22:44
pero ¿qué vectores hace? 00:22:50
Tienes tres puntos, pues no sé qué vectores has hecho. 00:22:53
Yo he hecho el AB, es decir, B menos A, y el AC, es decir, C menos A. 00:22:58
Coges el BC y te da más alto. 00:23:01
Y luego, si voy por el otro lado, esto es menos 3, veo menos 6, que es 6, que es más 6Z, menos 12, 00:23:04
y por aquí es 18 que es menos 18x más 18 y esto por este menos 6y, bueno pues voy a ello, a ver, x, x tengo 18 menos 18, se me van, 00:23:14
x tengo 00:23:34
4 y menos 6 00:23:37
menos 2 y 00:23:40
z tengo 00:23:40
9 y más 6 00:23:43
que es menos 3 z 00:23:46
y números tengo 00:23:47
este se me va con este 00:23:49
menos 12 más 18 más 6 00:23:50
igual a 0 00:23:53
¿os da este? 00:23:55
¿cuál te da? 00:23:58
da igual, eso da igual 00:23:59
te tiene que dar este o cualquiera 00:24:00
que sea este multiplicado por un número 00:24:03
si es por menos uno, cambia todo 00:24:06
el signo, es el mismo plano 00:24:08
si es la este, pero todo multiplicado por dos, es el mismo plano 00:24:09
si es la este, siempre es el mismo 00:24:12
a ver 00:24:14
no, lo tienes que hacer 00:24:14
o sea, tú lo has hecho 00:24:16
no, no puedes escoger 00:24:19
primero esta 00:24:21
3 por 2, 6 00:24:22
6 por x, menos uno 00:24:24
siempre es esa diagonal, ¿no? 00:24:26
siempre la primera esta 00:24:28
¿pero en otro caso no sería al contrario? 00:24:29
No, no, no, siempre es, los determinantes siempre se hacen igual, tengas lo que tengas, primero esta, o sea que es esta por esta por esta, luego esta por esta por esta, que sería menos 9 por z menos 2, 00:24:33
y luego este por este y por este que es más 4 por Y 00:24:48
y ahora en este lado negativo, menos 2 por 3 es menos 6 00:24:58
como es negativo pues más 6 por Z menos 2 00:25:04
este por este que es 18 como tengo que restar pues menos 18 por X menos 1 00:25:08
y luego este por este por este que es 6 luego menos 6 00:25:15
y ahora ya, este por este y por este 00:25:18
este por este y por este 00:25:21
porque estoy 00:25:23
a este lado 00:25:27
es 1 por i por 6 00:25:29
es 6i, como tengo que restar 00:25:31
porque estoy en el lado 00:25:33
de esta manera, pues es menos 6 00:25:34
cuando lo hago en esta dirección 00:25:37
sumo, cuando lo hago en esta dirección resto 00:25:39
¿vale? 00:25:41
la x se te tiene que 00:25:43
la x se te tiene que 00:25:45
Vamos a ver, lo primero que decimos son, menos uno menos nueve ocho, ah, estos son, menos uno menos nueve ocho, dos, tres, c, a, c, a es c, menos a, menos uno menos uno, si haces uno menos menos uno es uno más, si haces cero menos menos nueve es más nueve, y si haces dos, y ahora, menos dos, menos dos, menos nueve, menos tres, se mejora. 00:25:45
bueno, vamos a ver 00:26:13
vamos a hacer el 20 00:26:35
el 20 dice 00:26:38
haya el plano 00:26:40
que contiene a la recta 00:26:41
y igual a 1 más x 00:26:45
z igual a menos 1 menos 2 y 3 00:26:48
esta es una recta 00:26:54
y es paralelo a la recta 00:26:56
x más 1 partido por 3 00:26:59
igual a 1 menos y 00:27:02
igual a z partido por 3 00:27:04
es decir 00:27:07
a mí me dicen 00:27:09
Que esa recta, que es la recta R, está aquí 00:27:11
Luego yo de esta recta puedo sacar dos puntos 00:27:16
Porque está en el plano, ¿no es así? 00:27:19
Y además me dicen que el plano es paralelo a esta recta 00:27:22
Entonces tiene el vector director 00:27:27
O sea que como puedo sacar dos puntos de esta 00:27:30
Cojo el vector director de esta y saco dos puntos 00:27:33
Ya tengo, puedo sacar este vector director 00:27:37
tengo este también y un punto 00:27:39
¿me he explicado? 00:27:42
claro, lo primero que hay que pensar 00:27:44
luego ya se ve como se hacen las cosas 00:27:47
pero lo primero que hay que pensar es en la geometría 00:27:49
en que es lo que me dan 00:27:51
y que quiero conseguir 00:27:53
yo siempre quiero conseguir lo mismo 00:27:55
o tres puntos 00:27:57
o un punto y dos vectores directores 00:27:58
o un vector director y dos puntos 00:28:00
dos vectores y un punto 00:28:03
pero los vectores como los consigo 00:28:06
puedo conseguirlos teniendo otros dos puntos 00:28:09
o puedo conseguir un vector y dos puntos 00:28:12
es decir, de varias maneras 00:28:15
entonces a mí lo que me dicen es 00:28:17
que eso que yo quiero conseguir 00:28:19
lo tengo que sacar de esta recta 00:28:22
que está dentro del plano 00:28:25
entonces si yo, la recta está dentro del plano 00:28:26
yo puedo sacar dos puntos del plano 00:28:30
si yo saco dos puntos de esta recta 00:28:32
ya saco dos puntos del plano 00:28:34
¿vale? ¿y cómo saco 00:28:36
el tercer punto? porque no puede 00:28:38
ser que esté aquí, no puedo sacar 00:28:40
tres puntos de la recta, pues ya os dije que 00:28:42
los puntos no pueden estar alineados 00:28:44
los tres puntos no pueden estar en una línea 00:28:45
entonces, digo, bueno, pues 00:28:48
¿cómo hago? esta recta 00:28:50
no tiene, no está en el plano 00:28:52
luego, los puntos de esa recta 00:28:54
y el plano no tienen nada que ver, pero si me 00:28:56
dicen que el plano 00:28:58
este plano es paralelo 00:29:00
a esta, es decir, yo sé 00:29:02
que el vector director de esta recta 00:29:04
es vector director de este plano 00:29:06
porque son paralelos 00:29:10
luego si yo saco el vector director de esta 00:29:11
y dos puntos de esta 00:29:15
ya tengo un vector director 00:29:18
y dos puntos 00:29:22
saco el otro vector director 00:29:23
y ya tengo un punto 00:29:25
ahora, ¿cómo saco el vector director de esta? 00:29:26
¿en qué forma está dada esta? 00:29:32
esta recta, no, esa es continua, pero ojo que ya os dije, mirarlo bien, porque esto hay que cambiarlo, 00:29:34
para que esté en la continua de verdad, esta recta tiene que ser la recta, x más 1 partido por 3 igual, 00:29:43
Igual, la i tiene que venir a i, i menos 1 partido de menos 1, es decir, para que esto cambie y esto se quede positivo, 00:29:56
tengo que multiplicar y dividir por menos 1, ¿de acuerdo? 00:30:05
Igual a z partido por 3. 00:30:09
Ahora sí, ¿cuál es el vector director de esa recta? 00:30:14
El 3 menos 1, 3. 00:30:18
Entonces luego ya tengo un vector, este, este es el 3, menos 1, 3. 00:30:19
Y ahora sacad dos puntos de aquí, dais dos valores a la x y sacáis las x y las z. 00:30:30
Sacáis dos puntos de esa recta. 00:30:35
Con esos dos puntos sacáis el otro vector y ya tenéis un punto y un punto. 00:30:38
Sacad dos puntos de la recta. 00:30:43
ya tenéis un vector director del plano 00:30:45
que es el vector director de la recta 00:30:48
que es paralela al plano 00:30:50
claro, o sea yo para que esa y 00:30:51
me quede positiva 00:30:55
¿qué tengo que hacer? multiplicarla por menos uno 00:30:56
luego si multiplico lo de arriba por menos uno 00:30:58
tengo que dividirlo por menos uno 00:31:00
para que se me quede igual 00:31:02
cuando yo organizo la continua 00:31:03
lo que hago es multiplicar arriba y abajo 00:31:06
por el número que me deja 00:31:08
la x libre, la y libre 00:31:09
Bueno, lo voy a hacer 00:31:12
A ver 00:31:27
Vuelvo a hacer 00:31:28
A explicar el razonamiento 00:31:31
Me dicen que yo tengo que montar la ecuación de un plano 00:31:32
Que contenga a esta recta 00:31:34
Y que sea paralelo a esta 00:31:37
¿Vale? 00:31:39
Entonces yo me imagino el plano 00:31:40
Y yo digo 00:31:42
Tengo la recta R 00:31:46
que está dentro del plano 00:31:47
y una recta que va por aquí 00:31:49
como sea, que es la recta S 00:31:51
que no toca el plano 00:31:54
yo como siempre busco 00:31:57
siempre busco tres puntos del plano 00:32:01
dos vectores del plano 00:32:04
y un punto 00:32:06
un vector y dos puntos 00:32:07
en fin, algo que me permita 00:32:08
montar la ecuación del plano 00:32:11
entonces, yo digo 00:32:13
si la recta esta está aquí 00:32:14
de aquí ya puedo sacar dos puntos del plano 00:32:17
porque está en un plano 00:32:19
si yo saco dos puntos de esa recta 00:32:22
ya tengo dos puntos 00:32:24
¿vale? 00:32:26
bueno, pues ¿cómo saco dos puntos? 00:32:27
pues si le doy a X el valor 1 00:32:29
entonces la Y será 2 00:32:31
y la Z será 00:32:33
menos 1 menos 2 00:32:38
que es menos 3 00:32:40
o sea que un punto sería el punto 00:32:40
1, 2, menos 3 00:32:45
Y si a la X le doy el valor cero, la Y será uno y la Z será menos uno. 00:32:47
Luego el otro punto es el punto cero, uno, menos uno. 00:32:59
Y así yo podría elevar los A a X y sacar todos los cero, ¿de acuerdo? 00:33:03
Tengo los dos puntos, ya tengo dos puntos. 00:33:07
Y ahora digo, necesito otro punto, porque no me vale otro punto de aquí porque están alineados. 00:33:10
otro punto o un vector 00:33:17
director, entonces digo, bueno 00:33:19
pero es que yo lo que sí sé es que 00:33:21
el vector director de esta, la dirección 00:33:23
de esta, como es 00:33:25
paralela 00:33:27
es un vector director de esta 00:33:28
luego digo, bueno, pues saco el vector 00:33:31
director de esta, me lo dan 00:33:33
en continua, pero con un 00:33:35
matiz, y es que esto me lo dan 00:33:37
cambiado, bueno, pues lo pongo bien, multiplico 00:33:39
por menos uno y entonces me queda así 00:33:41
y veo que el vector es este, luego 00:33:43
al final lo que tengo para construir mi plano es dos puntos, un punto A, 1, 2, menos 3, 00:33:45
un punto B, 0, 1, menos 1 y un vector V que es el 3, menos 1, 3. Bueno, pues digo, bueno, 00:33:55
pues ahora con los dos puntos A y B, monto el vector A y B, que sería menos 1, menos 1 y 2, y ya tengo estos dos vectores y un punto, este mismo, cualquiera de ellos me vale, 00:34:06
y ya, pues como siempre, x y menos 1 y z más 1 y aquí tengo 3, menos 1, 3 y aquí tengo menos 1, menos 1, 2 00:34:24
y esto es, esto por esto por esto son menos 2X, esto por esto son menos 3 que por Z son menos 3Z y por 1 son menos 3 00:34:43
y este por este por este es menos 3 por Y que es menos 3Y más 3, en este sentido esto es 1, 1 que es menos 1 00:34:56
luego menos zeta, menos 1, menos 3 que es 3, más 3x, y este por este por este que son 6, que es menos 6, menos 6y, más 6. 00:35:08
Organizo, x tengo menos 2 y 1, 1 00:35:21
x tengo menos 3 y menos 6 que es menos 9 00:35:26
z tengo menos 3 y menos 1 que es menos 4 00:35:32
y números tengo, este se me va con este, menos 1 más 6 que son 5 00:35:38
Este es mi plano 00:35:44
¿Entendéis el razonamiento? 00:35:49
¿entendéis el razonamiento? 00:35:52
si esta recta está en este plano 00:35:54
todos los puntos de esa recta pertenecen al plano 00:35:56
si esto está en este plano 00:35:59
pues este punto está ahí 00:36:01
también, entonces 00:36:03
dos puntos de cualquiera 00:36:04
de esta recta son dos puntos del plano 00:36:06
si yo pudiese 00:36:08
con tres puntos alineados 00:36:11
montar la ecuación del plano 00:36:13
pues sacaría otro punto y ya está 00:36:14
pero es que no puedo, porque si los puntos están alineados 00:36:16
solo tengo un vector de dirección 00:36:18
no tengo más, entonces necesito 00:36:20
otro vector, otro punto 00:36:22
pero no me da 00:36:24
lo único que me dicen es que es paralela a esta 00:36:26
pues entonces yo digo, bueno vale, pero si es paralela 00:36:28
el vector de dirección de esta es un vector 00:36:30
de dirección de esta, el vector de dirección 00:36:32
es este y monto mi 00:36:34
¿te tiene que dar eso o algo? 00:36:36
cambiado, cambiado 00:36:38
pues ya está, entonces está bien 00:36:39
no, tiene que ser múltiplo 00:36:42
es decir 00:36:44
me da menos x 00:36:45
más 9 y mirega 00:36:47
Esto es 00:36:49
AS5 00:36:51
¿De acuerdo? 00:36:53
¿Está claro? 00:36:57
Pero me has hecho la paramétrica de estas 00:36:58
Bueno 00:37:01
Y ya sacas el vector y un punto 00:37:03
También 00:37:05
Es más complicado 00:37:06
Es más complicado, ¿no? 00:37:08
Es más complicado porque 00:37:10
¿Cómo sacas las paramétricas? 00:37:11
Bueno, también 00:37:15
Has puesto X igual a lambda 00:37:16
Igual a 1 más lambda 00:37:17
y z igual a menos 1 menos 2 lambda 00:37:19
si, es correcto 00:37:21
y entonces si tienes eso 00:37:22
tienes un punto de la recta 00:37:24
sería el punto 00:37:27
0, 1, menos 1 00:37:28
y el vector 00:37:30
de dirección sería 00:37:33
el 1, 1, menos 2 00:37:35
y te tiene que dar 00:37:37
bien, exactamente igual 00:37:39
que era esa 00:37:40
podrías hacer eso igual 00:37:42
o sea, eso es correcto 00:37:45
pero eso os digo que a mi me da lo mismo 00:37:47
tener sacar dos puntos y hacer 00:37:49
o sacar el vector de dirección de esta 00:37:51
y un punto 00:37:53
es indiferente, es más complicado 00:37:53
bueno, más complicado 00:37:57
yo es que lo veo mejor así 00:37:58
porque directamente sacas el vector 00:38:00
y el punto 00:38:02
pero si sacas dos puntos también sacas un vector 00:38:03
sabes, te da lo mismo 00:38:06
los dos razonamientos 00:38:08
son correctos, vale 00:38:10
bueno, que hora es 00:38:11
os voy a hacer 00:38:14
el que cayó en el examen 00:38:15
Bueno, uno de los que cayó en el examen fue este, en un examen, de estos han caído dos veces, los dos últimos años. 00:38:18
Entonces, esta 00:38:31
Dice, ¿hay la recta perpendicular al plano? 00:38:34
Me dan un plano pi 00:38:38
Que es el plano x menos 2y más z igual a 2 00:38:39
Que en realidad, bueno, yo siempre los pongo igual a 2 a 0 00:38:52
Me dan ese plano 00:38:57
Y me dice que haya una recta perpendicular a este plano y que pase por el punto, vale, pues tengo un punto de la recta que me piden, necesito el vector de dirección de la recta u otro punto, vale, no, no, esto es un plano, esto es un plano. 00:39:00
me dan la ecuación del plano 00:39:24
y esto es una recta, un punto 00:39:28
y me piden la ecuación de la recta 00:39:31
que ven aquí y esto es perpendicular 00:39:33
¿vale? 00:39:35
necesito este vector de dirección 00:39:37
pero es que yo os dije 00:39:39
que cuando yo tengo un plano 00:39:43
la ecuación de un plano 00:39:46
si yo cojo, si yo tengo la ecuación de un plano 00:39:48
ax más bi 00:39:51
más cz 00:39:53
más d 00:39:56
igual a cero 00:39:57
el vector a, b, c 00:39:59
es un vector 00:40:03
perpendicular al plano 00:40:04
es decir, es el vector de dirección de la recta 00:40:06
claro, entonces 00:40:08
el vector que me están pidiendo 00:40:09
el vector de la recta que me están pidiendo 00:40:11
es el vector 1, menos 2, 1 00:40:13
¿de acuerdo? 00:40:17
eso no se os puede olvidar 00:40:20
si yo tengo 00:40:21
la ecuación de un plano 00:40:23
el vector ABC es un vector perpendicular al plano 00:40:25
luego si me están pidiendo la recta perpendicular a ese plano 00:40:28
este vector es el vector de dirección de la recta 00:40:31
y me dan un punto de la recta 00:40:35
luego ya con estas dos cosas pues monto por la continua 00:40:36
por ejemplo, X menos 1 partido por 1 00:40:40
igual a Y menos 2 partido de menos 2 00:40:43
igual a Z partido de 1 00:40:48
y eso era todo lo que había que hacer 00:40:50
claro, tenías que saber 00:40:54
tenías que saber, lo primero 00:40:59
esto lo tienes que saber, o sea 00:41:00
lo primero tienes que saber que para montar 00:41:03
la ecuación de una recta necesitas un punto 00:41:05
y su vector de dirección, me dan un punto 00:41:07
necesito 00:41:09
o otro punto o el vector de dirección 00:41:11
de la recta, entonces 00:41:13
lo único que me dicen es que me dan 00:41:15
este plano y me dicen que este plano es perpendicular 00:41:17
a la recta, por lo tanto 00:41:19
el vector 00:41:21
el vector perpendicular, el vector, no, no, es que estoy pensando una cosa, me dicen, ah, no, no, no, no, eso es, 00:41:23
este plano, me dicen que la recta que yo busco es perpendicular a este plano, entonces, como es perpendicular a este plano, 00:41:32
pues entonces, yo sé que estoy buscando un vector de dirección que sea perpendicular a este plano, ¿no?, ¿sí o no?, 00:41:41
Por lo tanto, ¿qué vector es perpendicular al plano? 00:41:49
Cuando yo tengo la ecuación, este, el ABC, el 1, menos 2, 1 00:41:53
Luego es la recta que pasa por ese punto y tiene... 00:41:57
¿Lo veis? 00:41:59
Bueno, darle una vuelta 00:42:01
¿Vale? 00:42:02
Esa era una 00:42:04
Y luego la... 00:42:05
Sí 00:42:07
Es el 1, es la X 00:42:07
Menos 2 y la Z el 1 00:42:10
Nada, el D no, no, el D para el vector no, no, no se, no se, no entra 00:42:12
esto es importante, ya lo vimos 00:42:18
cuando vimos la teoría de los planos 00:42:21
que si yo tengo un plano 00:42:23
con la ecuación de un plano en esta forma 00:42:25
a, b y c es un vector siempre 00:42:28
que es perpendicular 00:42:30
¿vale? 00:42:30
bueno, y el otro 00:42:33
el otro 00:42:35
el otro 00:42:37
el otro es esto 00:42:38
este es de vectores 00:42:42
del tema de vectores 00:42:44
Me dan dos vectores, el vector u y el vector v, y me piden el área del paralelogramo formado por u y por v. 00:42:47
u, v. 00:42:56
Y me piden el área de este paralelogramo. 00:42:59
¿Os acordáis cómo se calculaba el área del paralelogramo formado por dos vectores? 00:43:03
¿Tenéis que saber cuánto? 00:43:08
No, lado por lado no. 00:43:10
Pero tenéis que decir cómo se calculaba el área. 00:43:14
¿Cómo se calculaba el área? 00:43:17
Con las cartesianas. 00:43:18
¿Qué? 00:43:20
No, tengo dos vectores, eso es el producto vectorial. 00:43:21
El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que forma. 00:43:27
Acordaros, si eso lo tenéis, tenéis un resumen hecho. 00:43:33
¿Qué está haciendo las cartesianas? 00:43:36
No, aquí no estamos, estamos con vectores, no estamos con rectas ni con planos, estamos con vectores. 00:43:38
estamos con vectores, por definición el producto vectorial de dos vectores es el área 00:43:44
el módulo del producto vectorial es el área, entonces ¿cuál es el producto vectorial de estos dos vectores? 00:43:50
Pues es IJK y el otro es 2, un quinto, menos 1 y 0, 3, menos 5. 00:43:57
Esto es, menos i más 6k más 3i más 10j 00:44:15
Repaso, menos 1 más 6k, esto es 0 y esto es menos 3 que es más 3i y más 10j 00:44:27
Vale, luego el producto vectorial es 2i más 6k más 10j, es decir, es el vector 2, 6, 10, acordaros que, pues el módulo de este vector, 00:44:41
el módulo de este vector, esto se escribe así 00:44:58
u por v 00:45:02
el módulo de u por v 00:45:03
es el área que os están pidiendo 00:45:07
que es igual a la raíz cuadrada de 2 al cuadrado 00:45:09
más 6 al cuadrado 00:45:14
más 10 al cuadrado 00:45:16
que es la raíz cuadrada de 00:45:18
4 más 36 son 40 de 140 00:45:22
Lo que dé eso, eso es el área del paralelogramo. 00:45:25
No, eso es si te piden el del triángulo. 00:45:33
Completa, o sea, el módulo del producto vectorial es el paralelogramo completo. 00:45:35
A veces lo que te piden es el área del triángulo. 00:45:41
Si te piden el del triángulo, pues haces eso y lo divides. 00:45:45
Lo que sea. 00:45:48
Vale, bueno, eso era esto. 00:45:49
Luego dice, obten el perímetro. 00:45:52
El perímetro de este paralelogramo, ¿no? Será, si esto es U y esto es V, será lo que mida esto, más lo que mida esto, que es lo mismo, más lo que mida esto, más lo que mida esto. 00:45:54
Entonces será dos veces el módulo de U, más dos veces el módulo de V, ¿no? 00:46:09
¿No? ¿Cómo se calculaba el módulo de u? Pues ya sabéis, si u es, esto es 2 por la raíz cuadrada de 4 más un quinto al cuadrado, 00:46:18
más menos 1 al cuadrado 00:46:34
más dos veces la raíz cuadrada 00:46:39
de 0 más 3 al cuadrado 00:46:42
más menos 5 al cuadrado 00:46:47
metéis esto en la calculadora 00:46:50
y eso es 00:46:53
¿me seguís? 00:46:54
yo lo único que he hecho para sacar el perímetro 00:46:56
es sacar el módulo de los dos vectores 00:47:01
entonces el módulo de un vector 00:47:03
era la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados 00:47:05
también 00:47:07
sería la otra manera de hacerlo 00:47:08
si sacas el módulo de u y sacas el módulo de v 00:47:11
no, no, no te da 00:47:13
no, no, no 00:47:15
no, no, no, porque es base por altura 00:47:17
es base por altura y la altura 00:47:19
la tendrías que calcular tú así 00:47:21
la altura es esto, no es eso 00:47:22
no, no te da 00:47:26
si, o sea 00:47:27
si esos dos, si esos dos vectores 00:47:29
quedan perpendiculares, sí 00:47:31
porque entonces es un rectángulo lo que forma 00:47:32
entonces sí que es uno por otro 00:47:34
pero como no se sabe si son perpendiculares 00:47:36
pues entonces no puede ser 00:47:38
¿entiendes lo que te digo, no? 00:47:40
claro 00:47:42
si fueran perpendiculares 00:47:42
entonces sí, porque es un rectángulo 00:47:48
forman un rectángulo y por lo tanto lado por lado 00:47:50
pero si son así 00:47:52
si no son perpendiculares 00:47:53
pues ya no puedes hacerlo así 00:47:56
entonces tienes que tirar de lo que sabemos 00:47:58
de vectores que es 00:48:01
que el módulo del producto vectorial es el área de separado del holograma. 00:48:02
Bueno, y por último dice, escribe la ecuación que pasa por este punto 00:48:07
y contiene a estos dos vectores, bueno, pues ya sabéis, 00:48:10
eso es un plan, un punto y los dos vectores, pues lo de siempre, 00:48:15
este último era el punto, que es el punto. 00:48:20
Si te pide la ecuación, pues la ecuación general, 00:48:23
la más bonita es la general 00:48:31
pero si la quieres dar de otra forma no te lo puedo considerar mal 00:48:32
a no ser que te digan específicamente 00:48:35
que quieren una determinada 00:48:37
exacto 00:48:38
un vector 00:48:41
es el vector 0 00:48:42
3 menos 5 00:48:45
y el otro vector es 00:48:46
el vector 00:48:48
2 un quinto 00:48:51
menos 1 00:48:52
bueno pues ya sabéis 00:48:54
x más 3 00:48:55
y menos 2 00:48:58
Z menos 6, 0, 3 menos 5, 2, un quinto, menos 1, esto es, menos 3, da igual, da igual, esto lo pones siempre lo primero y los otros dos los pones aleatoriamente, 00:48:59
esto es 0 y esto es menos 10 más 20 00:49:23
y ahora por este lado tengo menos 6z más 36 00:49:32
y aquí tengo menos 1 que es 1 más x más 3 y 0 00:49:37
bueno pues entonces x tengo menos 2x y tengo menos 10y 00:49:45
zetas tengo 00:49:52
menos 6z 00:49:55
y números tengo 00:49:56
sí, no, es que estaba pensando 00:49:59
en otra cosa, que se me dio la cabeza 00:50:01
¿cuánto? 00:50:02
más 20 00:50:05
yo tengo 56, 53 00:50:09
a 53 más 3 00:50:11
esta sería 00:50:14
la ecuación 00:50:18
Sí, estarías dando la vectorial. 00:50:19
Sí, lo que pasa es que yo, si os pusieran esto, yo tendría la precaución de decir cuál vas a dar. 00:50:23
Diría, voy a dar la ecuación vectorial del plano. 00:50:29
Como no te dice cuál, pues le das esa. 00:50:34
Como si dices, le voy a dar las paramétricas. 00:50:36
O le voy a dar la general. 00:50:39
Exacto. 00:50:43
¿De acuerdo? 00:50:45
Sí. 00:50:46
Lo puedes dividir todo entre dos. 00:50:47
Los planos, si puedes dividir todo entre un número o multiplicar todo por un número, el plano no cambia, igual que la recta, igual que las ecuaciones de la recta, en general ninguna ecuación cambia si tú la multiplicas o la divides toda entera por un número, pero toda entera. 00:50:48
El problema es que cuando esto a veces no se interioriza y entonces se divide una parte y otra, no, entonces ya sí, entonces lo has liado, porque ya has hecho otra cosa completamente distinta. 00:51:08
Pero ninguna ecuación cambia si tú la multiplicas o la divides toda entera por un número, ¿de acuerdo? 00:51:19
Igual que una fracción no cambia si la multiplicas y la divides por un número. 00:51:26
por eso yo puedo hacer en la ecuación continua 00:51:30
puedo colocarlas gracias a eso 00:51:33
porque yo multiplico y divido por un número 00:51:35
y la fracción no varía 00:51:37
es lo mismo 00:51:39
¿de acuerdo? 00:51:40
si yo tengo un medio y lo multiplico todo 00:51:42
por arriba y abajo por 3 00:51:44
me da 3 sextos 00:51:46
pero es que 3 sextos es un medio 00:51:48
¿de acuerdo? 00:51:49
vale, estamos 00:51:52
hemos acabado 00:51:54
os voy a subir 00:51:55
bueno, la clase de ayer 00:51:57
la clase de hoy y os voy a subir 00:51:59
unos cuantos ejercicios resueltos 00:52:01
con todos sus pasos, para que si tenéis 00:52:03
un rato, le deis 00:52:05
unas pocas vueltas a este tema 00:52:07
y el próximo día ya cuando 00:52:09
volvamos de vacaciones, empezamos con 00:52:11
probabilidad, ya nos olvidamos 00:52:13
de ese tema, ¿de acuerdo? 00:52:15
Así que como no os veo 00:52:17
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
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M.jose S.
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24 de marzo de 2026 - 20:01
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
52′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
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1920x1080 píxeles
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