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Sistemas de 3 ecuaciones 3 incógnitas.Frutas
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Entre peras, manzanas y naranjas, Mario ha comprado hoy 10 kilogramos de fruta y se ha
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gastado 19 euros. Sabemos que un kilo de peras cuesta dos euros y medio, un kilo de manzanas
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dos euros y un kilo de naranjas un euro y medio. Si sumamos el número de kilos de peras
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y el de manzanas obtenemos el kilo de naranjas. Apartado A plantea un sistema lineal de ecuaciones
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para hallar la cantidad de kilogramos comprados por Mario de cada tipo de fruta y apartado
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B calcula el número de kilogramos de cada tipo de fruta. En el apartado A ya nos está indicando
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que lo tenemos que resolver planteando un sistema de ecuaciones, ¿vale? Aunque no nos lo hubieran
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puesto en el apartado A, lo tendríamos que haber deducido nosotros leyendo el enunciado. Habríamos
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visto que me estaba dando diferentes pistas y luego siempre tenemos que buscar qué es lo que
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me pregunta y ahí veríamos que diría que calculemos, claro justo nos lo pone aquí en el
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apartado B. Calcula el número de kilogramos de cada tipo de fruta. ¿Cuántos tipos de fruta tenemos?
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Tenemos peras, manzanas y naranjas, tres tipos distintos, con lo cual ya nos daríamos cuenta
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que tendríamos tres incógnitas. X podrían ser las peras, ya que es la primera mencionada, Y los
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kilos de manzanas y Z los kilos de naranjas. En el momento en que nos damos cuenta de que tengo
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tres incógnitas quiere decir que voy a necesitar tres ecuaciones. Mi sistema va a estar formado por
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tres ecuaciones y esas tres ecuaciones las tenemos que ir deduciendo entre las pistas que nos va
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dando por aquí. Hay una muy sencilla que es Mario ha comprado hoy 10 kilos de fruta. En total ha
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comprado 10 kilos. Si hemos llamado x a los kilos de peras y de manzana y z de naranja quiere decir
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que x más y más z tiene que ser 10, el total de kilos que he comprado. Esos son cantidades.
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Aquí luego ya me habla de otro total, pero este ya no es un total de cantidades, es total
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de dinero que he gastado, ¿vale? Y aquí me va diciendo lo que cuesta el kilo de cada
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fruta. Esto sería el cartel que tendríamos allí en la frutería, donde me dice que cada
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kilo de peras cuesta dos euros y medio. ¿Cuántos kilos de pera he comprado yo? X. Por lo tanto,
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por las peras, ¿cuánto me van a cobrar? Dos euros y medio que cuesta un kilo por X que compro yo, más
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dos euros que cuesta uno de manzana por Y kilos de manzanas que compro yo, más un euro y medio que
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cuesta un kilo de naranjas por Z kilos de naranjas que compro yo y en total tiene que ser los 19
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euros que me he gastado. Con eso ya tendríamos dos ecuaciones y ahora nos faltaría la tercera y la
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tercera la tenemos aquí a continuación en esta frase que todavía no hemos traducido al lenguaje
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algebraico donde me dice si sumamos, hay una suma, el número de kilo de peras, x, y el de manzanas,
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por lo tanto x más y, obtenemos, será el igual, el número de kilo de naranjas, será la z, por lo
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tanto esta ecuación va a ser x más y igual a z veamos las ecuaciones estas serían nuestras
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incógnitas es importante que pongamos aquí con precisión que es lo que me están pidiendo vale
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como aquí son cantidades pongo kilogramos porque otras veces a lo mejor lo que me está pidiendo
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es el precio de un kilo de peras entonces aquí tendría que haber puesto euros un kilo de peras
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vale lo digo porque a veces solamente ponemos peras manzanas y naranjas y luego se nos olvida
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si nuestras incógnitas son cantidades o es dinero. En este caso habíamos dicho que eran
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cantidades. Y aquí tendríamos las tres ecuaciones que hemos comentado antes. La de la suma de
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las cantidades que yo compro tiene que ser 10 kilos en total, el precio de un kilo por
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los kilos que yo compro, así con cada tipo de fruta, tiene que ser el dinero en total
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que pago y luego la relación que me daban de que si sumaba peras más manzanas eran
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igual a naranjas. Al tener un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siempre podemos
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recurrir a la guía que nos va proponiendo el método de Gauss. Si conocemos el método de Gauss
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sabemos que lo que queremos es tener ordenadas las tres ecuaciones para luego ir haciendo ceros
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eliminando incógnitas de una manera ordenada. Eso es lo que nos propondía el método de Gauss. El
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método Gauss nos propone. Una vez que tenemos las tres ecuaciones ordenadas, siempre estas
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ecuaciones han aparecido así porque es como yo he ido traduciendo las frases que aparecían
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aquí arriba, ¿vale? Pero obviamente en el sistema yo las puedo cambiar de orden. Si
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yo quiero esta, ponerla a la tercera, la puedo poner sin problema. Siempre conviene que la
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que utilicemos arriba, que es la que más se va a utilizar, la que esté arriba, sea
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la más sencilla. La de coeficientes unos, a ser posible, o más pequeñitos, la más
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sencilla posible. Entonces, en este caso, si yo quisiera utilizar el método de Gauss, lo que
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tendría que hacer es seguir la propuesta de cómo conseguir un sistema en forma de escalón, de
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escalera, escalonado. Entonces, Gauss, lo que me guía el método de Gauss es que primero elimine y
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haga cero aquí. ¿Cómo voy a hacer cero aquí? Siempre jugando con la primera ecuación y con la
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segunda y también que haga cero a esta de aquí jugando con la primera y con la
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tercera. Entonces estas dos se tienen que eliminar utilizando la primera
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ecuación. Después el método de Gauss en un siguiente paso cuando aquí ya he
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conseguido que estas dos sean cero, que ya no estén, que hayan desaparecido, nos
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propone que eliminemos esta incógnita de aquí y para eliminar esta incógnita de
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aquí ya es con la segunda. Cuidado, nunca puede reutilizar ya la primera porque si utilizó la
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primera y la tercera, recordad que esto ya era cero, pues al utilizar estas dos haría que apareciese
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otra vez la x. Esa sería mi pista de que me he despistado y que no tenía que haber utilizado la
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primera ecuación. Cuando vaya a eliminar la y de aquí yo ya tengo que trabajar con la segunda
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porque estas dos son las que tienen aquí cero y por lo tanto ya evito que vuelvan a aparecer las x.
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De esta manera ya juego con estas dos, aquí conseguiría un 0, obviamente todos estos coeficientes habrían ido cambiando, ¿vale?
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Porque ya hemos hecho algunos cambios, pero lo que sí que habría conseguido es que la ecuación de aquí abajo ya solo tendría una zeta,
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aquí ya posiblemente habría un número distinto de 0, si hubiese un 0 no pasaría nada, pues sería que es que zeta vale 0,
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pero después de los cambios que ya hemos ido haciendo aquí seguramente aparece otra cantidad.
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Entonces, ¿qué es lo que he conseguido? He conseguido conseguir el valor de la z en la ecuación de aquí abajo.
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Con ese valor de z ya podría ir a la ecuación que tenga aquí arriba y sustituir ese valor por la z, hacer las operaciones y recuerdo que ya aquí solamente habría y, porque esto de aquí ya se habría eliminado.
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Entonces, ya sería muy fácil conseguir el valor de y.
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entonces en estos momentos ya tendría el valor de z el valor de y podría ir a la ecuación de aquí
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arriba cambiar la z por su valor la y por su valor despejar y ya tendríamos x vale eso es lo que me
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propone el método de gauss no es obligatorio utilizarlo simplemente es una guía cuando
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estamos perdidos y no sabemos por dónde empezar pero no siempre es necesario utilizar el método
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de Gauss. Entonces, por ejemplo, en este tipo de ejercicio yo observo y me doy cuenta que la primera
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ecuación y la tercera son muy parecidas. De hecho, x e y son exactamente iguales. Entonces, ¿qué
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ocurriría si yo trabajo justo con la primera ecuación y la tercera y las agrupo y trabajo
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como si fuera el método de reducción? Bueno, pues yo en el método de reducción normalmente lo que
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yo hago es fijarme en una incógnita la que yo quiero una en concreto y eliminarla pero es que
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aquí observo que puedo eliminar dos de golpe entonces esto va a hacer que vaya mucho más rápido
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porque puedo eliminar dos de golpe porque estas dos tienen exactamente los mismos coeficientes si
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yo la resto por lo que es lo mismo a una la cambio entera de signo la multiplico por menos uno he
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multiplicado por menos uno a toda la ecuación de abajo y entonces ahora qué hago cuando ya voy
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agrupando? Pues lo que queríamos, nuestro objetivo, que se han eliminado x e y de golpe, esto ha sido
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en concreto para este ejemplo, ¿vale? No siempre se van a poder eliminar dos de golpe, lo normal es
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que no se pueda, que solo podamos eliminar de una en una, pero en este caso se eliminan dos de golpe,
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de aquí ya puedo conseguir el valor de z y ahora ya con este valor de z yo lo puedo sustituir,
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por ejemplo en la primera ecuación y en la segunda y ya la z va a desaparecer haciendo las operaciones
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correspondientes. Entonces lo sustituimos, hacemos las operaciones, despejamos, llevamos para el otro
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lado para que estén los números, los términos independientes juntos y en este momento lo que
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he conseguido es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que a partir de aquí lo podríamos
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ya resolver con el método de sustitución, de igualación o de reducción. Yo voy a seguir con
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reducción. Entonces, decido una de las incógnitas a eliminar. Puedo eliminar x, eliminar y. Si quiero
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eliminar x, tendría que haber multiplicado toda la ecuación de arriba por menos 2,5. Para evitar
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tener tantos números decimales, decido eliminar y. Por lo tanto, multiplico toda la ecuación de
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arriba por menos 2 incluido el que está a la derecha de la igualdad, este obligatorio. Aquí
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no se notó porque como era 0 no notábamos que habíamos multiplicado por menos 1 porque vuelve
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a salir 0 pero también había que multiplicar el de la derecha y aparece menos 10. Vamos agrupando
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y de esta manera ya conseguimos despejar x. Ya tenemos el valor de x entonces como ya tengo el
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de x, puedo ir a una de estas ecuaciones de aquí, esta que es la más sencilla, por
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ejemplo, donde está la x poner un 3 y ya conseguir la y, donde está la x pongo un
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3 y despejo y, y de esta manera ya habría obtenido los tres valores de las tres incógnitas
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que me habían pedido, x es igual a 3 kilos de peras, y es igual a 2 kilos de manzanas
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y z es igual a 5 kilos de naranjas. Vamos a resolver ahora este mismo ejercicio pero de otra
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manera. Esto no es para complicaros, es para que os deis cuenta de que ante un problema de este tipo
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no nos tenemos que quedar bloqueados y pensar que no sabemos avanzar. Hay muchísimas maneras. Ya
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hemos comentado que si sabemos utilizar bien el método de Gauss nunca falla porque ya nos va
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guiando y ahora yo lo que estoy proponiendo son alternativas en ejercicios donde a lo mejor es
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más sencillo y más rápido haciéndolo de otra manera entonces con el método anterior en la
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propuesta anterior era casualidad que yo observé que x más y era igual en las dos ecuaciones y
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que así con reducción podía eliminar las dos de golpe vale pero insisto que eso ha sido un caso
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muy concreto de este ejercicio entonces vamos a ver ahora una manera un poquito más general
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si no hubieran sido esas dos iguales?
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Bueno, pues partiendo del mismo sistema de ecuaciones,
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ahora una propuesta que yo os hago, por ejemplo, sería siempre que hay que emparejarlas de dos en dos.
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Por ejemplo, la primera con la segunda, por empezar de alguna manera,
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como la primera es sencilla, emparejamos primera con segunda.
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Y aquí yo decido eliminar una de las incógnitas, ¿vale?
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Puede ser x, y o z. ¿Por qué he elegido y? Pues porque es la que tiene un valor entero para no trabajar con tantos decimales, pero se podría haber hecho exactamente igual con la x o con la z.
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Si yo quiero eliminar aquí la y, necesito multiplicar la ecuación de arriba toda por menos 2. Multiplicamos arriba todo por menos 2, incluido el 10, que no se nos olvide.
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Hacemos las operaciones y aquí lo que pasa es que no consigo ningún valor, pero sí que he conseguido mi objetivo que era eliminar y.
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Ahora lo que tengo ya simplemente es una ecuación con x y con z.
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Entonces ahora lo que debería hacer es trabajar con la primera, por ejemplo, que es la más sencilla, pero ahora ya con la tercera, que la tercera todavía no la hemos utilizado.
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Y nuestro objetivo sería también eliminar la misma incógnita y para así conseguir una ecuación donde ya no esté y y ya pueda trabajar también con esta que sólo tiene x y z.
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Entonces vamos aquí a nuestro objetivo, cogemos la primera y la tercera, tenemos que multiplicar una de ellas toda por menos uno, por ejemplo la de abajo, y nuestro objetivo era eliminar y, lo hemos conseguido.
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Lo que pasa es que en este caso en concreto, como ya sabíamos, también de casualidad se ha eliminado la x.
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Como se ha eliminado la x es mucho más rápido porque de esta manera ya puedo conseguir el valor de z.
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Y con este valor de z puedo ir, por ejemplo, a esta ecuación y conseguir ya el valor de x.
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¿Qué hubiera pasado en otras circunstancias donde normalmente no se me elimina la x?
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Bueno, pues que en vez de conseguir el valor de z todavía yo no podría despejar z.
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pero sí que habría obtenido una ecuación solamente con x y con z que la podría emparejar con esta y
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ya estaría trabajando con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y ya podría seguir
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avanzando con el método que yo quisiera. En este caso sí que obtengo el valor de z, utilizo ya esta
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ecuación que sólo tiene x y z con este valor de z, cambio la z, hago las operaciones y obtengo x.
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Cuando ya tengo z y x pues ahora ya puedo ir a cualquiera de las ecuaciones donde también estaba y, cambiar la x por su valor, la z por su valor y conseguimos y y de esta manera obtenemos los mismos valores que con el método anterior.
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- 17 de junio de 2020 - 16:09
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