Ejercicios algebra de Boole - Contenido educativo
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Venga, vamos a repetir alguno de los ejemplos que hemos visto esta mañana del álgebra de Boolean
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clase y vamos a hacer el resto de problemas que... os voy a mostrar las soluciones del
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resto de problemas que os he subido a Classroom. Venga, vamos a empezar por el ejercicio 16.
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A ver, el ejercicio 16, que nos dice simplifica la siguiente función, esto lo hemos hecho
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en clase, es A por el complementario de B o B negado, más A por B por C, más A B negado
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C, más AB. Vale, da igual llamarlo, a los que tienen la barrita encima, llamarlo complementario
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o negado, nos entendemos igual. Vale, vamos a solucionar esto. ¿Esto a qué es igual?
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¿Qué es lo primerísimo que tenemos que hacer, que hemos hecho esta mañana? Sacar factor
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común. ¿Qué factor común tengo en todas? A, por aquí, por aquí, por aquí y por aquí.
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Pues digo que A multiplica AB negado, más BC, más B negado C, más B. ¿Esto a qué
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es igual? Se me acaba la línea y tengo que bajar abajo, igual al final, igual al principio.
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Vale, ¿qué tengo por aquí? Más para simplificar, tengo esta B con esta B negado que se suman,
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algo más, su complementario es 1. Luego tengo A que multiplica a 1, más BC, más B negado por C.
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¿Qué tengo aquí? Nuevamente, lo puedo hacer de dos formas. Si lo veo, veo que tengo 1 más algo,
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esto va a ser 1, todo esto va a ser 1. O si yo no lo veo, pues sigo esperando. ¿Qué puedo hacer?
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Sacar factor común de aquí a la C. Esto es A que multiplica a 1, más C que multiplica a B,
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más B negado. B más B negado, un número más su complementario, esto es 1. Y C por 1 es C.
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Luego esto será igual a A que multiplica a 1, más C. Y 1 más C que es 1. A por 1 es igual a A,
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que era lo que podría haber sacado de aquí directamente. Bien. Segundo ejercicio, 17.
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Este ejercicio tiene tres apartados. Vamos a empezar por el primero. Aquí tenemos que demostrar
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una serie de igualdades. Primera de ellas, A por B es igual a, no, perdón, es igual, no. A por B,
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más A por B negado, más A negado por B, más A negado por B negado. Esto me dice que es igual a
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1. Pues vamos a ver si es verdad. ¿Qué tengo aquí? Pues saco factor común. Tengo A que multiplica
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a B, más B negado, de esta parte de aquí. Y luego que tengo A negado, que multiplica a B, más B negado.
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Un número más su complementario es 1. Esto es 1. Esto es 1. Luego, ¿en qué se me queda? En A por 1,
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que es A, más A negado por 1, que es A negado. Y algo más su complementario, efectivamente,
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es 1, como me estaba diciendo el enunciado. ¿Apartado B? Venga, ahora aquí tenemos que usar las leyes de Morgan.
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Tengo A por B negado, multiplicado por C de negado, todo ello, negado a su vez, me dice que es igual A negado más B negado,
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todo ello, lo niego, le doy la vuelta, más C negado más D negado, todo ello, nuevamente negado. Pues vamos a ver si esta igualdad se cumple o no.
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Leyes de Morgan me dicen que cuando yo tengo, lo voy a poner aquí a la derecha, cuando yo tengo A por B negado, es lo mismo que A negado más B negado.
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Y si yo tengo A más B, todo ello negado, es lo mismo que el producto de las negaciones individuales. Bien, pues con esto vamos a resolver el problema.
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Yo aquí tengo un producto negado, pues ¿qué será? A por B negado, que sería este valor, más C de negado y los tengo que negar.
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Estoy usando este primer teorema. La doble negación de algo es el mismo, A B más C D. ¿Qué tengo al otro lado del igual? Voy a ponerlo.
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Tengo una suma negada, luego tengo el producto A negado negado por B doble negación y aquí lo mismo, C doble negación más D doble negación.
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A doblemente negado es A por B, C por D. A ver que aquí me he confundido. Esto es un por. Convierto en producto. A B más C D es igual a A B más C D. Demostrado, se cumple también.
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Venga, nos queda el C. Vamos a bajar un poquito. Apartado C, igualdad me da, me dice que A por A más B por A más B más C es igual a, vamos a ver si es verdad, este paréntesis de aquí yo lo puedo quitar, ¿no?
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Vamos a ver. A más A B, esto de aquí. ¿A qué es igual? Miro mi hoja de fórmulas y esto es igual a A. A que multiplica a A más B más C.
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Yo puedo ver, bueno, vamos, no lo vemos. Voy a abrir el paréntesis. Tengo A por A más A por B más A por C. ¿Y esto qué es igual? Un número por sí mismo es el mismo.
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A más A B más A C. ¿Qué tengo aquí?
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Esto es A que multiplica a 1 más B más C.
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¿Esto qué es? 1 más algo es 1. Luego aquí tengo que es A por 1 porque todo este paréntesis vale 1. 1 más lo que sea es 1. Luego esto es igual a A que efectivamente era lo que me estaba diciendo aquí.
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¿Vale?
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Vamos a hacer el siguiente problema. 18.
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El anterior era del EBAU del 2003, este es del 2004 que nos dice usando las propiedades del álgebra de Boole y sabiendo que A, B, C son variables binarias demuestra otras tres igualdades.
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Igualdad A. Tengo A por B por C es igual a C negado más B negado más A negado. Todo ello me la nega.
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Pues vamos a ver qué tenemos por aquí. Este paréntesis no es necesario.
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Esto es A por B por C y no lo puedo simplificar más.
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¿Qué tengo al otro lado de mi igual? Vuelvo a usar las leyes de Morgan. Tengo la negación de una suma, pues es el producto de las negaciones individuales de los dos términos que tenga a ambos lados del más.
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Es decir, tengo la negación del primer término que ya estaba negado, pues lo niego doblemente por la negación de este paréntesis.
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B negado más A negado, negado.
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C doblemente negado, ¿quién es C?
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Negación de una suma es el producto de sus negados, o sea que esto es, este paréntesis será B negado negado por A negado, que era el valor que tenía, negado.
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Doble negación, esto es B, esto es A y esto es C, que efectivamente es el A por B por C que tenía antes.
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Vamos a hacer el apartado B.
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B dice que A más 1 es igual a B por 0 negado.
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Vamos a ver si es verdad.
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A más 1 es 1, cualquier cosa más 1 es 1 y cualquier cosa por 0 será 0, pero vamos a quitar la negación.
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¿Por qué? Porque si yo lo hago directamente no me va a dar.
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Tengo el producto negado, luego será B negado más 0 negado.
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Ojo que si hacéis B por 0 os cargáis la solución.
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¿Contrario de 0 cuánto es?
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1 más B negado, 1 más cualquier cosa, efectivamente es 1, esto vale 1, como queríamos demostrar.
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Y por último nos queda, voy a hacerlo aquí al lado, el C, que es A más B por A más B negado, me dice que es igual a A, pues vamos a ver si es igual a A.
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Esto que es igual a A por B más B negado, algo más o contrario que es 1, esto es A por 1 que es igual a A, que efectivamente es este A que teníamos aquí, como queríamos demostrar.
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¿Hay otras formas de hacerlo? Sí, son válidas, claro, siempre y cuando me dé el mismo resultado son válidas.
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Vamos al siguiente ejercicio.
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¿Qué será el 19? Tenemos otras 3 demostraciones para hacer.
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19, apartado A, me dice que A más B multiplicado por A es igual a A más B negado.
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19, apartado A, me dice que A más B multiplicado por A más B negado, multiplicado por A negado más B, por A negado más B negado, me dice que todo esto será igual a 0, vamos a ver si es verdad.
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¿Qué tengo aquí? Pues tengo A que multiplica a B más B negado, por A negado, si sacando factores comunes, que multiplica a B más B negado.
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B más su complementario es 1, luego aquí tengo A por A complementario y un valor por su complementario efectivamente es 0, como me decía el enunciado.
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Vamos a ver el apartado B. Tengo B que multiplica a A más su complementario y me dice que esto es igual a B más A por su complementario, vamos a ver si esta igualdad se cumple.
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Aquí que tengo algo más su complementario es 1, luego tengo B por 1 es igual a B más un valor por su complementario, A por su complementario es 0, algo más 0, pues es ese algo, tengo que B es igual a B como queríamos demostrar.
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Y el último apartado de este ejercicio, el C. Tengo que A más A por B es igual a A por A más C, pues vamos a ver si esto es igual.
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Teorema de la absorción. Vamos a usar, que me dice que A más A por algo es A, o A por A más algo también es A.
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A más A por algo es A, A por A más lo que sea también es A. Aplico el teorema de la absorción a ambos lados y tengo que A es igual a A. Este se usa muchísimo, el teorema de la absorción.
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¿Hay otra forma de resolverlo? Pues por supuesto que sí. A ver si la encontráis. Vamos a ver el problema 20. Empezamos a mezclar los problemas de simplificar con las tablas de la verdad.
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Aquí nos están pidiendo que comprobemos el primer teorema de Morgan, que es A por B negado es A negado más B negado, que lo demostremos mediante una tabla de la verdad.
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¿Qué teníamos que hacer para hacer una tabla de la verdad? Pues hacer una columna con el valor de A, otra columna con el valor de B. ¿Cuántos valores voy a tener? Pues tengo dos variables.
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Luego voy a tener 2 elevado a dos variables, cuatro valores, que los empiezo a colocar de la siguiente forma, 0 0 1 1. Siguiente columna, tengo que colocar también dos y tengo que hacer todas las combinaciones posibles.
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Y se escribe así, 0 1 0 1. ¿Qué tengo que hacer ahora? Multiplicarlo. A por B. ¿Y luego qué tendré que hacer? Darle la vuelta.
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¿Sí? A por B, 0 por 0 es 0, 0 por 1 es 0, 1 por 0 es 0 y 1 por 1 es 1. ¿Le doy la vuelta? ¿Le hago el complementario? ¿Lo niego? Pues le doy la vuelta a esos valores.
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Esto era este lado de aquí. Ahora en verde voy a hacer el otro lado. ¿Qué tengo? A negado, columna, otra columna con el B negado. Luego tendré que sumar ambos valores.
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Pues vamos a ver qué nos da. En esta columna que tengo que poner, contrario de A, negado de A, 1 1 0 0. Le doy la vuelta a esta columna. En la siguiente, el contrario de la columna B, 1 0 1 0.
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Y ahora lo sumo. 1 más 1, 1. 1 más 0, 1. 0 más 1, 1. Y 0 más 0, 0. Como queríamos demostrar, estas dos columnas son iguales, con lo que queda demostrado el primer teorema de Morgan.
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Ahora tenemos que demostrar, en el ejercicio 21, el segundo teorema de Morgan que dice que A más B negado es igual a A negado por B negado. Vamos a ver si es verdad.
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Tabla de la verdad que hacemos nuevamente. Columna con el valor de A. Columna con el valor de B. Los sumo y luego les doy la vuelta, los complemento, los niego, como lo queréis llamar. 0 0 1 1 0 1 0 1.
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Sumo. 0 1 1 y 1. Por Dios que nadie me ponga que 1 más 1 es 2. Ahora le doy la vuelta. Donde tengo un 0 pongo un 1 y donde tengo unos pongo ceros. Este era este lado. Ahora hacemos este.
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¿Qué tengo? Negado o complementario de A, complementario de B y luego los multiplico. Vamos a ver. Columna de la negación de A. 1 1 0 0. De la negación de B. 1 0 1 0. Y ahora los multiplico. 1 0 0 0.
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Nuevamente, como queríamos demostrar, esta columna es igual a esta. Y con esto hemos terminado los ejercicios del álgebra de Boole. Practicarlos en casa. Si veis que no los entendéis, me preguntáis. De todas formas, seguiremos haciendo ejercicios. Hasta luego.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Eva Mª Amador
- Subido por:
- Eva Maria A.
- Licencia:
- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 42
- Fecha:
- 22 de noviembre de 2023 - 20:49
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ANA MARÍA MATUTE
- Duración:
- 19′ 47″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 768x576 píxeles
- Tamaño:
- 182.24 MBytes
