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Subido el 19 de marzo de 2024 por Juan R.

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Grabando. Venga, decía que lo que habíamos hecho en los últimos días 00:00:00
era estudio de funciones y hoy lo que os he preparado, entre otras cosas, 00:00:03
pues es hacer un estudio de una función en concreto, 00:00:08
en la que lo que vamos a intentar va a ser, pues eso, estudiar una serie de cosas 00:00:11
que son las que al final nos van a permitir poder dibujar la función. 00:00:16
Así que venga, vamos a ello, voy a compartir la pantalla y empezamos. 00:00:19
A ver, joder, está... ya. Vale. 00:00:26
Venga, pues la función que yo os propongo es la siguiente. 00:00:32
Venga, os propongo esta de aquí. Voy a copiarla otra vez y si estáis apuntando o estáis haciendo vosotros también a la vez, os propongo que vayáis haciéndolo también. 00:00:43
Entonces, como somos poquitos, vamos, sois dos, podemos ir haciéndolo pues un poco a la vez incluso. 00:00:58
Hay un poco de jaleo hoy aquí, no sé si escucharéis lío, hay una reunión de padres o algo parecido. 00:01:08
Y a ver si veis que hay mucho ruido, me lo decís y cierro ventanas y de todo. 00:01:13
Bueno, esta es la función que yo os propongo. 00:01:19
Cuando hacemos un estudio completo de una función, lo que hacemos es estudiar pues punto por punto 00:01:21
qué es lo que nos permitiría hacer esta función. Entonces, lo primero que vemos aquí es que esta 00:01:26
función tiene un dominio determinado. Así que vamos a calcular el dominio. Voy a ir apuntando, 00:01:32
no sé si lo voy a apuntar al mismo orden en el que lo soléis hacer o no, pero bueno, al final es un 00:01:38
poco hacer todos los pasos necesarios para poder representarla. Vamos a empezar, luego vamos a ir 00:01:43
viendo cómo surgen las cosas. Entonces, lo primero que vamos a intentar apuntar es el dominio. El 00:01:49
El dominio de la función es una función racional compuesta por la división de dos polinomios. 00:01:56
Entonces el polinomio del denominador, es decir, las raíces del polinomio del denominador son aquellos valores que tenemos que excluir del dominio. 00:02:01
Así que el dominio de esta función, bueno, la llamamos f de x y como queráis, la voy a llamar f. 00:02:09
Va a ser todos los números reales menos aquellos valores donde se anula el denominador, las raíces del denominador, que no es muy difícil ver, que son menos rey de 2 y rey de 2. 00:02:15
¿Qué ponemos? ¿Raíz de 2 o ponemos 1,44 no sé qué, no sé cuánto? 00:02:25
En principio, lo más adecuado, creo yo, es poner este menos raíz de 2 y raíz de 2. 00:02:29
¿Qué es lo que va a haber en raíz de 2? En x igual a raíz de 2, porque estos son los valores x que vamos a tener para meter dentro de la función. 00:02:35
Lo que vamos a tener en estos dos valores van a ser asíntotas verticales. 00:02:43
Así que empezamos a ver. Lo que ya tenemos vamos a hacer el estudio de asíntotas. 00:02:47
Las asíntotas verticales ya las tenemos, que son la primera en menos raíz de 2 y la segunda en raíz de 2. 00:02:54
Voy a ir haciendo a la vez, yo creo, en GeoGebra voy a ir haciendo las pintaditas. 00:03:02
Así que tendríamos los ejes coordenados, imaginaos, pues en un examen los haríais estos ejes. 00:03:09
Entonces, realmente no hay preguntas tan extensas como esta en una evau, pero sí que partes de lo que vamos a tratar ahora sí que se piden en preguntas de evau de manera concreta. 00:03:18
Nosotros vamos a hacerlo completo, es decir, vamos a hacer toda la representación con unos ejes que tendríamos en el papel o los pintaríamos. 00:03:28
Y entonces vamos a ir apuntando y pintando, yo lo voy a hacer ya digo en GeoGebra, aquellos elementos que me permiten hacer el dibujo de la función completo, que es lo que yo querría hacer en principio. 00:03:37
Entonces voy a apuntar raíz de 2 y menos raíz de 2. Raíz cuadrada en GeoGebra es sqrt, square root sqrt, y ponemos entre paréntesis 2. 00:03:46
No sé si funciona sin paréntesis, pero cuando pones el paréntesis sale la raíz cuadrada, así que lo voy a poner así. 00:04:05
Y estos los voy a poner en verde, por ejemplo. 00:04:10
Todo esto es un poco para ver cómo pensaríamos a la hora de hacer el dibujo. 00:04:21
Y menos raíz de 2 también lo vamos a poner. 00:04:26
Menos rt de 2. 00:04:28
Y este también en verde. 00:04:33
Vale, entonces ya sabemos que ahí lo que vamos a tener es que la función o bien se va a más infinito o bien se va a menos infinito. 00:04:42
que es una cosa que vamos a analizar un poquito después. 00:04:50
Hay ocasiones en las que cuando se estudian asíntotas específicamente se ve por dónde vienen, por dónde van, etc. 00:04:54
Yo en principio lo voy a dejar así y vamos a ir analizando lo que realmente vayamos necesitando un poco a demanda de la función. 00:05:00
Así que por ahora la función tiene que ir a más infinito o menos infinito dentro de estos rangos. 00:05:08
Así que vamos allá. 00:05:14
¿Qué más cosas podemos ver? 00:05:15
Vamos a ver si tenemos alguna asíntota horizontal. 00:05:17
Las asíntotas horizontales, para ello vamos a calcular el límite cuando x tiende a infinito de la función. 00:05:20
Y no es muy difícil verlo y si no sabéis muy bien cómo se hace, me lo decís. 00:05:34
Sería x al cuadrado. Bueno, esto no haría falta hacerlo porque se ve directamente, pero bueno, es un poquito la manera de explicarlo un poco más detalladamente, aunque no demasiado. 00:05:42
Ya veis que los coeficientes de los términos de mayor grado, primero los grados son los mismos y los coeficientes son 1 partido de 1, entonces ya sabéis que si dividís todos los términos de arriba y abajo entre x al cuadrado, pues nos va a quedar 1 partido de 1 al final, es decir, el límite cuando x tiende a infinito va a ser 1. 00:05:51
Podría distinguir entre más infinito y menos infinito. 00:06:11
Lo que ocurre es que aquí, obviamente, al dividir entre x al cuadrado partido de x al cuadrado, 00:06:15
cuando x es muy grande, ya sea positivo o negativo, el elevado al cuadrado siempre va a ser positivo. 00:06:20
Así que cuando x tiende a infinito tanto por la derecha como por la izquierda, lo que vamos a tener es 1. 00:06:24
Así que la asíntota horizontal la vamos a tener en y igual a 1. 00:06:30
tenemos asíntotas verticales, tengo una asíntota horizontal 00:06:35
voy a ir pintándola y igual a 1 00:06:39
asíntota horizontal, la voy a poner en verde también 00:06:45
vamos a jugar un poquito con los colores para que quede bien claro y luego podamos pintarla 00:06:49
aunque luego también la dibujaremos, claro, para ver si coincide 00:06:52
con lo que estamos haciendo, venga, más cosas que podemos hacer 00:06:57
vamos a estudiar ahora mismo la monotonía, ya sabemos que por la izquierda 00:07:01
por la izquierda tanto como por la derecha va a tender a infinito lo que pasa perdón va a tender 00:07:05
a 1 lo que pasa que yo no sé si tiene por arriba o tiene por abajo pues eso lo que vamos a ir 00:07:12
viendo como lo podemos ver pues podríamos analizar el límite con un bar lo más fácil es seguir 00:07:17
estudiando la monotonía porque si la función no sale creciente desde menos infinito hasta no sé 00:07:26
cuánto, hasta raíz de 2, menos raíz de 2, pues sí que va a ir hacia arriba, porque 00:07:31
no puede cruzar. Se ve que viene desde menos infinito, no va a cruzar a la asíntota, a 00:07:36
no ser que tenga algún máximo o algún mínimo, que es lo que vamos a ver precisamente ahora. 00:07:39
Así que vamos a analizar la monotonía. Bueno, tiene asíntota horizontal, entonces obviamente 00:07:43
las asíntotas oblicuas no existen, no son compatibles asíntotas horizontales con asíntotas 00:07:48
oblicuas. Así que vamos a analizar la monotonía. Vale, siempre se me olvida la función, así 00:07:53
Así que x más 2 al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2. 00:08:03
La voy a copiar otra vez. 00:08:07
Vale, voy a poner f de x para poner f' y eso. 00:08:10
x más 2 elevado al cuadrado partido de, creo que era x más 2, no, menos 2. 00:08:14
Vale, entonces vamos a hacer la primera derivada. 00:08:23
Si hacemos la primera derivada, venga, sin equivoc... 00:08:25
Tiene un cuadrado la x del denominador. 00:08:27
¿Perdón? 00:08:29
Tiene un cuadrado el x del denominador. 00:08:30
Vale, gracias. 00:08:32
Esto me hace ver que estás ahí atento 00:08:33
Me congratula, muchísimas gracias 00:08:36
Creo que eres Benito, ¿verdad? 00:08:39
Vale 00:08:41
Vamos a hacer la derivada 00:08:42
La derivada de una división consiste 00:08:44
No os olvidéis, porque a mí a veces se me olvida algún término 00:08:46
En la derivada del primero por el de abajo 00:08:49
Menos la derivada del de abajo por el de arriba 00:08:51
Partido del de abajo elevado al cuadrado 00:08:53
Así que, sin más 00:08:54
Podríamos desarrollar el numerador 00:08:56
Va a dar exactamente igual 00:08:58
Casi lo voy a poner desarrollado 00:08:59
porque parece que es más claro, ¿no? x al cuadrado más 4x más 4, si no me he confundido. 00:09:02
Así que tendríamos 2x más 4 multiplicado por x al cuadrado menos 2, menos la derivada 00:09:08
de abajo, que sería 2x, que multiplicaría todo el numerador. x al cuadrado más 4x más 00:09:15
4. Vale. Y abajo tendríamos el x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado. Vale. x más 00:09:22
más 2, la verdad es que estoy haciendo, bueno, venga, vamos a desarrollar, estaba buscando 00:09:32
ver si a lo mejor sacando un factor común nos resultaría más fácil, vamos a tirar 00:09:41
así, o sí, venga, voy a intentar hacer, esto sería x más 2 elevado al cuadrado, x más 00:09:51
2 elevado al cuadrado, si no me confundo, esto sería 2 por x más 2, a ver si se puede 00:09:59
hacer un poco más sencillo de esta manera, menos 2x, x más 2 elevado al cuadrado, x 00:10:06
elevado al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, vamos a intentar sacar el factor común x 00:10:13
más 2, a ver si nos apaña algo, y con factor común x más 2 ya voy a desarrollar, es decir, 00:10:18
Voy a extraer un factor común. Esto ya no es más que operativa. He extraído ese factor común, x más 2, y vamos a ver qué queda. 2x al cuadrado menos 4, y ahora el 2x por x más 2. A ver que no me confunda. 2x al cuadrado menos 4x. 00:10:25
bueno, puede que sí que no se facilite las cosas 00:10:51
haber hecho el factor común así 00:10:54
elevado al cuadrado 00:10:55
entonces esto significa, ahora 00:10:58
muchas veces hay la tentación de decir 00:10:59
pues elimino este de aquí arriba 00:11:02
con este de aquí abajo, este de aquí arriba 00:11:04
coño, lo elimino con este 00:11:06
de aquí abajo, pero 00:11:08
el de abajo no va a influir 00:11:09
en el signo 00:11:12
quiero decir, como está al cuadrado 00:11:13
me va a dar igual el signo que haya en el denominador 00:11:16
ese no va a influir para nada, así que 00:11:18
Entonces, por experiencia, antes de hacer esa simplificación, vamos a intentar ver qué es lo que podemos hacer. Esto es, antes de hacer esa simplificación, vamos a ver qué podemos sacar, x más 2, y ahora este 2x al cuadrado se elimina con ese 2x al cuadrado, y quedaría un menos, que voy a poner delante, porque queda menos 4 menos 4x, un 4, es decir, que es como si extrajera un factor común menos 4, 00:11:20
y tendría x más 1, si no me confundo, si es un factor común 4, menos 4 más bien, vale, x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, vale, perfecto. 00:11:51
Venga, pues entonces, esto es lo que vamos a igualar a 0 para calcular los puntos singulares. 00:12:06
Vale, los puntos singulares los vamos a encontrar haciendo la primera derivada igual a 0. 00:12:18
Esto es, como el numerador ya lo tenemos factorizado, tenemos dos valores que serían singulares, 00:12:23
que serían x1 igual a menos 2 y otro que le vamos a llamar x2 igual a menos 1. 00:12:28
Y conforme a estos vamos a ver el signo que vamos a obtener en los intervalos en los que podemos dividir el dominio, 00:12:35
incluyendo las asíntotas. 00:12:41
Este, como veis, no va a influir en el signo porque este siempre es positivo. 00:12:43
Y este otro siempre es negativo y sí va a influir en el signo. 00:12:49
De hecho nos va a cambiar el signo de todo. Así que vamos a dividir en intervalos el dominio, incluyendo aquellos valores que son asíntotas. Así que menos infinito, vamos hijo, menos infinito, menos 2, recuerdo que las asíntotas estaban en menos raíz de 2 y más raíz de 2, aquí vendría el menos 1, aquí más raíz de 2 y más infinito. 00:12:53
Tenemos todos estos intervalos en los que podemos dividir el dominio, ¿de acuerdo? Y ahora vamos a analizar, por un lado, el signo de la primera derivada y, por otro lado, decir si la función es creciente o decreciente. Así que la primera derivada y aquí la función como tal, vamos a ponerle flechitas para ver si es creciente o decreciente. 00:13:26
Bueno, lo pongo un poquito más arriba para ver el criterio que vamos a seguir para ver los signos. Entonces, fijaos que lo que aquí tenemos es, vamos a pensar con lógica. En los intervalos en los que tengo esto dividido significa que este primero, este primero si quiere pintar el bolígrafo, pinta hijo, vamos, vamos, vamos, vamos, voy a cerrar otra vez y volver a abrir. 00:13:56
a ver qué le pasa a esto 00:14:34
se me ha quedado colgado el equipo 00:14:37
no sé ni siquiera si me estáis 00:14:51
escuchando ya 00:14:54
vale, vale 00:14:55
es que en cuanto empiezas 00:15:00
a hacer todo gráfico y encima grabando 00:15:02
se queda colgado y no pinta el bolígrafo 00:15:04
no responde los controles, bueno 00:15:06
es una mierda esto 00:15:08
decía que vamos a actuar 00:15:11
vamos a pensar un poquito con lógica 00:15:14
x más 2 00:15:16
ese factor va a ser 00:15:18
menor que cero por debajo de menos dos. Es decir, entre menos infinito y menos dos, este 00:15:20
factor va a ser negativo. Estos dos factores que tengo aquí, los voy a poner, los que 00:15:26
ya tenía puestos, los voy a poner en otro color para que quede claro que estos factores 00:15:31
no van a cambiar de signo. Así que este siempre va a ser positivo, este siempre va a ser negativo. 00:15:36
Y ahora estoy analizando el primer intervalo entre menos infinito y menos dos. Entre menos 00:15:40
infinito y menos dos, el primero va a ser negativo siempre. Y el segundo, donde cambio 00:15:44
de signos en menos 1, o sea que también va a ser negativo. Así que si empiezo a multiplicar 00:15:47
signos, el de abajo no influye para nada, menos por menos más por menos menos. Así 00:15:55
que primer intervalo, signo negativo. Significa esto que la función es decreciente. Sin temor 00:15:59
a equivocarnos, vamos a decir que, voy a volver a la función, aunque esto lo analizaremos 00:16:07
luego todo en conjunto. Ya podemos decir aquí, no sé si aquí se puede escribir, creo que no, bueno, ya podemos decir sin temor a equivocarnos, a ver, un momentito, que, a ver si puedo escribir aquí, a ver, esta es la función que estamos pintando, voy a pintarla, voy a pintarrajear un poquito sobre ella, vale. 00:16:14
Bien, lo que vamos a empezar ya a ver es que por la izquierda la función es decreciente hasta llegar a, creo que era menos 2, ¿verdad? 00:17:03
Era menos 2, sí. 00:17:16
Entonces, la función hasta llegar a menos 2 es decreciente, así que si tiende a 1 cuando x tiende a menos infinito, 00:17:18
la función siendo decreciente está claro que va a aproximarse por la izquierda de esta manera. 00:17:26
De alguna forma va a estar por debajo del asíntota ya que es decreciente. 00:17:32
Sería imposible que fuese por encima del asíntota y fuese hacia abajo después. 00:17:39
Así que al ser decreciente ya deducimos que la función va a ir de esta manera. 00:17:43
Luego después analizaremos la concavidad y la convexidad con esta misma función para también hacerlo como ejercicio. 00:17:47
Pero ni siquiera haría falta. 00:17:52
Ya voy viendo que la función va a ser en este caso, vamos a llamar cóncava a esto en este intervalo. 00:17:54
Así que 00:18:00
Vamos a seguir 00:18:02
Siguiente intervalo 00:18:04
Voy a borrar estos verdes que he puesto aquí 00:18:05
Una pregunta, con lo de concavidad-convexidad 00:18:07
Que dijiste 00:18:09
Es que lo dijiste en la clase de mates normales 00:18:11
El otro día 00:18:13
O sea, que si lo entendías de otra manera 00:18:14
¿Qué pasaba? ¿Que tenías que representarlo? 00:18:17
Sí, siempre ponlo 00:18:18
Esto es lo que yo he visto en el libro 00:18:19
Para mí esto siempre ha sido al revés 00:18:22
Claro, es que en física 00:18:24
Lo estamos dando igual 00:18:26
Que cóncava es, digamos, como un cuenco 00:18:28
y conversa desde otro lado. 00:18:30
Ponerlo de esta manera, ponerlo siempre. 00:18:33
De hecho, en los libros incluso ya lo ponen 00:18:34
y te lo indican, que como no hay un criterio 00:18:36
unificado, que lo que hacemos 00:18:38
es ponerlo. Es decir, la curvatura siempre 00:18:40
escribes el arquito. ¿Qué le llamas 00:18:42
cóncava? Pones un arquito. En realidad, como si 00:18:44
no le llamas nada. Dices, es 00:18:46
así. Esto es lo que 00:18:48
ponen en el libro de mates. Para mí es al revés, 00:18:50
pero como es lo que ponen los libros, últimamente 00:18:52
pues yo lo pongo siempre así. 00:18:54
Pero vamos, siempre indícalo, siempre pon el dibujito ese. 00:18:56
Vale. 00:18:59
dibujito, pero si, o sea, ¿puedo poner el dibujito 00:19:00
así del primero y poner el convexa? 00:19:02
Sí, también, como si 00:19:05
pones al revés, como si 00:19:06
en vez de ponerlo así, lo pones al revés 00:19:08
Vale, o sea 00:19:10
la cosa es que salga el dibujito, ¿no? 00:19:12
Sí, sí, sí, las letras van a dar un poco igual 00:19:13
Vale 00:19:16
Las letras dan exactamente igual 00:19:17
Yo esto creo que lo he hablado con Félix y también lo hemos comentado 00:19:19
que nosotros hemos visto toda la vida 00:19:22
la concavidad y la convexidad de esta manera 00:19:24
esto como convexa 00:19:26
y esto como cóncavo 00:19:28
esto es lo que yo entendería siempre 00:19:29
porque concavo es como un cuenco 00:19:31
pero a lo mejor nos equivocamos 00:19:33
todos porque nos pensamos que la regla 00:19:36
mnemotécnica es así por facilidad 00:19:37
que al final es al revés 00:19:39
no nos liamos más, simplemente lo dibujas 00:19:40
y ya está 00:19:43
el caso es que lo que yo quiero que veáis 00:19:44
es que no haría falta para dibujar esta función 00:19:47
estudiar la curvatura 00:19:49
porque automáticamente nos va a salir 00:19:51
simplemente por lógica 00:19:52
porque no puede ser de otra manera 00:19:54
vamos a seguir 00:19:56
Bien, siguiente intervalo. En el siguiente intervalo, ya a partir de menos 2, ya la primera función, la primera función no, el primer factor, ya va a ser positivo. El siguiente factor no va a ser positivo hasta que no lleguemos a menos 1, así que este va a seguir siendo negativo. 00:19:57
Con lo cual, aquí ya tenemos un positivo y la función vuelve a crecer. 00:20:15
Conclusión, ¿qué es lo que pasa en menos 2? Pues que tenemos un mínimo. 00:20:20
¿Haría falta hacer la segunda derivada para ver si la segunda derivada evaluada en menos 2 es mayor o menor que 0? 00:20:23
En realidad, no. 00:20:29
Si se pide expresamente a justificarlo, sí se hace. 00:20:31
Pero si no, con las deducciones que estamos haciendo aquí ya es suficiente, porque en menos 2 la función es continua. 00:20:34
Ahora, en menos raíz de 2 tenemos una asíntota vertical. 00:20:40
Eso significa que la función se va a aproximar hacia ella, hacia la asíntota vertical, se va a aproximar hacia arriba, hacia más infinito. 00:20:42
Entonces, ¿deberíamos hacer el límite por la izquierda cuando la función tiende a menor rey de 2 para ver que tiende a más infinito? 00:20:50
Pues no es necesario, porque habiendo hecho el estudio de la monotonía, ya se sobreentiende, si está bien hecho, claro, que la función se va a aproximar hacia más infinito desde la izquierda. 00:20:57
vamos a ver el siguiente intervalo 00:21:07
bueno, si lo queremos pintar aquí 00:21:10
la función ahora a la asíntota 00:21:12
se va a aproximar por aquí 00:21:14
y bueno, aquí lo que tendríamos 00:21:15
que hacer es en menos 2 00:21:20
poner, es aquí 00:21:22
un mínimo, no sé dónde estará 00:21:24
eso luego lo calcularemos, aquí habría un mínimo 00:21:26
entonces bueno, para hacer bien el dibujo 00:21:27
deberíamos ampliarlo un poquito porque entre menos 2 00:21:30
y menos raíz de 2 00:21:32
pues no hay mucho espacio, entonces la función 00:21:33
pues yo que sé, haría algo parecido 00:21:35
a esto por aquí 00:21:38
Pero bueno, eso lo vamos a hacer ahora después 00:21:39
Intentando hacer el dibujo un poquito más ampliado 00:21:41
O sea, dices que tiende a más infinito 00:21:44
Porque, digamos, en el intervalo anterior 00:21:48
Te sale que, o sea, en el intervalo antes del menos raíz de 2 00:21:50
Te sale que va hacia arriba, o sea, que es creciente 00:21:54
Claro, es creciente 00:21:56
Hasta x igual a menos 2 00:21:57
La función es decreciente, va hacia abajo 00:22:00
Y a partir de ahí es creciente 00:22:02
Claro, a partir de ahí hasta llegar a menos raíz de 2 00:22:05
A partir de aquí yo no sé qué es lo que va a pasar, que es lo que vamos a seguir analizando. El primer intervalo sería este de aquí. El primer intervalo sería hasta menos 2. El segundo intervalo es este pequeñito, porque menos 2 está aquí y esto sería menos raíz de 2. 00:22:09
Y el siguiente intervalo sería este. Luego volvemos otra vez a, no sé si era 1 o 2, no me acuerdo ahora. Menos 1. Entonces, antes, no, menos 1, es verdad, ciertamente, es menos 1. Así que el siguiente intervalo tenemos es este pequeñito de aquí, hasta ahí. 00:22:30
entonces, bueno, aquí tendríamos que ampliar un poco para verlo bien 00:22:49
entonces tendríamos el intervalo 00:22:52
el intervalo 1 00:22:54
el segundo intervalo, el tercer intervalo 00:22:57
luego el cuarto y aquí el quinto 00:23:02
y en cada uno de ellos la función va a ir hacia arriba y hacia abajo 00:23:03
y vamos a ir deduciendo 00:23:06
por dónde va la función y qué concavidad, convexidad tiene 00:23:06
en función de si crece o decrece en cada uno de ellos 00:23:10
ahora después ampliamos un poquito y lo vamos viendo un poquito mejor 00:23:12
de hecho lo voy a ir haciendo ya 00:23:16
vamos a ver el siguiente intervalo 00:23:18
Entonces sí, después vamos a ir pintando. 00:23:20
Entre menos raíz 2 y menos 1 realmente no me va a cambiar nada 00:23:22
porque ya estoy viendo que el primer factor, que es x más 2, 00:23:27
hablo del numerador, va a seguir siendo positivo 00:23:31
porque ya nos hemos pasado el menos 2 00:23:34
y a partir del menos 2 ese factor siempre va a ser positivo 00:23:36
y todavía no hemos llegado al menos 1, 00:23:39
que es donde el segundo factor va a cambiar de signo. 00:23:41
Así que el signo va a ser exactamente igual. 00:23:43
Vamos a tener signo positivo. 00:23:46
sí, ¿verdad? entonces la función va a seguir siendo creciente 00:23:48
deducción acerca de esto 00:23:54
y ahora sí que voy a ampliar 00:23:55
para volver a hacer otra copia 00:23:57
y verlo en el dibujo 00:23:58
voy a ampliarlo y de hecho 00:24:01
yo creo que voy a poner 00:24:04
el 2 00:24:06
o sea el menos 2 y el menos 1 00:24:07
no sé qué he hecho 00:24:10
no, me lo he hecho mal, perdón 00:24:13
que no lo veía y he puesto la i 00:24:15
un segundito 00:24:18
era menos 2 00:24:20
este lo vamos a poner un poquito más difuminado 00:24:27
porque aquí lo que va a haber 00:24:29
vaya hombre, aquí lo que va a haber 00:24:31
es un extremo 00:24:33
relativo 00:24:35
era menos 2 00:24:36
y x igual a, quiero recordar 00:24:38
que era menos 1 00:24:41
vale, pues entonces, aquí en estos intervalos 00:24:42
que van a ir indeterminados por estas líneas 00:24:45
las voy a poner ya digo 00:24:47
en otro color, las voy a poner en 00:24:49
gris por ejemplo, un poquito más difuminado 00:24:51
esta 00:24:53
y esta otra 00:24:54
Aquí lo que vamos a tener 00:24:56
Bueno, se ve un poquito 00:25:01
A ver, un poco más oscuro 00:25:02
Lo que vamos a tener en estos intervalos 00:25:06
Es que la función va a ir cambiando 00:25:14
Todavía no sé cuál es el valor del mínimo 00:25:15
Pero en esos intervalos 00:25:17
Entre el menos infinito y el menos 2 00:25:19
La función va para abajo 00:25:21
Entre menos 2 y menos raíz de 2 00:25:22
La función va para arriba 00:25:25
O sea que va a tener un MAC, un mínimo ahí 00:25:26
Y luego va a tender hacia arriba 00:25:28
Hasta ir pegándose a la asíntota 00:25:30
Voy a hacer la copia, que aquí no puedo pintar 00:25:33
Ahora, decía que la función va a venir pegada por aquí, cuando llegue a menos 2, no sé si por debajo o por encima del eje, eso tendríamos que ver ahora después el corte porque no hemos terminado, la función va a venir por aquí, luego va a subir después de hacer un mínimo, veis, en menos 2 va a haber un mínimo, y luego va a subir hacia arriba. 00:25:35
Luego, después va a seguir siendo creciente. 00:26:20
¿Y qué significa? 00:26:23
Pues que ahora, por la derecha, si hiciéramos el límite cuando x tiende a menos raíz de 2, 00:26:24
vamos a ver, veríamos que es menos infinito. 00:26:28
Es decir, va a volver a subir por aquí. 00:26:31
¿Qué pasa en menos 1? 00:26:35
Pues eso es a lo que vamos ahora. 00:26:36
¿Veis? Por ahora ya sé que en el primer intervalo, 00:26:38
desde menos infinito hasta menos 2, la función es decreciente. 00:26:42
Y va a ser... 00:26:45
Joder, qué pesado es esto. 00:26:47
Va a ser así. Después, desde el menos 2 al menos 1,5, la función va a ser así y tendiendo más infinito. 00:26:50
Entre el menos raíz de 2, que es menos 1,4 no sé qué, hasta menos 1, pues la función va a ser de esta manera y creciente. 00:27:01
Entonces, vamos a ver qué pasa a partir de aquí. A ver, este estudio se hace un poquito más deprisa. 00:27:10
Yo lo estoy haciendo muy despacio para hacer todas las explicaciones, pero luego esto es muchísimo más rápido. 00:27:15
entre menos 1 y más raíz de 2 00:27:19
ahora ya tenemos un cambio de signo 00:27:21
porque el x menos 2 va a seguir siendo negativo 00:27:23
y ahora x más 1 00:27:25
a partir de menos 1 00:27:27
ya va a ser positivo 00:27:28
así que volvemos otra vez a cambiar el signo 00:27:30
ahora va a ser negativo 00:27:33
y si es negativo, decreciente 00:27:34
¿qué pasa en menos 1 entonces? 00:27:36
pues que tenemos un máximo, lo deducimos fácilmente 00:27:37
tenemos un máximo en menos 1 00:27:40
la función vuelve a decrecer 00:27:43
después de pasar por ese máximo 00:27:45
que aún no sabemos dónde está 00:27:46
y que tendremos que calcular su valor para pintar la función correctamente. 00:27:47
Pero ya sé que a la siguiente asíntota va a tender hacia menos infinito. 00:27:51
Esto es, tendremos en menos 1 un máximo, no sé dónde estará, 00:27:56
y va a tender a la siguiente asíntota, que está en raíz de 2, va a tender hacia abajo. 00:28:00
Y la función aquí, pues de nuevo, va a ser así también. 00:28:16
A partir de ahí, ¿qué es lo que va a pasar? A partir de ahí no me haría falta ni hacerlo, porque si sé que tiene que tender a la siguiente asíntota, la función aquí tiene que ser creciente por narices. 00:28:18
Bueno, no, no, no, puede venir desde la asíntota desde arriba, perdón. Vamos a ver qué es lo que pasa. Bueno, vamos a ver qué es lo que pasa, puede venir de la asíntota por arriba. 00:28:30
Así que, siguiente intervalo. 00:28:37
En el siguiente intervalo no va a cambiar nada en los signos de los factores. 00:28:39
Es decir, va a seguir siendo negativo y, por tanto, decreciente. 00:28:43
Así que sí, va a tener que bajar desde arriba. 00:28:52
Así que la función esbozada está así. 00:28:58
¿Qué es lo que hemos de hacer ahora? 00:29:02
Pues vamos a ver los extremos relativos, los máximos y los mínimos. 00:29:03
Ya sé cuáles son las tendencias en las asíntotas, 00:29:07
tanto en las verticales, hacia arriba y hacia abajo, como en las horizontales, por encima o por debajo. 00:29:09
Y sé dónde están los extremos también. 00:29:13
Así que lo único que me haría falta realmente para pintar esta función 00:29:15
van a ser cuáles son esos extremos, es decir, los valores de la ordenada 00:29:19
de las abstizas de los extremos que acabo de deducir dónde están. 00:29:23
Entonces, los deducimos. 00:29:28
Extremos relativos. 00:29:32
Vaya pesadilla informática, por Dios. 00:29:39
Los extremos relativos. 00:29:45
Voy a tener el primero en menos 2, que es un mínimo. Y cogiendo la función original, que creo que era, voy a poner aquí otra vez, x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2, podemos calcular en menos 2, menos 2 más 2 es 0. 00:29:47
Entonces este mínimo estaría en el menos 2. Si sustituimos arriba menos 2 más 2 es 0, en menos 2 es 0. El siguiente, x2 igual a menos 1. Y aquí tenemos un máximo. 00:30:09
Si sustituimos menos 1 en la función, tendríamos menos 1 más 2 es menos 1, que elevado al cuadrado sería 1, partido de menos 1 al cuadrado, que es 1, 1 menos 2, menos 1, es decir, menos 1. 00:30:35
Así que menos 1, menos 1, si no me equivocaba de hacer el cálculo. 00:30:51
vale, así que esto ya lo podemos ir pintando 00:30:54
los voy a pintar en los ejes coordenados 00:30:59
ya pintándolos con el propio programa 00:31:01
entonces, menos 2, 0 y menos 1, menos 1 00:31:04
menos 2, 0 00:31:07
y menos 1, menos 1 00:31:12
vale, la función mal que bien ya la podemos pintar 00:31:15
o sea, sabiendo por dónde va para arriba 00:31:23
por dónde va para abajo, realmente yo ya puedo pintar la función 00:31:26
vamos a esbozarla un poco por ahora 00:31:29
bueno, realmente esta es la copia que iba a hacer 00:31:32
así que voy a ver 00:31:39
si puedo borrar todo esto que tengo aquí 00:31:41
hecho 00:31:43
vale 00:31:44
venga, entonces el punto menos 2 00:31:48
0 sería el mínimo 00:31:51
y el punto menos 1 menos 1 00:31:53
sería el 00:31:55
máximo, ¿verdad? 00:31:59
sí, ¿verdad? 00:32:00
el máximo menos 1 menos 1 00:32:02
vale, entonces la función 00:32:04
aquí no me cabe del todo, pero bueno, vendría aproximadamente por aquí, llega hasta aquí y aquí empieza a subir, ¿vale? 00:32:06
Viene ahora desde abajo, llega a ser este máximo y ahora, bueno, aunque no cabe muy bien aquí porque me quedo sin área para pintar, 00:32:14
esto iría para abajo hacia la asíntota y luego de nuevo vuelve a ser decreciente de esta manera por ahí arriba. 00:32:23
aunque aquí no quepa muy bien para haber podido pintar esta parte que hay entre menos 2 y el menos raíz de 2 00:32:30
pues nos queda un poquito así, pero si dibujamos la función ya veremos que realmente es así 00:32:35
una cosa más que nos podría ayudar para poder definir la función ya completamente son los cortes con los ejes 00:32:42
voy a hacerlos para tener otro par de puntos más en los que poder apoyarme para hacer la pintada de la función 00:32:48
ve el corte con el eje y 00:33:01
el corte con el eje y sería x igual a 0 y si ponemos 00:33:12
x igual a 0 tendría 0 más 2 serían 2 00:33:22
estoy teniendo muchas dificultades para pintar aquí, bueno no puedo 00:33:25
escribir, voy a cerrar y abrir otra vez el programa a ver si consigo que esto 00:33:46
que esto funcione, que sé de donde la va la gana 00:33:52
vale, entonces el valor para x 00:34:16
igual a cero de la y, pues no puedo, no sé qué es lo que ocurre, pero no puedo escribir. 00:34:40
Voy a intentar hacerlo con el dedo. Y de x igual a cero va a ser igual a cero más dos 00:34:48
es dos, partido de cero menos dos, pues sería menos uno, ¿no? Si metemos un cero, cero 00:34:57
más dos sería dos, partido de menos dos, menos uno, si no me he equivocado. Y el corte 00:35:10
con el eje x, es decir, el punto sería el 0, menos 1. Y el corte con el eje x sería, 00:35:15
pues, si 0 tiene que ser igual al x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado 00:35:27
menos 2, entonces, se ha jodido el bolígrafo, yo no sé qué es lo que ha pasado. Entonces 00:35:35
¿Qué tendríamos? Si esto tiene que ser igual a 0, entonces x sería igual a menos 2, ¿verdad? 00:35:52
0 es igual a x más 2 elevado al cuadrado, es decir, x es igual a menos 2. 00:36:05
Así que el otro punto de corte sería el menos 2, 0. 00:36:08
Así que puntos de corte 0, menos 1 y menos 2, 0. 00:36:17
Vamos a verlo aquí. 0, menos 1 y menos 2, 0. 00:36:21
¿dónde estás? 00:36:24
menos 2 00:36:36
vale 00:36:38
estos son los puntos que tendríamos 00:36:41
de corte, si yo no me he confundido 00:36:44
ya digo, por un lado en la Y 00:36:46
tenemos el punto D y por lo tanto en la X 00:36:47
tenemos el punto C 00:36:49
que el punto 00:36:50
C no me convence 00:36:54
a ver, ¿qué es lo que teníamos? 00:36:55
mira a ver si he cometido 00:37:00
algún error porque estoy 00:37:01
un poquito despistado 00:37:02
con que no funcione la informática 00:37:05
y no doy pie con bola 00:37:06
a ver 00:37:08
veis, es imposible 00:37:10
que sea el 0-1 00:37:13
me he equivocado al hacer 00:37:14
o bien el máximo 00:37:16
o bien me he confundido a hacer el corte 00:37:18
con el eje Y 00:37:20
vamos a comprobarlo 00:37:21
el máximo está bien hecho 00:37:27
nx2 igual a 00:37:28
menos 1, sería menos 1 más 2 00:37:31
es 1 00:37:33
partido de 00:37:35
1 menos 2 00:37:36
perdón, a ver 00:37:39
sería 1 00:37:40
esto sigue sin escribir 00:37:42
creo que está bien, ¿eh? 00:37:43
sí 00:37:47
y el corte con los ejes 00:37:47
¿lo has comprobado 00:37:49
a ver si está bien también? 00:37:50
sí, sí 00:37:52
pero 00:37:53
a ver, el corte 00:37:53
el eje x sí que me da 00:37:55
y 0 menos 1 00:37:56
y el otro 00:37:58
igual a 0 00:38:00
significa que x más 2 00:38:04
Ah, el otro creo que es 00:38:05
Es un 2 00:38:08
Es un menos 2, claro 00:38:09
Vale, pues eso 00:38:11
Aquí está, es que esto sigue sin escribir 00:38:14
Este es un menos 2, ¿verdad? 00:38:17
Sí 00:38:21
Bueno, estoy pintando con el dedo 00:38:21
Menos 2, así que 0 menos 2 00:38:25
Vamos a cambiarlo 00:38:28
¿Dónde estás? 00:38:29
¿Dónde estás? 00:38:31
0 menos 2 00:38:32
venga hijo 00:38:34
0 menos 2 00:38:39
vale, ahora sí 00:38:43
ahora sí tiene lógica, porque ahora lo que vamos a hacer 00:38:48
es ya poder pintar 00:38:51
sobre esto, aunque ya digo 00:38:53
que la escala en la que estamos haciéndolo 00:38:55
pues hay que apretarse un poquillo, por lo menos 00:38:57
en la que hay entre el menos 2 y el menos raíz de 2 00:38:58
pero bueno, vamos a 00:39:01
intentarlo otra vez, imposible 00:39:02
vale 00:39:15
entonces, fijaos que ya 00:39:27
vamos a pasar por el corte 00:39:30
vamos a ver 00:39:32
es que no puedo escribir 00:39:37
vamos a ver cómo puedo hacerlo 00:39:40
con el rato 00:39:42
yo creo, a ver 00:39:44
vale, pues entonces vendría por aquí 00:39:45
aquí corta 00:39:49
ahora, perdón 00:39:51
perdón, he dicho que por aquí corta 00:39:54
vendríamos por aquí 00:39:55
aquí corta 00:39:59
se va hasta 00:40:01
¿dónde se va? Ah, no, en menos 2 tenía el mínimo, perdón 00:40:03
no es que se fuera el corte, también es el corte pero es un mínimo 00:40:08
entonces aquí vendría para arriba, ahora 00:40:12
vendría desde abajo, porque hemos comprobado que es creciente 00:40:16
en este intervalo, pasaría por este máximo, corta el eje 00:40:20
aquí, se va hacia la asíntota y luego vuelve desde la asíntota 00:40:24
y hace aproximadamente esto 00:40:29
Entonces el dibujo de la función ya lo tendríamos. Si nos piden dónde es cóncava o convexa, es decir, cuál es la curvatura o dónde están los puntos de inflexión, lo primero que vemos es que aquí no hay ningún punto de inflexión porque la función es, bueno, sí, sí, sí, habría un punto de inflexión, perdón, ¿dónde habría un punto de inflexión? A ver si lo sabéis. 00:40:32
¿Dónde habría un punto de inflexión? 00:40:52
¿En qué intervalo vamos? ¿Dónde exactamente? ¿Qué lo vamos a calcular ahora? 00:40:54
Si os fijáis, la función es decreciente desde menos infinito hasta llegar a menos 2, donde tiene un máximo. 00:40:57
En algún momento tiene que haber cambiado la curvatura por narices. 00:41:03
Así que en caso de que se nos pidiera expresamente y queramos dibujarla con toda la precisión, 00:41:07
que normalmente no ocurre así, porque no se pide un ejercicio tan extenso en evau, 00:41:10
lo que vamos a hacer es calcular o esperar que haya un punto de inflexión entre menos infinito y menos 2. 00:41:16
Vamos a dibujar de todas maneras la función, hacer el dibujo con el programa para que veáis que realmente corresponde a lo que hemos deducido. Era x más 2 elevado al cuadrado partido de x al cuadrado menos 2, menos 2, que como veis coincide con todo lo que hemos visto. 00:41:21
Y lo que os decía es, fijaos que aquí en la parte de la izquierda, en el intervalo que va desde menos infinito hasta menos 2, que es uno de los intervalos en los que hemos dividido el dominio, aquí la función pasa de ser, vamos a llamarla convexa, a ser cóncava y en algún punto cambia su curvatura. 00:41:47
Vamos a calcular ese punto para practicar también lo que estábamos viendo antes, ayer. 00:42:07
yo no sé, ahora pinta esto 00:42:12
venga, vamos a ver la curvatura 00:42:19
para ver la curvatura 00:42:24
voy a coger la primera derivada 00:42:26
que la tenía por aquí, por algún sitio 00:42:28
la primera derivada 00:42:29
que es esta que tengo aquí con los signos más y los menos 00:42:32
x más 2, x más 1 00:42:34
x al cuadrado menos 2 00:42:36
vamos a hacer la segunda derivada 00:42:38
vamos a ver si nos da tiempo 00:42:53
si hacemos la segunda derivada 00:42:54
pues venga, empezamos 00:42:57
el menos 4 00:42:59
hay que ponerlo, luego derivada del menos 4 00:43:00
va a multiplicar a todo lo siguiente, sería derivada del primero que es 1 00:43:04
por el segundo, x más 1, también multiplicaría 00:43:08
a la derivada del segundo multiplicado por el primero que es 00:43:12
x más 2 y todo esto hemos de multiplicarlo 00:43:16
este menos 4 realmente no me va a hacer falta, ese paréntesis, multiplicarlo 00:43:20
por x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado, menos 00:43:24
Vamos a hacer la derivada del de abajo y multiplicarlo por todo el de arriba. Si lo multiplicamos por todo el de arriba, en realidad nos va a quedar un más por el menos 4, ya lo voy adelantando, y ahora, derivada del de abajo tendríamos 2 que multiplicaría a la derivada del de dentro, que sería 2x multiplicada por x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado menos 1, 00:43:28
y ahora multiplicado por el menos que ya lo he multiplicado, el 4 que ya lo he multiplicado y por x más 2 y por x más 1 y ahora partido del cuadrado del de abajo. 00:44:00
Vale, todo esto como veis en la segunda derivada y muchas veces que se complica un poco en extremo, por eso calcular la curvatura a veces, 00:44:13
bueno a veces, vamos que lo más conveniente es hacerlo simplemente deduciendo, no haciendo la segunda derivada porque a veces se complica en extremo. 00:44:22
Vamos a intentar hacer algo por aquí, entonces sacamos factor común por algún lado, menos 4, tengo el x más 1, voy a ir marcándoles, menos 4, el x más 1, el menos 4, el x más 1, tengo el x más 2 también, un x más 2, tengo un x al cuadrado menos 2, tendría un x al cuadrado menos 2 y ya está. 00:44:28
Ahí esto quedaría multiplicando a, en el primero me quedaba en x al cuadrado menos 2, 00:45:02
en el segundo me quedaría, como he sacado un menos 4, me quedaría un menos, un 4x. 00:45:07
Si no me he confundido, que puede ser muy posible. 00:45:13
Y esto sería igual a, vale, lo único que tendría que hacer sería factorizar eso. 00:45:21
Entonces, vamos a igualarlo a cero, vamos a igualarlo a cero, entonces, posibles valores que serían puntos de inflexión, pues x igual a, bueno, voy a hacer la ecuación de segundo grado. 00:45:28
2 por 4 son 8, de 2, 16 y 8 son 24, que son 6 por 4, es decir, 2 serían 6 por 4, 6 raíz de 2, y esto serían 2 más menos raíz de 6, que esto tendrá dos valores, 3 por 4 y abajo 2 menos raíz de 6. 00:45:47
menos 0,44 00:47:12
vale, del dibujo que he hecho 00:47:25
que bueno, también es verdad que lo he corroborado 00:47:27
con la 00:47:29
pues con la graficación 00:47:30
en el programa 00:47:34
de todos estos que tengo aquí 00:47:35
yo solamente voy a probar el menos 0,44 00:47:38
si vamos a la función 00:47:40
bueno, es que no puede ser 00:47:42
menos 0,44, tendría que ser 00:47:46
menos 3 aproximadamente 00:47:48
tiene que haber algún error 00:47:50
por algún sitio 00:47:52
bueno, está sonando ya 00:47:53
confieso que me he desconcentrado bastante 00:47:58
porque no consigo 00:48:01
escribir y pintar con el aparato 00:48:02
este, entonces 00:48:05
os invito a que lo hagáis, de hecho 00:48:06
yo lo voy a terminar 00:48:10
y lo voy a colgar 00:48:11
también la terminación 00:48:15
del estudio de la curvatura 00:48:16
para que lo tengáis, porque algo debo haber 00:48:18
hecho mal por algún sitio en la segunda derivada 00:48:20
porque ya digo, es que no 00:48:22
ya estoy pintando con el dedo, no consigo que el bolígrafo escriba, entonces voy a reiniciar el sistema 00:48:24
y lo voy a hacer otra vez. De todas maneras, todo lo que hemos hecho hasta ahora 00:48:28
es lo que haríamos para hacer el estudio completo de una función. El estudio 00:48:32
del dominio, de las asíntotas, de la monotonía, con ello 00:48:36
con los puntos singulares haríamos los extremos relativos, los cortes 00:48:40
con los ejes para poder ya definirlo completamente y con eso ya podemos deducir 00:48:44
cuál es la curvatura, aunque no digamos exactamente dónde está el cambio de curvatura 00:48:48
que eso es lo que quiero finalizar 00:48:52
vale, venga, terminado aquí 00:48:54
perdonad todos los problemas técnicos 00:48:56
que me han despistado absolutamente 00:48:58
una pregunta, Juan 00:48:59
en la gráfica 00:49:01
por ejemplo, el último intervalo 00:49:03
¿cómo sabes que va por encima de la 00:49:06
asíntota horizontal? 00:49:07
porque es decreciente 00:49:10
vamos a ver si consigo ponerlo 00:49:10
porque es decreciente 00:49:14
entonces si es decreciente y ya has visto que es 00:49:15
decreciente y tiene una asíntota 00:49:18
no puede ser decreciente viniendo desde 00:49:19
menos infinito, tiene que venir desde más infinito 00:49:21
claro, pero hay que decir, o sea, no puedes dibujar 00:49:25
por la misma recta 00:49:28
al intervalo de 00:49:30
más raíz de 2 00:49:31
hasta más infinito 00:49:34
o sea, la misma recta pero dibujada 00:49:35
por debajo de la asíntota 00:49:38
pero tiene 00:49:39
que tender a la asíntota 00:49:42
como mucho lo que podría hacer es tener 00:49:43
otro punto singular 00:49:45
a ver si consigo dibujarlo 00:49:47
que 00:49:49
A ver, aquí mismo, voy a intentar pintarlo aquí mismo. 00:49:49
Tú no puedes hacer que vaya por debajo de la asíntota, 00:49:55
porque entonces tendría que volver a subir para tender otra vez a ser 1 en el infinito. 00:49:58
O sea, lo único que puede hacer, no puede hacer otra cosa. 00:50:04
Si no hay más puntos singulares, eso también es verdad, que hemos visto, 00:50:06
no has encontrado ningún punto singular más allá del raíz de 2, 00:50:10
lo único que puedo hacer es venir desde la asíntota, desde más infinito, 00:50:15
y tender a la asíntota horizontal en i igual a 1 00:50:19
tender por arriba 00:50:22
no puede tender por abajo, es decir, no podría tender 00:50:23
por aquí 00:50:26
es decir, no podría hacer esto 00:50:28
porque aquí tendría otro punto singular 00:50:30
en el que habría otro mínimo 00:50:31
solamente puede venir desde arriba 00:50:33
a tender a la asíntota 00:50:35
por arriba 00:50:37
si es decreciente, porque ya ves que 00:50:38
en esto que he pintado aquí, mal pintado 00:50:41
aquí tendrías 00:50:43
esto es una posibilidad, pero claro, esto implica que aquí tengas 00:50:45
un mínimo, otro punto singular 00:50:48
y a partir de este intervalo sea creciente 00:50:49
o sea, no puede hacer otra cosa 00:50:52
o sea, digamos que si es creciente, ¿qué pintarías 00:50:53
por debajo, por ejemplo? 00:50:56
si fuese creciente en ese intervalo 00:50:58
si de la tabla 00:50:59
viéramos que es creciente, entonces lo que haría 00:51:01
sería esto, claro 00:51:03
pero claro, como es decreciente 00:51:04
entonces no tiene otra opción que ser la otra que hemos pintado 00:51:07
al final es una cuestión de casi 00:51:09
lógica de descartar 00:51:11
vale, venga, pues intentaré colgar 00:51:13
ya reiniciando el ordenador 00:51:15
y con un poquito más de tranquilidad 00:51:18
dónde está este punto en el que hay 00:51:19
el cambio de curvatura 00:51:22
vale 00:51:24
venga chicos, pues nada, cortamos aquí 00:51:25
y ya nos vemos mañana 00:51:28
si eso 00:51:30
venga, hasta luego chicos 00:51:30
Subido por:
Juan R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
7
Fecha:
19 de marzo de 2024 - 20:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
51′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
989.04 MBytes

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