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Optimización - Contenido educativo

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Subido el 20 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Bueno, hemos estado hablando, buenos días, hoy es 20 de febrero, hemos estado hablando un poco de lo que nos queda por ver de análisis 00:00:00
y de cómo será el examen de recuperación porque no está por definir. 00:00:08
Ahora vamos a ver optimización, ¿vale? Este es un ejercicio muy triste de parvulitos de optimización, ¿vale? 00:00:13
Lo que nos dicen es que tenemos que hallar dos números cuya suma sea igual a 100, ¿vale? 00:00:19
y su producto sea máximo, ¿vale? 00:00:25
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:00:27
Yo, si tengo dos números, tengo un x y un y. 00:00:29
Estas son mis variables. 00:00:31
Como me dicen que tienen que sumar 100, 00:00:33
pues x más y es igual a 100, ¿de acuerdo? 00:00:35
Entonces, yo tengo una función, depende de x y de y, 00:00:38
que es p, por ejemplo, de x y, 00:00:42
donde lo que me piden es que el producto de esos dos números, 00:00:45
de x e y, tiene que ser máximo. 00:00:49
Yo esto lo tengo que maximizar. 00:00:51
Aquí esta tilde me sobra, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo tengo que maximizar la función que depende tanto de x como de y. Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que, bueno, los que vayáis a ingeniería y matemáticas o física y demás, sí que vais a aprender a derivar por varias variables, pero en principio a nivel de segundo de bachillerato no se hace. 00:00:53
Entonces lo que nosotros tenemos que hacer es una función que depende de dos variables, ponerla en que tan solo dependa de una de ellas. 00:01:20
Y sobre de ella, como nosotros lo que queremos es en este caso buscar un máximo, maximizarla, pues entonces siempre vamos a tener que hacer la primera derivada. 00:01:27
Entonces esto se puede hacer de dos formas, o bien despejo la y y lo dejo todo en función de x, o despejo la x y todo queda en función de y. 00:01:36
Aquí lo único, una salvedad respecto a la derivación implícita. 00:01:45
Aquí yo tengo dos variables, dos variables que en principio son independientes entre ellas, aunque tienen una relación. ¿Qué quiero decir con esto? Que aquí no es como la derivación implícita en la cual la Y dependía de X, ¿vale? Es decir, si yo en este caso yo he decidido, creo que tengo uno que lo he hecho tanto con X como con Y. 00:01:48
Entonces, cuando yo derivo aquí en estos casos de optimización, al ser dos variables independientes, ¿de acuerdo? Es que al derivar la Y no tengo que poner, como poníamos en implícita, la Y'. ¿De acuerdo? Es decir, esa Y no depende de esto. 00:02:08
entonces esa salvedad es importante 00:02:23
entonces nada, yo lo que hago era 00:02:26
yo tengo que maximizar el producto 00:02:27
x por y, pongo 00:02:29
en este caso la y en función 00:02:31
de x que es 100 menos x 00:02:33
y yo esta es la función que tengo 00:02:35
que maximizar que como veis 00:02:37
ya depende únicamente de x 00:02:39
¿vale? ¿cómo maximizo? 00:02:41
¿dónde encontraba yo los máximos de una 00:02:43
función? en la primera derivada 00:02:45
yo derivo la derivada 00:02:47
¿eh? 00:02:49
Porque yo tengo mi función a maximizar es x por y, ¿vale? 00:02:51
Porque el producto de dos números tiene que ser máximo. 00:02:58
¿Cuál es el producto de dos números? 00:03:01
x por y, ¿vale? 00:03:04
¿Sí o no? 00:03:07
Entonces, si yo tengo los números que suman 100 y lo que busco es que su producto sea máximo, 00:03:08
yo lo que busco maximizar es el producto de x por y. 00:03:15
Como tengo dos variables, pues entonces lo que hago es pongo una en función de otra, 00:03:18
precisamente de la relación que es C, que es que ambas suman 100, ¿vale? 00:03:22
Paula, vente conmigo, mi arma. 00:03:27
Entonces, yo lo que tengo que maximizar es X por Y, que es X por 100 menos X, 00:03:29
con lo cual tengo una función que ya tan solo depende de X, 00:03:34
con lo cual yo ya he triunfado como la Coca-Cola. 00:03:38
Es como si a mí me piden hallar el valor máximo de X de esta función, ¿vale? 00:03:41
Entonces yo ya derivo, tengo 100 menos 2x y esa derivada es la igual a cero. 00:03:48
Y chavales, esta anotación que yo pongo aquí es súper importante y no lo pongo a drede. 00:03:53
Es decir, yo primero derivo. Mi primera derivada es 100 menos 2x. 00:03:58
Y luego yo hago que mi primera derivada sea cero. 00:04:04
Es que me he encontrado mucho en los exámenes, y lo he dicho, no una, ni dos, ni tres veces, 00:04:07
que cuando derivéis no hagáis, por favor, la primera derivada directamente la pongáis a cero. 00:04:12
es lo que vais a buscar, perfecto 00:04:17
pero no, la primera derivada 00:04:20
es la primera derivada 00:04:22
y para tú buscar un máximo, tú igualas 00:04:23
la primera derivada a 0, ¿de acuerdo? 00:04:26
entonces yo ya tengo de aquí 00:04:28
despejo y me doy cuenta que es 50 00:04:29
¿vale? 00:04:31
que es lo que sería un puntazo también 00:04:33
y esto tan solo lo recomiendo 00:04:36
cuando 00:04:38
tenemos funciones polinómicas y esto es otra 00:04:39
cosa que también he visto en el examen 00:04:42
habéis hecho triples con funciones 00:04:43
polinómicas donde aparecen senos y logaritmos, que yo me he quedado pillado, porque eso significa 00:04:46
que no sabéis lo que es una función polinómica. Una función polinómica es donde aparecen 00:04:51
polinomios. Ni los senos, ni los cosenos, ni los logaritmos, ni las tangentes son polinomios. 00:04:57
No os columpiéis. ¿Qué ocurre con las funciones trigonométricas? Todas son continuas. El 00:05:03
Bueno, el seno y el coseno, la tangente no, ¿de acuerdo? 00:05:13
El seno y el coseno son continuos. 00:05:16
Los logaritmos neperianos, dentro de su dominio, también son continuos. 00:05:18
Y, por supuesto, las polinómicas también, ¿de acuerdo? 00:05:22
Entonces, tened cuidado, porque eso es un falloto gordo. 00:05:25
Entonces, chavales, yo aquí hago la segunda derivada, 00:05:29
pero porque es una polinómica, si no, ni la hagáis, ¿vale? 00:05:32
Veis crecimiento, decrecimiento. 00:05:36
Y si paso de decrecer a crecer, es un mínimo. 00:05:38
y si paso de crecimiento a crecimiento es un máximo. 00:05:42
Pero aquí, como es fácil, hago la segunda derivada, 00:05:45
veo que es negativa y si la segunda derivada 00:05:48
del valor de mi punto es negativa, 00:05:50
se está en un máximo, ¿vale? 00:05:53
Entonces, ¿qué ocurre? 00:05:55
Cuando yo tengo dos números, ¿vale? 00:05:56
que suman 100, precisamente su producto 00:06:00
es un mínimo, ¿vale? 00:06:03
Esto lo vimos también, ¿vale? 00:06:08
Entonces, resulta que tienen que ser iguales, ¿vale? Este ejercicio no va a caer en el examen, evidentemente, esto no va a caer en la EVA o un ejercicio de esto, pero es como introducción a lo que yo creo que veáis que es la optimización, ¿vale? 00:06:10
Aunque nos quedan tres minutos, necesito que este me deis tiempo a hacerlo, ¿vale? Chavales, este de aquí es un número, el cuadrado de otro, esto tampoco va a caer, pero lo que quiero que veáis es cómo le podemos meter mano a los ejercicios de optimización. Un número y el cuadrado del otro suman 48, ¿vale? 00:06:26
¿Cómo deben elegirse dichos números para que su producto sea máximo? 00:06:46
Entonces, yo tengo mi X y mi Y, y yo sé que puedo elegir la X o puedo elegir la Y, ¿de acuerdo? 00:06:50
Donde yo tengo aquí la X más el cuadrado del otro suman 48. 00:06:57
Y de nuevo, mi función a maximizar, otra vez con el acento, yo no sé por qué pongo aquí la tilde, ¿vale? 00:07:02
Es que el producto de ambos tiene que ser máximo, es decir, X por Y. 00:07:08
Entonces, si os fijáis, chavales, la relación entre X e Y, que son independientes, entre ellas es esta. Es decir, la suma de un número más el cuadrado de otro es 48. Entonces, fijaros cómo cambia la cosa de izquierda a derecha si yo lo que hago es despejar la X o despejar la Y. 00:07:13
Nosotros, es lo que ocurre muchas veces a ustedes los estudiantes, 00:07:34
como me ha pasado, por ejemplo, también en el examen. 00:07:37
Yo he habido gente que me ha dejado súper descuadrado 00:07:40
cuando en una ecuación aparece a más b igual a a. 00:07:43
Hay gente que me ha puesto barbaridades en ese ejercicio. 00:07:48
Hay gente que ha estado media hora perdida porque no sabe despejar a más b igual a a. 00:07:51
En el momento que os sacamos de la x y de la y, se os acaba el mundo. 00:07:56
Se os acaba el mundo, chavales. 00:08:01
Son dos variables, las variables se llaman mudas. ¿Qué significa una variable muda? Que si yo a mí no me hace ilusión ponerle X e Y, yo quiero poner mi nombre o el nombre de mi chica, de mi novio, de mi no sé qué, no sé cuánto, lo puedo poner son mudas, son mudas las letras. 00:08:03
Por convención se eligió la X, la Y y la Z normalmente, pero son mudas, mudas. 00:08:20
Podéis poner el nombre que queráis en vuestra variable. 00:08:27
Lo único que siempre es elegir un nombre que indique qué significa cada cosa. 00:08:31
Entonces, si veis, si yo aquí hago todo con Y, yo creo que tengo una función polinómica y su derivada y todo es muchísimo más fácil. 00:08:36
¿Vale? Yo he elegido que x más y al cuadrado es 48, x por lo tanto es 48 menos y al cuadrado y mi función que era x y al yo ponerlo todo en función de y me queda una función polinómica, esta sí que es un polinomio y yo al derivar los polinomios lo más fácil del mundo. 00:08:46
Yo derivo, fijaros su derivada que me sale esto, lo igualo a cero, 00:09:07
tengo que vale y es igual a más menos cuatro, 00:09:12
y luego me voy a la segunda derivada, 00:09:16
a la segunda derivada que fijaros es menos seis y, 00:09:18
yo sustituyo en la segunda derivada los valores que me han hecho cero la primera. 00:09:21
Yo sustituyo, igual que los puntos de inflexión. 00:09:30
Bueno, puntos de inflexión, me refiero, 00:09:34
Cuando yo quiero saber si es un máximo o un mínimo, los puntos que me hacen la primera derivada cero los sustituyo en la segunda. 00:09:35
Que me sale menor que cero es un máximo. 00:09:42
Que me sale mayor que cero es lo contrario, ¿vale? 00:09:45
Es un mínimo. 00:09:49
Entonces, de los dos posibles valores de Y, uno me maximiza ese producto y otro me minimiza ese producto. 00:09:50
¿De acuerdo? 00:09:59
¿Vale? 00:10:00
Entonces, evidentemente, si yo estoy maximizando, pues me tendré que quedar con el valor máximo, que es 4. 00:10:00
Entonces, si la y vale 4, pues resulta que la x vale 32. 00:10:06
Estos dos números, 32 y 4, si yo sumo 32 más el cuadrado de 4, que es 16, me da 48. 00:10:11
Y si yo multiplico 32 por 4, ahora voy a quedar fatal, creo que es 128, pues ese es el producto máximo de estos dos números. 00:10:19
fijaros el shosho que hay que montar 00:10:27
si yo me voy a la tradicional x 00:10:31
que esto va a pasar mucho 00:10:33
si me voy a la tradicional x 00:10:35
lo que yo quiero que veáis aquí es que 00:10:37
aunque yo he elegido la y 00:10:39
no es derivación implícita 00:10:40
porque la y es independiente 00:10:43
de la x 00:10:45
aquí cuando derivo no tengo que poner la y prima 00:10:46
yo antes en derivación 00:10:49
implícita tenía que poner la y prima 00:10:51
porque y era 00:10:53
una función de x 00:10:55
X dependía de X, ¿de acuerdo? Ahora aquí no, son variables independientes, X e Y. 00:10:56
Entonces, ¿aquí qué ocurre? Pues fijaros, si yo tengo que despejar de aquí la Y, que está al cuadrado, pues Y es igual a la raíz de 48 menos X, ¿de acuerdo? 00:11:03
Yo ahora la función que tengo que maximizar es esta. Fijaros que yo ya tengo que derivar una raíz. 00:11:14
El chocho y la probabilidad de que ustedes os equivocáis aquí es altísima, altísima, altísima. 00:11:19
Y de hecho aquí no lo estoy haciendo todo lo estricto que yo tendría que hacer. Yo aquí tendría que poner un más menos y probarlo con el más y probarlo con el menos. Fijaros, de hecho que yo aquí no tendría que tardar ni 5 minutos. Aquí si yo lo hago rigurosamente como hay que hacerlo en matemática, en esta se me puede ir fácilmente los 15 minutos o 20. Depende de la destreza que yo tenga. 00:11:26
Entonces, este ejemplo, que es muy triste, lo he hecho para que no os guíéis siempre con las X. ¿De acuerdo? Oye, que otra posibilidad que puedo hacer este es poner X cuadrado más Y igual a 48. Es lícito. Y lo hago con las X, que sé que os gusta más porque estáis más acostumbrados. ¿Vale, chavales? 00:11:49
entonces, este documento lo voy a subir 00:12:09
aquí creo que lo he hecho entonces 00:12:12
hay aquí ejercicios 00:12:14
y me gustaría 00:12:16
tener la solución, pero que 00:12:18
miréis solamente esto y que lo intentéis 00:12:20
hacer, vamos a hacer dos sesiones 00:12:22
más de optimización, me refiero 00:12:25
que no lo vamos a dejar aquí 00:12:26
si me gustaría, y es lo que yo siempre 00:12:28
he hecho mucho de menos 00:12:30
en este curso, es que me breáis 00:12:32
a preguntas 00:12:34
aquí hay tres personas que me preguntan 00:12:35
asiduamente, los demás no me preguntáis. Tres, cuatro personas. Yo creo que para un segundo de 00:12:38
bachillerato, yo recuerdo mi año de COU, que teníamos hasta los huevos al profesor, hasta los 00:12:45
huevos, pero era porque trabajábamos muchísimo la asignatura. Y yo viendo el examen que he visto, 00:12:51
hay mucha gente que me podéis decir lo que queráis, me podéis decir lo que queráis, pero hay mucha 00:12:57
gente que no ha trabajado lo suficiente la asignatura. Y vuelvo a decir una cosa, las derivadas 00:13:03
pueden ser más fácil, pueden ser más complicadas, pueden ser lo que queráis. 00:13:08
Pero si no las haces tú, no te pones tú a hacerlas en tu casa y lo ves la solución, 00:13:13
lo más fácil es equivocarse. 00:13:20
Y de hecho hay gente que todavía los logaritmos neperianos ya han hecho algunas derivadas 00:13:21
que desde luego los triples son para fumar. 00:13:26
Este ejercicio ya es un poquito, este es una pollada, 00:13:29
pero este, como no hagamos bien el dibujo, no lo vamos a saber hacer, ¿vale? 00:13:33
Y este de aquí, un segundillo, este es de BAU, ¿vale? Este es de BAU y aquí creo que tan solo está Martín de dibujo técnico. Aquí, entre que leéis poco, entre que la compresión lectora no es vuestro fuerte, lo mejor gráficamente o tal, este ejercicio que es súper fácil, súper fácil, hay mucha gente que no lo sabe plantear, ¿vale? 00:13:37
Entonces, echarle un vistazo y ya os digo, lunes y martes vamos a seguir trabajando optimización. Voy a buscar más problemas, ¿vale? Pero necesito que os familiaricéis con la optimización. En el aula virtual también os subí un fichero bastante extenso de aplicaciones de derivada donde aparecen también ejercicios de optimización. Echarle un vistazo, ¿vale? Y os lo vuelvo a repetir. 00:14:06
Por desgracia, no tenemos el tiempo suficiente que tampoco se trata de eso, de hacer de aquí todos los ejercicios del mundo. Aquí damos pinceladas, damos la teoría matemática. La teoría matemática en segundo de bachillerato es la mitad de lo que hay que estudiar. 00:14:29
En el momento que tú tengas interiorizado la teoría matemática, chavales, 00:14:47
lo demás sale solo. 00:14:52
Pero luego, lo que no me puedo encontrar es que hay gente aquí 00:14:54
con unas carencias matemáticas de primero de la ESO muy grandes. 00:14:58
Hay gente aquí con carencias matemáticas de primero de la ESO muy grandes. 00:15:04
Y en segundo de bachillerato y en albao, eso no se puede permitir. 00:15:09
No se puede permitir, chavales. 00:15:14
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
20 de febrero de 2026 - 18:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
15′ 20″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
23.53 MBytes

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