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Ex CT1 - Análisis (19 dic) - Contenido educativo
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Hola, os voy a resolver el examen del día 19 de diciembre, ¿vale?
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Eran tres ejercicios más uno extra en el ejercicio 1.
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Lo que nos pedían era calcular el área comprendida entre las funciones f de x, x cuadrado menos 4x más 3
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y la función g de x menos x cuadrado más 4x menos 3, ¿vale?
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Si nos damos cuenta, las dos funciones son cuadráticas, son parábolas, el coeficiente principal de la f es positiva, luego por lo tanto sería sonriente, el coeficiente principal de la g es negativo, luego sería triste, es decir, que en el fondo lo que me están pidiendo es calcular el área comprendida entre estas dos parábolas, ¿vale?
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Luego lo que necesito calcular son justamente los puntos de corte de las dos parábolas.
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¿Cómo calculamos los puntos de corte? Pues resolviendo el sistema.
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En lugar de f llamamos y, me quedaría que y es igual a x cuadrado menos 4x más 3,
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y es igual a menos x cuadrado más 4x menos 3,
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y resolvemos por el método de igualación y me quedaría que x cuadrado menos 4x más 3
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es igual a menos x cuadrado más 4x menos 3, lo paso todo a la izquierda y ya voy sumando
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y me queda 2x cuadrado menos 8x más 6 igual a 0, simplifico todo entre 2 para que sea más fácil resolverla
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y me queda x cuadrado menos 4x más 3 igual a 0, la resuelvo bien por el método de la ecuación de segundo grado
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o bien podemos aplicar Cardano-Vieta, el método, y buscamos dos números cuyo producto sea 3 y cuya suma sea 4.
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Por lo tanto, el 1 y el 3 son nuestras soluciones.
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Entonces, el área que yo busco es la integral entre 1 y 3 de, ojo, la diferencia de las dos funciones,
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es decir, de f de x menos g de x, diferencial de x, ¿vale?
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Y, por si lo he puesto mal, pongo valores absolutos.
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¿Por qué digo ojo? Pues porque algunos directamente me pusisteis ya la ecuación
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El x cuadrado menos 4x más 3
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No, tenemos que poner lo que es una función menos la otra
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Que el resultado, aparte que no podríamos poner el valor simplificado
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Tendríamos que poner el 2x cuadrado
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Es decir, lo que vamos a obtener va a ser justamente esta ecuación
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O sea, ese trocito de la izquierda, el miembro de la izquierda
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Entonces aquí sería x cuadrado menos 4x más 3 menos la g de x, como es un menos cambio todo de signo y me queda más x cuadrado menos 4x más 3 diferencial de x.
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Pero tenemos que ponerlo todo. ¿Y esto a qué va a ser igual? Pues valor absoluto integral entre 1 y 3 de 2x cuadrado menos 8x más 6 diferencial de x.
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¿Vale? No podemos partir y poner directamente eso, tenemos que decir de dónde nos está saliendo ese resultado.
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Y ahora ya aplicamos la integración, o sea, integramos directamente ese polinomio, dejamos el valor absoluto y me quedaría que esto es 2x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 6x, ¿vale?
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y esto lo tengo que evaluar entre 1 y 3, por la regla de barro.
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Sustituimos los valores y esto me queda 27 entre 3 es 9, por 2, 18,
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menos 9 por 4, 36, más 3 por 6, 18, y ahora es menos todo ello evaluado en el 1,
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por lo tanto sería menos 2 tercios, menos con menos hace más 4,
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Y menos 6, ¿vale? Y pongo el valor absoluto. Esto me sale, valor absoluto, si operamos todo de menos 8 tercios, ¿vale? Por lo tanto, quitando el valor absoluto, esto serían 8 tercios unidades al cuadrado.
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Fijaos que la función que está arriba, según el dibujo que yo he hecho, es la g de x, ¿vale? Y la que está abajo es la f de x. Y yo que he puesto f menos g, por eso me sale con el signo contrario porque las he cogido al revés.
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vale, pues este sería el ejercicio 1
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borro y sigo con el 2
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vale, ya he escrito el ejercicio 2
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eran, o sea, os dábamos 5 integrales
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de las que había que hacer solamente 4, vale
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elegir, bueno, no le he dicho que el primer ejercicio eran 3 puntos
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este ejercicio cada integral es un punto
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y luego el ejercicio que nos falta son otros 3 puntos
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y aparte teníamos un ejercicio extra
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venga, pues vamos a ver
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el apartado A, voy a hacer todos, vale
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El apartado a es el típico caso de una integración por partes, tengo un logaritmo, por lo tanto la u va a tener que ser el logaritmo neperiano de x para poderlo derivar ya que no sé cuál es su integral.
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diferencial de u va a ser 1 partido por x diferencial de x, ¿vale?
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Y por lo tanto la diferencial de v va a ser x diferencial de x
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y mi función v va a ser x cuadrado partido por 2, ¿vale?
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Bien, pues ahora aplicamos la fórmula u por v, es decir,
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logaritmo neperiano de x por x cuadrado partido por 2,
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Voy a poner primero el x cuadrado partido por 2 por logaritmo neperiano de x menos la integral de v diferencial de u de x cuadrado partido de 2 por 1 partido por x diferencial de x.
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Vale, fijaos que lo que me queda aquí es inmediato porque yo puedo coger y puedo simplificar, voy a cambiarlo de color, voy a simplificar el cuadrado con esta x, ¿vale?
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Y entonces, ¿qué es lo que me queda? La integral de x partido por 2, y luego esto me queda, el x cuadrado partido por 2, logaritmo neperiano de x, menos, tengo el 1 medio, que si queréis lo podemos dejar aquí, el 1 medio, y ahora tengo simplemente la integral de x, la integral de x es x cuadrado partido por 2, más k.
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Y si lo queremos operar un poquito, esto sería x cuadrado partido por 2 logaritmo neperiano de x menos x cuadrado partido por 4 más k.
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Era bastante sencilla también.
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El apartado b, bueno, pues en el apartado b es otra integración por partes.
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Además vemos como tenemos un x cuadrado y una trigonométrica, sabemos que la trigonométrica siempre es cíclica, seno, coseno, coseno, seno.
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pues lo que tendremos que hacer es intentar rebajar la x cuadrado
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por lo tanto vamos a tener que hacer una integración por partes dos veces
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entonces la primera llamamos u al x cuadrado
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para ir rebajando los grados
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diferencial de u sería 2x diferencial de x
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y llamamos diferencial de v al seno de x
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diferencial de x
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y por lo tanto la v, si viene de un sin, la derivada es el seno, es que es de un menos coseno, ¿vale?
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Porque la derivada del coseno es menos el seno, o que no se me olvide, el menos coseno de x, ¿vale?
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Esta sería la primera que vamos a aplicar, ¿vale?
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Aplicamos la formulita u por v, es decir, pongo delante el menos, ¿vale?
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menos x cuadrado coseno de x, y ahora sería menos la integral de v diferencial de u,
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como v es menos coseno voy a transformar el menos en un más,
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y me quedaría 2x coseno de x diferencial de x, ¿vale?
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Y como he dicho me vuelve a quedar un 2x y un coseno, ¿vale?
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Pues volvemos a hacer lo mismo, llamo u a 2x, por lo tanto diferencial de u sería simplemente 2 diferencial de x, ¿vale?
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Y me falta aquí el diferencial de v, que sería el coseno de x diferencial de x, por lo tanto la v sería el seno de x, ¿vale?
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Fijaos que ahora es en positivo, ¿vale?
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Y ahora, que no se me olvide la primera parte, que esa ya está, esto es menos x cuadrado coseno de x, ¿vale?
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Que algunos os olvido poner, más, he transformado justamente el más para evitar tantos signos menos,
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que es uno de los fallos que tuvisteis alguno.
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Vale, ahora sería u por v, es decir, 2x seno de x menos la integral de v diferencial de u,
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Es decir, de 2, seno de x, diferencial de x.
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Y ahora ya esa integral es inmediata.
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Esto sería igual, a ver, lo voy a escribir aquí abajo.
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Esto sería igual al menos x cuadrado, coseno de x más 2x, seno de x.
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Y fijaos, es un seno, viene de un coseno, pero tengo el menos, tengo aquí este menos, ¿verdad?
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Por lo tanto, esto va a ser simplemente más dos veces el coseno de x más k.
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¿Vale? Y ya estaría, tampoco era muy complicado, había que hacerlo dos veces, pero era muy sencilla.
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El apartado c, que os tengo aquí puesto, a ver, esta era inmediata, o sea, esta era un regalito si nos dábamos cuenta,
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Algunos complicasteis mucho la vida.
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¿Qué ocurre?
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Que la derivada del denominador es justamente el numerador.
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¿Vale?
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O sea, es que no teníamos que hacer nada más.
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La derivada de 2 menos coseno de x es justamente el seno de x.
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Luego esto es el logaritmo neperiano.
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Lo ponemos entre el valor absoluto de 2 menos coseno de x más k.
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Y ya está.
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Los que os disteis cuenta, pues no tardasteis nada en hacerla.
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Veis que era muy sencilla.
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Venga, vamos con la d
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La d tampoco era muy complicada
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Es el típico de, o sea, es un cociente de dos polidinomios
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Función irracional
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La que el numerador no es la derivada del denominador
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Tienen el mismo grado
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Por lo tanto podemos dividir
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Vale, pues hacemos la caja
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La división por la caja
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5x cuadrado menos x menos 160
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entre x cuadrado menos 25, esto es a 5, 5 por menos 125 es menos 125, por lo tanto lo cambiamos
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más 125, 5 por x cuadrado es x cuadrado, ponemos el opuesto, menos 5x cuadrado, y al sumar
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me queda directamente menos x menos 35, ¿vale?
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Y os recuerdo la fórmula que supongo que la recordáis,
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que es que dividiendo entre divisor es lo mismo que el cociente más el resto entre el divisor, ¿vale?
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Por tanto, esta integral quedaría integral de cociente, que es 5,
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más el resto que es menos x menos 35
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que si queréis, no me ha dibujado el 5
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este menos lo pongo partido, ahora lo hago después
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entre el x cuadrado menos 25, ¿vale?
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lo que os decía, diferencial de x
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es que para no dejar arriba los dos menos
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yo lo que puedo hacer es cambiarlo
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es decir, sacar el menos fuera
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en lugar de poner aquí el más
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¿Vale? Pongo el menos fuera y cambio todo a más
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Simplemente pues porque a mí me gusta más ver las cosas así, no tantos menos
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¿Vale? ¿Qué ocurre? Que arriba no tengo la derivada de abajo para poder aplicar el logaritmo
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Pero lo que vemos es que x cuadrado menos 25 es, lo deberíamos ver todos, es una diferencia de cuadrados
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Por lo tanto, lo que vamos a hacer es transformar esta fracción, el x más 35 entre x cuadrado menos 25, lo voy a poner como una suma de fracciones simples.
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Hemos dicho que x cuadrado menos 25 tendríamos que ver todos que es suma por diferencia, es x más 5 por x menos 5.
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Si no lo vemos, obviamente, resolvemos la ecuación, x cuadrado menos 25 igual 0, x cuadrado igual a 25, x igual a más menos 25.
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Ojo, que alguno también nos equivocaste y si me lo pusisteis como que era el cuadrado de una resta, no, es suma por diferencia, tenemos que saber las expresiones notables.
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Vale, a esto le llamamos a, a este le llamamos b y esto será a por x menos 5 más b por x más 5, todo ello dividido por x más 5 por x menos 5, ¿vale?
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Y ahora lo de siempre, para que la fracción inicial y la última sean iguales, teniendo el mismo denominador, los numeradores tienen que ser iguales.
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Por lo tanto, lo que me está quedando, bueno, lo podemos poner aquí abajo, lo que me queda es que x más 35 tiene que ser lo mismo que a por x menos 5 más b por x más 5.
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Y ahora para calcular el a y el b damos los valores de las raíces porque es lo más sencillo, es decir, cuando x es 5, lo que me queda es x, 5 más 35 es 40, a por 0 es 0 y me quedaría 10b, por lo tanto b es 40 entre 10, 4, ¿vale?
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Y si la x vale menos 5, me quedaría menos 5 más 35, sería 30, y aquí sería menos 10a, menos 10a, y por lo tanto me quedaría que la a es igual a menos 3, ¿vale?
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Pues nada, ya lo tenemos entonces
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Lo ponemos arriba
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No se me tiene que olvidar el primer 5
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Esto es 5 menos
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Y ojo, ahora sí que es cierto que esto es un menos
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Delante, o sea que voy a poner la suma de las dos fracciones
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Pero lo tengo con un menos
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Lo voy a poner entre paréntesis
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Sería menos 3 partido por x más 5
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Más 4 partido por x menos 5
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diferencial de x
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igual a
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vale, he dejado poco espacio
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y voy a parar para bajar lo otro
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vale, ya he dejado un poquito más de espacio
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y entonces a ver
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de aquí
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llegamos
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voy a pasar aquí abajo
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y lo que me queda es
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antes de hacer la integral
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voy a cambiar
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a quitar el paréntesis
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vale, me queda integral
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de
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5
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desarrollo el paréntesis
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el menos delante me lo cambia todo el signo
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luego aquí me queda más
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3 partido por x más 5 menos 4 partido por x menos 5, diferencial de x.
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Y ahora esto ya son todas integrales inmediatas, de 5 es 5x más 3 y este ya tenemos el logaritmo neperiano en valor absoluto de x más 5
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menos 4 por el logaritmo neperiano en valor absoluto del x menos 5 más la k, ¿vale?
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Tampoco era un ejercicio excesivamente complicado.
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Y luego el último que nos faltaba, el e, que es el que podría en un principio parecer un poquito más complicado
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porque tenemos muchas exponenciales y me decían que resolviera la integral haciendo el cambio t igual a elevado a x, ¿vale?
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Aquí lo único que yo tengo que hacer, que jugar un poquito, es con lo que significa el exponente, porque yo puedo sustituir el primer elevado a x, este que tengo aquí, por t, pero aquí, esto no es elevado a x, es elevado a x más algo, pero si en un exponente hay un producto, es, perdón, si en un exponente hay una suma, es porque viene de un producto de potencias, esto es lo mismo que elevado a x por elevado a elevado a x, diferencial de x, ¿vale?
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Y ahora ya sí que el cambio se ve bastante mejor.
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Pero ya sabéis que necesitamos también hacer el cambio con diferencial de x.
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Si t es elevado a x tenemos que la x es el logaritmo neperiano de t y por lo tanto diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t.
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Este es el cambio típico de siempre.
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Y ahora simplemente sustituimos, ¿y esto qué sería? t por e elevado a t, y ahora sustituimos el diferencial de x, que es 1 partido por t, diferencial de t.
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¿Qué ocurre? Que esta t con este 1 partido por t se nos va, ¿y qué me queda? Pues lo más sencillo, la integral de e elevado a t diferencial de t.
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La integral de la exponencial
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Sabemos que es ella misma
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Luego esto sería e elevado a t
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Y lo único que tengo que hacer es
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Sustituir, bueno e elevado a t
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Más k, pero no voy a poner el k
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Hasta que sustituya
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La t era e elevado a x
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Luego esto va a ser e elevado
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A la t que es
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E elevado a x más k
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¿Vale?
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Una integral que en un principio podría parecer
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Complicada, pero que es
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Haciendo el cambio
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salía muy fácil, es lo que siempre os digo, no nos tenemos que asustar por ver
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tantas es y cosas de estas, las cosas al final no son tan complicadas
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venga, pues nos faltaría solamente el último ejercicio que lo voy a copiar
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vale, pues el último ejercicio, el 3, lo único que me pedían era estudiar
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la derivabilidad de esta función, es una función que tiene un valor absoluto
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pero es un valor absoluto muy sencillito, es simplemente de x
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por lo tanto aquí lo primero que tenemos que hacer es escribir esta función
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como una función definida a trozos, según el valor absoluto.
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Luego esto sería x cuadrado menos x cuadrado menos,
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y ahora a ver, ¿quién es el valor absoluto de x?
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Pues el mismo, x, cuando la x es mayor, voy a ponerle aquí también el igual a cero,
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y menos x, por lo tanto aquí se me transformaría, sería menos menos,
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cuando la x es menor que cero, ¿vale?
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Por eso me están pidiendo un poco la derivabilidad,
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No me basta con que me digáis, es que, como es un valor absoluto, tal, no, tenemos que hacer las cosas, ¿vale?
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Y ahora, para mirar primero si es derivable, tenemos que ver primero si es continuo, ¿vale?
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Porque si no fuera continua, no sería derivable.
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Las funciones en cada uno de los tramos son polinomios, por lo tanto son funciones, son continuas y derivables.
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Mi único problema es en el cero, ¿vale?
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Pues vamos a ver cómo se calcula la continuidad, vamos a ver si es continua en cero.
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Para que f de x sea continua en x igual 0, ¿qué es lo que tiene que ocurrir?
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Pues que f de 0 tiene que coincidir con el valor de los límites, es decir, con el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x
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y con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x.
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Pero esto lo tenemos que hacer.
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puedo hacer las tres igualdades o me puedo dar cuenta que el 0 coincide con el mayor
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es decir por la derecha y entonces ahora simplemente compruebo
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y vemos que, bueno lo puedo incluso mirar aquí
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f de 0 coincide con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha
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que es x cuadrado menos x y esto es 0
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Y ahora calculamos cuánto es el límite cuando x tiende a cero por la izquierda de x cuadrado más x.
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Y esto también es cero.
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Por lo tanto, como estos dos valores coinciden, significa que f de x es continua en x igual a cero.
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Y por lo tanto sería continua en todos los reales.
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Y ahora para ver si es derivable pues lo primero que tendríamos que calcular es f' de x, f' de x es una función definida a trozo, la derivada es derivar cada uno de los trozos, por lo tanto esto sería 2x menos 1 cuando x es estrictamente mayor que 0 y 2x más 1 cuando x es estrictamente menor que 0.
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para ver si el único punto donde puede ser no derivable es en el 0
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y entonces ponemos la formulita también f de x para que sea derivable en x igual a 0
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lo que tiene que ocurrir es que la derivada en el 0 por la izquierda
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tiene que ser igual a la derivada en el 0 por la derecha
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¿Vale? Y para ver esto pues lo voy a calcular también y calculamos los límites ¿Vale?
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F' de 0 por la izquierda es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del 2x más 1
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sustituimos en el 0 y esto me da 1 y f' de 0 por la derecha es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha
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de 2x menos 1 y esto es menos 1. ¿Qué ocurre aquí? Que los límites son distintos, estos dos son distintos
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lo que significa que f de x no es derivable en x igual a 0, ¿vale?
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Y con esto, estos eran otros tres puntos, sería el examen.
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Nos faltaba un extra, que nos lo habíais pedido y os habíamos puesto un límite.
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Lo copio y ahora hacemos también el extra.
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Venga, pues este era el extra, es el límite cuando x tiende a 0 del logaritmo neperiano del coseno de 2x
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partido de x cuadrado. Lo primero que tenemos que hacer siempre es sustituir, coseno de
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0 es 1, logaritmo neperiano de 1 es 0 y 0 al cuadrado es 0, es un 0 partido por 0, por
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lo tanto lo que vamos a hacer aquí es directamente aplicar L'Hôpital. Vale, pues para aplicar
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L'Hôpital es el límite, ojo, es el límite del numerador entre el límite del denominador,
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no el límite del cociente como me hicisteis algunos, luego esto es el límite cuando x tiende a 0, en el numerador es el logaritmo neperiano del coseno de 2x,
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la derivada del logaritmo es arriba la derivada del argumento digamos y debajo el argumento, es decir esto sería abajo el coseno de 2x y arriba la derivada del coseno de 2x
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que es menos el seno de 2x por la derivada de 2x que es 2, por lo tanto menos 2 seno de 2x y abajo la derivada de x cuadrado que es 2x, ¿vale?
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A ver, aquí algunos os liasteis mucho, lo podemos poner como una tangente o podríamos hacer, o sea, lo que tenemos que hacer es operar las fracciones
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o lo pongo como tangente o bien opero para que me quede una única fracción,
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pero no me pongo a derivar lo del numerador por un lado y lo del denominador por otro
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porque al final es un jaleo.
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Entonces esto lo podríamos arreglar y podríamos poner que esto es el límite
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cuando x tiende a 0 de menos 2 tangente de 2x entre 2x, ¿vale?
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Incluso los doses se me van.
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Y ahora si sustituyo, me queda la tangente de 0 es 0, x en 0 es 0 y me queda 0 partido por 0, luego aquí volvemos a aplicar otra vez L'Hôpital, ¿vale?
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Y que me queda el límite cuando x tiende a 0 de, ¿quién es la derivada de la tangente? Bueno, la derivada del numerador,
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La derivada de la tangente de 2x es 1 partido por el coseno de 2x
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Por la derivada de 2x que es 2, por lo tanto esto sería menos 1 partido
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Creo que no he dicho el cuadrado, coseno cuadrado, ¿vale?
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No estoy segura si lo he dicho, del coseno cuadrado de 2x
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¿Vale? Por la derivada del 2x que es 2
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Y la derivada de x en el denominador que es 1
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Es decir, si lo arreglamos un poquito, esto es límite
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cuando x tiende a 0 de menos 2 partido por el coseno cuadrado de 2x.
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Si sustituimos en el 0, es coseno de 0 que es 1, al cuadrado sigue siendo 1,
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por tanto, menos 2 entre 1, menos 2, y ya estaría el límite.
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Algunos, supongo que es por los nervios, porque ya estáis al final,
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os liasteis muchísimo, hicisteis cosas muy raras,
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pero fijaos que no era tampoco tan complicado de hacer.
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¿Vale? El otro caso que os decía era si hubiéramos operado el coseno y el 2x, si esto lo hubiéramos multiplicado, ¿vale?
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Y hubiéramos tenido que aplicar luego la derivada de un producto, era más largo pero también salía bien.
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Bueno, pues este era el examen, yo creo que era un examen que no era largo, que no era difícil y era bastante, o sea, todo lo que habíamos estado trabajando en clase.
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- Matemáticas
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- Ejercicios resueltos
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- Segundo Curso
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- 30 de diciembre de 2026 - 14:39
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 26′ 57″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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- 1920x1080 píxeles
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