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PAU 02 [Análisis] - Contenido educativo

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Subido el 3 de diciembre de 2024 por Esteban S.

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Hola, tenemos otro problema de la PAO. Voy a hacer este problema enfrentándome a él por primera vez, sin haberlo leído previamente, para intentar transmitiros cómo haría yo cuando veo un problema por primera vez. 00:00:02
Lo primero que tengo que decir es que es un problema de Galicia, de la modelo de 2025. 00:00:22
Entonces empezamos a leer el problema. 00:00:27
El número de ejemplares vendidos en una revista en miles de unidades, importante, esto ya es importante, en miles de unidades. 00:00:29
O sea, esta función lo que nos da son miles de unidades. 00:00:35
Y luego dicen los primeros 5 meses del año, aquí están los primeros 5 meses del año, en efecto, va desde 0 a 5. 00:00:38
De 0 a 3 se comporta de una manera y de 3 a 5 de otra manera. 00:00:49
Lo primero que me gusta ya de aquí, que nos va a facilitar bastante el problema, es que el dominio es un intervalo cerrado. 00:00:53
Dominio es un intervalo cerrado, me lo voy a poner aquí. 00:01:01
El dominio de la función es un intervalo que va de 0 a 5. 00:01:04
Y luego nos dicen que el tiempo t es meses, por eso va de 0 a 5. 00:01:11
Y nos hacen dos preguntas. 00:01:19
Muy bien, vamos a empezar. 00:01:21
la primera pregunta me dice crecimiento y decrecimiento 00:01:22
ya sé lo que tengo que hacer 00:01:26
la segunda pregunta me pregunta máximos y mínimos 00:01:28
como no dice relativos son máximos y mínimos absolutos 00:01:31
luego por eso estoy muy contento de que el dominio sea un intervalo cerrado 00:01:36
y por último representa la gráfica ya con todo lo anterior 00:01:40
pues seguro que voy a saber representar la gráfica 00:01:44
entonces vamos a empezar con el primer punto 00:01:46
el primer punto lo voy a llamar A 00:01:48
y nos dicen crecimiento y decrecimiento. 00:01:51
Entonces, para eso hay que estudiar el signo de la derivada. 00:01:53
Acordaos que para crecimiento y decrecimiento, signo de la derivada. 00:01:58
Muy bien, entonces, como es una función a trozos, 00:02:01
ya sabemos lo que hay que hacer antes de ponernos a derivar como locos. 00:02:07
Antes de ponernos a derivar como locos, hay que asegurarse de que sea continua, 00:02:10
porque es importante. 00:02:14
Además, luego nos piden representarla, entonces, hay que saber si es continua. 00:02:16
Entonces, para saber si es continua, esto ya lo tenemos que hacer rapidito porque ya lo sabemos hacer. 00:02:20
Pues el tramo 1. ¿Qué es el tramo 1? 00:02:26
Ir pensándolo. ¿Qué es el tramo 2? Una recta. 00:02:29
¿Qué es el tramo 1? Pues esto es una parábola. 00:02:33
Bueno, pues entonces es continua. Ahí en los tramos es continua. 00:02:40
Luego solo falta estudiar qué ocurre en el punto de cambio. 00:02:43
Entonces esto es lo que hay que estudiar aquí. 00:02:48
continuidad, lo hago a breve para no tardar mucho, en t igual a 3. 00:02:49
Hay que estudiar tres cosas de este punto. 00:02:57
El límite cuando t tiende a 3 por la izquierda de la función, 00:03:02
el límite cuando t tiende a 3 por la derecha de la función y n de 3. 00:03:07
Cuando voy por la izquierda estoy en el tramo 1, lo calculo rápidamente, 00:03:17
3 menos 2, 1 por 3, 3, 8 menos 3, 5. 00:03:20
Cuando estoy por la derecha, estoy en el tramo 2, 2 por 3 es 6, menos 1 es 5 00:03:23
Y en el de 3, ¿dónde estoy? En el tramo 1, 5 00:03:28
Luego esto me indica que la función es continua en t igual a 3 00:03:31
Y por tanto, n de t es continua en su dominio 00:03:38
Es continua en su dominio 00:03:45
Que va de 0 a 5, cerrado, muy bien 00:03:47
Bueno, ya estamos contentos 00:03:55
Entonces, una vez que tengo esto, ya vamos a hacer la derivada. 00:03:57
Entonces, vamos a hacer la derivada de esta función. 00:04:02
Vale. 00:04:04
Antes de eso, me voy aquí abajo. 00:04:05
Voy a poner este tramo 1 más bonito. 00:04:11
Como voy a derivar, 8 menos t cuadrado más 2t. 00:04:15
¿Se entiende lo que ha hecho? 00:04:20
Sí, profesor, has multiplicado. 00:04:21
Pues, exacto. 00:04:22
Vale. 00:04:23
Seguimos. 00:04:23
vamos entonces a calcular la derivada 00:04:24
y aquí hay una cosa importantísima en la derivada, mirad 00:04:28
por favor, que no se nos olvide nunca esto 00:04:32
cuando voy a hacer la derivada, estos iguales hay que 00:04:35
quitarlos, porque no se sabe lo que va a ocurrir ahí, no se sabe 00:04:40
no lo puedo poner, así que esta derivada 00:04:44
de la función es en estos, salvo en 3 00:04:48
en 5, en 0. En este caso no nos preguntan si es derivable en 3, si no ya sabéis lo 00:04:52
que habría que hacer, pero no nos lo preguntan. Entonces, derivada del primer tramo. El primer 00:04:58
tramo lo tenía aquí abajo, lo veis, la derivada es menos 2t más 2. Derivada del 00:05:05
segundo tramo, que está ahí, pues es 2. Bueno, ya voy bien. Entonces ya tengo ahí 00:05:11
la derivada y entonces ahora lo que vamos a hacer es estudiar el signo de la derivada. 00:05:17
Ya lo tengo ahí, perfecto. 00:05:21
Vamos a estudiar el signo de la derivada. 00:05:23
Entonces, para estudiar el signo de la derivada, primero poníamos X, los valores que puede tomar la X. 00:05:26
Muy importante. 00:05:31
0 y terminan 5. 00:05:33
Cuidado, que esto es importante, hay que estar atento. 00:05:36
Lo del dominio lo he remarcado muchísimas veces. 00:05:39
Luego, ¿qué más puntos hay que marcar? 00:05:42
Pues los puntos raros. 00:05:43
¿Cuáles son los puntos raros? 00:05:44
Pues el 3, pues lo marco. 00:05:45
Muy bien. 00:05:47
¿Y ahora qué puntos hay que marcar? 00:05:48
importantísimo, aquellos puntos que hagan la derivada cero. 00:05:50
Vamos a ver qué puntos de esta función, la derivada, 00:05:57
qué valores de t hacen que esa derivada sea cero. 00:06:02
Voy a empezar por el tramo 2. 00:06:06
El tramo 2 vale 2. 00:06:08
¿Cuándo 2 vale cero? Nunca, pues me olvido de ello. 00:06:09
Tramo 1 es esto. 00:06:13
¿Cuándo esto vale cero? 00:06:16
Pues vamos a calcularlo. 00:06:18
esto vale 0 si te vale 1 entonces muy importante hay que asegurarse hay que 00:06:20
asegurarse de que el valor encontrado de igual a 1 esté en su dominio pertenezca 00:06:27
a ese dominio pues claro que si está igual a 1 está en este dominio luego hay 00:06:33
que ponerlo muy importante lo que he dicho imaginaros que aquí sale de igual 00:06:37
así a 7 pues no nos interviene no valdría para nada o te igual a 4 pues 00:06:42
Tampoco. Tiene que ser que esté en su dominio de 0 a 3. 00:06:48
Muy bien, entonces aquí hay que marcar el punto 1. 00:06:51
Y entonces ahora, sabiendo el signo de la derivada, sé el comportamiento de la función n de t. 00:06:55
Vamos a empezar. Voy a cambiar de color. Verde. 00:07:05
¿Qué sé del signo? Lo único que sé del signo de la derivada es que en 1 vale 0. 00:07:09
Ahí vale 0. De aquí no sé nada. 00:07:16
de aquí no sé nada, de aquí no sé nada 00:07:18
alguien puede decir, profesor yo quiero saber si en el 3 es derivable, pues ya sabéis lo que tenéis que hacer 00:07:21
sustituir, pum pum, os va a salir que no es derivable, ya lo he dicho 00:07:26
bueno, vamos, de 0 a 1 00:07:30
de 0 a 1 estoy aquí, cojo un valor 00:07:33
entre 0 y 1, pues 0,5, menos 2 por 0,5 00:07:38
menos 1 más 2, positivo 00:07:41
Cojo un valor entre 1 y 3, el 2, estoy aquí. 00:07:49
Menos 2 por 2, menos 4 más 2, negativo. 00:07:52
Entre 3 y 5, ya estoy en el segundo tramo. 00:07:56
Cojo el 4, ¿cuánto vale la derivada? 2, siempre positivo. 00:08:00
Perfecto. 00:08:04
Luego ya tengo que aquí la función crece, aquí la función decrece y aquí la función crece. 00:08:04
Y ya podemos contestar a la primera pregunta. 00:08:15
Acordaros siempre de contestar, por favor. 00:08:21
Así que la primera pregunta era crecimiento y decrecimiento. 00:08:24
Entonces, N de T crece de 0 a 1. 00:08:26
Podemos poner abierto mejor. 00:08:36
No, de 0 a 1 sí. 00:08:38
Bueno, abierto. 00:08:40
Bueno, unión 3, 5. 00:08:41
Vamos a ver si esto hay que aclararlo. 00:08:43
Da igual ponerlo abierto que cerrado. 00:08:45
Da igual. 00:08:47
Ya lo digo, ¿eh? 00:08:48
Es que hay gente que, bueno, se puede poner invierto o cerrado. 00:08:49
Bueno, pero esa es la solución. 00:08:55
Ahí está. 00:08:57
Voy a poner cerrado. 00:08:59
En este caso da igual poner abierto o cerrado. 00:09:01
Pues ya está. 00:09:04
Ya la primera pregunta ya está contestada. 00:09:05
Correcto. 00:09:09
Muy bien. 00:09:10
Sencillo. 00:09:11
Bueno. 00:09:12
Por cierto, ¿alguien sabe cómo se llama este punto 1? 00:09:15
Que la derivada vale 0 y por aquí, a su izquierda, que decía aquí. 00:09:18
Y pues esto se llama un máximo relativo. 00:09:23
Muy bien. 00:09:27
Ya veremos si es absoluto, pero es un máximo relativo. 00:09:28
Pero es que este punto de aquí, el 3, ¿sabéis cómo se llama este punto de 3? 00:09:32
Que aunque la derivada no existe, pues también se llama mínimo relativo. 00:09:37
Eso es importante, ahora lo vamos a decir. 00:09:42
Bueno, la segunda pregunta es encontrar el máximo y el mínimo absoluto de esa función. 00:09:44
Y entonces aquí viene lo que tanto nos gusta. 00:09:49
Lo voy a hacer aquí debajo, el apartado. 00:09:52
Como el intervalo, no me canso de decirlo 00:09:54
Como el dominio es un intervalo cerrado 00:09:58
¿Cómo se hallan los máximos y mínimos absolutos? 00:10:00
Muy fácil, profesor 00:10:03
Hay que evaluar la función 00:10:04
¿En qué valores? 00:10:08
En los valores críticos que nos hayan salido 00:10:09
¿Cuáles son los valores críticos que nos han salido? 00:10:11
Son los extremos del intervalo 00:10:15
Los puntos conflictivos como es el 3 00:10:21
Es un punto de cambio en la función 00:10:24
y el punto que nos ha salido la derivada 0. 00:10:26
Lo vuelvo a repetir, que es importante esto. 00:10:33
Lo vuelvo a repetir. 00:10:36
Estos son los valores que pueden ser máximos o mínimos asuntos. 00:10:37
Siempre, gracias a que esto es un intervalo cerrado, el dominio. 00:10:41
Muy bien. 00:10:48
Vamos entonces a evaluar. 00:10:49
¿Cuánto vale n de 0? 00:10:51
n de 0, estoy ahí, 0, 8. 00:10:52
¿Cuánto vale n de 5? 00:10:56
Estoy en el tramo de abajo, 2 por 5, 10, menos 1, 9. 00:10:58
¿Cuánto vale n de 3? 00:11:02
Estoy en el intervalo de arriba, 3 menos 2, ya lo hemos dicho, 5. 00:11:04
¿Y cuánto vale n de 1? 00:11:09
Vamos a calcularlo, 1 menos 2, menos 1, por menos 1, 1, 9. 00:11:10
Bueno, y entonces, 5 menos 2, 2 por 5, aquí he hecho una cosa mal y no me lo habéis dicho. 00:11:15
Otra vez. 00:11:27
Muy bien, el que se haya dado cuenta. 00:11:28
N de 5, estoy en el tramo 2, 2 por 5, 10 menos 1, 9. 00:11:30
Bueno, pues ya está. 00:11:34
Entonces aquí el valor mayor es el máximo y el menor es el mínimo. 00:11:35
Entonces aquí tenemos máximo, aquí tenemos máximo y aquí tenemos mínimo. 00:11:39
Así que el mayor valor es el máximo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto. 00:11:51
Ahora sí que vamos a contestar y vamos a ver, esto tiene que quedar clarísimo. 00:11:56
Entonces, contesto. 00:12:03
Por cierto, por cierto, acordaros que los puntos tienen dos coordenadas. 00:12:05
Los máximos absolutos son los puntos A19 y B59. 00:12:11
9. Quiere decir que en el mes 1 se venden 9.000 ejemplares. 00:12:27
¡Ay! Quien ponga 9 ejemplares. 00:12:34
Y en el mes 5 se venden 9.000 ejemplares. 00:12:37
Ese es el máximo. 00:12:42
Y el mínimo absoluto se da en el mes 3. 00:12:44
Por cierto, el mínimo absoluto es el punto C35. 00:12:50
Y se venden 5.000 ejemplares. 00:12:54
Estas cosas son importantes, esto conviene escribirlo un poquito mejor y con buena letra 00:12:56
Yo lo hago rápido para que no perdamos mucho tiempo 00:13:01
Por cierto, se me ha olvidado deciros que los problemas de la PAU 00:13:04
Están preparados y pensados para que un alumno, una alumna tarde 15 minutos como máximo en hacerlo 00:13:08
15 minutos máximo en hacerlo 00:13:15
Muy bien, bueno pues ya lo tenemos ahí 00:13:18
Y ahora entonces lo que vamos a hacer es el último apartado que es dibujar la función 00:13:21
Pero ya con todo esto, la función es que es facilísimo, porque ya te lo da la función, ya, la función ya está, bueno, vamos a ver, la función, vamos a dibujar los ejes, voy a dibujar los ejes así, aquí, voy a dibujar así los ejes, pues no, profesor, porque si el dominio solo va de 0 a 5, ¿para qué vas a dibujar eso? Tenéis razón, para nada, porque es una tontería, así que me dibujo mis ejes aquí, de 0 a 5, empezamos, 00:13:25
voy a empezar a poner puntos importantes, vale, en el punto 0, aquí es el 0, no, en el 0 voy a marcar el 1, voy a marcar el 3, voy a marcar el 5, 00:13:53
son los puntos claves, venga, vamos a dibujar la gráfica, la voy a dibujar en rojo, en rojo, vale, en el punto 0, ¿qué valía la función? 8, yo que sé, aquí, 00:14:18
En el punto 1, ¿qué valía la función? 9, pues la voy a poner aquí, por arriba. 00:14:33
En el punto 3, ¿qué valía la función? 5, bueno, aquí valía 8, aquí 9. 00:14:38
En el punto 3, ¿valía 5? Pues por aquí. 00:14:44
Y en el punto 5, ¿qué valía? 9, pues igual que tú. 00:14:49
Pues ya es facilísimo. 00:14:53
Mirad, de 3 a 5 era una recta. 00:14:55
De 3 a 5, lo voy a escribir aquí, de 3 a 5 era 2t menos 1, es una recta, o de 3 a 5 es así. 00:14:58
Y ahora de 0 a 3, ¿qué era? Era una parábola. Como este es el máximo de la parábola, pues ya está. Ahí está. ¿Lo veis? Muy bien. Entonces aquí ya terminamos y lo que queremos remarcar es esto. 00:15:03
Que los máximos absolutos, hay dos máximos absolutos, ahí y ahí, y un mínimo absoluto que es esto. 00:15:27
Quiero remarcar una cosa de este mínimo, quiero remarcarla, quiero remarcarla, y por eso la voy a remarcar. 00:15:33
Este mínimo, este mínimo, que es un mínimo relativo y también absoluto, no tiene derivada. 00:15:39
Es que hay mucha gente que cree que los mínimos, para que sea mínimo tiene que tener derivada igual a cero. 00:15:47
Mentira, este ni siquiera es derivable y es un mínimo. 00:15:51
bueno, pues esta es la gráfica de la función 00:15:54
al principio C, luego va subiendo, baja y sube otra vez 00:15:58
bueno, 16 minutos 00:16:02
hemos tardado y porque me entretengo mucho en 00:16:06
hablar, pues muchas gracias por escucharos y esperamos que 00:16:09
este vídeo os sirva, gracias por escuchar 00:16:14
adiós 00:16:18
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
14
Fecha:
3 de diciembre de 2024 - 12:47
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
16′ 20″
Relación de aspecto:
1.87:1
Resolución:
1376x736 píxeles
Tamaño:
606.78 MBytes

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