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Distribuciones de probabilidad discretas - Contenido educativo

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Subido el 12 de abril de 2026 por Miguel A.

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Distribuciones de probabilidad discretas, función de probabilidad y función de distribución.

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En este vídeo vamos a aprender sobre distribuciones de probabilidad discretas. 00:00:00
Hablaremos de función de probabilidad, de función de distribución, 00:00:04
de los parámetros de una distribución discreta y de la distribución binomial. 00:00:08
Una función de probabilidad es una función que a cada elemento del espacio muestral le asigna un valor. 00:00:13
Y lo escribiremos así. 00:00:20
Por ejemplo, en el experimento de tirar un dado de cuatro caras dos veces y sumar los resultados, 00:00:23
tenemos el siguiente espacio muestral. Hemos colocado en la primera fila el resultado del 00:00:28
dado 1 y en la primera columna el resultado del dado 2. Y vamos a llamar x a la variable 00:00:33
aleatoria que representa el resultado del experimento. Por tanto, la probabilidad de 00:00:40
que x, o sea, la suma de los puntos sea 2, es 1 partido por 16, porque el 2 aparece solo 00:00:45
una vez entre los 16 resultados posibles. La probabilidad de que x sea 3 es 2 partido 00:00:52
de 16, porque el 3 aparece dos veces, exactamente igual con 4, 5, 6, 7 y 8, que si lo queremos 00:00:59
poner como función, hacemos que f de 2 sea 1 partido por 16, f de 3 2 partido por 16, 00:01:08
etc. Y le damos forma de función a trozos como las funciones a trozos que nosotros conocemos 00:01:16
y tiene este aspecto. Y a partir de aquí ya podemos representarla. Esta es la representación 00:01:21
gráfica de la función de probabilidad. Entonces f de x es la función de probabilidad de la variable 00:01:27
x y como la función es discreta, es decir, sólo toma valores en los números naturales, entonces 00:01:35
diremos que la variable aleatoria x es discreta. Una función de probabilidad tiene las siguientes 00:01:42
propiedades. En primer lugar, la función toma siempre valores entre 0 y 1, lo cual es lógico 00:01:49
porque se trata de probabilidades. Y en segundo lugar, la suma de todos los valores de la función 00:01:54
siempre tiene que ser 1. En nuestro caso particular tenemos esta función de probabilidad y efectivamente 00:02:00
todos los valores, 1 partido por 16, 2 partido por 16, son todos entre 0 y 1. Y además, si sumamos 00:02:07
todas las probabilidades, f de 2 más f de 3 hasta f de 8, tenemos esa suma que efectivamente 00:02:14
da 1. Una función de distribución a partir de una función de probabilidad es una función 00:02:21
que indica la probabilidad de que la variable aleatoria x sea menor o igual que un valor 00:02:29
dado y la representaremos así. Y también la podemos entender como la suma de las probabilidades 00:02:37
de todos los puntos menores o iguales que x sub i y la representaremos así y diremos que la variable 00:02:44
aleatoria x se distribuye con la función de distribución f de x y lo representaremos así x 00:02:54
virgulilla f de x. En nuestro ejemplo tenemos que f mayúscula, es decir, la función de distribución 00:03:00
para 2 coincide con la función de probabilidad para 2, 1 partido por 16, f mayúscula de 3 es f 00:03:08
minúscula de 2 más f minúscula de 3, para 4, para 5, para 6, para 7 y para 8, que debe dar 1, 00:03:16
porque la suma de todas las probabilidades debe dar 1. La función con función a trozos tiene esa 00:03:25
pinta, que se puede representar, y la representación gráfica tiene este aspecto. Los parámetros de una 00:03:33
distribución son valores que resumen los datos de una variable aleatoria. Y vamos a ver tres. En 00:03:42
primer lugar la media, después la varianza y por último la desviación típica. La media se representa 00:03:49
como el nombre de la variable, en este caso x, con un palote arriba o con la letra griega mu y es la 00:03:59
suma de cada valor por su probabilidad y lo que representa es el valor promedio que tomará la 00:04:05
variable x. La varianza se representa con una v o con la letra sigma al cuadrado y es la suma de 00:04:10
las distancias de x sub i respecto de la media al cuadrado multiplicado por su probabilidad, 00:04:18
aunque nosotros utilizaremos esta otra fórmula que es mucho más operativa. Lo que representa 00:04:23
la varianza es el promedio de desviación de los datos respecto de la media, es decir, 00:04:27
cómo deseparados están los datos respecto de la media. Por último, la desviación típica 00:04:32
no es más que la raíz cuadrada de la varianza. ¿Por qué utilizamos la desviación típica 00:04:37
en lugar de la varianza? Pues porque la desviación típica tiene las mismas unidades que los 00:04:42
datos. Es decir, si los datos se están midiendo en kilos, la desviación típica se mide en 00:04:47
kilos. Si los datos están midiendo puntos en un dado, la desviación típica se mide 00:04:52
en puntos en un dado. En nuestro ejemplo tenemos que x se distribuye con esa función de probabilidad. 00:04:57
Calculamos la media. La media es la suma de x sub i por p sub i, es decir, cada valor 00:05:06
por su probabilidad, o sea, 2 por 1 partido por 16, más 3 por 2 partido por 16, etc. 00:05:12
Hacemos esa operación y nos da 5. Por lo tanto, la media es 5. 00:05:19
Es decir, al hacer este experimento, lo que se espera es que la suma de los puntos sea un 5. 00:05:22
Hacemos la desviación típica. La desviación típica es la raíz cuadrada de esa expresión, 00:05:30
que es el cuadrado de cada punto por su probabilidad, todo sumado y restado el cuadrado de la media. 00:05:34
y eso me da la raíz de 2,5, que es 1,5811. 00:05:39
Por tanto, la desviación típica es 1,5811 puntos. 00:05:47
Te propongo que intentes hacer todo esto con este ejercicio. 00:05:53
Pausa el vídeo porque las soluciones vienen a continuación. 00:06:01
Estas son las soluciones. 00:06:07
Función de probabilidad, espacio muestral, representación. 00:06:08
Función de distribución, representación. 00:06:12
Y los parámetros. 00:06:15
La media es 7, la valencia es 5,83 y la desviación típica 2,415. 00:06:17
La distribución binomial es un caso típico de distribución discreta. 00:06:24
Es una distribución discreta que consiste en hacer una cantidad n de experimentos de éxito-fracaso 00:06:31
en los que la probabilidad de éxito es p de e igual a p y la probabilidad de fracaso es q, es decir, 1 menos p. 00:06:38
Y la distribución binomial se define con dos parámetros. 00:06:45
Por un lado el número de intentos y por otro lado la probabilidad de éxito. 00:06:51
Y la vamos a representar así, BNP. 00:06:54
La media de una distribución binomial se calcula multiplicando N por P 00:06:57
y la varianza se calcula multiplicando N por P y por Q. 00:07:02
Por lo tanto, la desviación típica es la raíz cuadrada de N por P y por Q. 00:07:06
Todo esto se puede demostrar, pero no es objetivo de este curso demostrar que esto es así. 00:07:11
En la distribución binomial, la probabilidad de obtener K éxitos y N menos K fracasos 00:07:16
será la probabilidad de tener primero k éxitos y luego el resto hasta n fracasos, o sea, n menos k. 00:07:20
Como son sucesos independientes, podemos multiplicar todas las probabilidades. 00:07:28
Es decir, multiplicamos la probabilidad de k veces y la probabilidad de fracaso n menos k veces. 00:07:32
Lo ponemos en forma de potencia y como p, la probabilidad de éxito, es p 00:07:38
y la probabilidad de fracaso es 1 menos p, nos queda esa fórmula. 00:07:43
pero k éxitos y n menos k fracasos pueden ocurrir de muchas maneras 00:07:47
así que esto hay que ordenarlo 00:07:52
multiplicamos por tanto por las diferentes ordenaciones de k éxitos y n menos k fracasos 00:07:53
es decir, el número combinatorio n sobre k 00:07:58
por lo tanto, en una distribución binomial 00:08:01
la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es n sobre k 00:08:04
por p elevado a k por 1 menos p elevado a 1 menos k 00:08:09
vamos a ver todo esto con un problema de ejemplo 00:08:13
Una mutación genética está presente en 2 de cada 5 personas. 00:08:19
Hacemos un estudio en 9 personas. 00:08:23
¿Cuántas personas de ese grupo se espera que tengan la mutación? 00:08:25
Bueno, pues esto es un ejemplo de distribución binomial 00:08:29
que se distribuye con una binomial de 9 intentos y probabilidad 2 quintos, es decir, 0,2. 00:08:32
Como nos preguntan cuántas personas se espera que la tengan, 00:08:40
lo que nos están pidiendo es la media. 00:08:44
Y la media es n por p, es decir, 9 por 0,2, 1,8. 00:08:45
O sea, se espera que aparezca la mutación en una o dos personas. 00:08:50
¿Cuál es la probabilidad de que haya cuatro personas que presentan la mutación? 00:08:57
Bueno, pues llamamos éxito a presentar la mutación y fracaso a no presentarla. 00:09:01
Si tenemos cuatro éxitos, tenemos cinco fracasos, es decir, E, E, E, E, F, F, F, F, F. 00:09:07
La probabilidad de ese suceso, es decir, 4 éxitos y 5 fracasos, es 0,2 multiplicado 4 veces y 0,8 multiplicado 5 veces, porque son sucesos independientes. 00:09:13
Es decir, 0,2 a la 4 por 0,8 a la 5. 00:09:26
Pero, claro, 4 éxitos y 5 fracasos pueden aparecer de muchas maneras. 00:09:31
Es decir, pueden aparecer de 126 maneras, que es 9 sobre 4 o 9 sobre 5, que es lo mismo. 00:09:36
Esto se hace con el número combinatorio 9 sobre 4, me da 126 00:09:42
Y por lo tanto la probabilidad de que x sea exactamente igual a 4 es 9 sobre 4 por 0,2 elevado a 4 por 0,8 elevado a 5 00:09:47
Es decir, 0,0661 00:09:57
Si no queremos hacer los cálculos con la calculadora, podemos buscar en las tablas de la binomial 00:10:01
Las tablas de la binomial están en cualquier libro y están también en internet y tienen más o menos ese aspecto 00:10:06
Para buscar una probabilidad en la tabla de la binomial, lo primero que hacemos es localizar el número de intentos, en nuestro caso 9. 00:10:12
Después localizamos la probabilidad, en nuestro caso 0,2. 00:10:20
Y ahora buscamos el número de aciertos que queremos tener, en nuestro caso 4. 00:10:24
Donde se cruzan el número de aciertos con la probabilidad es la probabilidad que estamos buscando, en este caso 0,0661, que es exactamente lo que teníamos antes. 00:10:29
Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 6 personas con la mutación? 00:10:39
Bueno, pues la probabilidad de que haya más de 6 personas es la probabilidad de que haya 7, de que haya 8 y de que haya 9 00:10:44
Hacemos todos los cálculos de cada uno de los casos y ese es el resultado 00:10:51
Igual que antes, si no queremos tirar de calculadora, podemos volver a mirar en la tabla 00:10:57
Buscamos el número de intentos, buscamos la columna de nuestra probabilidad, 0,2 00:11:01
y seleccionamos todos los valores que cumplen con el caso que estamos viendo, 00:11:07
es decir, que sea más grande que 6, que son esos tres de ahí. 00:11:12
Si los sumamos, pues efectivamente nos da exactamente lo mismo. 00:11:15
Os dejo ahora aquí con dos preguntas que podéis intentar vosotros. 00:11:20
Pausa del vídeo porque las soluciones van a aparecer a continuación. 00:11:25
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
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    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel I
      • Nivel II
Autor/es:
Miguel Alvaro Perez
Subido por:
Miguel A.
Licencia:
Reconocimiento
Visualizaciones:
1
Fecha:
12 de abril de 2026 - 18:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES DUQUE DE RIVAS
Duración:
11′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
640x360 píxeles
Tamaño:
56.78 MBytes

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