Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Martes 12/3/2024 MAS II Optativa 2º Z

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 12 de marzo de 2024 por Juan R.

6 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vale, a ver, estaba viéndolo yo aquí en el formulario de ejercicios, a ver, ¿qué es aquí? ¿Cuál es? 00:00:00
¿Del ejercicio 9? 00:00:13
Sí. 00:00:15
El... 00:00:19
El 9, no. 00:00:19
El D en principio, pero no sale... 00:00:25
Este, mira, bueno, por aquí aparece uno. 00:00:28
No, pero 00:00:32
Ese creo que es el de los mates normales 00:00:33
Ah, vale, a lo mejor me estoy equivocando 00:00:36
Es que no me coinciden los artículos 00:00:38
No sé 00:00:41
Vale, sí, sí, es verdad, me he equivocado de clase 00:00:41
A ver 00:00:44
Vale, pero yo creo que es una cuestión 00:00:46
Eso de que el programa o lo que sea 00:00:53
Está entendiendo algo 00:00:55
Distinto a lo que tú le estás intentando poner 00:00:57
Claro 00:00:59
O sea, yo para mí es lo que te he comentado 00:01:00
Que yo creo que no hay diferencia 00:01:01
déjame ver el original, pero vamos 00:01:02
que yo creo que no hay diferencia en poner entre paréntesis 00:01:04
el seno de x y elevado al cuadrado 00:01:07
que poner el seno 00:01:09
al cuadrado de x 00:01:11
no veo diferencia, que yo sepa 00:01:12
vamos, no sé 00:01:15
a ver las ejercicios derivadas 00:01:17
todo lo que hay que hacer 00:01:19
a ver 00:01:23
vamos a ver si quiere 00:01:24
déjame buscarlo 00:01:46
que lo tengo descargado por otro lado 00:01:56
que parece que se resiste 00:01:58
supongo que es 00:02:02
este 00:02:09
vale, es este, el E, ¿no? 00:02:10
sí, el E o el D 00:02:26
yo no veo diferencia 00:02:28
entre poner que el coseno de X 00:02:30
está al cuadrado entero 00:02:32
a poner la notación coseno al cuadrado de x 00:02:34
o sea 00:02:36
vamos que lo haría 00:02:38
normal y corriente 00:02:40
no creo que 00:02:41
con uno que era con coseno 00:02:43
o sea coseno luego paréntesis 00:02:46
fue uno solo con coseno 00:02:49
coseno y entre paréntesis x 00:02:52
cuadrado más uno y eso le va a dar cubo 00:02:54
y me 00:02:56
hizo como siendo 00:02:57
el cubo 00:03:00
la función coseno 00:03:02
vale, vamos a probarlo con otro programa 00:03:03
verás, el GeoGebra 00:03:05
también hace estas historias 00:03:07
entonces la podemos representar y todo 00:03:08
y es igual 00:03:11
al logaritmo neperiano 00:03:13
ponemos entre paréntesis coseno de x 00:03:15
este paréntesis al cuadrado 00:03:19
pues mira 00:03:21
lo que hace el programa es precisamente eso que estás diciendo tú 00:03:23
te pone el 00:03:26
coseno de x 00:03:27
dentro del logaritmo neperiano 00:03:29
pero el cuadrado te lo pone afuera, pero vamos, yo creo que es una cuestión 00:03:31
del programa, de lo que entiende el programa 00:03:34
o lo que el programa cree entender 00:03:36
de lo que estás intentándole decir 00:03:37
Realmente sería el cuadrado 00:03:39
del paréntesis, no de la función 00:03:42
Sí, el cuadrado 00:03:43
de la función, claro, claro 00:03:46
de lo que hay dentro del 00:03:48
argumento del logaritmo, vaya 00:03:50
A ver, que este quiere un paréntesis 00:03:52
aquí y yo se lo voy a poner 00:03:54
Pero sí, sí, yo creo que es eso 00:03:56
yo creo que es una cuestión de notación de que el programa 00:03:59
fíjate, es como que 00:04:02
si estás viendo lo que estoy poniendo 00:04:03
no me permite poner coseno de x 00:04:06
directamente, si yo le pongo y igual 00:04:08
a coseno de x 00:04:09
él automáticamente, si le doy 00:04:11
me lo pone con el paréntesis automáticamente 00:04:13
pero eso es algo de lo que 00:04:15
el programa entiende, de la notación 00:04:17
específica de la programación que tiene 00:04:20
este programa en completo 00:04:21
así que yo no me preocuparía mucho más 00:04:22
¿sabes hacer la derivada? 00:04:25
en principio sí, pero si la puedes hacer tú 00:04:27
más que nada por 00:04:29
a ver si se hace 00:04:29
vale 00:04:32
en realidad me da igual 00:04:33
si hacemos la derivada del logaritmo neperiano 00:04:36
la podemos poner aquí 00:04:39
logaritmo neperiano 00:04:40
de una función derivada 00:04:43
va a ser igual a la derivada 00:04:44
de la función partido de f 00:04:46
la derivada si la hacemos por pasos 00:04:48
por no perdernos 00:04:50
por hacerla yo también bien y con cuidadito 00:04:51
haría el coseno al cuadrado de x 00:04:54
el coseno al cuadrado de x derivado sería 00:04:56
2 por la derivada del coseno que es menos el seno 00:04:58
y por el coseno de x elevado a 2 menos 1 que es 1 00:05:03
así que para mí esta derivada sería 00:05:06
menos 2 seno de x, coseno de x 00:05:09
partido de el coseno al cuadrado de x 00:05:14
que salvo que x sea 00:05:18
bueno, salvo que esto sea 0, entonces podemos simplificar y en principio 00:05:22
Sería menos 2 seno partido coseno 00:05:26
Es la tangente de x 00:05:28
En principio esa es la derivada 00:05:29
Que yo sabría hacer aquí 00:05:31
¿Es lo que te sale? 00:05:32
Sí, sí, yo lo hice así 00:05:37
Cuando tienes coseno al cuadrado 00:05:39
O sea, al hacer la derivada 00:05:42
Luego el cuadrado no lo pones 00:05:44
Lo primero es que tengamos en cuenta 00:05:46
Que coseno de x al cuadrado 00:05:50
La notación es coseno al cuadrado de x 00:05:52
Es lo mismo 00:05:54
entonces esto como cualquier potencia 00:05:55
es, vamos a multiplicar 00:05:57
el exponente, es decir 00:05:59
a ver, f elevado 00:06:00
a n derivado 00:06:03
va a ser igual a n por la derivada 00:06:05
de f por f elevado a n menos 1 00:06:07
esta es la formulita, vamos a decir, la teoría 00:06:09
con la cual voy a calcular la derivada 00:06:11
de una función elevada a un exponente 00:06:13
entonces, tengo el 2 multiplicado 00:06:14
por la derivada del coseno que es 00:06:17
menos el seno 00:06:19
¿y ahí no pones el cuadrado? 00:06:21
no, no, no, porque esta es la derivada 00:06:23
de lo de dentro, si quieres 00:06:26
fíjate más en este 00:06:27
pero es que es lo mismo, yo creo que es una cuestión simplemente 00:06:29
de notación, de que el coseno 00:06:32
de x elevado al cuadrado, es decir, la función 00:06:34
coseno elevado al cuadrado, es lo mismo 00:06:35
que la notación coseno 00:06:38
al cuadrado de x con el 2 metido ahí en el 00:06:40
medio, no es más que eso 00:06:42
y esto por coseno de x, es decir 00:06:43
menos 2, seno de x 00:06:45
coseno de x, bueno, esto seguramente 00:06:47
se podrá de alguna manera con las 00:06:49
identidades trigonométricas, jugar con ellos 00:06:51
si es necesario, pero en la derivada que están 00:06:53
pidiendo en este caso, dejarlo así 00:06:55
es lo más adecuado porque 00:06:57
luego se pone el formato 00:06:59
así más sintetizadito 00:07:01
como menos 2 por tangente de x 00:07:03
¿Puedes hacer una más? 00:07:04
Sí, claro 00:07:08
¿Cuál de ellas? 00:07:09
¿Te digo el ejercicio de la ficha? 00:07:13
Sí, porque la debo tener por aquí 00:07:15
Aquí está 00:07:17
El 11 y el C 00:07:18
vamos a ver el 11C 00:07:20
lo copio aquí 00:07:22
y sobre todo me vas diciendo las dudas que puedas tener 00:07:26
o por qué te surgen dudas 00:07:28
a ver un momentito que lo copio 00:07:30
el 11C 00:07:33
en realidad todos estos 00:07:34
están regidos por las mismas 00:07:42
fórmulas todos 00:07:44
o sea hay cuatro fórmulas básicas 00:07:45
y lo único que hay que tener en cuenta son las fórmulas 00:07:49
con la regla de la cadena ya aplicada 00:07:50
o aplicar la regla de la cadena si no te acuerdas 00:07:52
de la fórmula. Es decir, a este le podemos enfocar como que esto es el coseno de una función y esa 00:07:54
función es x al cuadrado más uno, sería la composición de coseno de x y luego la otra 00:08:02
función x al cuadrado menos uno, pero bueno, yo creo que aquí vamos a fijarnos en el coseno... 00:08:09
Vamos a ver si soy capaz. Un momentito. Vamos a fijarnos en el coseno de una función derivada va a ser igual a la derivada multiplicado por el seno de x, o más bien menos el seno de x. 00:08:14
Esta es la derivada que tenemos. 00:08:39
Bueno, ¿os acordáis de la tablita esa que teníais por ahí, no? 00:08:41
La tienes presente, ¿no? 00:08:44
Vale. 00:08:46
Sí. 00:08:46
Pues el coseno de esta derivada sería eso. 00:08:47
O sea, el coseno, perdona, la derivada de un coseno sería eso. 00:08:50
Ahora, la función de la que estamos hablando, esta f de aquí dentro, 00:08:53
podemos identificarla como x al cuadrado más 1 elevado al cubo, 00:08:57
que es una función que derivada va a ser una función con un exponente, 00:09:01
es decir, una función polinómica. Entonces, f elevado a n, bueno, esto lo voy a poner en verde para que no se distinga, 00:09:06
le estoy poniendo lo que yo llamaría teoría en negro, explicaciones en verde y resolución de la ejercicia en rojo, 00:09:15
para seguir un poco una coherencia. Entonces, esto tendría que ser verde. 00:09:22
Entonces, la derivada de una función elevado a n va a ser igual a n por la derivada de la función, por la función elevada a n menos 1. 00:09:26
todo esto es aplicando reglas de cadena 00:09:34
vale, esto 00:09:36
lo que le haga gana 00:09:37
vale 00:09:39
entonces, si aplicamos 00:09:42
todo esto a esta función en concreto 00:09:44
lo que tengo es el coseno 00:09:46
de una función al cubo, fíjate que 00:09:48
este cubo no está elevando 00:09:50
a todo el coseno 00:09:52
ni está 00:09:53
aquí, que es donde habitualmente se pone 00:09:55
cuando es el coseno el que está elevado 00:09:58
la función coseno es la que está elevado 00:10:00
entonces es la función de dentro la que está elevada al cubo 00:10:01
que a lo mejor sería más adecuado 00:10:04
poner esto, pues quizás sí 00:10:05
para que quede un poco más claro, pero bueno 00:10:08
yo creo que así se entiende bastante bien 00:10:09
Sí, sí, yo creo que 00:10:11
fue con esta con la que tuve 00:10:13
con la que me salió así 00:10:15
o sea, fue con esta 00:10:16
con la que me salió en la aplicación esta 00:10:19
que me elevó el coseno al cubo 00:10:21
pero es eso 00:10:24
es una cuestión de que 00:10:26
entiende eso por la notación que le estás 00:10:27
poniendo, no porque 00:10:30
él entienda más qué es lo que está poniendo 00:10:31
el enunciado. O sea, él entiende eso 00:10:34
por defecto, porque en la programación que tenga 00:10:35
pues asume que si tú no pones el paréntesis 00:10:37
te lo pone él. 00:10:40
Así que en esta 00:10:42
tendríamos, pues por un lado, voy a poner el signo 00:10:42
menos ya, yo creo. 00:10:46
Bueno, venga, no, lo voy a hacer por partes. 00:10:48
Venga, lo primero es 00:10:50
vamos a hacer la derivada de lo de dentro 00:10:51
porque el que vamos a aplicar primero 00:10:53
es este de aquí. Vamos a 00:10:56
aplicar la derivada del de dentro. Le voy a poner 00:10:57
el signo menos, venga, ya que ese tampoco influye demasiado, o sea, tampoco nos lía demasiado. 00:11:00
Entonces la derivada de lo de dentro sería 3 multiplicado por la derivada de la función 00:11:04
de dentro, que es 2x, y multiplicado por esa función x al cuadrado 00:11:08
más 1 y ahora elevado al cuadrado. Ahora, como el coseno 00:11:12
se transforma en un seno cuando se deriva con el signo menos que ya hemos puesto delante 00:11:15
por el seno de x al cuadrado más 1 y eso 00:11:20
elevado al cubo. Ya digo, quizá esto estaría más claro. 00:11:23
pero bueno, que si no está puesto 00:11:27
yo sobreentendería 00:11:30
esto que te estoy poniendo aquí 00:11:31
vale, entonces menos 6x 00:11:33
luego toda esta función x al cuadrado 00:11:35
más 1 elevado al cuadrado por el seno 00:11:37
todo esto, bueno 00:11:40
luego al final con todas estas funciones que salen 00:11:40
así un poquito más chorizo 00:11:45
a lo mejor se puede hacer algo con ellas 00:11:46
pero esta yo creo que en este caso no se puede 00:11:49
hacer nada con ella 00:11:51
vale, venga, ¿alguna otra? 00:11:52
sí 00:11:56
No, yo creo que no 00:11:56
Vale 00:11:59
Venga, pues alguien más que esté por ahí 00:12:01
que no sé quién más había por aquí 00:12:04
A ver 00:12:06
No, no, yo aún no me puse a hacerlas 00:12:07
Vale, bueno, pues de todas maneras 00:12:11
el estar aquí viéndolas 00:12:13
pues también tiene sus 00:12:14
y además puedes ir haciéndolas a la vez 00:12:15
pues incluso mucho mejor 00:12:17
Bueno, yo he tenido unos ejercicios preparados 00:12:19
para esta clase 00:12:22
que he seleccionado 00:12:22
de esa hoja grande, de ese PDF gigante 00:12:24
en el que tenéis todos los ejercicios de selectividad 00:12:29
que yo creo que son los que sería conveniente que os centráseis. 00:12:32
Entonces, voy a coger este, que es el primero, 00:12:36
y vamos a empezar, o vamos a hacer ejercicios... 00:12:40
Vamos a intentar hacer ejercicios relacionados con lo que habíamos empezado a ver ya, 00:12:44
que es el estudio 00:12:52
el estudio ya de extremos 00:12:54
y monotonía en funciones 00:12:58
a ver, le pongo un poquito más grande 00:12:59
¿veis? vale, entonces 00:13:01
no sé si le doy aquí a ocultar a esto 00:13:03
se va a pirar, si se pira me lo decís 00:13:05
se sigue viendo la pantalla, ¿no? 00:13:07
vale, pues entonces 00:13:10
he seleccionado este ejercicio 00:13:12
porque ya empieza a estudiar 00:13:14
pues los intervalos de crecimiento 00:13:16
y los extremos relativos 00:13:18
entonces si os fijáis en los ejercicios que suele haber 00:13:19
que hay en esta recopilación de ejercicios 00:13:22
tampoco es que sean especialmente complicados, son de tener un poquito de cuidado 00:13:26
pero que tampoco son ejercicios complicadísimos, se podría complicar muchísimo más 00:13:30
yo he visto exámenes de otros profesores con ejercicios de derivadas 00:13:34
infumables, pero luego a la hora de hacer los de 00:13:38
selectividad o los de elevado, como se llaman en el momento, pues yo creo que son ejercicios 00:13:41
que son bastante estándar, que sobre todo son para hacer composición de funciones 00:13:46
con funciones, sobre todo, polinómicas, exponenciales 00:13:50
y logarítmicas, y racionales, y no mucho más 00:13:53
o sea, centraos en esa, y luego ya, si veis que tenéis gusto por hacer derivadas 00:13:58
que al final, pues es entretenido, pues hacéis alguna más, pero vamos, centraos en esa 00:14:02
sobre todo, un momentito, vale 00:14:06
venga, pues, entonces, este ejercicio que yo he 00:14:12
seleccionado es un ejercicio sencillo, solamente selecciono el apartado A porque en el apartado 00:14:17
B, creo que pedía el área o no sé qué, y eso ya se hace con integrales, que es una 00:14:21
de las partes que todavía están por dar. Entonces, la función es sencilla. De hecho, 00:14:26
esta función se podría incluso desarrollar y derivarla como un polinomio normal y corriente 00:14:34
ya expandido. Pero bueno, yo creo que así nos va a resultar casi más fácil derivarla. 00:14:40
Venga, pues entonces, recordamos un poco de teoría, y es que los extremos van a cumplir 00:14:46
una condición que es necesaria, aunque no suficiente, 00:14:52
y es que los extremos f' de x, y voy a llamar al extremo x sub cero, 00:14:57
va a ser igual a cero. 00:15:02
Entonces, si tenemos luego que la segunda derivada en x sub cero es mayor que cero, 00:15:06
x sub cero, bueno, son extremos relativos, ¿eh? 00:15:11
x sub cero es un mínimo, y si ocurre lo contrario, x sub cero es un máximo. 00:15:15
y si lo que ocurre es que vuelve a ser cero la segunda derivada 00:15:20
entonces continuamos, o sea, un punto de inflexión 00:15:24
entonces es un punto, vamos a llamarle, le llamábamos punto clave 00:15:27
punto crítico, no me acuerdo cómo le llamaba 00:15:32
singular 00:15:34
simplemente un punto singular 00:15:41
que puede tener, si la segunda derivada también es cero, habría que recurrir 00:15:46
la tercera derivada para ver si es un punto de inflexión. 00:15:50
Si la tercera derivada es distinta a cero es un punto de inflexión 00:15:56
y si no, tendremos que seguir derivando. 00:15:59
Pero bueno, yo creo que en estos ejercicios no va a haber casos extremos, 00:16:01
que son todos un poquito estándar. 00:16:05
Entonces vamos a ocuparnos de ellos en primer lugar. 00:16:07
Como os decía en la clase del otro día, esto al final no va a ser necesario 00:16:10
porque lo que vamos a hacer va a ser estudiar la monotonía mediante una tabla 00:16:14
y cuando vemos que la función pasa de ser creciente a decreciente 00:16:17
será un máximo y viceversa. Lo primero que tenemos que hacer es observar 00:16:20
esta función y esta función es una función polinómica, por tanto 00:16:24
es una función que nosotros sabemos que es continua 00:16:28
y derivable y que además 00:16:31
su dominio son todos los números reales 00:16:36
viendo que es un polinomio al cuadrado multiplicado por un polinomio 00:16:39
es un polinomio al cubo. Si es un polinomio al cubo, aunque esto no sea 00:16:45
necesario, pero os hago reflexionar 00:16:49
un poquito sobre eso. Significa que cuando 00:16:51
x tiende a menos infinito, la y también tendrá 00:16:53
menos infinito. Y luego, dará 00:16:55
seguramente 00:16:57
topotes, es decir, tendrá un máximo 00:16:59
y un mínimo, esto es lo más habitual. Tiene un máximo 00:17:01
y un mínimo y vuelve a más infinito. 00:17:03
Es decir, por aquí a menos infinito y por ahí a más infinito. 00:17:05
Este es el comportamiento más habitual 00:17:07
de una función polinómica de grado 3. 00:17:09
Tiene tres raíces, si es 00:17:11
que las tiene, y va de 00:17:13
menos infinito hasta más infinito. No tiene 00:17:15
asíntotas, no tiene puntos 00:17:17
de discontinuidad en ningún sitio, así que lo más habitual es que encontremos un máximo 00:17:18
y un mínimo. Puede que no ocurra, porque la función 00:17:22
lo que puede hacer también es algo parecido a esto. Entonces puede tener un punto 00:17:26
de inflexión, es un punto de inflexión aquí, donde cambia de cóncava a convexa 00:17:30
y no tener máximos ni mínimos. Entonces eso es lo que vamos a dilucidar. 00:17:34
Vamos a empezar haciendo la derivada, que es el primer paso que hay que dar siempre. 00:17:38
Entonces vamos a buscar los puntos singulares. Creo que hacía el otro día una especie de 00:17:42
pasos a seguir, entonces empezamos por el primero 00:17:46
puntos singulares 00:17:51
vamos a tener la primera derivada, empezamos a derivar 00:17:54
esta función, empezamos el 2, vamos a multiplicarle 00:17:59
por, y como tengo dos funciones, pues vamos a empezar como es una multiplicación 00:18:04
de funciones, lo que vamos a hacer es derivar 00:18:07
la primera por la segunda, más la segunda por la primera, así que el 2 00:18:11
va a multiplicar a la derivada de lo que encontremos por ahí 00:18:15
voy a empezar derivando la primera 00:18:18
2 multiplicado por la derivada de la función primera 00:18:20
que es 1 y multiplicada por la función elevado a n-1 00:18:23
que en este caso 2-1 es 1 00:18:27
y esto multiplicado por x-3 00:18:28
sumamos el otro 00:18:31
cuidado, este 2 es el que está fuera 00:18:33
ese 2 lo he sacado fuera para luego multiplicar 00:18:35
a todo lo que encuentre de la derivada de esas otras dos funciones 00:18:37
la siguiente 00:18:41
tendríamos la derivada de x menos 3 00:18:43
que es 1 y luego multiplicado 00:18:47
por x menos 1 elevado al cuadrado 00:18:49
es decir, x menos 1 elevado al cuadrado 00:18:51
vale, de aquí podemos obrar de varias maneras 00:18:54
a mí se me ocurre hacerlo de la manera siguiente 00:18:57
se me ocurre, vale, este 2 00:19:00
se puede quedar perfectamente ahí y voy a tener un factor 00:19:03
común x menos 1, este x menos 1 00:19:06
va a quedar multiplicando a este 2 multiplicado 00:19:09
por x menos 3, que lo voy a multiplicar ya, 2x menos 6 más de este x menos 1, hemos extraído 00:19:12
otro x menos 1 que junto con el del primer término forman el factor común, este y este 00:19:19
para afuera como factor común, factor común, factor común y son este, entonces he multiplicado 00:19:26
el 2 por x menos 3, es decir, 2x menos 6 y ahora el x menos 1 del x menos 1 al cuadrado 00:19:32
que me queda, pues tendría más x menos 1 00:19:37
vale 00:19:40
y esto lo hago para poder tener 00:19:43
este factorizado 00:19:45
2x más x 00:19:47
son 3x 00:19:50
y menos 6 menos 1 son menos 7 00:19:51
vale 00:19:54
con esto lo que consigo también es 00:19:55
un poco de, a ver, visión 00:19:58
matemática a la hora de buscar los puntos 00:19:59
singulares, porque yo ahora lo que tengo que hacer es 00:20:02
igualar esto a 0, si hago el desarrollo 00:20:03
Yo de todo esto, al final lo que tengo que hacer es buscar cuáles son las raíces. 00:20:06
Es verdad que lo saco con una ecuación de segundo grado, facilita, que no requiere mucho numereo, 00:20:10
pero aquí yo ya tengo las raíces. 00:20:17
Aquí tengo la primera raíz, es decir, el primer punto x, el primer valor de x, 00:20:19
que hace que la función derivada sea igual a cero, es decir, que todo esto sea igual a cero. 00:20:24
El primer punto va a ser el 1. 00:20:29
y aquí tengo el otro, voy a llamarle este x1 y este x2 00:20:32
y el siguiente van a ser 7 tercios, no es muy difícil ver que 3x-7 00:20:36
igualado a 0 va a dar x igual a 7 tercios 00:20:41
estas serían las dos raíces, esto es una factorización, a lo mejor esta factorización 00:20:44
no está terminada del todo porque tendríamos que tener todos los factores en el formato 00:20:49
x-a, pero para nuestro objetivo que es sacar cuáles son los puntos singulares 00:20:53
me sirve, entonces tenemos dos candidatos para puntos singulares 00:20:57
Les voy a poner aquí. Cuando hablo de puntos singulares me estoy refiriendo a las abscisas, es decir, a las x por un lado 1 y por otro lado 7 tercios. 00:21:01
Estas son las x, llamadas x1 y otras x2. Da igual eso. El caso es que estas x son las que van a, dependiendo de qué es lo que pase con la función ahí, 00:21:14
van a hacer que sea un máximo, o van a ser un máximo, o van a ser un mínimo 00:21:27
entonces, en vez de hacer la segunda derivada, que la segunda derivada 00:21:31
me da un poco de pereza hacerla, lo que voy a hacer ya es estudiar 00:21:36
cuál va a ser el comportamiento del signo de la derivada 00:21:40
en los intervalos que me determinan los puntos singulares, esto creo que 00:21:44
era el punto 2, déjame comprobarlo 00:21:48
el punto 2 era dividir en intervalos 00:21:50
entonces dividimos en intervalos que serán menos infinito 00:21:55
hasta, a ver si no me confundo yo, 1, 7 tercios 00:21:59
que es mayor que 1 y más infinito. Y ahora vamos a estudiar 00:22:03
el signo de la primera derivada y en función del signo vamos a decidir 00:22:07
si la función es creciente 00:22:11
o decreciente. 00:22:15
Esto es muy facilito, el 2 no nos influye en nada 00:22:19
Y si sustituimos un valor más pequeño que 1 en la función, voy a tener que un valor más pequeño que 1 menos 1 me va a dar, voy a poner aquí abajo la función otra vez para trastear sobre ella, la función derivada va a ser igual a 2 por x menos 1 por 3x menos 7. 00:22:22
Recordad que lo que yo estoy buscando es el signo de la primera derivada, así que cojo la primera derivada y busco en estos intervalos determinados por los dos puntos singulares que he encontrado cuáles son los signos en cada intervalo. 00:22:44
Así que, en el primer intervalo esto va a ser positivo, por análisis. Esto va a ser negativo. Y esto de aquí, por debajo de 7 tercios, es decir, 3 multiplicado por menos 200, siempre va a ser negativo. 00:22:54
Así que, menos por menos, por más, va a ser al final positivo. Así que la función es creciente. Que, como os decía, aquí lo tenéis. Es lo más lógico. Si saliera otra cosa me preocuparía. 00:23:11
Así que la función es creciente. Vamos a ver qué pasa en el siguiente intervalo. En el siguiente intervalo voy a hacerlo aquí también sobre esta función en verde como explicación. Esto sigue siendo positivo, el 2 sigue siendo positivo y ahora por encima de 1, es decir, entre 1 y 7 tercios, pues 1,5 menos 1, esto va a ser positivo. 00:23:23
Pero sin embargo, 3x menos 7 va a seguir siendo negativo hasta que llegue a 7 tercios. Es decir, 3 por 1,5 son 4,5. Menos 7 va a ser negativo. Así que también como era un poco esperable, esto va a seguir siendo negativo y por tanto la función en este intervalo es decreciente. 00:23:44
así que en x igual a 1, considerando que la función no tiene asíntotas 00:24:09
y que es continuo y derivable, en x igual a 1 voy a tener un máximo claramente 00:24:12
cuidado porque deducir que es un máximo implica que especificamos esto 00:24:16
esta función es polinómica y por tanto es continuo y derivable 00:24:21
en todo su dominio, que son los números reales 00:24:25
el siguiente intervalo 00:24:28
en el siguiente intervalo, el 2 sigue siendo positivo 00:24:33
el x menos 1 ya es positivo a partir de 1 00:24:37
y ahora 3x menos 7 a partir de aquí 00:24:40
a partir de 7 tercios ya va a ser positivo 00:24:45
así que como esperábamos es positivo y tira para arriba 00:24:47
así que ¿qué es lo que tenemos como conclusión de esta tabla? 00:24:50
como conclusión tenemos que 00:24:55
la función es creciente 00:24:57
en menos infinito 00:25:00
1 unido a 7 tercios más infinito y decreciente en el intervalo que hay entre medias, que es el 1 y 7 tercios. 00:25:04
Y en los puntos que tenemos aquí, en x igual a 1, hay un máximo. 00:25:16
A ver, ese máximo lo podemos calcular. Calculamos cuál es el máximo. 00:25:23
Si ponemos x igual a 1 en la función original, tendríamos... 00:25:27
a ver que no se me olvide, la voy a copiar otra vez 00:25:31
porque si no se me olvida 00:25:34
un momentito 00:25:35
a ver si el ministerio nos da en algún momento 00:25:38
algún ordenador que funcione 00:25:47
porque este es mío 00:25:49
voy a poner por aquí la función 00:26:02
joder 00:26:03
a ver 00:26:07
2 por x-1 al cuadrado por x-3 00:26:11
2 por x-1 al cuadrado por x-3 00:26:14
esta es la función 00:26:21
entonces si yo quiero calcular la y 00:26:22
cuando x es igual a 1, pues sustituyo el 1 00:26:24
1 menos 1 es 0 00:26:26
y sería, esta es la función 00:26:28
está factorizada, vale, aquí vale 0 00:26:32
entonces el máximo 00:26:36
sería el punto 1, 0 00:26:40
ahora, en x igual a, creo que era 7 tercios 00:26:43
hay un mínimo 00:26:46
espero que lo hayáis estado siguiendo porque yo tengo probabilidad 00:26:48
o sea, hay cierta probabilidad de que yo me equivoque, entonces f de 7 tercios 00:26:54
que es la i, tendríamos 2 por 00:26:59
7 tercios menos 1 elevado al cuadrado por 7 tercios 00:27:02
menos 3, y esto pues, vamos a ver si esto 00:27:06
funciona, está en ello 00:27:10
a ver, voy a coger la calculadora manual 00:27:18
2 por 00:27:26
7 tercios menos 1 al cuadrado 00:27:31
y por 00:27:35
7 tercios menos 3 00:27:42
y esto da 00:27:45
podríamos decir que como fracción 00:27:51
sería menos 64 00:27:54
27 agos, así que el mínimo estaría en 7 tercios 00:27:58
menos 64 27 agos de lo que hay 00:28:02
bueno 00:28:05
Bueno, ya digo, hay alguna probabilidad de que me haya equivocado en algún paso, yo creo que vamos a hacer algún otro ejercicio porque en realidad me puede haber equivocado en alguna cuenta, pero el procedimiento es este, lo repito un momentito. 00:28:07
Tenemos que ver la función, en este caso continuo y derivable en todo el dominio, 00:28:21
que son todos los números reales, y buscamos la primera derivada igualada a cero para ver los puntos singulares. 00:28:24
Dividimos el intervalo del dominio entre los puntos singulares. 00:28:29
Con los puntos singulares vemos el signo de la primera derivada y con ello deducimos 00:28:33
si la función es creciente o decreciente en cada intervalo. 00:28:36
Deducimos si son máximos o mínimos esos puntos singulares, 00:28:40
viendo si cambia de creciente a decreciente o viceversa. 00:28:43
Calculamos las is de los puntos que son máximos y mínimos relativos. 00:28:46
y se acabó, vamos a hacer otro 00:28:50
pero para 00:28:52
máximos y mínimos no se supone que hay que 00:28:54
hacer la segunda derivada 00:28:56
no se fija en la segunda derivada 00:28:57
eso te haría falta si no haces el estudio 00:28:59
del crecimiento y decrecimiento 00:29:02
si solamente estás calculando máximos 00:29:04
y mínimos, pues tienes que valorar 00:29:06
si quieres hacer la segunda derivada 00:29:08
o quieres estudiar la monotonía 00:29:10
como en este caso pide estudiar la monotonía 00:29:11
la segunda derivada nos da igual 00:29:13
en realidad, si hay veces 00:29:15
que la segunda derivada es más complicada 00:29:18
de hacer que mirar la monotonía. Entonces hay que deducir a ver qué es lo que queréis hacer. 00:29:20
O sea, en cada caso, si es más complicado hacer la segunda derivada, nada, nada, ver el signo. 00:29:24
Vamos a coger algún otro de estos que tengo yo por aquí. 00:29:29
Vamos a coger este como un ejemplo. 00:29:33
A ver si quiere ponérmelo aquí donde yo quiero. 00:29:36
Vamos a coger este como un ejemplo de optimización, que es una cosa 00:29:41
que vamos a analizar en clases sucesivas. ¿Qué es esto de la optimización? 00:29:45
o a qué se refiere con la optimización 00:29:49
vamos a ponerlo en el mismo sitio 00:29:51
vamos a ver 00:29:52
esto de la optimización consiste en que 00:29:56
cuando nosotros tenemos una función 00:30:06
que describe una situación 00:30:08
es decir, la relación entre dos magnitudes 00:30:10
yo puedo calcular 00:30:12
puedo optimizar 00:30:14
esa función 00:30:16
si esta me dice, ahora a ver si consigo ponerla en su sitio 00:30:17
si esta me dice 00:30:21
que 00:30:23
que los ordenadores hagan lo que les dé la gana 00:30:23
no lo que tú les dices 00:30:30
y trae negro 00:30:31
si esta función 00:30:32
que es una función racional 00:30:35
aquí está 00:30:37
esta función lo que me está diciendo 00:30:40
son en miles de euros 00:30:42
el beneficio neto de un proceso de venta 00:30:44
siendo X el número de artículos vendidos 00:30:47
tampoco se ha complicado demasiado la vida 00:30:49
dice calcula el número de artículos 00:30:51
que deben venderse para obtener 00:30:53
el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo. 00:30:54
Esta función va a tener una representación. No sé cuál es. 00:30:58
Yo estoy viendo ya aquí que por lo pronto tiene una asíntota en menos uno. 00:31:02
Eso es lo primero que veo yo. En menos x más algo. 00:31:05
Ese más algo ya se vería. 00:31:08
Pero bueno, el caso es que si yo quiero ver cuando la función b, 00:31:10
que me dice cuál es el beneficio, tiene un máximo, 00:31:15
es decir, cuando los beneficios son máximos, 00:31:18
lo que tengo que hacer es calcular un máximo de la función. 00:31:21
¿Veis? 00:31:24
Esta función B me representa, va a tener una representación la que sea. 00:31:24
Dentro de esa representación, independientemente de cuál sea, voy a tener máximos o mínimos o no. 00:31:29
El caso es que donde esté el máximo, B va a ser máximo. 00:31:36
Es decir, habrá una X para la cual B tiene un máximo. 00:31:39
Conclusión, para ese número de artículos vendidos, el beneficio va a ser máximo. 00:31:44
Esto no sé si lo habéis dado en vuestra clase o en otra. 00:31:50
los beneficios 00:31:52
cuando uno vende un artículo van a depender 00:31:55
del número de artículos que vende 00:31:56
y no siempre se gana más cuando más artículos se venden 00:31:58
llegará un momento en que para producir más 00:32:00
se necesitan gastar más recursos 00:32:02
y el beneficio que se obtiene 00:32:04
pues a lo mejor se reduce si gastas 00:32:06
si se producen más artículos 00:32:08
hasta que llega un momento 00:32:11
en que ya sí que se compensan 00:32:12
entonces 00:32:14
imaginaos que vendes pasteles 00:32:15
y tú solo haces 00:32:18
no sé, 100 pasteles al día 00:32:20
Pero resulta que quieres vender más, entonces tienes que contratar a otra persona. Si haces 101 pasteles, obviamente, si vendes 101 pasteles, obviamente, pagar dos personas te va a resultar perjudicial, es decir, no vas a obtener beneficios. 00:32:22
Pero a partir de 200, seguramente ya obtendrás más beneficio que el que tenías antes. 00:32:37
Entonces, lo que buscamos en estas funciones, que representan casos hipotéticamente reales, 00:32:41
es cuáles son los extremos para ver dónde se maximiza la función en función de la otra variable. 00:32:46
Así que, si lo que queremos calcular es el número de artículos... 00:32:54
Voy a cerrar y volverlo a encender otra vez. 00:33:00
Aquí está la calculadora, buenas horas. 00:33:05
Si lo que queremos es ver cuándo B es máximo en función de la X, lo que tenemos que ver es en qué número de artículos deben venderse para obtener un beneficio máximo. 00:33:08
Es decir, B de X sub 0 es máximo en X sub 0. Ahora después la representaremos, a ver si nos da tiempo. 00:33:33
entonces, esta función 00:33:48
para maximizarla 00:33:51
lo primero que tengo que tener en cuenta 00:33:52
no la voy a llamar ni siquiera f de x 00:33:54
b de x me sirve, me da un poco igual el nombre 00:33:57
más 9 de x 00:34:00
menos 16 partido de x 00:34:01
lo primero que yo analizo de esta función 00:34:03
es que tiene una asíntota 00:34:04
en x igual a 0 00:34:06
una asíntota vertical, obviamente 00:34:10
en x igual a 0 00:34:12
x igual a 0 no pertenece al dominio 00:34:15
así que el dominio de la función 00:34:17
podríamos decir el dominio de, voy a llamarla ddx 00:34:18
yo podría decir que es todos los números reales menos el cero 00:34:23
lo que pasa es que se está especificando aquí 00:34:27
que x son artículos que se venden, es decir, se está refiriendo a que 00:34:31
los artículos son a partir de cero, puedo tener 00:34:35
menos tres artículos, así que el dominio de la función vamos a considerarle a partir 00:34:39
de cero artículos vendidos en adelante, así que el cero 00:34:43
no nos va a plantear ningún problema, entonces calculamos la función, la derivada, la derivada de b de x va a ser igual a, como es una fracción, 00:34:47
una función racional, calculamos la derivada del numerador por el denominador, todo eso, menos 2x más 9 multiplicado por x, ahora menos x de derivada es 1, 00:34:59
menos x al cuadrado 00:35:10
más 9x menos 16 00:35:12
partido de 00:35:14
x al cuadrado 00:35:16
a ver, yo esta función la veo 00:35:19
particular 00:35:22
no sé si ahora o después nos influirá 00:35:24
esta función 00:35:27
si os fijáis es menos 00:35:29
ah bueno, no, perdón, perdón 00:35:30
es un 9, perdón, no he dicho nada 00:35:32
no he dicho nada 00:35:35
creí que era un cuadrado perfecto, pero es un 9 00:35:36
vale, entonces 00:35:38
simplificamos aquí lo que se pueda 00:35:41
e igualamos a 0 00:35:42
esto va a ser igual a 00:35:44
menos 2x al cuadrado 00:35:49
menos 9x 00:35:51
sigo más operacióncitas 00:35:52
menos x al cuadrado 00:36:01
menos 9 más 9 es 0 00:36:03
y más 16 00:36:05
partido de x al cuadrado 00:36:07
esto por si tenéis la tentación 00:36:08
de hacerlo 00:36:11
por favor, cortaos las manos, eso no se hace 00:36:12
esto no se hace, caca 00:36:16
así que, nada de tachar términos de arriba con términos de abajo 00:36:19
cuidadito, porque esto se ve hacer a muchísima gente 00:36:24
que ya sabe bastantes matemáticas, es un error 00:36:28
que de vez en cuando te dan las tentaciones de hacerlo 00:36:32
cuidadito con eso, esto no puede simplificarse 00:36:36
un término con un factor, tendrían que ser factores 00:36:39
así que tenemos x al cuadrado más 16 00:36:42
para calcular los puntos singulares 00:36:45
es decir, los puntos candidatos a que haya un máximo o un mínimo 00:36:47
lo igualo a cero, y si lo igualo a cero obtengo dos resultados 00:36:51
dos soluciones, obviamente si igualo esto a cero 00:36:55
el denominador no tiene nada que hacer, solamente es el numerador igual a cero 00:36:57
entonces menos x al cuadrado más 16 igual a cero 00:37:01
me da dos soluciones, x igual a 4 00:37:03
y x2 igual a menos 4 00:37:06
Primero, supongo que estáis viendo cómo se resuelve esta ecuación. 00:37:09
Si tenéis alguna duda me cortáis y me decís, por supuesto, este lo descarto 00:37:13
porque no puedo tener una producción de menos 4. 00:37:18
Es decir, es como si estuviera yo comprándolo, ¿no? 00:37:22
Entonces, ese le tengo que descartar. 00:37:25
Así que lo que voy a valorar es si este 4 es un máximo o un mínimo. 00:37:26
En este caso, aquí sí que voy a calcular la segunda derivada 00:37:33
¿Por qué? Porque la monotonía no me interesa para nada. 00:37:38
A mí lo que me interesa es saber si eso es un máximo o un mínimo. 00:37:40
Así que aquí sí que aplico el criterio de la segunda derivada. 00:37:42
Hago la segunda derivada sabiendo que la primera la tengo aquí calculada y simplificada. 00:37:46
No es muy difícil hacer esta derivada, así que es relativamente sencillo. 00:37:51
Menos 2x multiplicado por x al cuadrado, menos 2x multiplicado por menos x al cuadrado, más 16. 00:37:58
Es decir, la derivada del primero por el segundo menos la derivada del segundo por el primero. 00:38:05
Cuando digo primero y segundo me refiero al de arriba y al de abajo. 00:38:09
Y partido del de abajo elevado a la cuarta. 00:38:12
Y ahora tengo que sustituir en la segunda derivada. 00:38:15
Bueno, voy a simplificarla un poquito, que no es muy difícil. 00:38:19
Sería menos 2x elevado al cubo más 2x elevado al cubo, si no me equivoco, 00:38:22
y menos 2 por 16, que son 32x. 00:38:28
Este con este se va fuera y partido de x a la cuarta. 00:38:32
Así que si sustituimos x elevado a la cuarta, perdón, x elevado a 4, la segunda derivada en 4 sería menos 32 multiplicado por 4 partido de 4 elevado a la cuarta, que siempre va a ser positivo. 00:38:35
Así que esto es menor que 0, lo que quiere decir que x igual a 4 es un máximo. 00:38:50
O en x igual a 4 hay un máximo. 00:38:57
¿Vale? Primera conclusión. Como lo que nos está pidiendo tiene que ver con una situación hipotéticamente real, calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo. Cuatro artículos. Lo pongo aquí. El beneficio máximo se da cuando producimos cuatro artículos. 00:39:01
A ver, esto de poner la frasecita, ¿puede pasar una tontería y decir, joder, pues ya se ve aquí, ¿no? Ya se ve ahí que es x igual a 4. Pues no. Hay que ponerlo. Ponedlo porque al corrector lo que quiere es que dé respuesta al problema. Y el problema, la solución, es lo que pone aquí, que el beneficio máximo se da cuando producimos cuatro artículos. No x igual a 4. x igual a 4 es la solución de una ecuación o de algo parecido. 00:39:31
Pero, poned las soluciones escritas, por favor. Vamos a calcular el beneficio. El beneficio máximo será b de 4, que va a ser igual, si cogemos la función original, es x al cuadrado más 9x menos 16, menos 4 elevado al cuadrado más 9 por 4, y ya ni me acuerdo, menos 16, 00:39:55
y partido de 4, ¿verdad? 00:40:25
Partido de 4, 9x, menos 16, 9x, a ver, ¿dónde estás? 00:40:29
Vale, y esto es menos 16, 00:40:34
4 por 4 son 16, ¿no? 00:40:38
Más 36 menos 16, que ves, partido de 4, 00:40:42
y esto es igual a menos 16 más 16, 00:40:47
perdón, menos 16 menos 16, que son menos 32, 00:40:50
más 36, que son 4 entre 4, 00:40:52
1. Recuerdo que no es 1 lo que estamos produciendo, sino son en miles de euros el beneficio neto. 00:40:55
Así que el beneficio, voy a poner aquí el 1 casi, el beneficio máximo son 1000 euros, 00:41:05
que es precisamente lo que pone. Recordad que el beneficio está dado en miles de euros. 00:41:23
vamos a intentar representarlo con la herramienta de GeoGebra 00:41:28
y creo que era menos 00:41:31
x elevado al cuadrado 00:41:36
más 9x 00:41:40
y menos 16 00:41:47
y todo partido de x 00:41:52
pues entonces aquí lo veis, esta es la representación 00:41:54
a ver, esta es la representación 00:41:59
independientemente de la rama de la izquierda, que también tiene una rama por la izquierda 00:42:03
que está aquí arriba, esa me da igual, la rama que hay del 0 para la izquierda me da exactamente igual 00:42:06
entonces, hacia la derecha 00:42:11
tengo que el beneficio máximo se produce en x igual a 4 00:42:14
y en x igual a 4 el beneficio es 1 00:42:19
es decir, el punto sería el 4, 1 00:42:23
y ese es el máximo 00:42:27
bueno, pues este es 00:42:28
el problema que quería hacer 00:42:32
tengo alguno más por aquí seleccionado 00:42:35
pero ya no da tiempo a más 00:42:37
tenía alguno más seleccionado 00:42:38
si queréis podéis apuntarlos 00:42:40
el 3-10-2 y el 3-12-5 00:42:41
que vuelven a ser un poquito de lo mismo 00:42:44
allá a los extremos 00:42:46
calcula la monotonía 00:42:49
en el ejercicio número 3-10-2 00:42:51
que es el que aparece aquí en primer lugar 00:42:53
además os pide la recta tangente 00:42:55
la gráfica en el punto de abscisa x igual a 3 00:42:57
sería conveniente que lo hicieses 00:42:59
también, y en el otro problema 00:43:01
también dice que se determinan 00:43:02
las asíntotas, que también sabéis hacerla 00:43:05
los extremos, y luego representáis 00:43:06
gráficamente las funciones 00:43:09
el área del recinto asociado 00:43:10
no sé qué, no sé cuánto, esto no os preocupéis 00:43:13
porque esto se hace mediante integrales 00:43:14
cuando lo veáis veréis que es muy difícil hacerlo 00:43:16
vale, pues terminamos 00:43:18
aquí entonces, no sé si tenéis 00:43:21
algo que preguntar 00:43:23
lo último 00:43:24
y si no, pues 00:43:26
pues nada, nos vemos 00:43:28
yo no, yo no 00:43:30
nos vemos mañana entonces, quedará grabado 00:43:31
intentaré entre, bueno, normalmente lo cuelgo 00:43:33
mañana, colgar la grabación 00:43:35
que creo que esta vez sí que se está 00:43:38
grabando y la colgaré 00:43:39
a ver si quito esto 00:43:41
la colgaré mañana en la página 00:43:42
vale, venga nada, seguid trabajando 00:43:46
y todas las dudas que haya para el viernes 00:43:48
esta clase será de dudas, así que 00:43:49
preparad sobre todo dudas que 00:43:51
surjan a la hora de resolver ejercicios 00:43:53
vale, venga pues nada chicos 00:43:55
chao 00:43:57
hasta luego 00:43:59
Subido por:
Juan R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
12 de marzo de 2024 - 20:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
45′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
862.08 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid