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Pablo González García - La curva perfecta - Contenido educativo

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Subido el 10 de enero de 2024 por Ies villadevaldemoro valdemoro

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Proyecto de investigación de Pablo González García titulado 'La curva perfecta'

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Imaginen poder reducir significativamente el tiempo de trayecto entre dos puntos simplemente 00:00:17
optimizando su trayectoria. 00:00:23
Esta es la cuestión que hicieron los matemáticos más importantes del siglo XVII. 00:00:25
Y hoy voy a contarles cuál es esa trayectoria. 00:00:29
Buenas tardes, mi nombre es Pablo González García y este es mi proyecto de investigación. 00:00:32
En 1696 se planteó a los matemáticos europeos el desafío de encontrar la trayectoria óptima 00:00:38
para la cual un objeto solo impulsado por la gravedad y sin tener en cuenta la fricción 00:00:44
realizase el trayecto entre A y B en el menor tiempo posible, 00:00:50
teniendo en cuenta que estos no están alineados ni vertical ni horizontalmente. 00:00:55
Para hacer más sencilla la comprensión de este problema, supongamos que un socorrista 00:01:00
debe de llegar lo más rápido posible hasta un bañista que necesita su ayuda. 00:01:05
La trayectoria más corta en términos de distancia es una línea recta entre el socorrista y el bañista. 00:01:10
Sin embargo, el socorrista opta por trazar una trayectoria diagonal por la cual va por la arena, 00:01:16
por donde va más rápido, y así estar menos tiempo en el agua, donde va más lento. 00:01:22
El objetivo de esto es trazar en el menor tiempo posible la llegada al bañista, 00:01:27
no yendo por el lugar menos rápido, la línea recta, y así maximizando la velocidad en la arena, 00:01:35
y por tanto la eficacia del rescate. 00:01:43
Este problema fue propuesto por Johann Bernoulli y con este trataba de retar a la comunidad científica de la época. 00:01:47
Participaron científicos de la talla de Newton o Leibniz, entre otros, 00:01:54
y debido a esto se conocen muchas formas de resolver este problema. 00:01:59
Sin embargo, nos hemos centrado en una metodología accesible a un conocimiento de un alumno de bachillerato, 00:02:03
el cual se expone con mayor detenimiento en el trabajo de investigación. 00:02:10
En cuanto a la curva solución, la cicloide, esta se define como el lugar geométrico de un punto en una circunferencia 00:02:15
que rueda sin deslizamiento a lo largo de una recta. 00:02:21
Para hacer más comprensible esta definición, supongamos que tenemos un círculo 00:02:24
y este lo apoyamos sobre una superficie plana. 00:02:29
Luego hacemos rodar este círculo mientras mantiene contacto con esa superficie. 00:02:32
Un punto en el círculo trazará una trayectoria en el plano, es decir, la cicloide. 00:02:37
La cicloide ha sido un objeto de estudio por los matemáticos europeos de la época, 00:02:42
debido a sus propiedades y a las discusiones científicas que generó. 00:02:47
De hecho, fue tan polémica que se la conoce como la arena de la geometría o la arena de las curvas. 00:02:52
Pero mi trabajo de investigación decidí llamarlo la curva perfecta, 00:02:59
no solo porque la cicloide es la respuesta al problema de Bernoulli, 00:03:03
sino porque posee propiedades muy interesantes. 00:03:07
En primer lugar, la propiedad autocrona. 00:03:10
Esta propiedad afirma que el tiempo que tarda una bola en recorrer la cicloide 00:03:13
no depende de su posición inicial. 00:03:18
Por lo tanto, en este ejemplo, que las bolas A, B y C se encuentran a distintas alturas, 00:03:20
si se lanzan a la vez, llegarán al punto final de la cicloide en el mismo tiempo. 00:03:27
En cuanto a la otra propiedad, la propiedad isócrona, 00:03:41
esta propiedad afirma que dos o más movimientos se realizan en un periodo de igual duración. 00:03:44
Esta propiedad, al igual que la autocrona, fue descubierta por Christian Hubens, 00:03:51
el cual creó el péndulo isócrono. 00:03:56
Este era la forma más precisa de medir el tiempo por aquel entonces, 00:03:59
e incluso se utilizaba en observatorios astronómicos. 00:04:03
Pero, a pesar de ser un cicloide, una curva matemática muy compleja, 00:04:06
esta se puede ver apreciada en nuestro día a día, 00:04:10
desde en el péndulo isócrono de Hubens, como ya he comentado anteriormente, 00:04:13
como en las pistas de skate, 00:04:16
las cuales tienen esa forma cicloidal con el objetivo de que el skater 00:04:18
llegue en el menor tiempo posible al fondo de la pista. 00:04:22
Además, la cicloide tiene un atractivo arquitectónico, 00:04:26
siendo utilizada en el Museo Arte de Kimbell o en el Hopkins Center de Hanover. 00:04:30
En cuanto a la parte práctica de este proyecto de investigación, 00:04:35
este ha consistido en una maqueta la cual contiene una trayectoria cicloidal, 00:04:39
una parábola y un plano inclinado, 00:04:44
con el objetivo de comprobar que la cicloide es la ruta de la trayectoria óptima. 00:04:47
Además, se han calculado los tiempos teóricos por los petardos, 00:04:52
Además, se han calculado los tiempos teóricos por los petardos, 00:04:56
la pelota en recorrer cada una de las trayectorias, 00:05:00
y luego los hemos comparado con los experimentales. 00:05:02
Para el proceso de construcción, 00:05:06
lo primero que se ha realizado fue un boceto con las dimensiones del largo y del alto 00:05:08
que iba a tener la maqueta. 00:05:13
Luego, se decidió realizar el trazado de la cicloide a escala, 00:05:16
del cual se extraería la grafistócrona conforme a las medidas elegidas. 00:05:20
Sin embargo, debido a la imprecisión del trazado realizado en casa, 00:05:25
se tuvieron que reajustar las medidas de la maqueta, 00:05:29
con el objetivo de que se preservase lo máximo posible la forma cicloidal. 00:05:34
Una vez teníamos definidas tanto la cicloide como el plano inclinado, 00:05:39
se tuvo que trazar la parábola, 00:05:43
la cual tras calcular su ecuación e ir sacando puntos, se pudo definir. 00:05:46
Tras esto, como pueden ver en las imágenes, 00:05:52
se fueron cortando los tableros de madera por las trayectorias previamente definidas, 00:05:54
y finalmente se lijaron con el objetivo de formar esos canales 00:05:58
para que la bola no se saliese de la trayectoria. 00:06:03
Finalmente, se pegaron y se atornillaron las trayectorias a las bases de la maqueta. 00:06:07
Como ya he dicho anteriormente, 00:06:14
tanto la cicloide como el plano inclinado ya estaban previamente definidos, 00:06:16
por lo tanto, lo único que nos quedaba definir era la trayectoria de la parábola, 00:06:20
la cual decidí que tuviese el vértice en el punto final de la trayectoria, 00:06:24
con el objetivo de que se pareciese lo máximo posible a la cicloide. 00:06:29
Luego a continuación, como ya he mencionado anteriormente, 00:06:35
se fueron a comparar los tiempos que tardaban las bolas por recorrer cada una de las trayectorias 00:06:39
con el tiempo que tarda realmente en hacerlo. 00:06:44
Por lo tanto, lo primero que íbamos a hacer fue calcular los tiempos teóricos, 00:06:46
los cuales expongo con mayor detenimiento en mi trabajo de investigación. 00:06:51
A continuación, se realizó el análisis exoexperimental, 00:06:55
el cual consistía de cuatro series de intentos de nueve lanzamientos por cada trayectoria. 00:06:59
Como pueden ver en este vídeo, 00:07:05
este consistió de una grabación en el cual aparecía un dispositivo móvil con función de cronómetro 00:07:08
junto a la trayectoria por la que se iban a lanzar las bolas. 00:07:14
Tras obtener todos los vídeos de todas las series de intentos, 00:07:17
se realizó una media aritmética por cada una de las series de intentos. 00:07:20
A continuación, para tener en cuenta los errores, 00:07:25
se calcularon tanto la desviación típica como la varianza. 00:07:28
Finalmente, tras haber realizado este proceso en cada una de las series de intentos, 00:07:32
se realizó una media aritmética de todas las medias aritméticas 00:07:36
de cada una de las series de intentos de cada trayectoria 00:07:40
para obtener una media de cuánto había tardado la bola en recorrer cada una de las trayectorias. 00:07:43
Finalmente, lo único que nos quedaba por hacer 00:07:52
era comparar los tiempos teóricos previamente calculados con los tiempos experimentales. 00:07:55
Y, como pueden ver en pantalla, el resultado de este experimento fue un éxito 00:08:00
debido a que los tiempos teóricos se encontraban dentro de los esperados. 00:08:05
Para poner un ejemplo, la cicloide, que debía de tardar teóricamente un tiempo de 0,53 segundos, 00:08:10
en nuestro experimento tardó 0,77, sin incluir errores. 00:08:18
Por lo tanto, si incluíamos los errores, esta debía oscilar entre un tiempo de 1,01 y 0,53, 00:08:24
el cual, como ven en pantalla, está. 00:08:31
En conclusión, el problema de la curvada cristocrona 00:08:35
fue un problema que dio mucho que hablar a los científicos de la época. 00:08:39
Está debido a los matemáticos que incluyó en este problema, 00:08:42
además de a lo mucho que dio que hablar. 00:08:48
Al fin y al cabo, no todos los problemas matemáticos poseen una estatus o no. 00:08:52
Muchas gracias por su atención y queda a su disposición para responder las preguntas que les hayan surgido. 00:08:57
Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo González García
Subido por:
Ies villadevaldemoro valdemoro
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
247
Fecha:
10 de enero de 2024 - 22:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES VILLA DE VALDEMORO
Duración:
09′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.11

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