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Ecuaciones con complejos. Geometría raíces de un número complejo II - Contenido educativo

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Subido el 2 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Representación gráfica de la geometría de las raíces de un número complejo

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Hola, este vídeo es la continuación del ejercicio anterior que nos pedía el cálculo de la raíz quinta de 3,150. 00:00:00
Hemos obtenido cinco raíces, donde la primera era la raíz quinta de 3,30 grados. 00:00:12
Entonces, voy a hacer la representación gráfica de lo que va a resultar un pentágono 00:00:19
y podemos ver ahí tanto el cálculo del perímetro como del lado, que antes yo he supuesto que era 2, 00:00:25
para que veáis cuánto da realmente de una forma gráfica y precisa con GeoGebra. 00:00:36
Para eso yo defino la constante mod, por ejemplo, que es módulo, que es 3 elevado a 1 quinto. 00:00:43
3 elevado a 1 quinto, que es 1,25, eso es la raíz quinta de 3. 00:00:49
También defino el ángulo alfa, lo defino como 30 grados, 30 grados en radianes es igual que pi sexto, pi sabemos que es 180, pues 180 entre 6 son 30 grados. 00:00:55
Entonces, ¿cómo represento yo el número complejo en GeoGebra? Pues de la forma trigonométrica. Esto es el módulo, tengo el módulo que es 1,25 y yo lo multiplico por coseno de alfa, coseno de alfa, más y seno de alfa. 00:01:11
Con lo cual me aparece Z1 que es la forma binómica de raíz quinta de 3, 30 grados. 00:01:35
Si no nos creemos mucho que esta es la forma binómica, vamos a verlo gráficamente como sería. 00:01:50
Para eso yo voy a crear una circunferencia de centro el 0,0 y que pase por este punto de aquí que es la primera raíz, que es raíz quinta de 3, 30 grados. 00:02:01
Si nos fijamos, el radio es precisamente 1,25. 00:02:18
1,25. Si yo aquí selecciono este punto de aquí, es 1,25, 0. 00:02:24
¿Lo veis? Es la intersección del eje de las X con esta circunferencia que une el radio con Z1, que es la primera raíz. 00:02:32
Con lo cual, puedo comprobar que este módulo de aquí, este segmento que une A con Z sub 1, si yo le digo a ver cuánto mide F, pues vemos que es 1,25. 00:02:43
Con lo cual, la raíz quinta de 3, yo lo hago a la calculadora, me tiene que dar 1,25. 00:02:59
Voy a comprobar que realmente este ángulo de aquí es 30 grados. Para eso lo que hago es calculo cuántos grados hay entre AB y Z1. 00:03:06
Y aquí me aparece, perdón, aquí me aparece, lo voy a hacer de nuevo, ángulo, tengo B, tengo A y tengo Z sub 1. 00:03:20
Con lo cual aquí me aparece que es 30 grados. 00:03:35
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues voy a quitar un poquito de zoom y lo que voy a hacer es, 00:03:41
Como las distintas raíces, las cinco raíces, tienen el mismo módulo, pero se le suma 360 entre 5, que es 72 grados, lo que voy a crear aquí es un nuevo punto a partir de Z1, donde forme 72 grados con el eje. 00:03:47
Y si os fijáis, me ha creado aquí el punto Z2, que entre Z1 y Z2 hay 72 grados. 00:04:11
Me voy a crear ahora el tercero, es decir, de Z2 al centro, yo me creo otro con 72 grados y esta es la tercera raíz. 00:04:21
Esta tercera raíz era raíz quinta de 3, 174 grados. 00:04:30
Voy a hacer el mismo proceso para crearme la raíz cuarta. Z4 es la raíz quinta de 3, 246 grados. Y ya por último me creo el último, que es Z5, que es raíz quinta de 3, 318. 00:04:36
Si yo aquí, por ejemplo, volviese a hacer uno nuevo, el Z sub 6, veo que me va a coincidir Z1. Voy a hacerlo y vais a ver cómo Z1 se va a convertir ahora en Z6. Así se va replicando y se van repitiendo las raíces. 00:04:56
Lo voy a deshacer, ¿vale? Entonces, yo ya aquí puedo formar el polígono uniendo z1 con z2 con z3 con z4 con z5 y luego otra vez lo cierro en z1. 00:05:16
Si os fijáis, yo tengo un polígono regular. Siempre las raíces de un número complejo me van a formar un polígono regular. 00:05:32
¿Qué es la raíz cúbica? Voy a tener un triángulo equilátero. ¿Qué es la raíz cuarta? Voy a tener un cuadrado. ¿Qué es la raíz quinta? Como en este caso voy a tener un pentágono regular donde todos los lados son iguales. 00:05:43
Si no nos lo creemos, voy a hacer esto de aquí, me va a medir la distancia, tanto de G, que mide 1,46, como H, como I, vemos, como J, como K, todos los lados miden 1,46. 00:05:56
¿Cómo lo podría hacer yo en el cuaderno que no tenemos en el examen GeoGebra? Pues aplicando el teorema del cateto. 00:06:13
Yo sé que este lado F, que mide 1,25, que es el radio, también va a medir desde el centro a Z2. 00:06:21
Este lado L, si yo le digo a medir, pues como es el radio, pues 1,25 también. 00:06:33
Entonces, si yo tengo el triángulo Z2 origen Z1, este triángulo de aquí, 00:06:41
Yo sé que entre Z1 y Z2 hay 72 grados. 72 grados es la división de 360 entre 6, que me da 72. 00:06:48
Con lo cual yo sé que este lado es 1.25, este otro lado es el radio, también 1.25. 00:06:59
Yo podría hallar G con el teorema del cateto. 00:07:05
Yo os invito a que lo hagáis con el teorema del cateto y os sale que este lado mide 1.46. 00:07:09
Por lo tanto, yo ya puedo medir el perímetro de este polígono regular. De hecho, me da 7,32. 00:07:16
Probarlo ustedes y comprobar que es así. 00:07:26
Espero que os haya gustado porque a mí esto, la verdad, que me flipa muchísimo. 00:07:30
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
82
Fecha:
2 de febrero de 2022 - 18:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
07′ 36″
Relación de aspecto:
1.88:1
Resolución:
1920x1020 píxeles
Tamaño:
282.05 MBytes

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