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Ejercicio 3-25-5 - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver, en este ejercicio me dan una función racional y tengo tres apartados, ¿vale? 00:00:01
El primer ejercicio, el primer apartado me piden calcular dominio y asíntotas. 00:00:07
El segundo calcular una recta tangente con el punto completo. 00:00:11
Y en el último apartado lo que me preguntan es ver si es posible que haya exista algún punto 00:00:15
tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto que estoy buscando sea justamente 1, ¿vale? 00:00:19
Entonces, bueno, vamos a ir poquito a poco. Vamos a empezar por el apartado A. 00:00:26
Lo primero, el dominio, es una función racional, polinómica racional, ¿vale? 00:00:30
x cubo menos 1 partido por x cuadrado menos 1. 00:00:36
El dominio de una función racional son todos los puntos, excepto donde se anula el denominador. 00:00:40
Luego lo que tenemos que hacer es calcular los puntos donde x cuadrado menos 1 es 0, 00:00:45
es decir, x es igual a más menos 1. 00:00:50
Por lo tanto, el dominio de f de x van a ser todos los números reales menos el más menos 1. 00:00:53
Eso por un lado. Y ahora me piden calcular las asíntotas. 00:01:06
Pues vamos a empezar por asíntotas horizontales. 00:01:09
Importante, ya sé que yo expongo a.h. y que posiblemente todos los profes de matemáticas tienen claro que significa asíntota horizontal. 00:01:12
Pero para la PAU mejor escribir todo, asíntota, horizontal. 00:01:19
Las asíntotas horizontales son las rectas del estilo y igual a k, 00:01:24
donde k es el límite cuando x tiende a infinito de la función. 00:01:30
Entonces empezamos calculando el límite cuando x tiende al más o al menos infinito, 00:01:34
porque calculamos en las dos ramas, de x cubo menos uno entre x cuadrado menos uno. 00:01:39
Arriba es más menos infinito, abajo es infinito, ¿vale? 00:01:46
Como es un infinito entre infinito, vamos a aplicar el truquito de los grados 00:01:51
y como el grado del numerador es mayor que el grado, aquí lo mismo, esto tendríais que escribirlo todo, ¿vale? 00:01:56
del denominador, significa que el que más puede es el numerador, por lo tanto esto sería a más menos infinito. 00:02:05
Esto significa que no existen asíntotas horizontales 00:02:11
Y lo que os decía, si vosotros escribís aquí al principio asíntota horizontal con todas las letras 00:02:16
Y luego ponéis entre paréntesis asíntota horizontal 00:02:21
Aquí a la derecha ya podríamos poner el apunto h punto porque se entendería 00:02:24
Para las asíntotas verticales, ojo 00:02:29
Os lo he dicho muchas veces, la asíntota vertical se calcula en los puntos donde no está definida la función 00:02:32
pero no puedo coger y decir x igual 1 e igual 1 son asíntotas horizontales 00:02:39
porque lo he calculado en el dominio, no, hay que comprobarlo, ¿vale? 00:02:45
Hay que comprobarlo primero en x igual 1, ¿cómo lo comprobamos? 00:02:48
Calculando el límite cuando x tiende a 1 de mi función que es x cubo menos 1 entre x cuadrado menos 1 00:02:53
y al hacer esto resulta que lo que obtengo es 0 partido por 0, ¿vale? 00:03:02
Es un ejemplo típico en el que no todos los puntos en los que no está definida la función es asíntota vertical. 00:03:07
Bueno, puede que sí o puede que no, lo tendríamos que comprobar. 00:03:14
A ver, aquí ahora mismo, yo podría coger directamente y aplicar, aplicar l'Hôpital, o bien factorizar, 00:03:17
pero como ya sabemos l'Hôpital, lo vamos a tener que aplicar varias veces, 00:03:26
Pero bueno, ya que estamos, lo aplicamos límite cuando x tiende a 1 00:03:30
Y esto sería de 3x cuadrado partido, bueno no hay que aplicarlo tanto 00:03:34
Partido por 2x, ¿vale? 00:03:40
3x cuadrado partido por 2x, sí 00:03:44
Esto puedo simplificar un cuadrado con la x de abajo 00:03:46
Y si sustituyo en el 1 que obtengo 3 medios 00:03:49
No teníamos que aplicar tantas veces lo que quitar, sale directo 00:03:52
¿Vale? Pues como no es infinito, ¿qué ocurre? 00:03:55
que x igual 1 no es asíntota vertical, ¿vale? 00:03:58
Entonces, fijaos lo que siempre os digo. 00:04:05
Tenéis siempre que comprobar que el límite me da infinito. 00:04:07
Y este es un ejemplo claro y este es un ejercicio de PAUD, creo que del año pasado. 00:04:10
O sea, que a veces lo ponen para ver si lo hacéis bien o no. 00:04:16
Y ahora calculamos en el x igual a menos 1. 00:04:19
Vamos a ver si este es asíntota o no. 00:04:22
calculamos el límite cuando x tiende a menos 1 de x cubo menos 1 entre x cuadrado menos 1 00:04:24
en el numerador ahora es menos 1 menos 1 menos 2 y en el denominador es 1 menos 1 0 00:04:32
vale pues esto efectivamente sería menos infinito o más infinito no sabemos 00:04:38
vale dependiendo un poco del signo si me muevo por la derecha o por la izquierda 00:04:44
pero esto lo que significa es que x igual a menos 1 es asíntota vertical, este sí, ¿vale? 00:04:47
Y, aunque no me lo pidan, vamos a calcular siempre los límites por la derecha y por la izquierda, 00:04:57
que es algo que también preguntaron en la reunión y les dijeron que sí, que hay que calcularlo, ¿vale? 00:05:04
Entonces, límite cuando x tiende a menos 1 por la izquierda de x cubo menos 1 partido por x cuadrado menos 1, esto es menos 2 partido de 0, positivo o negativo menos 1 por la izquierda es menos 1 coma algo, al cuadrado va a ser mayor que 1, por lo tanto esto va a ser un 0 más y esto es menos infinito. 00:05:08
Y el límite por la derecha, cuando x tiende a menos 1 por la derecha 00:05:32
De x cubo menos 1 partido por x cuadrado menos 1 00:05:38
Arriba es menos 2 y abajo ahora en el menos 1 por la derecha es menos 0, algo 00:05:43
Al cuadrado va a ser más pequeño que 1, por lo tanto abajo es un 0 menos 00:05:48
Luego esto es más infinito, ¿vale? 00:05:52
Y con esto tendríamos calculado por donde se acerca la asíndota 00:05:55
No me lo piden, pero sabéis lo que significaba, ¿vale? 00:06:01
Os hago el dibujito. 00:06:06
Si esto es x y esto es y, ya aprovechamos también. 00:06:08
Este es el menos 1. 00:06:11
Lo que tenemos es que esta es mi asíntota vertical 00:06:13
y si me acerco por la izquierda, si viene al menos infinito 00:06:15
y si me acerco por la derecha, se va al más infinito. 00:06:20
¿Vale? Es así como sería un poquito. 00:06:25
Lo he puesto con el mismo color, ¿vale? Disculpad. 00:06:26
¿Cómo sería la función? 00:06:29
Y ahora, como no hay asíntota horizontal, tengo que calcular la asíntota oblicua. 00:06:31
Asíntota oblicua. 00:06:36
A ver, podemos calcular con los límites, sabemos que si existes de la forma mx más n, 00:06:38
solo me piden asíntotas, no me dicen cómo está con respecto de la gráfica. 00:06:45
Luego aquí podemos hacerlo más rápido, como son polinomios yo puedo coger y dividir. 00:06:49
¿Vale? Cojo y hago x cubo menos 1 entre x cuadrado menos 1. 00:06:54
entre x, esto sería x por menos 1 menos x 00:07:00
por lo tanto aquí me queda un más x 00:07:03
x por x cuadrado x cubo, aquí me queda un menos x cubo 00:07:05
sumo, está bien multiplicado, ¿verdad? 00:07:09
sí, sumo y me quedaría x menos 1 00:07:14
ya no se puede simplificar 00:07:16
no se puede seguir dividiendo 00:07:18
por lo tanto esta es mi asíntota 00:07:21
y igual x es la asíntota oblicua 00:07:22
¿vale? 00:07:28
que no me gusta dividir porque no me queda claro 00:07:29
¿vale? pues calculamos la m por límites 00:07:33
este es el límite cuando x tiende a infinito 00:07:36
de f de x partido por x 00:07:40
es decir, el límite cuando x tiende a infinito 00:07:44
de x cubo menos 1 00:07:48
y multiplico la x por el x cuadrado menos 1 00:07:50
y me queda también x cubo pero ahora menos x 00:07:54
esto es infinito entre infinito 00:07:56
tienen el mismo grado 00:08:00
¿vale? 00:08:02
mismo grado 00:08:05
por lo tanto es cociente de coeficientes 00:08:07
es 1 partido por 1 00:08:08
1 es decir que la m es 1 00:08:10
para la n 00:08:13
voy a subir un poquito la pizarra 00:08:17
para la n 00:08:18
es el límite 00:08:21
cuando x tiende a infinito 00:08:24
de f de x 00:08:26
menos mx 00:08:28
Es decir, el límite cuando x tiende a infinito de f de x, x cubo menos 1 entre x cuadrado menos 1 menos x. 00:08:30
Operamos primero y esto sería, voy a volver a subir, ¿vale? Para dejarme un poquito más de espacio. 00:08:41
Esto sería el límite cuando x tiende a infinito de, operamos y me queda aquí x cubo menos 1, 00:08:53
multiplicamos el x cuadrado menos 1 por el menos x y me queda menos x cubo más x 00:09:00
o sea estoy reduciéndolo todo al común denominador x cuadrado menos 1 00:09:06
¿vale? el x cubo con el x cubo se me va 00:09:11
si sustituyo me queda un infinito entre infinito 00:09:14
pero ¿qué ocurre? que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador 00:09:18
¿Vale? Porque este es x y el de abajo es x cuadrado 00:09:28
Por lo tanto puede más el denominador y esto se va a 0 00:09:31
Y entonces la n es 0 00:09:34
Y obtenemos justamente la recta que habíamos calculado antes 00:09:37
¿Vale? Es decir, y igual x es asíntota oblicua 00:09:40
¿Vale? 00:09:46
Bueno, pues ya hemos hecho el primer apartado 00:09:48
Voy a borrar 00:09:50
Para el apartado b 00:09:52
A ver, me están pidiendo la ecuación de la recta tangente 00:09:54
¿Vale? En el punto 2, 7 tercios 00:09:57
¿Vale? Pues la ecuación de la recta tangente 00:10:02
Viene dada por y menos f del punto, f de 2 00:10:07
Bueno, la verdad es que tengo todos los valores 00:10:13
Pero bueno, y menos f de 2 es igual a f' de x por x menos 2 00:10:18
¿vale? esta sería la ecuación 00:10:26
¿qué ocurre? que en este caso el f de 2 00:10:28
me lo están dando con el punto 00:10:30
no tengo ni que calcularlo 00:10:31
f de 2 es directamente 00:10:33
7 tercios ¿vale? 00:10:35
porque ya me lo están dando por el punto 00:10:37
luego lo único que tengo que calcular es la f' 00:10:40
pues a ver 00:10:42
f' de x es una función 00:10:44
es un cociente 00:10:46
luego es 00:10:47
uy que me he comido el igual 00:10:48
derivada del numerador 3x 00:10:50
cuadrado 00:10:53
por denominador sin derivar, menos numerador sin derivar, x cubo menos 1, 00:10:54
por la derivada del denominador, que es 2x. 00:11:02
Bueno, no me hace falta poner paréntesis, 2x. 00:11:05
Todo ello partido del denominador al cuadrado. 00:11:09
Y ahora aquí podemos operar y ponerlo un poquito más mono, 00:11:12
o bien directamente sustituir en el punto 2, que es lo que yo quiero. 00:11:17
Ah, no es, es que hay veces que ya sabéis que se me pasan las cosas a mí 00:11:21
He puesto aquí F' 00:11:27
No sé si lo habré dicho bien y escrito mal o lo he dicho mal 00:11:29
Es F' de 2, ¿vale? 00:11:32
Es del punto que estamos calculando 00:11:35
F' en el punto que estamos calculando 00:11:36
Luego directamente podemos operar 00:11:40
O si no, de aquí calculo directamente cuánto es el F' de 2 00:11:42
Y esto sería 2 al cuadrado por 00:11:47
Es 4 por 3, 12 00:11:49
12 por 4 menos 1 es 3 00:11:51
menos 8 menos 1 es 7 00:11:54
por 2 por 2 es 4 00:11:57
partido de 4 menos 1 es 3 00:11:59
al cuadrado es 9 00:12:02
y esto es 12 por 3 es 36 00:12:03
menos 4 por 7 es 28 00:12:06
todo esto con la calculadora lo calculáis en el momento, ¿vale? 00:12:08
pero es que aquí ahora mismo no tengo calculadora 00:12:12
y ahora 36 menos 28 00:12:14
pues si no me equivoco son 8, ¿no? 00:12:16
8 novenos, ¿vale? 00:12:19
Pues la ecuación que busco, la ecuación de la recta tangente en 2, 7 tercios, viene dada por y menos 7 tercios igual a 8 novenos por x menos 2, ¿vale? 00:12:21
Pues ya estaría, no tenemos que hacer nada más, lo que os digo, que queréis pasarlo o dar otro tipo de ecuación sirve, no hay ningún problema, ¿vale? 00:12:41
voy a borrar 00:12:48
y vamos con el último apartado 00:12:49
en el que me dicen que encontremos si es posible 00:12:51
un punto tal que la pendiente de la recta 00:12:54
de la gráfica en ese punto sea 1 00:12:56
es decir, quiero buscar 00:12:58
un x sub 0 00:13:00
tal que la derivada 00:13:01
o sea, la pendiente es la derivada 00:13:04
en ese punto que f' de x sub 0 00:13:06
sea igual a m 00:13:08
es lo que me están pidiendo 00:13:10
vale, he borrado 00:13:11
la derivada que la teníamos antes 00:13:14
calculada 00:13:16
así que esperad un momentito 00:13:17
y ahora la vuelvo, o bueno 00:13:19
da igual, cuando las cosas se borran 00:13:20
se vuelven a hacer y ya está, vale 00:13:22
la vuelvo a poner, no me he dado cuenta que la necesitábamos 00:13:24
calculamos otra vez 00:13:27
vuelvo a calcular la derivada 00:13:28
y esto era 3x cuadrado 00:13:30
por x cuadrado menos 1 00:13:32
menos 00:13:35
no, antes no he calculado 00:13:36
si, si la he calculado la derivada, vale 00:13:38
menos 00:13:40
x cubo menos 1 00:13:42
por 2x 00:13:44
partido de x cuadrado menos 1 al cuadrado 00:13:46
espero haberla calculado bien 00:13:52
antes también 00:13:54
y entonces ahora sí que operamos 00:13:56
porque ahora sí que lo necesitamos 00:13:58
3x cuadrado por x cuadrado es 3x cuarta 00:13:59
menos 3x cuadrado 00:14:02
y esto sería 00:14:05
x cubo por 2x son 2x cuarta 00:14:06
con el menos menos 2x cuarta 00:14:09
y menos por menos más 2x 00:14:11
todo ello partido de x cuadrado menos 1 al cuadrado 00:14:14
3x cuarta menos 2x cuarta me queda así como una x cuarta 00:14:23
menos 3x cuadrado más 2x 00:14:28
todo ello partido por x cuadrado menos 1 al cuadrado 00:14:35
¿Vale? Esta sería la derivada, por lo menos lo que a mí me da, espero no haberme equivocado, 00:14:43
y lo que queremos es que la derivada sea igual a m, en este caso, que sea igual a 1. 00:14:50
¿Vale? Aunque me hablan del x sub 0, por no ir cambiando voy a utilizar la x, ¿vale? 00:14:55
Da lo mismo el valor. Entonces lo que yo quiero es que esto sea 1. 00:15:01
Pues resolvemos la ecuación, paso el denominador multiplicando, 00:15:05
y me queda que x cuarta menos 3x cuadrado más 2x 00:15:08
tiene que ser igual a x cuadrado menos 1 al cuadrado. 00:15:15
Desarrollamos ese cuadrado y me queda x cuarta menos 3x cuadrado más 2x. 00:15:23
Voy un momentito a repasar, a ver si estaba bien hecha la derivada. 00:15:29
3x cuadrado por x cuadrado menos 1 menos x cubo menos 1 por 2x partido de x cuadrado menos 1 00:15:33
y esto es 3x cuadrado menos 3x cuadrado menos 2x cuadrado más 2x 00:15:44
vale, sí, es que no sé, había algo que me chocaba 00:15:53
calculamos este cuadrado y es el cuadrado del primero, es decir, x cuadrado 00:15:56
menos dos veces el primero por el segundo menos 2x cuadrado más 1 00:16:03
y de aquí lo paso todo al primer miembro o lo que es lo mismo 00:16:10
lo pasamos todo y luego tachamos 00:16:16
x cuarta menos 3x cuadrado más 2x menos x cuarta más 2x cuadrado menos 1 igual a 0 00:16:18
Las x cuartas se me van y me queda menos 2x cuadrado más 2x cuadrado me queda x cuadrado más 2x menos 1 igual a 0. 00:16:30
Resolvemos la ecuación de segundo grado y me queda que x es igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado, 00:16:41
b al cuadrado que sería 4 menos 4 por a por c menos 4 por a por c sería más 4 partido por 2a 00:16:49
y esto sería menos 2 más menos raíz de 8 partido por 2, ¿vale? 00:17:02
entonces la raíz de 8 la puedo simplificar como 2 raíz de 2 00:17:10
menos 2 más menos 2 raíz de 2 partido por 2 00:17:15
y el valor que obtengo, o los valores que obtengo porque obtenemos 2 00:17:20
serían menos 1, simplifico todo por 2 y me queda menos 1 más menos raíz de 2 00:17:25
Entonces me salen dos puntos en los que la pendiente a esa recta es 1 00:17:33
Serían los puntos que he puesto ahí 00:17:40
Sería el punto menos 1, o sea por un lado x igual a menos 1 más raíz de 2 00:17:43
Y el otro punto x igual a menos 1 menos raíz de 2 00:17:50
¿Vale? Pero no hago más que mirarlo por si acaso hay algo raro 00:17:55
no sé, ya sabéis que hay veces que los valores que les dan son raros 00:17:59
y yo ahora mismo por más que lo miro 00:18:04
si me he confundido en algún paso 00:18:06
la verdad es que no lo veo 00:18:08
o que directamente los resultados que querían que se obtuvieran 00:18:12
fueran de esta manera 00:18:18
pero no sé, no veo el fallo 00:18:19
espero que más o menos lo hayáis entendido 00:18:24
si veis el fallo o si veis que hay algún fallo 00:18:27
pues me lo decís 00:18:29
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
13 de noviembre de 2025 - 21:07
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
18′ 31″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
51.54 MBytes

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