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Ej Repaso Geo9 - Contenido educativo
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Hola, vamos a ver este ejercicio en el que me piden que discuta según los valores del parámetro lambda
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la posición relativa de los tres planos que me dan, ¿vale?
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Bien, pues vamos a empezar como si fuera el típico problema de álgebra,
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porque tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, ¿no?
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Por lo tanto, lo primero que vamos a hacer es estudiar el valor del determinante de la matriz de coeficientes,
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la matriz. En este caso sería 1, 4, 2 por lambda más 1, lo voy a poner tal y como viene,
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de i sería 0, lambda menos 2, menos, ah no, aquí sería 0, no hay i en la segunda ecuación,
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así que un 0 y la z aquí sería 1, en la segunda ecuación la z es lambda más 2 y en la tercera ecuación la z es menos lambda más 6.
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Lo estoy escribiendo tal y como viene, ¿vale? Calculamos este determinante y esto sería lambda menos 2 por menos lambda menos 6
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más 0, más 0, menos 2 por lambda más 1 por lambda menos 2, más 0, más 0, ¿vale?
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Venga, pues esto lo multiplicamos, también podríamos sacar factor común al lambda menos 2 en los dos y operarlo,
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o directamente lo multiplicamos, esto sería menos lambda cuadrado menos 6 lambda más 2 lambda más 12
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y aquí sería menos 2 lambda cuadrado menos, o sea, más 4 lambda, bueno ya sé que mis landas son raras, ¿vale?
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Y cada vez, y aquí con la tabla me salen aún mucho más raras
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Más 4 lambda, menos 2 lambda, menos 2 lambda, más 4, ¿vale?
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Es decir que si operamos, esto me queda menos 3 lambda cuadrado, ¿vale?
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menos 4 más 4 es 0
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menos 2 lambda
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y los números serían 12 más 4 más 16
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y lo que hacemos es resolver
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vamos a igualar a 0 y resolvemos esta ecuación
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os voy a dar directamente las soluciones
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salen las que a vosotros nunca os gustaría
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porque salen fracciones
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me sale que lambda puede tener dos valores
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que son 2 y menos 8 tercios, vosotros lo resolvéis, ¿vale?
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por la ecuación de segundo grado normal y corriente, pero para que el vídeo no se haga demasiado largo
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hemos obtenido dos soluciones, ¿vale? pues ahora tenemos que empezar a discutir
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a ver, el primer caso, el más sencillo, ¿qué ocurre si lambda es distinto de 2
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y lambda es distinto de menos 8 tercios?
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Bueno, pues en este caso el determinante de C sería distinto de 0, lo que significaría que el rango de la de coeficiente sería 3 y por lo tanto coincidiría con el rango de la ampliada y además con el número de incógnitas.
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Por lo tanto, sería por el teorema de Rouchet, un sistema compatible determinado tendríamos una única solución, que en nuestro caso, geométricamente lo que significa es que los planos se cortan en un punto, ¿vale? Se cortan en un punto.
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Lo típico como el sistema de coordenadas o las esquinas, ¿vale?
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Estos serían los tres planos.
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Este sería un plano, este sería el otro plano y este sería el tercer plano.
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Y los tres planos se cortan en un punto.
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Vale, pues ahora ¿qué tenemos que hacer?
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Después de haber visto el caso más sencillo,
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ahora lo que tendríamos que hacer, lo voy a ir dejando aquí,
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es estudiar cada uno de los casos.
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Primer caso, ¿qué ocurre si lambda es igual a 2?
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Pues a ver, si lambda es igual a 2, el sistema que me queda sería, bueno lo tengo en un papel, lo voy copiando para no estar subiendo y bajando, me quedaría x más z igual 2, 4x más 4z igual 1, 6x menos 8z igual a menos 2.
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Este sería el sistema en el que ya sabemos que la matriz de coeficientes es directamente
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O sea, el determinante es 0, que el rango no va a ser 3, ¿vale?
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Pero bueno, también podemos simplemente fijarnos, darnos un vistacillo y darnos cuenta
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Si este es el plano, habíamos dicho, se llamaban pi1, pi2 y pi3, ¿vale?
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Este es el plano pi1, este es pi2 y este es pi3
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Si nos fijamos en el pi1 y en el pi2, ¿qué le pasa al vector normal?
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Que son proporcionales, ¿verdad? Es multiplicarle por 4
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Es decir, si yo estudio el pi1 con el pi2
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Lo que obtengo es que 1 es a4, como 1 es a4, ¿verdad?
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El otro sería 0 es a0, pero no es lo mismo que 2 es a1
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¿Esto qué quiere decir? Que pi1 es paralelo a pi2
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Y como pi3 no es proporcional a ninguno de ellos
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Es decir, si yo comparo por ejemplo el pi1 con el pi3
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Lo que obtengo es que 1 partido por 6 es distinto de 1 partido por menos 8
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Es decir, no son paralelos
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Pi1 no es paralelo a pi3
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Entonces si dos planos no son paralelos, obviamente no son coincidentes porque los vectores no son paralelos, lo que quiere decir es que son secantes.
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Por lo tanto con esto no tendríamos que estar calculando más matrices y determinantes, con esto directamente lo que podemos decir es que tenemos dos planos paralelos cortados por un tercero.
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¿Vale? Es decir que tendríamos aquí arriba estaría el pi 1, aquí abajo por ejemplo estaría el pi 2 y el pi 3 que los corta aquí a los 3, a los 2, perdón.
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¿Vale? Este sería en el caso lambda igual 2.
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Pero ahora, ¿qué me falta? El lambda igual a menos 8 tercios.
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Tenemos que estudiar también ese caso.
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¿Qué ocurre si lambda es igual a menos 8 tercios? Pues a ver.
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Aquí nos quedan unas ecuaciones con denominadores, pero no pasa nada, nos queda que pi1 sería la ecuación x más z igual a menos 8 tercios,
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que pi2 sería la ecuación 4x menos 14 tercios de y menos 2z tercios y esto me da menos 2 tercios,
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Y el pi 3 me queda menos 10 tercios de x menos 10 tercios de z igual a 8 tercios.
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Vale, ya sé que lo de las fracciones y eso en el momento que lo veis como que se echa para atrás, pero fijaros que es una tontería.
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Hacemos igual que hemos hecho antes.
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¿Qué le pasa a la primera y a la tercera ecuación?
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Que en este caso son las que son muy parecidas también, ¿verdad?
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Ahora, de hecho, la tercera es menos 10 tercios, estoy multiplicando a la primera por menos 10 tercios, ¿vale? Es decir, que si yo miro la pi 1 y pi 3, si hago lo mismo de antes, lo que obtengo es que 1 partido por menos 10 tercios es lo mismo que 1 partido por menos 10 tercios,
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pero no es lo mismo que menos 8 tercios entre 8 tercios
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lo que significa es ahora es que pi 1 es paralelo con pi 3
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¿vale? antes era con pi 2 ahora es con pi 3
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¿qué ocurre con el pi 2?
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pues a ver si cogemos por ejemplo el pi 1 y el pi 2
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y hago lo mismo comparo coeficientes que obtengo
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que 1 partido por 4 no es lo mismo que 1 partido por menos 14 tercios, lo que significa que pi 1 no es paralelo con pi 2, por lo tanto va a ser secante.
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¿Y qué vamos a tener? Pues el mismo caso de antes. Tenemos que pi 1 y pi 3 son paralelos y pi 2 los corta los dos.
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¿Vale? Es decir, es el mismo dibujo pero ahora tendríamos aquí el pi1, aquí tendríamos el pi3 y tendríamos aquí un plano que le corta los dos que sería el pi2
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¿Vale? Pues este sería el ejercicio
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 4
- Fecha:
- 20 de abril de 2026 - 0:55
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 10′ 15″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 26.02 MBytes
