Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
Martes 19/3 MAS II 2Z (2ª Parte)
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Bien, voy a grabar lo que no termine del ejercicio anterior, que es la curvatura.
00:00:01
Debido a todos los problemas informáticos que he tenido, al final no he podido hacerlo.
00:00:07
Vamos a ver si ahora consigo que funcione bien.
00:00:12
Recuerdo lo que estábamos.
00:00:14
Estábamos en una función, que era esta, x más 2 elevado al cuadrado a la parte de x al cuadrado a menos 2,
00:00:15
de la cual ya habíamos hecho un estudio completo que nos permitía representarla.
00:00:20
estudiamos el dominio, las asíntotas, la monotonía
00:00:24
con los puntos singulares que identificamos como máximos o mínimos
00:00:28
vemos los cortes con los ejes y ya nos hacíamos una idea de la función
00:00:32
la función la tengo dibujada aquí
00:00:35
esa función la tengo dibujada aquí, voy a borrar esto, y esta función pues es un poquito
00:00:37
particular, en realidad está un poco preparada para que salgan un montón de cosas, salgan máximos
00:00:44
salgan mínimos, salgan asíntotas, tanto horizontales como verticales
00:00:48
Entonces, lo que nos ha quedado para poder hacer un estudio más pormenorizado es ver dónde está la curvatura. Normalmente, un estudio completo no se hace la curvatura. En una EBAU, por ejemplo, no se va a hacer un estudio tan largo como este porque no daría tiempo a hacerlo. Se preguntará en concreto alguna de las partes que hemos tratado hasta ahora.
00:00:52
Pero bueno, como estábamos con este ejercicio ya, lo que observamos es que cuando viene desde la asíntota horizontal que estaba en 1, cuando viene hacia el mínimo que está en menos 2, vemos que la función es cóncava, pero de repente cambia a ser convexa para tener este mínimo y vuelva a subir hacia arriba, hacia la asíntota vertical.
00:01:15
Entonces, en algún punto que se encuentra por aquí aproximadamente, vamos a tener un punto de inflexión.
00:01:37
Vamos a intentar buscar ese punto de inflexión calculándolo formalmente con la derivada que habíamos calculado antes.
00:01:43
Entonces, ya teníamos la primera derivada y para calcular el punto de inflexión vamos a buscar la segunda derivada igual a cero.
00:01:49
Voy a copiar la derivada para hacer la segunda.
00:01:57
Esta es la derivada que ya teníamos calculada, la primera.
00:02:02
entonces en base a esta vamos a calcular la segunda
00:02:04
esta es la primera derivada
00:02:08
voy a borrar toda la borralla esta
00:02:11
y venga, en base a esta primera derivada vamos a calcular la segunda
00:02:19
pero para calcularla quizás no sea más fácil desarrollar el polinomio del numerador
00:02:25
no así el del denominador, pero el del numerador sí que lo voy a desarrollar
00:02:29
entonces, bueno y el del denominador también lo voy a desarrollar
00:02:33
para que nos resulte más fácil hacer las derivadas y no tengamos un montón de paréntesis que luego después tengamos que multiplicar.
00:02:37
Así que vamos a hacer este rápidamente.
00:02:43
Menos 4x al cuadrado, el otro sería 2x más 3x por 4, sería 12x, y 2 por 1 es 2, por 4, menos 8.
00:02:47
Y en el denominador también lo voy a desarrollar. Sería x a la cuarta menos 2 por 2, 4x al cuadrado y más 2 por 2, 4. Entonces, con esta función racional, con un polinomio número en el denominador, pues ya voy a intentar hacerlo rápidamente.
00:02:58
la segunda derivada va a ser
00:03:15
derivada del primero
00:03:18
menos 8x
00:03:21
menos 12, este multiplicará
00:03:29
x a la
00:03:32
no, casi el denominador
00:03:32
no lo voy a desarrollar porque yo creo que
00:03:36
luego voy a poder sacar factor común
00:03:38
y casi lo voy a dejar así
00:03:39
sí, mejor, porque luego voy a poder sacar factor común
00:03:41
b
00:03:44
x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado
00:03:45
para menos, venga, la derivada del de abajo
00:03:49
que sería 2 multiplicado
00:03:51
por 2x, es decir, 4x, y multiplicado por x al cuadrado menos 2 elevado a 2 menos 1, 1.
00:03:54
Y esto multiplicado por el numerador. En el numerador voy a sacar un factor común. El
00:04:02
factor común que voy a sacar va a ser menos 4, así que cambio de signo el menos, saco
00:04:09
el 4, y si extraigo el 4 como factor común, tendría x al cuadrado, he sacado menos 4,
00:04:13
más 3x y más 2
00:04:20
todo esto es lo que tendremos que operar ahora
00:04:24
al final no deja de ser un ejercicio de operatividad algebraica
00:04:27
que tampoco es que aporte demasiado
00:04:32
más allá de que tenemos mucha probabilidad de equivocarnos
00:04:35
voy a permitirme sacar el factor común de menos 8x menos 12
00:04:37
voy a sacar un factor común menos 4
00:04:42
y quedaría menos 4 por 2x más 3.
00:04:45
Y de esta manera ya puedo identificar lo que quiero sacar o lo que puedo sacar más bien
00:04:56
como factor común para simplificar un poco las cosas.
00:05:00
Este menos 4, un x al cuadrado menos 2, es decir, de aquí saco un menos 4,
00:05:02
quedaría menos entonces, y este x al cuadrado menos 2.
00:05:08
Así que sacando ese factor común para facilitar un poquito las cosas,
00:05:13
menos 4 por x al cuadrado menos 2
00:05:15
quedaría multiplicando a
00:05:19
2x más 3
00:05:20
el otro x al cuadrado menos 2
00:05:25
recuerdo que saca un menos 4
00:05:28
por tanto aquí tendríamos que poner un menos
00:05:29
x que multiplicaría al 4 que teníamos por ahí
00:05:31
x al cuadrado más 3x más 2
00:05:35
partido de x al cuadrado menos 2 elevado al cuadrado
00:05:39
a la cuarta, perdón
00:05:43
cuidado porque aquí se me ha olvidado poner el cuadrado del de abajo
00:05:44
este va a la cuarta
00:05:47
así que, venga, vamos a intentar simplificar
00:05:48
no va a simplificar, sino reducir términos semejantes arriba
00:05:52
esto es
00:05:54
venga, multiplico todo lo que se pueda
00:05:56
voy a hacerlo por orden
00:05:59
vale, con esto
00:06:03
con esto reducimos los términos semejantes del numerador
00:06:29
y quedarían 2x al cubo
00:06:35
menos 4x al cubo serían
00:06:38
menos 2x al cubo, voy a ir tachándolos para no contarlos un par de veces
00:06:39
3 menos 12 son 9x al cuadrado
00:06:43
en x tendría 12x
00:06:48
y menos 6. Vale, como procedimiento
00:06:52
estándar, pues igualaríamos esto a 0 y las raíces
00:06:59
del numerador son las que hacen que la segunda derivada sea 0. Esta recuerdo que es la segunda derivada
00:07:03
de la función que estamos analizando. Si igualamos esto a 0, aquellos puntos
00:07:07
en los que la segunda derivada se anule, son candidatos a ser puntos de inflexión
00:07:11
y para que lo sean, la tercera derivada tendría que ser distinta de cero.
00:07:17
Como ya la función ya la he dibujado y esto solamente es un ejemplo,
00:07:22
además es un ejemplo que no está preparado para buscar puntos de inflexión,
00:07:25
entonces el punto que nos pueda salir o el punto de inflexión que nos debería salir
00:07:30
no tiene por qué ser un número entero ni un número fácil de calcular.
00:07:34
Entonces, el numerador igual a cero, la primera posibilidad es que x sea igual a raíz de 2.
00:07:38
Pero yo sé que en raíz de 2 y en menos raíz de 2, que es lo que anularía el primer factor,
00:07:45
este primer factor se anularía en raíz de 2 y en menos raíz de 2.
00:07:49
Ese primer factor no me interesa porque yo sé que ahí están las asíntotas.
00:07:53
Así que voy a analizar únicamente las raíces que me saldrían de igualar a cero el segundo factor.
00:07:58
Esto es. Vale. Bueno, me puedo ahorrar el signo menos porque la raíz la puedo calcular también cambiando de signo a todo. Así que de aquí obtendría las x que serían candidatas a ser punto de inflexión. Vale.
00:08:03
Como decía antes, este ejercicio no está preparado para calcular puntos de inflexión y puede salir cualquier cosa de aquí.
00:08:26
Y esto es una ecuación de tercer grado que no es precisamente fácil de calcular.
00:08:31
Entonces, para no gastar tiempo en intentar hacer un Ruffini, intentar buscar por algún teorema alguno de los puntos entre los que cambia de signo,
00:08:36
voy a hacerlo con la máquina. Voy a meter directamente esta función en GeoGebra.
00:08:51
Y GeoGebra me va a calcular cuáles son las raíces.
00:08:56
Ya digo que esto no es un ejercicio preparado para hacer esto.
00:09:02
En un ejercicio de eva1 no va a salir un ejercicio como este.
00:09:04
Es imposible hacer este cálculo en un tiempo razonable.
00:09:07
Saldrá un ejercicio en el que será un poquito más sencillo hacer el cálculo de las raíces del polinomio o del que nos pongan.
00:09:10
Entonces, yo voy a hacer la representación para que GeoGebra me calcule cuáles son las raíces.
00:09:17
Vale.
00:09:36
Fijaos que la función, la que estoy representando, la que quiero saber cuáles son sus soluciones,
00:09:37
esta función que está representada en azul, tiene solamente una raíz.
00:09:46
Es decir, un solo corte con el eje X.
00:09:51
Una sola posibilidad de que la Y sea igual a cero.
00:09:54
Ya digo que GeoGebra nos lo permite calcular.
00:09:58
Seleccionamos esta opción y pinchamos en la función de la cual queremos calcular las raíces.
00:10:00
y fijaos que este punto no es fácil de calcular
00:10:04
pone menos 2,68
00:10:08
no es un punto que podamos calcular fácilmente
00:10:09
no es un número entero
00:10:11
no es un número racional fácil
00:10:12
entonces digamos que el cálculo
00:10:16
haciendo un poquito de trampa
00:10:21
la única x que existiría como raíz
00:10:22
para este polinomio sería menos 2,68
00:10:27
y es precisamente en esa x
00:10:31
donde vamos a encontrar el punto de inflexión
00:10:33
de la función original que estábamos analizando
00:10:36
que es la función de color verde
00:10:38
si yo represento esta función
00:10:39
bueno, represento, si
00:10:42
la pongo, es decir
00:10:44
si la dibujo, a esta la he llamado
00:10:46
a, veis
00:10:50
sería esta, esta de aquí no sé que es lo que ha hecho
00:10:58
voy a borrarlo
00:11:00
veis, justamente este punto
00:11:01
la intersección
00:11:04
que también voy a pintarla
00:11:06
justamente este punto que es
00:11:07
A ver si lo puedo hacer. Entre esta y esta. Este punto B es precisamente el punto de inflexión que se calcularía, como ya he dicho, igualando a cero y comprobando la segunda derivada y comprobando que la tercera es distinta de cero.
00:11:12
Como eso es un cálculo prácticamente imposible ahora mismo con esta función, con este polinomio, vemos que la única x es menos 2,68.
00:11:29
Si hiciéramos la tercera derivada y le aplicáramos este punto, veríamos que es distinta de 0.
00:11:41
A ver, hacer la tercera derivada aquí es un dolor, con lo cual no lo vamos a hacer.
00:11:47
Lo único que quería comprobar es que realmente, siguiendo los pasos, podríamos hacer el cálculo, aunque en este caso algebraicamente, por su dificultad, sea difícil hacerlo de una manera sistemática.
00:11:50
Pero lo que sí que comprobamos es que existe ese punto de inflexión porque si representamos la segunda derivada y buscamos los cortes con el eje x, es decir, los ceros de esa función, vemos que justamente caen en este punto que es donde consideramos, no consideramos sino es que realmente ocurre ahí, que la función verde cambia de curvatura.
00:12:01
En ese punto veis donde la función verde cambia de curvatura. Un ejercicio de curvaturas, que sea específico para calcular curvaturas y puntos de inflexión, no es este. Sería algo un poquito más sencillo de calcular la segunda derivada, como se pueden ver en ejemplos que tenéis en el libro y que ya os he indicado que hagáis.
00:12:23
vale, bueno pues como esto había quedado a medias
00:12:44
lo colgaré como un anexo, un añadido
00:12:47
al vídeo del
00:12:49
de la hora que correspondía
00:12:49
y podéis consultarlo
00:12:52
vale, venga pues nada
00:12:54
terminamos aquí el vídeo
00:12:56
- Subido por:
- Juan R.
- Licencia:
- Todos los derechos reservados
- Visualizaciones:
- 14
- Fecha:
- 19 de marzo de 2024 - 20:59
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
- Duración:
- 12′ 59″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 249.05 MBytes