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SDSIÓN 7 - ÁLGEBRA 2 - Contenido educativo

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Subido el 2 de febrero de 2026 por M.purificación G.

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Se presentan la división de monomios, también entre polinomios, la Regla de Ruffini, Teorema de Factor y del resto.

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Bienvenidos a la sesión número 7 de la segunda evaluación de matemáticas del nivel 2 de secundaria. 00:00:01
Hoy abordaremos algunos conceptos nuevos sobre polinomios. 00:00:08
Antes de nada, recordaros que la fecha de examen es el 18 de febrero a las 18 de la tarde en el aula 6. 00:00:14
Al acabar esta sesión, tendremos que haber conseguido entender, para después practicar, 00:00:22
cómo dividir monomios, cómo dividir polinomios entre monomios y en este caso, en este segundo 00:00:28
objetivo, entender la regla de Ruffini que nos sirve para dividir un polinomio entre 00:00:34
un binomio del tipo x menos a y también averiguar el resto de una división antes de realizarla 00:00:42
y esto nos lo va a permitir el teorema del resto y el teorema del factor. Más objetivos 00:00:50
es entender qué es la raíz de un polinomio muy relacionado con el polinomio factor de otro 00:00:56
polinomio, cómo se dividen polinomios entre sí y cómo se factorizan polinomios. Empecemos por el 00:01:03
principio. Dividir monomios. Pues dividimos los coeficientes y la parte literal por otro lado, 00:01:11
restando sus exponentes. Eso sí, como pone en la diapositiva, para poder dividir, el dividendo tiene que tener 00:01:20
las mismas variables que el divisor y exponentes mayores o iguales. Si no, esa división no va a poder hacerse 00:01:31
para obtener un polinomio 00:01:39
aquí tenéis un ejemplo 00:01:42
yo si puedo 00:01:45
dividir estos monomios 00:01:48
8 entre 4 es 2 00:01:50
y al restar 00:01:52
los exponentes 00:01:54
de cada componente 00:01:55
de las variables 00:01:58
obtenemos 00:01:59
2x y cubo z cubo 00:02:01
es un monomio 00:02:04
pero que ocurre si yo tengo que dividir 00:02:05
21x cubo entre 7x y cuadrado z cubo, como la y del dividendo, su exponente es 1, 00:02:08
y aquí el divisor, la letra y, tiene exponente 2, tú esto no lo puedes dividir, y aquí hay z. 00:02:18
Esto de aquí no es un monomio, es una fracción algebraica, como pone en la diapositiva. 00:02:28
Vamos a dividir ahora polinomios entre monomios 00:02:36
Tú imagínate que tienes un polinomio 00:02:40
Siempre que se pueda, ¿vale? 00:02:42
Como acabamos de ver 00:02:43
Si yo tengo aquí este polinomio P 00:02:44
Y el monomio, el divisor, es 4x 00:02:45
Tú divides 16 entre 4 00:02:48
¿Cuánto es x a la cuarta entre x? 00:02:51
Restas sus exponentes 00:02:53
Y continúas 00:02:55
¿Cuánto es menos 12 entre 4? 00:02:57
Y la x que exponente le corresponde 00:02:59
2 que es 3 menos 1 00:03:05
y por último 8x cuadrado entre 4x 00:03:06
será 2 00:03:09
aquí hay un error chavales, perdonad 00:03:12
es un 2, vale, perdón 00:03:14
ok, si yo quisiera 00:03:16
dividir de esta manera 00:03:19
aquí va a haber un error, este cociente no es un polinomio 00:03:20
este 4 es un 2 00:03:23
vale, vamos a arreglarlo 00:03:25
ya mismo 00:03:27
si me lo permite la aplicación 00:03:28
esto de aquí es 00:03:32
un 2 00:03:34
2, x, perdonad. Y aquí tampoco nos corresponde un 4. ¿Qué te corresponde? Un 2, ¿vale? Arreglado. 00:03:36
Vale, vamos al objetivo número 2, 1. ¿Qué es Ruffini y cómo se arregla? ¿Cómo se aplica? 00:03:49
Primero, Ruffini es Paolo Ruffini, matemático, médico italiano, y se le ocurrió una regla para obtener polinomios cocientes. 00:03:57
Siempre que el divisor fuera del tipo x más un número o menos un número. 00:04:09
Aquí tenemos un ejemplo. 00:04:14
Si yo quiero dividir este polinomio, se llama polinomio dividendo, entre x menos 2, ¿veis que esto es menos 2? 00:04:16
Pues aquí escribo 2. 00:04:24
¿Veis los coeficientes de este polinomio? 3, menos 4, 1 y 3. Los coloco aquí. 00:04:28
El primer número no haces nada con él, lo dejas como está. Ahora multiplica 3 por 2 es 6 y lo colocas ahí. ¿Cuántos menos 4 más 6? 2, lo escribes. ¿Cuántos 2 por 2? 4, lo coloco aquí. 00:04:35
Y ahora tú sigues sumando, 1 más 4 es 5, 5 por 2 es 10, y al sumar 3 más 10, esto de aquí es el resto, y que es 3, 2 y 5, los coeficientes del polinomio cociente, ¿vale? 00:04:52
y el resto es este número. 00:05:12
Pasemos a este. 00:05:15
Yo os he puesto un polinomio P en el que le falta un término, 00:05:16
exactamente el de grado 2. 00:05:21
Entonces, yo los coeficientes que veo son, 00:05:23
para el polinomio dividiendo 6, menos 2, 0, porque no existe, 00:05:27
0, 4 y menos 5, y lo colocas aquí. 00:05:32
Como esto es x más 2, tú aquí vas a colocar siempre 00:05:36
el número con signo cambiado. 00:05:40
¿Por qué? Porque x menos 2 00:05:43
es la raíz del 00:05:45
polinomio divisor. 00:05:46
Menos 2 más 2 es 0. 00:05:48
Entonces, acuérdate, acabamos de explicar. 00:05:50
El 6 lo dejas caer, 00:05:52
tal cual. 6 por menos 2 00:05:54
es menos 12, y esta columna 00:05:56
las vamos a sumar siempre. Esto es menos 14, 00:05:58
tú multiplicas, te queda 00:06:01
28. 0 más 28 es 28. 00:06:02
28 por menos 2 00:06:05
es menos 56. 00:06:07
Lo anotas aquí debajo, tú sumas, te queda menos 52, esto es 104. 00:06:08
Pues anda, que estamos bien. 00:06:14
Y no es 91, por favor, es 99. 00:06:15
Vale. 00:06:20
Entonces, el resto es 99 y tu polinomio cociente lo da estos números, que son los coeficientes. 00:06:21
Grado 0, término independiente, grado 1, por eso la x, grado 2, por eso x cuadrado, y esto es x cubo. 00:06:34
Date cuenta, salíamos de un polinomio dividendo de grado 4, al dividirlo entre un divisor de grado 1, 00:06:43
se reduce una unidad, es exponente. 00:06:49
Vale, ¿cómo se puede averiguar el resto de una división antes de realizarla? 00:06:53
Pues para eso está el teorema del resto o el teorema del factor, que viene a ser casi lo mismo. 00:06:57
Para eso necesitamos primero definir el valor numérico y la raíz de un polinomio. 00:07:03
¿Qué es el valor numérico de un polinomio? 00:07:09
Un número que se obtiene al sustituir la variable por valores numéricos, por números. 00:07:11
Por ejemplo, yo te digo, oye, necesito que hayas el valor numérico de este polinomio para x2. 00:07:16
Bueno, pues donde está la x, tú quitas la x y la sustituyes por 2. 00:07:22
¿Cuánto es p para el valor 2? 00:07:27
Pues quito la x, pongo 2, pongo 2, tú operas esto y te queda 192. 00:07:29
Muy bien, ¿cómo se lee? El valor numérico del polinomio P para x igual a 2 es 192. 00:07:34
Ok, pues si yo quiero dividir, bueno, lo veremos, pero si yo quiero dividir este polinomio P entre x, como estos dos, x menos 2, 00:07:41
el resto de la división va a ser 192. Lo veremos en la diapositiva siguiente. 00:07:50
Vamos a calcular ahora el valor numérico del polinomio R para x menos 2 00:07:55
Bueno, pues aquí pondríamos polinomio R, un menos y donde está la x, yo quito la x y pongo menos 2 00:08:02
Cuando yo opero esto, me queda 0 00:08:13
Bueno, pues cuando el valor numérico de un polinomio para el valor, por ejemplo, menos 2 o cualquier otro valor 00:08:17
El valor numérico es 0, se dice que x menos 2 es una raíz del polinomio r de x, ya que su valor numérico para x igual a menos 2 es nulo. 00:08:24
Repetimos, si el valor numérico es 0, el valor por el que tú sustituiste es una raíz del polinomio. 00:08:38
Vamos a seguir andando aquí. 00:08:49
el valor numérico de un polinomio P para X igual a A es el resto de la división. 00:08:50
Y la demostración es muy fácil. 00:08:57
CX es el polinomio cociente. 00:09:00
Entonces, cuando yo divido un polinomio entre X menos A y el resto, lo llamo R, 00:09:03
¿os acordáis de la regla de la división? 00:09:08
Si yo divido 8 entre 3, 00:09:10
8 entre 3, 00:09:16
bueno 00:09:19
entre 3 00:09:20
a mi me quedaría 00:09:23
y el resto 00:09:26
2 por 3 es 6 00:09:27
hasta el 8, 2 00:09:30
vale, entonces 00:09:33
8 es igual 00:09:36
al divisor 00:09:38
por el cociente 00:09:40
más el resto 00:09:42
esta es la prueba de la división que nos enseñaron de chiquitines 00:09:43
por 2 00:09:47
Divisor por cociente 00:09:49
Más el resto 00:09:52
Como veis 00:09:55
3 por 2 es 6 más 2 es 8 00:09:56
Eso es lo que está escrito aquí 00:09:58
Pero con polinomios 00:10:01
Si tu x 00:10:03
Es a 00:10:04
Te quedará 00:10:06
Esta es la prueba de la división para polinomios 00:10:07
Que es lo mismo que lo de los números que te acabo de contar 00:10:10
Entonces sustituyes la x por a 00:10:12
Anda 00:10:15
A menos a se cancela 00:10:15
Entonces te queda que P de A 00:10:17
El valor numérico del polinomio para X igual a A es el resto 00:10:19
Ya lo tienes demostrado 00:10:24
Averigua el resto, un ejemplo 00:10:25
Averigua el resto de la división R de X entre D de X 00:10:27
Dices, ¿qué es esto? 00:10:30
Pues si tú divides aquí, este es R 00:10:31
Este, sí, cuidado 00:10:34
Si el divisor es X más 2 00:10:37
Tú tienes que probar con menos 2 00:10:39
Eso es un menos 00:10:42
Menos 2 lo sustituyes y te queda 0 00:10:43
Que has encontrado 00:10:45
una raíz del polinomio, y también decimos que el polinomio x más 2, el divisor, es un factor del polinomio r, 00:10:47
porque el resto era 0, la división es exacta. 00:10:59
Muy bien, aquí tenéis otro ejemplo. 00:11:05
¿A qué llamamos raíz de un polinomio? 00:11:08
Por lo tanto, pues al valor de la variable que anula el valor numérico del polinomio. 00:11:11
El teorema fundamental del álgebra lo tenéis aquí delante. 00:11:17
Un polinomio de grado n puede tener como máximo n raíces reales. 00:11:21
No vamos a hablar de números imaginarios para no liaros. 00:11:27
Muy bien, pues vamos a pasar a algo mucho más sencillo y divertido. 00:11:30
¿Cómo se dividen polinomios entre sí? 00:11:34
Primero, aquí se dividen monomios de esta manera. 00:11:36
Así se multiplica. 00:11:39
Y luego sumamos términos semejantes. 00:11:42
Bueno, ok. Vamos a ver, si yo tengo este polinomio dividendo entre este polinomio divisor, lo primero, si me falta un término, pongo un cero. Es fundamental. Aquí hay que ser muy, muy ordenados. 00:11:43
Lo primero que hacemos es dividir 6x a la cuarta entre 2x al cuadrado. 3x al cuadrado. Has dividido coeficientes y has restado exponentes. 00:11:56
Ahora, 3x al cuadrado lo multiplicas por cada término del divisor y lo pones debajo con el signo cambiado, porque tú vas a sumar, sumas y te queda esto, este es un polinomio, resto, pero vamos a continuar hasta que el exponente sea menor que el exponente, o sea, los grados, el grado de este polinomio menor que este, ¿vale? 00:12:08
Si tú divides 8x al cubo entre 2x al cuadrado, siempre los de mayor grado los tienes que dividir, te queda 4x. 00:12:34
Tú multiplicas 4x por cada uno de estos términos, obtienes este polinomio. 00:12:42
Ahora, cambiado de signo, por favor, muy importante. 00:12:48
Tú lo sumas, te queda esto. 00:12:52
Puedes seguir dividiendo, claro, porque son del mismo grado. 00:12:54
¿Cuánto es menos 4x cuadrado entre 2x cuadrado? 00:12:57
Menos 2. 00:13:01
El menos 2 multiplica siempre, ¿verdad? 00:13:02
A los términos del polinomio divisor 00:13:05
Lo colocas aquí y sumas 00:13:08
Y aquí se acaba la división 00:13:11
Este es el polinomio resto 00:13:13
¿Y por qué no puedo dividir? 00:13:14
Porque x menos 14x más 4 00:13:16
Su grado es 1 y el divisor tiene grado 2 00:13:19
Se acabó, no puedes 00:13:22
¿Cómo se factorizan polinomios? 00:13:23
Mira, hay que buscar expresiones más sencillas 00:13:26
De manera que al multiplicarlos te quede el polinomio origen. 00:13:30
¿Qué estrategias contamos? 00:13:34
Por ejemplo, sustituir su desarrollo por su producto notable. 00:13:36
Aquí tenéis tres ejemplos. 00:13:40
Si yo veo esto desarrollado, digo, uy, qué lío. 00:13:42
Ninguno, identidades o productos notables. 00:13:45
¿Vienes para acá? 00:13:48
Otra herramienta. 00:13:50
Sacar factor común. 00:13:52
Dices, no entiendo. 00:13:53
Mira, los polinomios que no tienen término independiente 00:13:54
hay que usar siempre sacar factor común, 00:13:58
que es lo contrario de la propia distributiva. 00:14:00
Aquí ves que el 3, el menos 24 y el 48 son múltiplos de 3, pues sácate el 3. 00:14:03
¿Todo tiene x? x cubo, x cuadrado. Pues ya está, has sacado factor común máximo, 3x. 00:14:09
Y ahora, ¿esto dónde viene? Pues tú te vas preguntando, 00:14:16
si yo divido 3x cubo entre 3x, ¿qué obtengo? x cuadrado. 00:14:19
Y menos 24x cuadrado entre 3x, menos 8x, y 16. 00:14:23
Otra forma de verlo es, si yo al multiplicar 3x por algo, 00:14:31
tengo que tener 3x al cubo, pues tengo que poner x cuadrado, 00:14:35
y así sucesivamente. 00:14:40
Y luego dices, ¡ay, pero esto es una identidad notable! 00:14:41
Pues la pones. 00:14:44
¿Vale? Aquí tenéis otro ejemplo. 00:14:46
¿Cuál es el factor común de 6, menos 12 y 24? 00:14:48
4, 6. ¿Cuál es el menor exponente de la x? El 2. Pues ya lo sacas. 00:14:51
Y aquí tienen que ser términos de un polinomio, que al multiplicarlo por 6x al cuadrado, te queda el principio. 00:14:59
Ahora, otra herramienta muy útil. Si el polinomio tiene término independiente, no nulo, procedemos del siguiente modo. 00:15:06
Por favor, esto es muy importante. Buscas una raíz entera entre los divisores del término independiente. 00:15:14
Hay que buscarla. En cuanto se haya encontrado una raíz, por el teorema del factor o del resto, tú pasas a aplicar Ruffini y tienes un polinomio cociente. 00:15:19
Si el polinomio cociente tiene más raíces, tienes que ir repetitivamente a hacer este proceso. 00:15:36
Aquí tenéis un ejemplo, ¿vale? Mira, los divisores de 4 son más menos 1, más menos 2, más menos 4, entonces nosotros hacemos el teorema del factor hasta dar con un valor numérico 0. 00:15:43
Aquí, como está preparado, se le desarrolla de maravilla, si no, tú tendrías que probar con otros divisores, ¿vale? 00:15:59
Si es de grado 3, lo siguiente es hacer Ruffini. Si es de grado 4, ¿qué consejo te doy? Busca dos raíces y si es de grado 5, busca tres para después hacer Ruffini fácilmente. 00:16:06
Entonces, pongo aquí los coeficientes del polinomio, aplico para x igual a 1, que ya sé que el resto es cero, y mira lo que te ha quedado. 00:16:19
1, 0, menos 4 00:16:28
0 es el resto, ya lo sabías 00:16:29
por el teorema del factor 00:16:32
menos 4 es el teorema independiente 00:16:33
este es de grado x y este es de grado 2 00:16:35
y aquí lo tienes, aquí lo puedes 00:16:37
ya está, factorizado 00:16:39
¿de acuerdo? 00:16:41
x cuadrado menos 4 00:16:46
viene del producto de una suma por una diferencia 00:16:47
¿cuál es la raíz de x cuadrado? 00:16:50
x y de 4, 2 00:16:52
entonces puedes directamente sacar esto 00:16:53
¿vale? 00:16:55
aquí hay más ejemplos 00:16:56
Sácate el factor común a x 00:16:59
Descompón por el teorema del factor esto 00:17:01
Ves que 1 y menos 1 00:17:04
No son raíces 00:17:06
Pero 2 sí 00:17:08
Pues luego vas a hacer Ruffini 00:17:09
Acuérdate, saca el factor en este caso 00:17:11
Saca el factor común porque no tienes 00:17:13
Termino independiente 00:17:16
Después, ya lo tengo con termino independiente 00:17:16
Pues hago el teorema del factor 00:17:19
Y hago Ruffini 00:17:21
¿De acuerdo? 00:17:23
Si sabéis hacer ecuaciones de segundo grado 00:17:25
También podéis aplicarla aquí 00:17:26
Pero como no lo hemos visto aún 00:17:27
Pues yo sigo por aquí 00:17:29
Y nada, aquí lo tendríais 00:17:30
Y dices, ¿y esto del 1 menos 3? 00:17:32
Que digo, x menos 3 00:17:34
Lo pones entre paréntesis 00:17:35
Muy importante los paréntesis, por favor 00:17:37
Aquí tenéis un tercer ejemplo 00:17:38
Como menos 1 00:17:41
Los divisores son 1 y menos 1 00:17:44
Pues tú pruebas 00:17:46
El 1 te... 00:17:47
Yo pondría siempre una rayita, ¿vale? 00:17:50
Es muy útil 00:17:52
Y aquí también 00:17:53
Hacer una cajita 00:17:54
1 menos 2, 1 00:17:56
tú puedes aplicar 00:17:58
el desarrollo de un cuadrado, un producto notable 00:18:00
y tendrías cuenta que es 00:18:03
x menos 1, entonces ves que la raíz 00:18:05
es 1, tú escribes x menos 1 00:18:07
por x menos 1 al cuadrado 00:18:09
anda, si tengo x menos 1 00:18:11
al cubo, pues lo escribes 00:18:13
vale, todas estas cosas se pueden 00:18:15
comprobar siempre, la factorización 00:18:17
es verdad que está bien hecha, multiplicas 00:18:19
y llegarías al polinomio que tenías que factorizar 00:18:21
bueno, esto es muy importante 00:18:23
que le echéis un vistacito 00:18:27
¿vale? recuerda 00:18:28
que puedes hacer todos los ejercicios de la unidad 00:18:30
de la unidad, esto está 00:18:32
es el libro de marea verde 00:18:34
y lo tienes, ahora te voy a colgar el documento 00:18:36
y verás que bien te va 00:18:39
os espero el día 18, el 11 00:18:40
no hay clase, esta es la última 00:18:42
si tenéis dudas, preguntad 00:18:44
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Educación de personas adultas
    • Niveles para la obtención del título de E.S.O.
      • Nivel II
Autor/es:
PURIFICACION GAYO REDONDO
Subido por:
M.purificación G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
2 de febrero de 2026 - 14:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES FRANCISCO DE QUEVEDO
Duración:
18′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
480.77 MBytes

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