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Ej Repaso Geo1 - Contenido educativo
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Hola, vamos a hacer este ejercicio en el que me dan una recta en implícitas, es decir, como intersección de dos planos
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y en el apartado A me piden calcular el plano que contiene a la recta y que pasa por el origen de coordenadas.
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Lo primero que tenemos que recordar, para calcular la ecuación o para calcular un plano necesitamos un punto
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que el punto ya lo tenemos porque nos dicen que pasa por el origen de coordenadas
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y necesitamos o bien el vector normal o bien dos vectores directores.
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Como me dicen que la recta R pertenece o está contenida en el plano pi, el vector director de la recta R será también uno de los vectores directores del plano pi, ¿vale?
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Por lo tanto, calculo, ¿vale? Está claro lo que acabo de decir, ¿verdad?
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Bien, pues entonces vamos a llamar v, que va a ser el vector director de la recta y también va a ser un vector director del plano pi.
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¿Cómo se calcula el vector director de una recta cuando viene dada en la forma implícita?
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Pues es el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de los planos
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El vector normal del primer plano es 2-1,0 por el vector normal del segundo plano que es 1,0,1
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Calculamos este producto vectorial, ponemos la i, jk, ponemos el primer vector, 2, menos 1, 0, el segundo vector, 1, 0, 1,
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y si desarrollamos directamente, ya voy a poner el resultado sin poner el i, jk, me va a dar menos 1, menos 2 y 1.
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Pues este es el vector director de la recta y por lo tanto va a ser también un vector director del plano.
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¿Cómo calculamos otro vector director del plano? Pues a ver, la forma de sacar un vector es a partir de dos puntos.
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Me dan un punto que pertenece al plano, el origen, y además, ¿qué es lo que vemos?
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Que el cero, el origen de coordenadas, no pertenece a la recta R, ¿vale?
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¿Y por qué lo sé? Porque si sustituimos en la ecuación primera cero menos cero menos cinco, no es cero, ¿vale?
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no cumple las dos ecuaciones, por lo tanto el punto o no pertenece a la recta.
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Pues ahora vamos a calcular un punto que sí que pertenezca a la recta y así ya tendríamos dos puntos en el plano
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que me dan un vector director. Entonces para calcular el punto a, ¿qué es lo que vamos a hacer?
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Vamos a escribir, como está dado en implícitas la recta, en la primera ecuación solamente tenemos x e y,
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En la segunda x y z pues vamos a dejarlo todo despejado en función de la x, por tanto la primera ecuación me queda que esto es igual a y igual a 2x menos 5, ¿vale?
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Y en la segunda la z la puedo despejar como 2 menos x.
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Y ahora para calcular las coordenadas del punto A lo más fácil es dar por ejemplo a la x el valor 0, siempre el valor más sencillo, ¿vale?
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si sustituyo en cada una de las ecuaciones, obtengo el valor de i que sería menos 5 y el valor de la z que sería 2.
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Y como ya tengo los dos puntos que pertenecen al plano, el o y el a, pues ahora tenemos el vector oa,
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que le voy a llamar por ejemplo el vector u, da lo mismo el nombre, que coincide justamente, sería a menos 0,
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es decir, las coordenadas 0, menos 5, 2, ¿vale? Pero ahora ya es un vector, y ahora ya lo tenemos todo, ¿quién va a ser, cuál va a ser la ecuación del punto del plano pi?
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Pues es el determinante de, tendríamos que poner x menos coordenada del punto, y menos coordenada del punto, z menos coordenada del punto,
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que en este caso como es el origen es 0, 0, 0, ponemos uno de los vectores directores, menos 1, menos 2 y 1 y el segundo vector director que es 0, menos 5, 2.
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Y la ecuación viene dada por este determinante igual a 0.
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Desarrollamos el determinante y me queda menos 4x más 5z, 0, 0, más 2y, más 5x, igual a 0.
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Por lo tanto, el plano pi tiene por ecuación, operamos, 5x menos 4x es x, más 2y más 5z igual 0, ¿vale?
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Este es el plano que buscamos del primer apartado.
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Para el apartado b, voy a subir un poco, me piden la recta perpendicular a pi que pasa por el punto 1, 0, 1, ¿vale?
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es decir, me piden que calcule una recta, vamos a llamarla S, que tiene que ser perpendicular a pi
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y además el punto 1, 0, 1 pertenece a mi recta S.
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Pues a ver, si S y pi son perpendiculares, eso quiere decir que el vector normal de pi es un vector paralelo a S.
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por lo tanto el vector director de mi recta S le voy a llamar Vs
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que va a ser el vector normal del plano pi
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que es 1, 2, 5
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por lo tanto ¿cuál va a ser la ecuación?
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como no me especifican el tipo de ecuación
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la voy a poner en la forma continua que es el más fácil
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¿y cuál sería la ecuación de la recta S?
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Pues S vendría dada por x menos el punto que es 1 partido por 1, coordenada y, x del vector, igual a y menos 0 partido por 2, igual a z menos 1, que es la coordenada z, entre 5.
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Y esta sería la recta S.
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Cuando no te piden tipo de ecuación lo podemos dar como queramos, no haría falta operar más, lo podríamos dejar así.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- Fecha:
- 20 de abril de 2026 - 0:47
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 22″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 15.63 MBytes