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Trigonometría plana I. Teorema de Pitágoras - Contenido educativo
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Vamos a empezar el primer capítulo de trigonometría plana, que es el teorema de Pitágoras.
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Todos conocéis ya el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo,
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es decir, aquel que tiene un ángulo de 90 grados formado por dos semirrectas perpendiculares,
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en este triángulo rectángulo, la hipotenusa, es decir, el lado más largo,
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el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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de los otros dos lados. Esto se cumple siempre en todos los triángulos rectángulos. El cuadrado
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de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Llamamos ternas
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pitagóricas a aquellos números enteros positivos que cumplen el teorema de Pitágoras, es decir,
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que pueden formar un triángulo rectángulo cuyos lados midan la hipotenusa C y los dos
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catetos A y B. Si hay tres números que cumplen el teorema de Pitágoras, esta ecuación,
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se dice que esos tres números forman una terna pitagórica. Aplicación práctica del
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teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en un triángulo equilátero calcular el área de
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este triángulo cuyo lado mide 5 cm. Si nosotros tenemos un triángulo equilátero, podemos
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trazar una de las alturas sobre uno de los lados y formaremos dos triángulos rectángulos
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iguales. De tal manera que el lado del triángulo equilátero será la hipotenusa de ese triángulo
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rectángulo que hemos formado, la mitad del lado, 2,5, será otro de los catetos y la
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altura será el otro cateto. Es decir, tenemos un triángulo rectángulo donde conocemos
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la hipotenusa y uno de los catetos. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa
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al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado. Ahí podemos despejar uno de
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los catetos, que en nuestro caso es la altura, que es el dato que desconocemos. Lo despejamos,
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hacemos la raíz y sacamos cuánto mide la altura. Y ya podemos calcular el área, porque
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el área de un triángulo es base por altura partido de 2, es decir, base, el lado, es 5,
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altura, que es la que hemos calculado con el teorema de Pitágoras, dividido entre 2.
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Y sacaríamos los 13,975, que son centímetros cuadrados, porque estamos calculando el área.
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Otra aplicación práctica, pues calcular el perímetro de un rombo de diagonales 5 y 8 centímetros.
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Si dibujamos el rombo, dibujamos las diagonales, vemos que éstas dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales.
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Y de igual manera que ocurría antes, el lado del rombo es la hipotenusa de ese triángulo rectángulo que se forma, la mitad de una diagonal sería uno de los catetos, la mitad de la otra diagonal sería el otro cateto.
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Entonces, aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras, la hipotenusa al cuadrado, es decir, el lado del rombo al cuadrado sería igual a la suma de las dos semidiagonales,
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es decir, la mitad de la diagonal, 2,5 al cuadrado, más la otra diagonal, la mitad al cuadrado, y sacamos el lado al cuadrado.
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Haciendo la raíz cuadrada, tenemos el lado. Y ya podríamos calcular el perímetro multiplicando este lado, este valor, por 4, puesto que el perímetro es la suma de los cuatro lados del rombo.
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Otra aplicación práctica, calcular la diagonal del ortoedro de lados 3, 4 y 7 centímetros.
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Aquí, si nos fijamos, la diagonal que nos están pidiendo es la de un vértice al vértice opuesto.
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y está formada por un triángulo, si lo vemos aquí, estamos formando un triángulo rectángulo
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con la altura, o sea, este lado de aquí, del ortoedro, y con la diagonal de la base.
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Para calcular la diagonal de la base nos damos cuenta de que esto de aquí es otro triángulo rectángulo,
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con lo cual podemos calcular la diagonal de la base aplicando el teorema de Pitágoras con los lados de la base.
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Una vez que tenemos esta diagonal, calculamos la diagonal grande, la diagonal del ortoedro, siendo esta la hipotenusa del nuevo triángulo rectángulo, la diagonal pequeña uno de los catetos y este lado de aquí el otro cateto.
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Con lo cual nos quedaría que la diagonal al cuadrado grande es igual a este lado de aquí al cuadrado más la diagonal pequeña al cuadrado y esta ya habíamos calculado que era este lado al cuadrado más este lado al cuadrado.
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Es decir que la diagonal del ortoedro es la suma de los tres lados que forman sus aristas. Para hacer la diagonal finalmente hacemos la raíz cuadrada.
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- M.carmen G.
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- 17 de marzo de 2020 - 16:20
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