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AL3. 3. Criterio de compatibilidad - Contenido educativo

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Subido el 8 de septiembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:18
de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy 00:00:23
estudiaremos el criterio de compatibilidad. En esta videoclase vamos a estudiar el criterio 00:00:32
de compatibilidad. Os recuerdo que en la primera videoclase de introducción de la unidad 00:00:50
decíamos que íbamos a distinguir sistemas incompatibles, aquellos que no tienen solución, 00:00:55
de compatibles, aquellos que sí tienen solución. 00:01:00
Y en un siguiente paso, los sistemas compatibles, a su vez, 00:01:03
se iban a dividir en sistemas compatibles determinados, aquellos que tienen solución 00:01:07
y esta solución es una única, y sistemas compatibles indeterminados, 00:01:10
aquellos que tienen solución, tienen más de una solución y de hecho tienen infinitas soluciones. 00:01:15
Bien, el teorema de Rousseff-Rovenius nos habla de la compatibilidad. 00:01:21
Nos da un criterio para poder decidir si un sistema de ecuaciones tiene o no tiene solución. 00:01:26
Y es que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz de coeficientes ampliada. 00:01:32
En cualquier otro caso, si el rango de la matriz de coeficientes y la matriz de coeficientes ampliada no coincide, lo que tenemos es un sistema incompatible. 00:01:42
El teorema de Rousseff-Rovenius, en sentido estricto, nos habla de compatibilidad, el sistema es compatible o no. 00:01:51
No obstante, no sólo utilizando los rangos de m y m estrella, la matriz de coeficientes y la matriz de coeficientes ampliada, 00:01:57
sino además comparando con n el número de incógnitas, podemos encontrar un criterio para discutir las soluciones, 00:02:04
el número de soluciones de un sistema de ecuaciones. 00:02:12
De hecho, si un sistema de ecuaciones es compatible y tiene soluciones, podremos decidir si esa solución es única o bien si hay infinitas soluciones. 00:02:14
La idea es esta. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz de coeficientes ampliada y este número a su vez coincide con el número de incógnitas, 00:02:24
el sistema es compatible, puesto que estos rangos son iguales y eso nos lo garantiza el teorema de los sephrobenius, y además es un sistema compatible determinado. 00:02:34
tiene solución y esa solución es una única. 00:02:43
Si el rango de ambas matrices, la de coeficientes y la de coeficientes ampliada, 00:02:47
coinciden, el sistema es compatible por el teorema de Roche-Frobenius, 00:02:51
pero es menor que el número de incógnitas, 00:02:54
en ese caso tendremos un sistema que será compatible indeterminado. 00:02:57
Puede darse el caso en el que tengamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, 00:03:02
n va a ser igual a 3, el rango de m es 3, el de m estrella es 3, 00:03:07
ambos rangos son iguales a 3 00:03:11
el número de incógnitas, en ese caso 00:03:13
el sistema es compatible determinado. 00:03:15
Podría ser 00:03:18
que el rango de la matriz de coeficientes 00:03:19
y de la matriz de coeficientes ampliada fuera 00:03:21
2 iguales a 2 00:03:23
que va a ser menor que el número de incógnitas 00:03:25
que es 3. En ese caso 00:03:27
el sistema va a ser compatible, va a tener solución 00:03:29
indeterminado, va a haber infinitas 00:03:31
soluciones. Y la dimensión 00:03:33
del espacio de soluciones, como veis aquí, va a ser 00:03:35
n menos el rango de m. En este ejemplo 00:03:37
que os acabo de contar, 3 menos 2 00:03:39
igual a 1, lo que va a ocurrir es que una de las incógnitas, una de las tres, no va a estar 00:03:41
determinada y dependiendo de los infinitos valores que pudiera tomar esa incógnita tendremos infinitas 00:03:46
soluciones. Y cuando hablo de la dimensión del espacio de soluciones 3 menos 2 igual a 1 me 00:03:52
refiero precisamente a eso, hay una incógnita que no podremos determinar. Otra posibilidad sería que 00:03:58
el rango de m y el rango de m ampliada ambos fueran igual a 1, iguales, iguales a 1, menor que el 00:04:05
número de incógnitas, que es 3. Estamos como antes, tenemos un sistema 00:04:10
compatible, los rangos coinciden, el teorema de Roche-Frobenius garantiza que el sistema 00:04:14
es compatible, pero el sistema es compatible indeterminado, tenemos 00:04:18
infinitas soluciones. En este caso, fijaos, las dimensiones 00:04:21
del espacio de soluciones serían n menos el rango de m, 00:04:26
3 menos 1 igual a 2. En este caso lo que estaría ocurriendo es que 00:04:30
no hay una sino dos incógnitas que no se podrían determinar. 00:04:34
Tendríamos, por ejemplo, z perteneciente a r e y perteneciente a r. 00:04:38
Podemos elegir tanto y como z de una forma arbitraria y podremos determinar el valor de x que le corresponde. 00:04:43
Cuando digo que la dimensión del espacio de soluciones es igual a 2, 3 menos 1 igual a 2, me refiero precisamente a esto. 00:04:51
Va a haber dos incógnitas que no se van a poder determinar y que tomarán valores arbitrarios. 00:04:56
En cualquier otro caso, si el rango de m es menor que el rango de m ampliada, el sistema va a ser incompatible y no va a tener solución. 00:05:02
Fijaos que el rango de M tiene que necesariamente ser menor o igual que el rango de M estrella, la matriz de coeficientes ampliada, puesto que M es una submatriz de M ampliada. 00:05:09
Fijaos, recordad, M ampliada se formaba añadiendole a la matriz de coeficientes una columna extra, que es la columna de los términos independientes. 00:05:19
Así pues, el rango de M siempre va a ser menor o igual que el rango de la matriz de coeficientes ampliada. 00:05:27
Si es menor, estrictamente menor, el teorema de los Sheffrovenius garantiza que el sistema es incompatible. 00:05:32
si son iguales, este teorema garantiza que el sistema va a ser 00:05:37
compatible, va a tener solución. Si los rangos 00:05:41
coinciden y son iguales al número de incógnitas, el sistema 00:05:44
será compatible determinado, habrá una única solución 00:05:47
nos encontramos ante un sistema de Cramer que podremos 00:05:50
resolver, por ejemplo, con cualquiera de los métodos que vimos en la videoclase 00:05:53
anterior. En el caso en el que los rangos coinciden 00:05:56
pero son menores que el número de incógnitas, habrá una 00:05:59
o dos incógnitas o más. En el caso general 00:06:02
posiblemente que no podremos determinar, tomarán valores reales 00:06:05
y sí podremos determinar, dar expresiones algebraicas para todas las demás 00:06:09
en función de éstas. Con esto que acabamos de ver 00:06:13
ya se puede resolver este ejercicio en el cual se nos pide estudiar 00:06:17
la compatibilidad y el número de soluciones de estos dos sistemas 00:06:21
de ecuaciones lineales. Primero estudiar la compatibilidad y el número de soluciones 00:06:25
más adelante los resolveremos en función de cómo fueran 00:06:29
Si el sistema es incompatible, evidentemente no lo resolveremos, puesto que no se puede resolver. 00:06:33
En el caso en el que sea compatible determinado, podríamos utilizar cualquiera de los métodos que vimos en la videoclase anterior del sistema de Kramer, 00:06:38
puesto que estaríamos ante un sistema de Kramer. 00:06:46
Si el sistema es compatible indeterminado, tendremos que utilizar otras técnicas que veremos en videoclases posteriores. 00:06:48
Resolveremos, como decía, este ejercicio en clase en videoclases posteriores. 00:06:54
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:06:57
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:07:07
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:07:12
Un saludo y hasta pronto. 00:07:17
Idioma/s:
es
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
8
Fecha:
8 de septiembre de 2024 - 19:00
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
07′ 45″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
18.66 MBytes

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