DT1.GP.U1.3.2 y 3.4_ Prop. Áurea. Ángulos

En la clase de hoy vamos a continuar con la unidad 1, de trazado fundamental y polígono y escalas. 00:00:00

Hemos estado viendo la proporcionalidad directa e inversa, hemos visto cómo se calcula la media proporcional, 00:00:06

cómo se calcula la tercera, cómo se calcula la cuarta proporcional y las aplicaciones para la raíz cuadrada, para el producto y para el cociente. 00:00:12

Y ahora vamos a ver, vamos a continuar con la proporcionalidad, pero en este caso es la proporcionalidad áurea. 00:00:21

¿Vale? Entonces, dice proporción áurea, sección áurea. Dice la sección áurea de un segmento es la relación entre dos magnitudes de tal modo que nos dice que A más B partido A, esto es un poco para que sepáis la matemática que hay, digamos, detrás de la proporción áurea. 00:00:26

Pero a nosotros en realidad esto nos va a importar poco, pues hay que contarlo. A más B partido A es igual a A partido B, es decir, el segmento grande, porque tengo una suma A más B, el segmento grande partido el segmento mediano, que en este caso hemos dicho que va a ser A, y el segmento mediano, que hemos dicho que es A, dividido entre el segmento pequeño. 00:00:50

Básicamente es esto. Y dice que A partido B, es decir, el segmento mediano partido el segmento pequeño, te da fi, que es 1,618, que es el número de oro. 00:01:14

¿Os acordáis que en las primeras clases, en la unidad inicial, estuvimos viendo esto y vimos a Mar un vídeo donde nos hablaba de que se había descubierto que el número de oro lo seguían en proporciones en muchas cosas, por ejemplo, que había en la naturaleza? 00:01:28

Vale, pues eso es un poco la continuidad. Vale, dice esto determina dos tipos de construcción para la segmentación áurea. Vale, entonces vamos a empezar. Tenemos aquí como cuatro ejercicios. Mirad, se ha torcido la hoja. Tenemos cuatro ejercicios. 00:01:43

Estos cuatro ejercicios los voy a ir haciendo a la vez, porque los pasos son prácticamente los mismos. Cambia alguna cosa, pero ya muy del final. Para que veáis que no te tienes que estar, que a veces pensamos que tenemos que memorizarnos cuatro cosas distintas y no, es lo mismo, solo que luego va a cambiar alguna cosita en cada uno. 00:02:03

Entonces, para que veáis que es exactamente igual y que no me tengo que memorizar cuatro construcciones diferentes, las voy a ir haciendo a la vez. 00:02:25

Lo primero que tenemos que hacer en todas ellas es calcular su mediatriz, es decir, hallar el punto medio en todas. 00:02:33

Pues me voy a coger. Ya sabéis que para calcular la mediatriz tengo que abrir el compás un poco más de donde yo intuyo que está la mitad. 00:02:42

entonces, pues aquí más o menos yo creo que está la mitad 00:02:50

pues la abro más 00:02:54

y yo lo que hago es que hago 00:02:55

un arco arriba y abajo pero no me lo hago 00:02:57

entero, vale 00:03:00

me hago así nada más, da igual si pillamos 00:03:01

las letras, eso da lo mismo 00:03:04

así 00:03:05

yo ya que tengo el compás puesto 00:03:10

me voy a coger, me voy a hacer la mediatriz 00:03:13

en todas 00:03:15

me voy a hacer los arcos para todos y luego ya 00:03:16

aquí 00:03:19

y aquí. ¿Veis lo que me ha pasado? Aquí, por ejemplo, he intuido que el arco quedaba 00:03:20

más arriba y no se me ha acorpado. Lo que tengo que hacer simplemente es prolongarlo, 00:03:31

tengo que conseguir que se corte. Vengo aquí, voy a hacer mediatriz en todas, ¿eh? Vengo 00:03:35

aquí, vengo aquí y vengo aquí. Y ahora vengo a este y hago la mediatriz aquí y aquí. 00:03:41

Mirad lo que pasa en este ejercicio. Si yo hiciera los arcos abajo, resulta… A ver, 00:03:58

estoy fuera de plano para que lo veáis. Mirad, si yo hago los arcos de aquí abajo 00:04:03

para hacer la mediatriz se me sale del papel. ¿Veis? Entonces, tú a mí no me puedes entregar 00:04:08

la mesa. ¿Cómo soluciono yo esto? Pues lo que hago es… Yo sé que una mediatriz es 00:04:14

una perpendicular al segmento al que yo le quiero hacer la mediatriz. Entonces, ¿cómo 00:04:20

lo hago? Vale, yo sé que la mediatriz tiene que pasar sí o sí por ese punto y que la 00:04:25

mediatriz es una perpendicular. Entonces, me coloco y digo, bueno, pues ya está, voy 00:04:30

hacer una perpendicular que pase por ese punto de ahí. Me coloco en posición de paralela, 00:04:34

pongo mi cartabón por aquí, que lo veáis, lo tengo aquí, ¿vale? Y ahora simplemente 00:04:42

le doy la vuelta, hago el accidente del coche y yo ya puedo trazar la perpendicular, que 00:04:49

es mediatriz. Eso es mi mediatriz. Esto es M. ¿Vale? Como no podía trazar los arcos 00:04:58

aquí porque me caían básicamente en la mesa y yo la mesa no puedo entregarla, no 00:05:09

pasa nada. Me hago solo los arcos de arriba y luego con mi escuadra y mi cartabón me 00:05:14

hago la mediatriz, me hago la perpendicular. ¿Esto se entiende? Vale. Y ahora, pues en 00:05:19

los otros resulta que sí que puedo, los tengo ya los arcos tanto arriba como abajo, entonces cojo y lo que os enseñé de pivotar, 00:05:26

pincho por ejemplo aquí con mi portaminas, con este pivoto y ya solo tengo que ajustarme a este de aquí abajo, ahí, 00:05:34

y yo siempre hago una línea finita y donde me corta la mediatriz lo marco más fuerte, eso es una manera digamos de no ensuciar el dibujo, 00:05:43

Esto es M, voy a poner aquí, esto es M, voy a dibujar esta mediatriz de aquí, esto es M, ¿veis? Yo hago más flojito, pero que se vea y luego marco más fuerte, hago un trazo más fuerte justo donde es el punto medio. 00:05:51

Entonces digamos que el primer paso de todo lo que hemos hecho 00:06:12

Me voy a poner aquí en este trocito, me voy a ir poniendo los pasos 00:06:19

Y digo primero, mediatriz 00:06:23

Ese sería el primer paso para todos, mediatriz 00:06:26

Ahora tengo que coger, pinchar en B 00:06:32

Pincho en B y con la distancia 00:06:36

B, M es la mitad de todo el segmento, ¿vale? Entonces, con esta distancia de un medio de AB, esto, pincho en B, abro hasta M y tengo que hacer un arco de circunferencia. 00:06:40

A ver, que se vea. ¿Veis? He pinchado en B y he cogido hasta M, la mitad, y hago un arco. Y la prolongo, no me corto por aquí, porque yo luego desde B voy a tener que levantar una perpendicular y esa perpendicular me tiene que cortar al arco, ¿vale? Entonces no me hago un arco pequeñito. 00:07:02

Y estas flechitas simplemente os las voy a ir poniendo un poco para que veáis que lo que he hecho es que he levantado desde aquí para arriba. Y eso lo voy a hacer en todos. Pincho en B, abro porque cada uno tiene la medida que tiene, hago el arco, que lo he hecho en esta dirección. 00:07:23

Estas flechitas que os pongo en teoría, luego no hay que hacerlas. Simplemente haces el arco y punto. Yo es más que nada para que cuando pongáis a repasar veáis en qué dirección ha movido el compás. 00:07:55

tengo que cambiar la punta porque me está saliendo 00:08:09

pero es que no tengo yo aquí mina 00:08:13

o sea, mina no, no tengo 00:08:16

o sí, tengo una 00:08:18

no me acordaba 00:08:21

mirad, me voy a sacar punta al compás 00:08:22

y yo lo hago con una lima de uñas vieja 00:08:28

yo ya esta solo la uso para esto, ¿vale? 00:08:30

¿por qué le voy a sacar punta? 00:08:33

¿veis que me está saliendo? 00:08:34

no me está saliendo una línea fina 00:08:36

Me está saliendo una línea gruesa. Eso es porque se me ha roto la punta o ya se me ha quedado redondeada. ¿Cómo se le saca punta al compás? Pues mirad. Tú lo que tienes que conseguir es un bisel. ¿Sabéis lo que es un bisel? Que está como así, ¿no? Como está como inclinado. Vale. 00:08:38

Vale, entonces tú el bisel lo tienes que conseguir por este lado de aquí, por el exterior, no por aquí, porque tú cuando pasas por el compás, digamos que es la punta por aquí por la que estás pasando. 00:08:56

Entonces yo lo que hago es que le saco, ¿veis que está redonda, que está como partida? Pues yo ahora, aquí no porque lo pongo todo perdido, me levanto a la papelera, le saco y le dejo un bisel. 00:09:08

Ahora lo vais a ver. Vale, y ahora sí, mirad cómo ya tengo mi bisel, ya tengo sacada la punta, ¿vale? Vale, pues sigo entonces aquí. Esto también va a ser B, le puedes llamar B, esto es A, esto es B, esto le puedo llamar también A y esto también B, ¿vale? 00:09:18

entonces pincho en B 00:09:41

abro hasta M 00:09:43

igual que he hecho en los demás 00:09:47

mirad la diferencia 00:09:48

entre esta, este arco 00:09:52

lo fino que está y este 00:09:54

vale 00:09:55

entonces, segundo paso 00:10:00

pues en el segundo paso puedo poner 00:10:02

segundo 00:10:04

B 00:10:05

esto es así, B 00:10:07

M 00:10:10

y voy a poner arco 00:10:11

B, M 00:10:14

Arco a derecha 00:10:15

A ver, yo lo he hecho a derecha 00:10:20

Pero podría hacerlo todo esto simétrico 00:10:23

Lo podría hacer a la izquierda 00:10:26

Solo que generalmente, cuando miréis los libros 00:10:27

La proporción áurea la tienen hecha así 00:10:30

Aunque lo podríamos hacer de la otra manera 00:10:33

De absolutamente igual, ¿vale? 00:10:35

Vale, ¿cuál es el siguiente paso? 00:10:37

Pues el siguiente paso es perpendicular 00:10:39

Tercero 00:10:42

perpendicular en B, voy a hacer perpendiculares en B, vale, pues venga, me cojo mi escuadra 00:10:43

de cartabón y me hago perpendiculares en B, ahí, perpendicular, y donde me corte el 00:10:54

arco, la perpendicular, donde corte el arco voy a tener un punto al que yo voy a llamar 00:11:09

1, simplemente para que luego sepáis 00:11:12

con quién me tengo que unir y todo eso 00:11:14

¿vale? 00:11:16

entonces, vale, pues ya tengo ahí 1 00:11:18

otra vez me levanto 00:11:20

perpendicular 00:11:22

aquí 00:11:23

1 00:11:28

me levanto perpendicular 00:11:29

aquí 00:11:32

en B 00:11:34

y donde corte al arco, eso es 00:11:35

el punto 1 00:11:38

y lo mismo aquí abajo 00:11:39

O sea, hasta ahora son exactamente los mismos pasos, todos igual. Y aquí 1, ¿vale? ¿Hasta aquí todo el mundo bien? Entonces me he puesto aquí como tercer paso perpendicular en B y tengo el punto 1, ¿sí? Vale. 00:11:42

Ahora, lo siguiente que voy a hacer es que voy a unir A con 1, cuarto paso, cuarto, unir A con 1, entonces yo lo único que tengo que hacer es ir haciéndome líneas, pues cojo A, pivoto en 1, yo por ejemplo voy a pivotar en 1, cojo A y hago así, muy bien, ¿vale? 00:12:05

Simplemente me hago la línea esa, me pongo en uno, pincho o me llevo la regla hasta A, uno, pincho en uno, me llevo la regla hasta A y así, ¿vale? 00:12:35

Estoy haciendo exactamente lo mismo en todos. Pincho en 1, llevo la regla hasta A y ahí. ¿Sí? Vale. ¿Esto lo tengo ya claro hasta aquí? Sí, ¿no? Vale, pues ahora lo que vamos a hacer es que vamos a pinchar en 1, vamos a coger la distancia hasta B, que os recuerdo que la distancia que yo tengo, en este caso de 1 hasta B, 00:12:50

Yo he cogido este arco que medía 1,5 de A y me lo he subido. Esta distancia que yo tengo aquí es exactamente la misma que esta de aquí. Por lo tanto, este trozo hasta el 1 también mide 1,5 de AB. 00:13:24

¿Vale? Entonces, ¿ahora qué voy a hacer? Vamos a poner el siguiente paso. Quinto, en 00:13:41

uno arco a izquierda o derecha, depende del ejercicio, ¿vale? Y ese es uno que voy a 00:13:50

pintar en morado. Puede ser así, va a izquierda o puede ser así, va a derecha. Ahora vamos 00:14:04

a ver cuándo va a ser uno y cuándo va a ser otro. Muy bien, pues aquí hemos dicho 00:14:16

voy a pinchar en uno y voy a hacer un arco, tiene que ser tan grande como 1B y hago un 00:14:20

arco. Y en este caso tiene que ir a izquierda. Ahí. Yo me lo voy a pintar morado para que 00:14:27

veáis que luego estos arcos en algunos van a ir todo el rato hacia izquierda y en otro 00:14:37

va a cambiar a la derecha. Este ha ido hacia la izquierda y ahora vengo aquí a uno y hago 00:14:43

lo mismo, hasta B, ahí, a izquierda, todo es a izquierda menos 1, ¿vale? Me lo pinto 00:14:51

en morado para que veáis que es como el mismo, ¿vale? Así, vengo aquí y aquí este cambia, 00:15:05

este no va a izquierda, va a derecha, luego os voy a explicar el por qué. Allá en el 00:15:18

segmento del que A es su sección 00:15:26

áurea 00:15:28

este va al 00:15:29

revés 00:15:32

¿vale? 00:15:33

esto que me ha pasado a mí aquí por ejemplo 00:15:42

que está B como 00:15:44

pillada o pisada por el 00:15:46

por el arco, esto si 00:15:48

vemos que nos pasa simplemente lo borramos 00:15:50

y la movemos porque las letras 00:15:52

no deberían estar pisadas 00:15:54

en la medida de lo posible 00:15:56

¿vale? hasta aquí bien 00:15:58

Y ahora me falta este, lo mismo, pincho en uno y a izquierda, aquí. Pues resulta que ya hay ejercicios que ya hemos terminado, que ahora simplemente tenemos que indicar cuál es la solución. 00:16:00

¿Vale? ¿Esto está aquí bien? ¿Sí? Bien. Aquí te decía, haya la sección áurea de un segmento dado AB, pues resulta que en este ejercicio la sección áurea es esto. 00:16:22

desde aquí 00:16:38

hasta aquí 00:16:41

hasta justo donde ha cortado el arco morado 00:16:43

esto 00:16:46

es la sección 00:16:47

áurea de AB 00:16:52

eso es la sección áurea 00:16:54

es decir, cuando tiene un ejercicio 00:16:58

te pida como solución 00:17:00

que le des la sección áurea 00:17:02

lo único que tienes que hacer es 00:17:03

que haces todos los pasos 00:17:05

y esta parte que yo he pintado rosita 00:17:06

simplemente tienes que coger 00:17:08

y pues con tu 00:17:10

H remarcarlo 00:17:12

vale, hasta aquí bien este 00:17:14

vale, en el siguiente te dice 00:17:25

división áurea de un segmento 00:17:28

A, B 00:17:30

¿qué es lo que tengo que hacer? 00:17:31

a ver un segundo que me ponga la muñequera 00:17:33

que si no doy golpes con 00:17:36

con la pulsera 00:17:37

y eso se queda mal en el vídeo 00:17:39

vale, dice división áurea 00:17:41

de un segmento AB 00:17:43

ya tengo esto y lo que tengo que hacer 00:17:45

es lo siguiente 00:17:47

esto que yo he cogido aquí 00:17:48

que tenía aquí de sección áurea 00:17:51

es la distancia desde A hasta el arco morado 00:17:53

lo mismo aquí 00:17:55

la distancia desde A al arco morado 00:17:57

ahí 00:17:59

¿vale? ¿veis que es la distancia de A al arco morado? 00:18:03

Y ahora, esa sección, esto sería la sección áurea de este segmento, ¿no? Lo único que tienes que hacer es bajarla, estás como bajándola, y donde corte a AB, esa es la división. Esto es la división. Esto, ¿vale? 00:18:06

Es como que yo aquí tenía la sección áurea, a ver que coja otro color, yo tenía aquí mi sección áurea, no lo pongo ahora en rosa porque esto no es lo que te está pidiendo, no te está pidiendo la sección, ¿vale? 00:18:25

Esto es mi sección áurea de AB y lo bajo porque lo que me pide es la división. Tú ya has dividido esto en dos segmentos, este y este, que cuando divides uno entre otro te da el número de oro, ¿vale? 00:18:40

Que eso es un poco la relación que aparece aquí. Que yo creo que a este punto, entonces, ahora lo tenemos que llamar C. Entonces, digamos que AB partido AC es lo mismo que AC partido CB y esa relación es el número de oro, ¿vale? 00:19:01

Bien, ahora, en este de aquí, hemos cambiado y en vez de abrirlo hacia la izquierda, lo hemos abierto a la derecha. ¿Por qué? Mira, entre este y este te dice, hallar sección áurea de un segmento AB. 00:19:22

Y aquí te dice, de un segmento haya el segmento al que te hemos dado su sección áurea. Es decir, aquí te da el segmento y quiere la sección y de aquí te ha dado la sección y quiere el segmento. ¿Vale? El segmento evidentemente tiene que ser más grande que la sección, ¿no? 00:19:39

Vale, pues entonces, ¿cuál es la solución? Todo esto. Desde aquí hasta aquí. Esto. A, B. Ese es el segmento cuya sección áurea es esto. 00:19:57

Entonces, ¿por qué no podíamos llevarnos este arco morado hacia la izquierda? Porque es que si no me quedaba más pequeño, ¿vale? Y el segmento me tiene que quedar más grande que su sección. ¿Esto se entiende? 00:20:24

No, que la sección áurea no es la mitad de un segmento, es más, mira lo que te ha pasado aquí. 00:20:40

La sección áurea es mayor que el segmento. 00:20:46

¿Lo entiendes esto? 00:20:51

Entonces, estos tres ejercicios ya los tendrías concluidos. 00:20:53

Ahora en este te ha pedido que halles el rectángulo áureo de base A. 00:20:58

A ver, yo sé que un rectángulo es así, ¿no? Un rectángulo es esto. 00:21:02

Así, más o menos, porque lo estoy haciendo a mano alzada, esto más o menos es un rectángulo, ¿no? Que tengo esto paralelo a esto, este paralelo a este y todos son ángulos de 90. Eso lo tengo claro, ¿no? 00:21:09

Y yo tengo esta base de aquí y esto, ya tengo esa perpendicular. ¿Qué puedo hacer yo ahora? Yo no sé cuánto medirá este lado o no, pero ¿yo qué puedo hacer? Esto yo puedo hacerla perpendicular, ¿verdad? Vale, pues vamos a hacerla perpendicular. 00:21:23

Al final, muchas veces en los ejercicios voy a ir haciendo lo que yo por lo menos sé. Entonces, me hago la perpendicular en A. Y si esto es A, esto es B, esto es C y esto es D, yo sé que aquí no sé dónde, en esta perpendicular va a estar D, yo no sé dónde. 00:21:40

A ver, me lo voy a alargar un poquito, porque yo, cuando me quiero dejar anotaciones para cuando estoy haciendo un ejercicio, no perderme, yo hago mucho esto. Con una flechita digo, a ver, en esa línea va a estar D. Yo no sé dónde todavía, si es más para arriba o más para abajo, pero en algún sitio va a estar. Y aquí lo mismo, yo no sé dónde, pero en algún lado va a estar C. 00:22:03

¿Vale? Entonces, ¿dónde va a estar D? Pues a ver, esto hemos dicho antes que era ¿qué? La sección áurea, ¿verdad? ¿Este trozo no es la sección áurea? Vale. 00:22:25

Sección áurea de, pues en este caso, como la base del rectángulo la ha llamado A, pues sección áurea de A. 00:22:42

Perfecto. Pues con esa distancia de la sección áurea, no lo pongo en rosita porque aquí no es solución, no es eso lo que me está pidiendo el ejercicio. 00:22:49

Cojo y subo. Esa sección áurea, ¿lo veis? Esa distancia me la estoy cogiendo hasta que corte a la perpendicular. 00:23:01

Y donde te corta la perpendicular, eso es D. Esto no tiene otra que memorizar, no es otra cosa. Desde aquí sube, sube, sube, sube. Y este punto ya es el vértice D de mi rectángulo. 00:23:09

¿Dónde va a estar C? Pues justo tengo que trazar desde D una paralela al lado A, aquí, y C está ahí. ¿Lo veis? Aquí, aquí y ahí. 00:23:34

Vale, entonces, aquí en los pasos que nos habíamos quedado en un quinto paso que te decía unir en uno el arco o a izquierda o a derecha, a partir de ahí ya yo ya podía obtener soluciones. Entonces, ya no hacemos pasos comunes. Todos estos son pasos comunes. 00:24:05

pasos 00:24:23

comunes 00:24:26

lo voy a poner así que salga muy feo 00:24:29

y soy un poco maniática de que las cosas queden bastante bien 00:24:34

todo esto son pasos comunes para todos los ejercicios 00:24:37

o sea que al final 00:24:40

es me sé esto y luego tengo que saber 00:24:43

qué me está pidiendo en cada momento 00:24:45

¿vale? 00:24:49

Bien, y nos queda aquí una cosita que ni siquiera la tenemos que calcular, que ya viene hecha, que es, a ver que se vea así toda la página, que dice, relación áurea en el pentágono regular, se cumple que el lado y la diagonal están en relación áurea. 00:24:50

El lado de un pentágono y su diagonal, la relación que hay entre ellas, es decir, si tú coges el lado A y lo divides entre la diagonal, el número que tú obtienes, la proporción que tú obtienes es la del número de oro, la proporción aurea, ¿vale? ¿Se entiende? 00:25:09

esto es para los bailes, miren 00:25:29

en el segundo solo te pides la C 00:25:32

si, tú tienes que hallar la C 00:25:34

y es como decir, vale, pues aquí tengo la división 00:25:37

áurea, este trozo respecto de este 00:25:39

están divididos de manera áurea 00:25:41

no están divididas a la mitad, por ejemplo 00:25:43

o no está dividida a partes 00:25:45

iguales, está dividida 00:25:47

áureamente, por decirlo de alguna manera 00:25:49

¿vale? 00:25:51

esto es, hay que saberlo 00:25:53

porque luego cuando 00:25:55

Pero en PAU, aunque parezca que no, a veces juegan con esto, con el hecho de que os sepáis simplemente qué lado y diagonal de un pentágono tienen relación áurea, ¿vale? 00:25:57

Venga, pues vamos a la siguiente página. Podéis hacer ya las prácticas, el ejercicio 1, ¿vale? De las prácticas ya podéis hacer el ejercicio 1, ¿vale? 00:26:11

Con el que terminamos ayer era el 2, podéis hacerlo y podéis hacer parte también del 4. Es verdad que no tiene orden porque hemos visto la proporción áurea después de las otras proporciones, pero es que si me pongo ya a mover los ejercicios y de todo ya me vuelvo loca. 00:26:28

Y a mí me parecía más coherente explicar la proporción áurea después de lo demás, ¿vale? Algún día llegará el momento en que lo deje todo cuadrado y perfecto, pero de momento me estoy dedicando más a dejar perfectos los ejercicios y todo eso, que cuadre…, o sea, perdón, los ejercicios, no, los apuntes, a arreglar fallos que veo en los apuntes antes que los ejercicios. 00:26:45

Vale, pues venga, siguiente hoja 00:27:07

Vale, pues ya está, ya hemos cambiado de hoja 00:27:09

Vamos a seguir con este tema 00:27:12

Y vamos a comenzar con el punto de los ángulos 00:27:13

Punto 4 00:27:16

Esto habrá cosas que quizás os suenen de secundaria 00:27:17

De primero, segundo la ESO 00:27:22

Habrá profes que os hayan explicado un poco los ángulos 00:27:24

Cómo se construyen, qué podéis hacer 00:27:28

Y habrá otros profes que no, ¿vale? 00:27:30

Entonces, bueno, yo lo hago siempre 00:27:33

porque es a modo recordatorio y ya está. Vale, a ver que parece que se ha quedado turbia o es cosa mía. Vale, perfecto. Cuando veáis que está turbio, decírmelo porque yo no me doy cuenta, sobre todo pasa mucho en la zona de la izquierda, no sé por qué, decírmelo que le doy al focus y para que lo tengáis bien. 00:27:36

Vale, los ángulos, dice, elementos del ángulo, es la porción de plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice, es decir, toda esta zona que yo tengo aquí está limitada por una semirrecta, acordaos que la semirrecta tiene principio y no tiene final, o tiene final pero no tiene principio, y en este caso es el punto A, y luego tengo otra semirrecta aquí, ¿vale? 00:27:55

Esto es una semirrecta y otra semirrecta. El espacio que queda limitado entre los dos es a lo que tú le llamas ángulo. Dice que se cortan en un punto llamado vértice, este de aquí. 00:28:22

Vale, pues entonces esto es así y nos dice 00:28:33

Los ángulos se nombran con letras griegas 00:28:38

Alfa o con la misma letra que su vértice 00:28:40

Y se le pone como un sombrerito 00:28:44

Ese sombrerito no se ve muy bien 00:28:45

Es un simbolito que hace así 00:28:48

Por ejemplo, si esto es A, te hace así como si fuera un tejadillo 00:28:51

¿Vale? Un sombrerito, una cosita así 00:28:54

Bueno, pues esto es un ángulo 00:28:56

¿Qué elementos hay dentro de un ángulo? 00:28:58

Por ejemplo, lados A y B. Por ejemplo, este lado se llama A y este lado se llama B. Podría ser al contrario perfectamente. Cada una de las dos semirrectas. Esos son los lados. Vértice V, punto en el que coinciden las dos semirrectas. Aquí veis que le he puesto V porque esto también lo pueden nombrar con la letra A, B, C o lo que sea, dependiendo si estás trabajando con varios ángulos o le pones la V de vértice. 00:29:02

Esto es como lo que os dije, hay letras reservadas para algunas cosas 00:29:29

Pues la V se reserva para el vértice 00:29:33

Entonces podría poner una letra normal o podría venir una V 00:29:36

Amplitud, abertura que forman sus ángulos 00:29:40

Es decir, los grados que forman los ángulos 00:29:44

Tipo de ángulos, que esto lo sabéis de sobra 00:29:46

Porque además en matemáticas se ve 00:29:50

A ver, que esté entre todo en cámara 00:29:52

Vale, tipo de ángulos 00:29:54

uno de los ángulos. Vale, pues ahora, siguiente. Voy a hacer zoom porque aquí ya sí que vamos 00:30:24

a estar usando el compás. Vale, operaciones con ángulos. Hemos visto en la página 1.2 00:30:32

operaciones con segmentos. Tengo un segmento A, le sumo un B, ¿no? Pues lo mismo se hace 00:30:50

con ángulos. Yo tengo dos ángulos, tres ángulos, cuatro ángulos y los voy sumando 00:30:55

entre ellos, los puedo rectar, los puedo dividir, pues eso es lo que vamos a hacer. 00:30:59

Entonces, me da un ángulo alfa y un ángulo beta, ¿vale? Hemos dicho que lo podemos definir 00:31:04

con letras griegas. Vale, pues tengo ángulo alfa, ángulo beta y me dice aquí que lo sumes, ¿vale? 00:31:09

Pues, ¿qué hago yo? Yo cojo y para la suma elijo, pues, aquí, por ejemplo, y digo, vale, 00:31:17

pues yo desde ahí lo voy a sumar. Igual que nos pasaba con los segmentos que teníamos 00:31:22

que decir, pues desde aquí lo voy a hacer. Pues eso es lo que he hecho. Yo desde aquí 00:31:26

voy a empezar la suma. ¿Cómo se hace? Al final esto es lo que llamamos copia de ángulos. 00:31:30

¿Cómo funciona esto? Tú te vienes, por ejemplo, voy a sumar A y luego le voy a sumar B. Me 00:31:36

vengo aquí y digo, pues a ver, me hago un arco, el que yo quiera. Te haces una apertura 00:31:41

a la que a ti te dé la gana. No muy pequeña, incluso yo lo voy a hacer un poquito más 00:31:49

grande, no muy pequeño porque cuanto más pequeño y más cerrado usas el compás, más 00:31:52

posibilidades tienes de que se te mueve, de que no puedas deslizar correctamente. Entonces, 00:31:58

pues yo voy a coger esa apertura, por ejemplo. Y con esa misma apertura, como yo sé que 00:32:02

tengo que sumar B, voy a coger a B y voy a hacer lo mismo, le voy a hacer el arco. 00:32:08

Con esa misma apertura sin cambiarla, el compás nunca se pone uno y lo abre y lo cierra. 00:32:15

siempre lo mantiene en la última posición 00:32:20

pues con esa última posición de compás 00:32:23

esa última apertura hago un arco aquí 00:32:26

lo voy a hacer bastante grande, así 00:32:28

y yo ahora sobre este arco me tengo aquí llevando 00:32:33

la distancia del ángulo A y la distancia del ángulo B 00:32:37

¿cómo se hace? 00:32:40

pincho aquí donde el arco que he hecho 00:32:42

ha cortado este lado inferior del ángulo 00:32:46

y me lo abro hasta donde el arco 00:32:49

corta aquí 00:32:52

arriba, esa distancia 00:32:53

¿sí? 00:32:55

esa distancia que yo tengo copiada 00:32:58

con mi compás, me vengo aquí 00:33:00

y la copio 00:33:02

también, y hago un arco 00:33:04

toda esta distancia 00:33:06

es esta 00:33:08

¿lo veis? todo esto 00:33:10

que yo acabo de hacer, voy a hacerlo con un 00:33:12

color, con el morado este por ejemplo 00:33:14

todo esto 00:33:16

todo eso 00:33:17

es alfa, no lo tengo que hacer esto 00:33:21

yo lo hago simplemente para que lo podáis entender 00:33:24

todo eso es alfa, vale, y ahora cojo beta 00:33:26

pincho aquí en beta, esto ya me va a costar así 00:33:29

ya tengo que doblar las patas del compás 00:33:34

porque si no, no me da, las patas del compás cuando las doblamos 00:33:35

siempre tienen que estar, digamos 00:33:39

en paralelo, haciendo una misma línea 00:33:42

no puedo tener una pata más alta que la otra 00:33:44

porque esto es como si tú estuvieras cojo, pues no andas igual 00:33:47

¿Vale? Entonces, hago aquí y abro así, cojo esta distancia, ¿la veis? Vuelvo a coger esa distancia y me la traigo aquí. Ahí. Esto es B. Este trocito es B. O bueno, beta, perdón. Esto es beta. 00:33:50

Pues ya has sumado los ángulos, he puesto uno al lado del otro 00:34:16

¿Y la solución cuál es? Esto 00:34:21

Aquí parece que se me ha quedado así casi casi de 90 grados 00:34:24

Pero no tiene por qué 00:34:31

Es porque las distancias que he puesto 00:34:32

A ver si me acuerdo y me hago beta más grande 00:34:35

Para que para otros años me salga mejor 00:34:38

Y todo esto, todo este ángulo 00:34:40

Esto es gamma 00:34:43

es decir, alfa más beta me ha dado gamma 00:34:46

aquí me da alfa menos beta 00:34:50

pues hago lo mismo, marco aquí por ejemplo 00:34:55

y digo, muy bien, pues yo desde ahí voy a empezar a hacer mi ejercicio 00:34:59

podría hacerlo de aquí para allá, eso da igual 00:35:02

y digo, venga, pues vamos a coger, voy a intentar copiarme el mismo arco que tenía yo de antes 00:35:05

este, así, cojo esa distancia 00:35:10

ya veis, del arco de antes, y me lo hago aquí. Y digo, venga, pues entonces, alfa menos beta, 00:35:14

yo puedo quitarle a alfa beta o a beta le puedo quitar alfa, ¿vale? Yo a mí siempre me gusta poner el que tiene mayor longitud, 00:35:24

igual que en los segmentos, en este caso mayor amplitud, y luego le quito el pequeño, ¿vale? 00:35:34

Entonces me cojo a, cojo esa distancia, me la traigo aquí, ¿vale? Ahí. Digamos que este trocito que va morado, todo esto era alfa, ¿vale? Y a este trocito morado le voy a quitar beta. 00:35:39

¿Dónde le quito beta? Pues por donde quiera, por arriba o por abajo. 00:36:05

Lo normal es que lo quites por arriba para que este lado se te quede recto, ¿vale? 00:36:09

Porque estamos acostumbrados a ver los ángulos de esta manera, no que esté este lado de aquí inclinado, ¿vale? 00:36:14

Pero lo puedo quitar por donde quiera, igual que pasaba con los segmentos. 00:36:21

Entonces voy a coger esto así, cojo beta, ¿veis? 00:36:26

Y yo lo voy a quitar por arriba, pero porque quiero que el ángulo luego se me quede aquí definido por abajo. Y eso es beta. Este trocito lo voy a pintar así como verde para que sepáis por dónde se ha quitado. Lo he quitado de ahí, beta. 00:36:31

¿Y ahora cuál es mi ángulo? Pues este, este mide gamma, lo mismo, gamma aquí es alfa menos beta 00:36:49

¿Se está entendiendo? Este trocito era beta, que se lo hemos quitado, este trozo, y todo este trocito más grande era alfa 00:37:09

¿se entiende? 00:37:18

vale, también tengo 00:37:20

digo lo que pasaba con los segmentos 00:37:22

multiplicación de un ángulo 00:37:24

y en este caso te dice, pues tres veces beta 00:37:26

¿vale? 00:37:28

¿cómo lo hago? 00:37:30

pues lo primero, digo, mira, yo voy a hacer el ejercicio 00:37:32

lo voy a hacer ahora al revés, lo voy a hacer aquí 00:37:34

pues yo voy a empezar ahí 00:37:36

¿vale? para que veáis que da igual 00:37:38

me voy a coger 00:37:40

el arco que yo tenía de antes 00:37:42

o incluso si queréis, mira, me lo voy a hacer más grande 00:37:44

Para que veáis que no tengo que mantener el de antes. Voy a coger este arco más grande, pero eso sí es importante. Si yo ahora estoy usando este arco, aquí el mismo, ¿vale? Para poder copiarlo correctamente. 00:37:46

y ahora me cojo, me vengo aquí 00:38:00

y me copio esa distancia en el arco grande 00:38:05

¿veis? 00:38:08

esa distancia me la cojo, me vengo aquí 00:38:14

y me ha dicho que son tres veces 00:38:16

es que me cuesta porque 00:38:18

si me pongo la mano encima a veces no veis bien 00:38:23

y me gusta que veáis donde lo pongo 00:38:26

así, una, dos 00:38:27

y 3 00:38:35

¿vale? 00:38:39

1, 2 y 3, estas son 3 betas 00:38:42

1 00:38:44

2, 3 00:38:45

pues ahora 00:38:48

el ángulo resultante 00:38:49

es todo esto 00:38:52

todo esto es 00:38:54

pues gamma también 00:38:57

¿vale? 3 veces beta es gamma 00:38:59

¿vale? hasta aquí bien 00:39:02

¿Vale? Perfecto. Y ahora vamos a ver qué es la bisectriz, división en dos partes iguales. Igual que teníamos cuando dividíamos un segmento en dos partes iguales, hacíamos la mediatriz, para dividir un ángulo en dos partes iguales usamos la bisectriz, ¿vale? 00:39:06

Y la bisectriz puede ocurrir, que es como la normal, que los lados del ángulo concurran en un punto y tú ese punto lo tengas dentro del papel o puede ocurrir, imaginaros, que el papel aquí se termina y tú no puedes prolongar los lados y cómo se resuelve eso. 00:39:27

Vale, os explico cómo se hace la bisectriz. Se pincha en el vértice, esto lo sabéis seguro, se pincha en el vértice con un arco, el que a ti te dé la gana, pero yo siempre digo lo mismo, ni muy grande, que tampoco hay que pasarse, ni muy pequeño porque entonces te cuesta trabajar. 00:39:45

Y esto te define un punto, uno y dos, que yo solo os lo pongo porque ahora mismo os estoy explicando. Luego ya esto no se pone. Y ahora pincho en uno con la misma apertura que tengo o si veo que es muy pequeña la puedo ampliar, da igual. 00:40:04

A mí en este caso me vendría bien la misma que tengo, pero si fuera un ángulo obtuso no te valdría, tendrías que ampliarla. Yo la voy a ampliar un poco para que así se vea mejor y digo, vale, pincho en 1. 00:40:21

Con esa misma apertura que tú tienes ahora en el compás, pincho en dos y ese punto es tres, ¿vale? Donde se han cortado los dos arcos que tú has trazado desde uno y desde dos es tres. 00:40:34

Pues cuando tú unas esto con esto, eso es la bisectriz. Y al igual que ocurría con los segmentos que la mediatriz dividía el segmento en dos partes en un punto M, la bisectriz también divide el ángulo en dos partes iguales. 00:40:52

Esto es la mitad del ángulo. 1M y M2 deben medir lo mismo si lo hemos hecho bien. Y esto se nota muchísimo en el ojo. A la mínima que te has ido, la bisectriz, dices, está mal, fijo, la he hecho mal, se me ha ido. Se ve muchísimo. 00:41:22

Vale, entonces, 1M, hemos dicho, el arco de 1M o el ángulo de 1M es lo mismo que M2, mide exactamente igual. 00:41:40

Y al igual que ocurría con la mediatriz, la bisectriz es lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de los lados de un ángulo. 00:41:51

¿Esto qué es? Si yo, por ejemplo, elijo ese punto y yo hago una perpendicular a este lado, esa distancia en perpendicular es exactamente la misma que desde este punto a la perpendicular del otro lado. 00:42:02

Exactamente igual. Por eso te dice que equidista. Y eso pasa con cualquier punto que tú elijas de la bisectriz. 00:42:16

Lo vamos a dejar aquí y mañana continuamos con esto en la trisección. 00:42:23

¿De acuerdo? Pues listo. 00:42:28

DT1.GP.U1.3.2 y 3.4_ Prop. Áurea. Ángulos - Contenido educativo

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