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Geometría 2 de 4 (recuperación 4 aplicadas)
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Geometría 2 de 4 (recuperación 4 aplicadas)
Problema número 68. El problema número 68 es un problema de calcular la altura de un edificio.
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Y entonces me están diciendo que esta distancia, es decir, hay un tipo que está mirando desde aquí
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y que ha sido capaz de calcular que estos son 98 metros. Imaginas que un tipo tira una cuerda de aquí hasta aquí.
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Y luego también mide esta distancia y me dice, oye, ¿y cuál es la altura del edificio?
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Aquí tenemos el edificio con sus casitas, con sus ventanas y bueno, pues ahí tenemos el edificio, ¿no? Bueno, pues entonces está muy claro, la altura del edificio es esta altura que tengo aquí, esta es la altura y esto es un triángulo rectángulo porque esto es un ángulo de 90 grados.
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Aplicamos pitahoras. Hipotenusa al cuadrado es la altura al cuadrado más 78 al cuadrado.
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Entonces, la altura al cuadrado es igual a 98 al cuadrado menos 78 al cuadrado.
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Es decir, la altura es la raíz de 98 al cuadrado menos 78 al cuadrado.
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Y vamos a ver cuánto vale esto. Hago la raíz cuadrada de 98 al cuadrado menos 78 al cuadrado. Lo que pasa es que no lo he metido todo dentro de un paréntesis. Lo meto aquí dentro y ahora cierro el paréntesis.
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59,32
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Muy bien, y esa es la altura de mi edificio
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Bien, bueno, pues una vez que ya he resuelto el número 68
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Ahora tenemos que ir al número 77
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Que es este que tengo aquí
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Bueno, y el ejercicio 77 es un poquito más largo
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Pero bueno, no es demasiado complicado
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Vamos a ir haciéndolo poco a poco
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Empezamos por aquí
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y luego ya iremos por aquí. Me dice, calcula el área de un heptágono de 4 centímetros de lado y 4,8 centímetros es la apotema.
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Bueno, es importante que recordemos que estamos hablando de un polígono que es regular, que nosotros intentaremos dibujar,
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pero que no vamos a conseguir. No voy a conseguirlo, más que nada porque soy bastante mal dibujante.
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Pero bueno, lo que voy a hacer es lo siguiente. Voy a dibujar uno que sí que pueda dibujar. A ver si encuentro la goma. Voy a dibujar uno más sencillo y así explicamos el concepto de apotema y con eso ya lo generalizamos.
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Bueno, si lo que tenemos es aquí, por ejemplo, un pentágono y este es el centro de mi pentágono regular, que no se me olvide, esto divide mi polígono en un, dos, tres, cuatro, cinco triángulos que son iguales.
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Si fuera un heptágono serían siete, evidentemente. Entonces, la apotema es la altura del triángulo.
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Bueno, si este es el lado, entonces el área de este triángulo es un medio del lado por la altura, ¿vale? Y la altura es el apotema y el lado es el lado del polígono.
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Bueno, pues entonces, ¿cuántos lados tiene un heptágono?
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Bueno, y este es uno de estos, este es uno de ellos.
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Lo que tengo que hacer es, para calcular el área total, es multiplicar, en este caso, 5 por el área del triángulo.
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Es decir, el número de lados multiplicado por el número de triángulos, multiplicado por el área de un triángulo.
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Entonces, me voy al apartado A, me están diciendo 4 centímetros de lado y 4,8 centímetros de apotema.
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Bueno, pues ya tengo el área de mi triángulo, entonces el área total es igual a 7 veces el área del triángulo.
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Y el área del triángulo es 7 veces por un medio de la longitud, que son 4 centímetros, por el apotema, que son 4,8.
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¿Bien? Bueno, pues 7 por 4 entre 2 por 4.8. 67,2 centímetros cuadrados.
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Recordad que es importante que pongamos también las unidades y teniendo en cuenta que son centímetros por centímetros, pues son centímetros al cuadrado.
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Apartado B. Me están diciendo un hexágono de 10 centímetros de lado.
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Bien, en el hexágono lo que ocurre es que si el hexágono es regular, que es lo que tenemos que imaginarnos evidentemente, entonces este es un triángulo que es, ¿cómo? Es un triángulo que es equilátero.
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Este es el lado, este es el lado y este es el lado. ¿Y cuánto vale la altura? Pues la altura vale, fijaos, esto se divide en dos, esta es la mitad del lado, esta es la mitad del lado y esta es la altura.
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Y aquí, voy a ponerlo con otro color, lo voy a poner con el verde, aquí tengo un triángulo que es rectángulo. Por tanto, L al cuadrado es igual a L entre 2 al cuadrado más la altura al cuadrado.
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Y ahora sustituimos los valores, 10 al cuadrado es igual a 5 al cuadrado más h al cuadrado, y h es igual a 10 al cuadrado menos 5 al cuadrado raíz cuadrada, es decir, h es igual a raíz de 75, es decir, es la raíz de 75, que es 8,66.
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Esta es la altura de este triángulo, por tanto, tengo 6 por 1 medio de la base, que es el lado, por la altura, que es 8,66.
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Es decir, tengo 6 entre 2 por 10 por 8.66, que son 259,8 centímetros cuadrados.
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Este es el apartado B. Voy a ir haciendo aquí pequeños huecos. Ahora vamos a hacer el apartado C. Vamos a colocar aquí. Me dice que es un decágono de dos centímetros de lado y este era un heptágono.
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Y ahora me dicen que un decágono. Un decágono son 10 lados y aquí es el área total. El decágono tiene 10 lados y me están diciendo que son el lado 2 centímetros y el apotema son 3,1.
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Bueno, pues hacemos lo de siempre. El área total son 10 de los triángulos. Entonces son 10 por un medio del lado por el apotema. Y ya lo tengo hecho. 31 centímetros cuadrados. Fíjate, 2 entre 2 es 1 y 10 por 3,1 es 31 centímetros cuadrados.
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Muy bien, venga, vamos a continuar. Hemos hecho el 77C, nos quedan el D y el E. Bueno, el D es un pentágono, entendemos que todos son regulares, faltaría más 3,5 centímetros de lado y nuestra apotema es 2,1 centímetros de D de lado.
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Anda que... Vale, entonces, ¿qué es lo que necesito? Necesito el área, el área total, son cinco triángulos de estos, cinco triángulos de estos, fijaos que lo he puesto ya aquí, un medio de la base, que son tres, multiplicado por el apotema, que es 2,1.
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Vale, pues ¿qué es lo que me queda? Me queda 15 entre 2, 20, a ver, a ver si soy capaz de hacer la cuenta rápido yo, a ver, que si esto fueran 10, esto es 6,3, 6,3, 63, es 31,5, vamos a ver si es 31,5 centímetros cuadrados, esto lo he hecho de cabeza.
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Bueno, vamos a ver. 5 entre 2 por 3 por 2.1, pues no, me he equivocado, 15,75 es la mitad todavía más. 5 entre 2 por 3 por 2,1 que son 15,75 centímetros cuadrados.
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Muy bien. Vale, pues ya tenemos el D. Y ahora vamos a hacer el E. El E es un rectángulo de 5 centímetros. Este sí que está fácil, ¿no? En el que tengo un lado que son 5 centímetros y el otro lado son 8 centímetros.
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Bueno, pues yo creo que no hace falta que le demos muchas vueltas. El área del rectángulo es lado por lado. El área es 8 por 50, que son 40 centímetros cuadrados.
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Bueno, pues ya hemos hecho el 77. Vamos a ver si hacemos el siguiente, que es el ejercicio número 78.
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Bueno, pues el número 78 es un ejercicio también de este estilo, en el que me están pidiendo ya áreas un poquito más complicadas.
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complicadas. Me están hablando de un trapecio con unas determinadas bases. Recordad que un trapecio
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es un cuadrilátero, es decir, es un polígono de cuatro lados en el que dos de sus lados son
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paralelos. A este lo llamo base menor, a este le llamo base mayor y tengo una altura. Esta distancia
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es la misma que esta distancia. Siempre es la misma porque son paralelas. Y recordad que el
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El área del trapecio es el área, vamos a, si yo a este trapecio le diera la vuelta y lo moviera un poquito, sería esto.
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Aquí tendría la B, aquí tendría la B y esto sería el área de un romboide que es base más la base, las dos bases, la de arriba y la de abajo multiplicada por la altura.
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Este es el área de todo este polígono. ¿Y esto cuánto es? Pues mirad, me están diciendo que una base vale 7, la otra vale 3 y me están diciendo que la altura mide 4 centímetros.
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Vale, pues esto sería 4 por 7 más 3 que son 40 centímetros cuadrados. Este es el área del romboide. Este romboide contiene dos veces al trapecio, por tanto el área del trapecio es igual a el área del romboide por 0,5.
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Es decir, dividir entre 2 el área del trapecio es igual a 20 centímetros cuadrados.
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Bueno, otra forma es directamente decir, área del trapecio es base mayor más base menor dividido entre 2 por altura.
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Puedo aplicar directamente esta expresión. A mí me gusta pensarlo siempre de esta manera.
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Bueno, vamos a continuar. B, un rombo. A ver, esto del rombo me da lugar a pensar, ¿qué hago? ¿Me aprendo la fórmula de memoria o pienso un poco? Ya sabéis que a mí me gusta pensar un poquito.
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Vale, un rombo. Un rombo es un cuadrilátero cuyos lados son todos iguales, bien, y son paralelos 2 a 2, pero no forman 90 grados, ¿vale? ¿Y qué dato me están dando? Pues me están dando este dato, que es la diagonal mayor, que son 8 centímetros, ¿no? Perdón, 9 centímetros, y esta diagonal pequeña, que son 5 centímetros.
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Vale, entonces yo lo que hago es que parto de una propiedad y a partir de aquí lo calculo todo.
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Voy a pensar en este triángulo que he rayado así, ¿vale?
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El área de este triángulo, ¿a qué es igual? Es igual a la base por la altura.
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¿Y cuál es la propiedad que tiene cualquier paralelogramo?
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Pero la propiedad es que las diagonales, en cualquier paralelogramo, se cortan en su punto medio.
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Es decir, este punto de aquí es la mitad de esta diagonal y este punto de aquí es la mitad de esta diagonal.
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Por tanto, el área de esto que he rayado en rojo será la base por la altura y esta altura es, perdón, un medio de la base por la altura.
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Bien, un medio de la base por la altura. ¿Y quién es la altura? La diagonal mayor dividida entre 2.
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Es decir, el área del triángulo, vamos a poner aquí una t, vamos a poner una t pero minúscula para que sea de triángulo y no área total, ¿vale?
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Entonces es un medio de la diagonal menor, un medio de los 5 centímetros por la diagonal mayor entre 2, 9 entre 2.
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Muy bien, pues entonces ¿qué es lo que me queda? Me queda un medio 45 entre 4. ¿En cuánto es 45 entre 4? Es 11,25 centímetros cuadrados.
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Esta es la mitad del área del rombo, entonces el área del rombo es igual a dos veces el área del triángulo,
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es decir, es 2 por 11,25, es decir, esto vale 22,5 centímetros cuadrados.
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Vamos a comprobar un segundito la cuenta que he hecho, que es 45 entre 4, 11,25 lo multiplico por 2 y me sale 22,5 centímetros cuadrados, que es lo que tengo aquí.
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Muy bien. Bueno, pues venga, continúo. C. 78C. Romboide de base 6 y altura 2. Bueno, esto ya lo sabemos. Base 6 centímetros y altura igual a 2 centímetros.
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Recordad que si yo este romboide lo recorto podría conseguir hacer un cilindro y en un cilindro yo podría llegar a conseguir un rectángulo con la misma base y con la misma altura.
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Por tanto, el área del romboide es la base por la altura, que son 12 centímetros cuadrados. Es decir, no importa cómo de inclinado esté este lado de aquí, no me importa cómo de inclinado esté, lo que me interesa es simplemente la base y la altura.
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Bueno, y vamos a coger el D. El D me dice cuadrado de 8,5 centímetros de lado.
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Vale, base por altura. Bien, pues entonces, ¿cuál es el área de este cuadrado?
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El área del cuadrado es 8,5 al cuadrado. Bien, bueno, pues 8,5 al cuadrado.
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El cuadrado es este de aquí. Son 72,25. Bueno, pues ya estamos.
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Ya hemos hecho el ejercicio número 78. Ahora tenemos que hacer algo ya de geometría en tres dimensiones.
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- Materias:
- Matemáticas
- Autor/es:
- Pablo de Agapito Vicente
- Subido por:
- Pablo De A.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 70
- Fecha:
- 20 de abril de 2020 - 8:46
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES CONDE DE ORGAZ
- Duración:
- 20′ 18″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
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