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Integrales indefinidas. Métodos de integración - Contenido educativo

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Subido el 12 de marzo de 2026 por Roberto A.

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A 9 de marzo del 26, ¿vale? El día de la tortilla. 00:00:01
A ver, enseñaros unas cosillas, chavales. 00:00:05
He subido, como os lo dije, he subido en la parte de representación de funciones 00:00:08
la gráfica x partido del logaritmo neperiano de x y la del logaritmo neperiano de x partido de x. 00:00:13
Entonces, lo suyo sería, es que ustedes lo intentáis, ¿vale? 00:00:19
Aquí en esta, en esta, en la unidad 11, en representación gráfica, ¿vale? 00:00:22
He subido estas dos funciones que son importantes, ¿vale? Está tanto X, partido de logaritmo neperiano de X, como logaritmo neperiano partido de X, que os dije que lo hicierais este fin de semana. 00:00:29
Entonces, están ahí hechos y si tenéis alguna duda, pues me lo decís, ¿vale? Son funciones que incluso ya os dije que me entraron a mí en las oposiciones y sobre todo, por ejemplo, el año pasado, hace dos años en Andalucía, la preguntaron esta misma, ¿no? 00:00:42
Y es que es muy completa, es muy completa esta función, ¿vale? 00:00:56
Oye, ¿qué tiene que ver esto? 00:01:01
¿Dime? 00:01:02
¿Qué tiene que ver esto? 00:01:03
¿Cómo? 00:01:04
O sea, que ahora el punto de conocimiento es el siguiente. 00:01:05
Claro, claro, mira, aquí está el dominio, el signo. 00:01:08
Una cosa muy importante también es el signo, ¿vale? 00:01:10
El signo muchas veces no se hace, pero me da mucha idea de cómo se va a comportar la función, ¿de acuerdo? 00:01:13
Luego están los puntos de corte, las asíntotas. 00:01:19
aquí lo que pasa es que me equivoqué 00:01:22
y puse aquí la representación 00:01:24
gráfica, pero la monotonía 00:01:27
la curvatura y demás, muchas veces 00:01:28
cuando ya tenemos muchísima 00:01:31
información no hace falta irse a la curvatura 00:01:33
yo lo he hecho para 00:01:35
hacerlo lo más completo 00:01:36
posible, igual aquí 00:01:39
en este caso pues el dominio, el signo de la 00:01:40
función que también es importante, los puntos de corte 00:01:43
las asíntotas, la monotonía 00:01:45
y ya su representación 00:01:46
gráfica, entonces 00:01:49
se supone que lo teníais que haber hecho 00:01:50
para el fin de semana, también os mandé 00:01:52
para el fin de semana, vierais 00:01:55
los vídeos de 00:01:56
V11 de integrales 00:01:58
¿por qué? porque 00:02:00
me interesa 00:02:01
mucho que no partierais de 00:02:05
cero, entonces, de igual 00:02:06
forma tengo que subir bastante 00:02:08
más cosas, pero 00:02:10
aquí en la parte de 00:02:12
lo diré 00:02:14
de cálculo de primitiva, la unidad 00:02:16
12, subí aquí un esquema de integrales, que igual, lo que os digo, esquema de integrales. 00:02:18
Esto de aquí, chavales, me refiero, no podemos hacer por desgracia todas. Lo que sí quiero 00:02:25
que veáis, que es lo que vamos a empezar hoy, que creo que, bueno, vimos las inmediatas 00:02:35
el otro día, ¿no? Vimos las inmediatas y creo que nos quedamos con las integrales por 00:02:38
parte. Las integrales por parte, esto sigue esta regla de aquí, ¿eh? Las trigonométricas nos quedan, ¿no? Vale. Vale, las trigonométricas, vamos a ver las inmediatas. ¿Por qué? Porque si os dais cuenta, aquí en las trigonométricas hay unos cambios de, os diré, de variable, que es que a lo mejor puede tardar más de media hora o incluso a lo mejor ustedes, 00:02:42
20 minutos de cada ejercicio. Entonces, lo que sí yo he hecho aquí son precisamente todo este esquema de integrales, que sería bueno que lo vierais, pues que veáis cómo dependiendo, por ejemplo, en las trigonométricas, que es lo que tenemos, los cambios de variables que se hacen son diferentes. 00:03:12
Me refiero, lo malo que tienen muchas veces las integrales es que para dar cuenta del cambio de variable que tienes que elegir, pues como te equivoques en ese cambio, no sabes hacer la integral y has perdido mogollón de tiempo, ¿no? 00:03:31
Entonces, aquí hay una serie de casos. Cuando el seno es impar, pues normalmente se coge coseno de t igual a t, coseno de x igual a t. 00:03:44
cuando el impar es el coseno se coge al revés, el seno de x es igual a t, y luego también tenemos senos o cosenos elevados a m, 00:03:52
donde m es par, que normalmente tenemos que utilizar funciones trigonométricas y demás, y luego, por ejemplo, el caso cuarto, 00:04:02
donde el seno es par y el coseno también es par, el cambio de variable suele ser tangente de x igual a t. 00:04:09
¿Qué es lo que ocurre? Que hay que hacer, la verdad, que bastantes cosas, que ya os digo que yo aquí lo he hecho, precisamente al final te sale una inmediata, ¿vale? Pero los cambios de variable que tenemos que hacer para conseguir todo esto de aquí, pues son potentes, ¿vale? Son potentes. 00:04:17
Por ejemplo, dice ella que nos quedamos en las trigonométricas, ¿no? Bueno, pues si hacemos esto de aquí, me lo voy a traer, si hacemos este ejercicio, fijaros, aquí lo que tengo yo es un seno elevado al cubo por el coseno de x, ¿verdad? 00:04:38
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:05:02
Lo que ocurre es que aquí normalmente se suele utilizar el cambio de variable coseno de x igual a t, ¿vale? 00:05:06
Lo que ocurre es que luego yo tengo que derivar todo esto de aquí, este cambio de variable, y aquí nos aparecen los diferenciales, ¿vale? 00:05:17
Es decir, si yo derivo el coseno de x, lo que tengo es menos n o de x por diferencial de x. 00:05:26
Y si yo derivo la t, ¿qué tengo? El diferencial de t. 00:05:33
Esta podría ser seno a la cuarta partido de x partido al 4. 00:05:39
¿Por qué? Porque la derivada de esta es el coseno. 00:05:44
Entonces, pero si te das cuenta, claro, aquí a lo mejor con los cambios de variable también se obtiene esto. 00:05:49
Pero lo que quiero que veáis, que en este caso que sí sería inmediata, ¿por qué? 00:05:57
Porque tengo la variable esta de aquí. 00:06:03
Aquí estoy en el caso de que yo tenga una función de x elevado a m y aquí tenga esa derivada de la función. 00:06:05
Esto en teoría es f de x elevado a m más 1 partido m más 1. ¿Vale, chavales? Entonces, ¿qué ocurre? En este caso de aquí, pues esto sería seno a la cuarta de x partido de 4 más una constante de integración. 00:06:13
Entonces, chavales, lo que yo siempre quiero que hagáis es que cuando ustedes integréis, ¿de acuerdo? 00:06:32
Cuando ustedes integréis, luego intentad derivar. 00:06:36
¿Por qué? Porque si yo derivo, ¿qué tengo que obtener? 00:06:39
Precisamente tengo que obtener el integrando. 00:06:43
Es decir, yo tengo que obtener esto de aquí. 00:06:45
¿Vale, chavales? Esto de aquí. 00:06:49
Y vamos a ver si es verdad o no. 00:06:51
Si yo esto lo derivo, ¿qué sería? 00:06:53
4 por seno al cubo de x partido de 4. 00:06:55
¿Y cuánto es la derivada del seno de x? 00:07:01
Coseno de x. 00:07:03
¿De acuerdo? 00:07:05
Y esto a mí, ¿qué me queda? 00:07:05
Seno al cubo de x, coseno de x. 00:07:07
¿Vale? 00:07:10
Pero, ¿qué es si yo no caigo en eso de la derivada? 00:07:11
Pues, aquí lo que tenemos que ver es cuando yo tengo aquí el seno con impar 00:07:15
y lo que hago es este cambio de variable. 00:07:21
Y fijaros lo que tenemos que armar, ¿vale? 00:07:24
Lo que tenemos que armar con los cambios de variable. 00:07:27
Lo que yo quiero reflejar con esto es que muchas veces las integrales, 00:07:31
como nos quieran poner una integral normal, vamos, normal que no sea inmediata y demás, 00:07:36
pues los cambios que tenemos que hacer y demás son bastante duros, son bastante duros. 00:07:44
Entonces, ¿qué ocurre? 00:07:49
Que aquí el procedimiento suele ser precisamente cuando tengo el seno impar, 00:07:50
que estoy en el caso este de aquí, en el caso 1, impar en el seno, pues entonces hago el coseno de x. 00:07:57
Aquí, por ejemplo, si yo tuviera esta función de aquí, chavales, si yo tuviera esta función de aquí, 00:08:09
esta no la podría hacer inmediata, ¿lo ves? Esta función de aquí no sería inmediata, esta de aquí. 00:08:14
¿Por qué? Porque la derivada de seno de x es coseno de x y no es coseno cuadrado de x. 00:08:21
Entonces aquí no me queda más remedio que hacer el cambio de variable coseno de x es igual a t. 00:08:30
¿Vale? Coseno de x es igual a t. 00:08:37
Y entonces ¿qué ocurre? Que si yo ahora esto lo derivo, que tengo menos seno de x diferencial de x es diferencial de t. 00:08:39
¿De dónde? Diferencial de x es menos de t partido de seno de x, ¿vale? 00:08:47
Y entonces, ¿por qué os quiero yo saber esto? 00:08:53
Porque fijaros, fijaros aquí, es que esta es complicada, esta es complicada. 00:08:56
Aquí yo tendría un t al cuadrado, ¿verdad? 00:09:04
¿Veis que yo tengo aquí? Esto sería seno al cubo de x, esto sería t al cuadrado 00:09:07
y diferencial de x, que es menos diferencial de t partido de seno de x. 00:09:13
¿Lo veis todos? 00:09:19
¿Sí o no? 00:09:20
Y entonces, ¿aquí qué me quedaría? 00:09:21
Este se me va con este, me queda un seno al cuadrado de x, 00:09:23
t al cuadrado menos diferencial de t. 00:09:27
Y ahora, ¿qué ocurre? 00:09:31
Que tengo que echar mano de las ecuaciones trigonométricas. 00:09:32
No sé si os acordáis que el teorema fundamental de la trigonometría me decía esto, ¿verdad? 00:09:35
El seno al cuadrado más coseno al cuadrado es igual a 1. 00:09:43
Entonces, el seno al cuadrado de x es igual a 1 menos coseno al cuadrado de x. 00:09:45
Y como coseno al cuadrado de x es igual a t al cuadrado, esto es lo mismo que 1 menos t al cuadrado. 00:09:51
¿Lo veis, chavales? 00:09:59
Esto aquí se forma la verdad que la mundial, ¿eh? 00:10:00
Se forma aquí la mundial. 00:10:04
Y entonces, si yo ahora sustituyo que tengo aquí 1 menos t al cuadrado por t al cuadrado menos diferencial de t, ¿verdad? 00:10:05
Que esto que es realmente este menos me invierte el signo de todo esto de aquí. 00:10:14
Entonces, este cuadrado menos 1 por t al cuadrado diferencial de t. 00:10:18
¿Habéis visto lo que he hecho? 00:10:23
Habéis visto lo que he hecho, he hecho este cambio de variable. 00:10:25
Y luego tengo que derivar manteniendo diferencial de x, diferencial de t. 00:10:28
sustituyo el coseno de x 00:10:32
que es, es decir, coseno cuadrado 00:10:34
de x es t al cuadrado 00:10:36
¿lo veis? y ahora aquí 00:10:39
despejo diferencial de x que es 00:10:40
igual a menos diferencial de t partido de 00:10:42
seno de x, ¿de acuerdo? 00:10:44
entonces, ¿qué es lo que tengo aquí ya chavales? 00:10:46
tengo estas que son inmediatas, ¿verdad? 00:10:48
menos t al cuadrado 00:10:50
diferencial de t, entonces 00:10:52
¿esto a qué es igual? ¿cuál es la integral de t 00:10:54
a la cuarta, chavales? 00:10:56
t a la quinta partido de 5 00:11:00
¿Y cuál es la integral de t al cuadrado? 00:11:02
t al cubo partido de 3 más la constante de integración, ¿vale? 00:11:04
Por eso yo necesitaba que mirarais los vídeos, 00:11:10
porque si no es que esto lo tenéis que dominar como el comé. 00:11:14
De hecho, ¿cuál es la derivada de t quinta partido de 5? 00:11:18
Pues el 5 que se va con este 5, da la cuarta. 00:11:21
¿Cuál es la derivada de t al cubo partido de 3? 00:11:24
El 3 pasa aquí, que se va con este 3, y me queda t al cuadrado. 00:11:26
¿Y ahora qué tengo que hacer, chavales? 00:11:30
Pues lo que tengo que hacer es deshacer el cambio, ¿vale? 00:11:31
Entonces, T es coseno de X, ¿no? 00:11:34
Pues aquí tengo coseno a la quinta de X partido de 5 menos coseno al cubo de X partido de 3 más la constante K. 00:11:36
Y yo os invito a que si ustedes deriváis esto, si ustedes deriváis esto, os tiene que salir esto de aquí. 00:11:48
Dime. 00:11:56
Cuando tú cambias de variable, ¿cuál es? 00:11:57
Coseno de x es igual a t, ¿vale? 00:12:06
Y entonces, ahora aquí, yo lo que necesito es saber cuánto vale de x, ¿vale? 00:12:09
Entonces, si yo dirijo, ¿cuál es la derivada de coseno de x? 00:12:15
Es menos seno de x, y aquí se añade diferencial de x, ¿vale? 00:12:18
Y la derivada de t es 1, ¿verdad? 00:12:23
Pero se añade diferencial de t. 00:12:26
Entonces, si yo despejo diferencial de x, 00:12:29
esto es menos de t partido seno de x. 00:12:31
¿Vale? 00:12:38
Esto se puede complicar todo lo que tú quieras y más. 00:12:40
Esto se puede complicar todo lo que tú quieras y más. 00:12:43
Entonces, esta de aquí también es inmediata, ¿no? 00:12:46
Pero, ¿cómo sabes que es inmediata? 00:12:54
porque si tengo la derivada o no... 00:12:56
Espérate, esta de aquí. 00:12:59
Esta del logaritmo neperiano. 00:13:01
Sí, un momentillo. 00:13:02
A ver. 00:13:05
Esta de aquí. 00:13:06
Cuando lo que es muy importante, inmediata, 00:13:08
son las que tenéis aquí, en esta hoja. 00:13:11
¿Vale? 00:13:14
Son en esta hoja. 00:13:15
Entonces, yo lo que siempre tengo que buscar 00:13:16
es la relación entre una función que yo tenga y su derivada. 00:13:18
¿Vale? 00:13:23
Entonces, aquí es lo que ocurre. 00:13:23
Es que yo sé cuál es la derivada de seno de x. 00:13:25
Seno de x, ¿y su derivada cuál es? 00:13:29
Coseno de x, ¿lo veis? 00:13:32
Y yo esto lo tengo aquí, ¿sí o no? 00:13:34
Entonces, ¿esto es lo mismo, chavales, que coseno de x por seno a la menos 2 de x diferencial de x? 00:13:37
Sí, ¿no? 00:13:45
Recordad que había una propiedad que si yo tengo 1 partido de a elevado a b, 00:13:46
esto es lo mismo que a elevado a menos b, ¿vale? 00:13:52
de las potencias. Entonces, ¿qué ocurre? Que yo aquí tengo mi función f de x es igual 00:13:55
a seno de x. ¿Lo veis? ¿Qué es lo que ocurre? Que está elevado a un exponente que es menos 00:14:02
2. ¿Lo veis? Y aquí tengo f' de x. Sí, ¿no? Entonces, me tengo que ir a la que es 00:14:07
del tipo la función compuesta, la primera, la primera de la derecha. ¿Vale? Entonces, 00:14:15
Esto realmente que es, yo tengo mi función elevada a un exponente que es menos 2 y tengo su derivada, ¿no? 00:14:23
Entonces esto realmente que es seno de menos 2 más 1 de x partido de menos 2 más 1 más la constante de integración. 00:14:31
¿Lo veis? ¿No? Y entonces esto que es, esto es seno menos 1 partido de menos 1 más la constante. 00:14:42
Esto realmente es menos 1 partido de seno de x, que se me ha ido aquí la x, más la constante, ¿vale? 00:14:50
Si yo derivo esto, chavales, fijaros, si yo derivo esto, ¿qué es? 00:14:58
¿Esto qué sería? 00:15:02
¿Esto qué sería si yo lo derivo? 00:15:04
Esto sería, si quiero hacer lo de la división, la primera parte es 0, ¿verdad? 00:15:07
Luego sería menos 1 por coseno de x y abajo sería seno al cuadrado de x menos por menos, es más, esto que es coseno de x partido seno al cuadrado de x, que era precisamente lo que yo tenía. 00:15:12
Entonces, esta es inmediata. 00:15:29
Esta es inmediata. 00:15:30
Esta es inmediata. 00:15:32
Que no caemos en la inmediatez, pues aquí también se puede resolver. 00:15:32
Aquí también se puede resolver haciendo el cambio. 00:15:37
Como el coseno es impar, a ver. 00:15:40
Como el coseno es impar, pues se puede hacer con el cambio seno de x igual a t. 00:15:48
¿Vale? 00:15:54
Y creo que lo tengo hecho aquí abajo, si no me equivoco. 00:15:54
¿Vale? 00:16:00
Esta de aquí. 00:16:00
Y si yo hago seno de x igual a t, seno al cuadrado de x es t al cuadrado. 00:16:01
Y ahora la derivada que es coseno de x derivada de x igual a diferencial de t. 00:16:06
Sustituyo porque coseno de x diferencial de x es diferencial de t. 00:16:12
Y seno cuadrado de x es t al cuadrado. 00:16:16
¿Lo veis? 00:16:19
¿Sí? 00:16:20
Dime. 00:16:20
También. 00:16:23
Lo que pasa es que muchas veces no te merece la pena, Claudia. 00:16:26
Si tú ves la media t, por eso es inmediata. 00:16:29
¿Vale? 00:16:32
Lo que pasa es que no siempre se ve. 00:16:32
Ese es el problema. 00:16:34
Que no siempre lo vemos. 00:16:35
Entonces, aquí en este caso, si lo hacemos así, 00:16:36
fijaros, al final tengo la misma solución, ¿o no? 00:16:39
¿Veis lo que he hecho aquí, o no? 00:16:42
¿Vale? 00:16:45
Es la misma función. 00:16:45
Lo único que yo a lo mejor no caigo en lo que dice Claudia, 00:16:48
de que esta es la derivada de esta y es inmediata, ¿vale? 00:16:51
Entonces, ¿qué hago? 00:16:54
Como el coseno es impar, hago este cambio de variable, ¿de acuerdo? 00:16:55
Seno de x es igual a t. 00:16:58
Por lo tanto, seno cuadrado de x es igual a t. 00:17:01
Si yo esto lo derivo, es coseno de x diferencial de x igual a diferencial de t. 00:17:03
Es decir, todo esto de aquí que es, chavales, diferencial de t. 00:17:09
Y seno al cuadrado de x que es t al cuadrado. 00:17:14
Entonces me queda esto de aquí. 00:17:17
Esta es inmediata, ¿verdad? 00:17:19
¿Por qué? 00:17:20
Porque esto es t a la menos 2 diferencial de t. 00:17:21
Y esto que es t elevado a menos 2 más 1 partido de menos 2 más 1. 00:17:25
¿Vale? 00:17:29
Esto de aquí es menos 2 más 1. 00:17:30
y esto de aquí es 00:17:33
menos 2 más 1 00:17:35
por lo tanto me queda menos 1 partido de t 00:17:36
y ahora deshago el cambio 00:17:39
recordamos que t es igual a seno de x 00:17:40
he obtenido lo mismo 00:17:42
he obtenido lo mismo 00:17:44
¿vale? 00:17:46
¿sí? ¿sí o no? 00:17:48
pero el tiempo porque la otra 00:17:50
es un concepto que está 00:17:51
utilizando 00:17:53
aquí abajo o en la anterior 00:17:54
en la anterior 00:17:58
que es la misma ¿no? 00:18:00
dime 00:18:02
aquí desaparece 00:18:02
no, lo que pasa es que fíjate, hay una integral 00:18:08
definida que cuando me dice 00:18:10
que si yo tengo 00:18:11
una función elevada a m o m 00:18:12
una potencia, ¿vale? este n 00:18:17
tiene que ser distinto de menos 1 00:18:19
¿vale? porque si no es un logaritmo neperiano 00:18:21
y yo tengo aquí además su derivada 00:18:23
¿vale? esta es la derivada 00:18:25
pues resulta que es inmediata, es la primera 00:18:27
que tenemos en la tabla, tienes esta hoja 00:18:29
la primera a la derecha 00:18:31
¿Vale? Esto es f de n más 1 partido n más 1 más la constante de integración. 00:18:33
Entonces date cuenta que yo aquí que lo tengo coseno de x lo he dejado igual, 00:18:41
pero seno cuadrado de x lo he puesto como seno elevado a menos 2 de x, 00:18:46
precisamente por esta propiedad de las potencias. 00:18:50
¿Vale? 00:18:53
¿Sí o no? 00:18:54
¿Este de aquí? 00:18:58
Claro, es lo que te digo. 00:18:59
¿El coseno es la derivada del seno? 00:19:00
Pues entonces es inmediata. Fíjate lo que tengo aquí. Yo tengo mi función, mi f de x, es el seno. Y está elevado a n. n vale a menos 2. 00:19:03
Y encima tengo la derivada del seno, que es el coseno. ¿Sí o no? Entonces estoy en este caso. ¿Sí o no? ¿Vale? Necesito la derivada. 00:19:12
Más o menos, chavales, ¿lo veis? Todo esto se puede complicar mogollón, pero mogollón. 00:19:23
aquí por ejemplo, estas 5 00:19:29
estas 5 00:19:32
fijaros todo lo que tenemos 00:19:34
que armar para llegar 00:19:37
a esto 00:19:38
de aquí, chavales 00:19:40
tenemos que armarla de Dios 00:19:42
entonces, por eso os digo 00:19:44
que integrales como tal 00:19:46
nos pueden poner lo más grande 00:19:48
yo siempre lo dejaría para 00:19:50
al final, a menos que yo vea que 00:19:51
efectivamente una integral polinómica 00:19:54
es muy fácil o una integral 00:19:56
inmediata de senos o cosenos, ¿vale? 00:19:58
¿Sí? ¿Sí o no? 00:20:01
Entonces, chavales, echarle un vistazo a este esquema 00:20:04
y aquí he puesto una serie que me quedan bastante. 00:20:06
Ayer me pegué una pechada de hacer integrales que no veas. 00:20:11
Y hay mogollón de ejercicios de integrales 00:20:14
que os tengo que subir por partes, ¿vale? 00:20:17
Porque me quedan bastantes por haceros, ¿de acuerdo? 00:20:19
Entonces, por desgracia, no me da tiempo aquí a hacerlos todos. 00:20:23
Y voy a ir un poco rápido en el sentido de que veáis 00:20:26
los mecanismos que es lo que a mí me interesa, ¿vale? Como lo tenéis aquí subido, echarle 00:20:28
un vistazo. Fijaros, chavales, voy a empezar de las más sencillas a las más complicadas. 00:20:32
Esta de aquí es una función polinómica que está dividida entre dos. Yo divido por 00:20:37
dos cada uno de ellos, la separo, ¿de acuerdo? Y es inmediata. ¿Cuál es la derivada de 00:20:41
x al cuadrado? x al cubo partido de 3. ¿Cuál es la derivada de x? x al cuadrado partido 00:20:46
de 2. ¿Cuál es la derivada de 1? Es x, ¿vale? Siempre tengo que añadir la constante de 00:20:49
derivación. Si yo, por ejemplo, chavales, tengo de aquí que es x partido de raíz cúbica de x, aquí lo que siempre tengo que ver es lo de la potencia, recordar estas propiedades que os la pongo aquí en colorado, ¿vale? Es la raíz emésima de a elevado a p, eso es una potencia siempre que es igual a a elevado a p partido de m. ¿Qué ocurre? Que raíz cúbica de x, que es x elevado a un tercio, ¿lo veis? Y luego hay otra propiedad que a elevado a 00:20:56
De 1 partido de a elevado a m es igual que a elevado a menos m. 00:21:26
Por lo tanto, tengo aquí, chavales, x por x elevado a 1 menos 1 tercio. 00:21:30
Y luego tengo que aplicar las propiedades de potencia. 00:21:35
Cuando multiplico potencia, que es la misma base que se hacían con sus exponentes, 00:21:37
se sumaba. 00:21:41
Entonces, 1 menos 1 tercio son 2 tercios. 00:21:41
Esta es inmediata también, ¿vale, chavales? 00:21:44
Esta es inmediata. 00:21:47
Esto es x elevado a 2 tercios más 1 partido de 2 tercios más 1. 00:21:48
¿Qué es lo que ocurre? 00:21:51
Que luego lo que queda bonito es racionalizar, ¿vale? 00:21:53
Entonces, esto lo pasamos de nuevo a raíz 00:21:56
y luego podemos sacar factor común, 00:21:58
podemos sacar de la raíz un x, ¿vale? 00:22:01
Como esto está subido, chavales, 00:22:04
echadle un vistazo. 00:22:06
A mí lo que me interesa son las metodologías. 00:22:07
Por ejemplo, esta de aquí, chavales, 00:22:09
¿qué es lo que quiero que veáis? 00:22:11
Yo aquí tengo una racional, ¿verdad? 00:22:12
Una racional. 00:22:14
Y ahora me fijo en el denominador. 00:22:15
¿Cuál es la derivada del denominador? 00:22:17
¿Cuál es la derivada de 2x más 7? 00:22:19
¿Cuál es la derivada de 2x más 7? 00:22:22
un 2. ¿Vale? Es un 2. 00:22:25
¿Tengo un 2 arriba? 00:22:27
¿Lo puedo multiplicar por 2 y 00:22:29
dividir entre 2 y se me quede igual? 00:22:31
¿Sí? Pues entonces aquí es una de las técnicas 00:22:33
más habituales. ¿De acuerdo? Es 00:22:35
buscar arriba la derivada 00:22:37
del de abajo. ¿Vale? Entonces, 00:22:39
como la derivada de 2x más 7 es 00:22:41
un 2, yo aquí lo que puedo hacer 00:22:43
chavales es, pongo 00:22:45
un 2 y aquí lo 00:22:47
tengo que multiplicar por un medio, porque 00:22:49
un medio por 2, ¿cuánto es? 00:22:51
1, un medio por 2 00:22:52
un número por su inverso siempre es 00:22:55
un 1, ¿de acuerdo? 00:22:58
entonces chavales, tengo ya aquí la derivada 00:22:59
del de abajo 00:23:02
y entonces fijaros aquí 00:23:03
en la segunda inmediata 00:23:05
la segunda inmediata, ¿qué me dice? 00:23:07
que cuando yo tengo 00:23:09
una función 00:23:11
una función 00:23:12
que está en el denominador o uno partido 00:23:14
de la función por su derivada 00:23:17
eso es igual al logaritmo neperiano 00:23:19
de esa función, ¿de acuerdo? 00:23:21
Esta es otra de las típicas 00:23:24
que sí van a caer bastante, ¿eh? 00:23:26
Es una racional donde yo tenga 00:23:28
que buscar al final 00:23:30
la derivada de lo de abajo 00:23:32
arriba, ¿de acuerdo? 00:23:34
Y una cosa, cuando pongáis logaritmo neperiano 00:23:35
poner el argumento siempre 00:23:38
en valor absoluto, ¿de acuerdo? 00:23:40
Porque el logaritmo neperiano, su argumento 00:23:41
siempre tiene que ser estrictamente mayor que cero. 00:23:44
¿Habéis entendido lo que he hecho aquí, chavales, o no? 00:23:46
¿Sí? 00:23:49
De 2x más 7 es un 2. 00:23:51
No la tengo, ¿verdad? 00:23:53
No tengo aquí un 2. 00:23:55
¿La tengo aquí o no? 00:23:57
Vale, pues entonces, ¿qué hago? 00:23:59
Yo multiplico por 2, pero tengo que también multiplicar por un medio. 00:24:00
¿Para qué? Para que se me quede igual. 00:24:04
¿Vale? 00:24:07
Entonces, yo ya aquí, fíjate, yo aquí ya sí lo tengo. 00:24:07
¿Lo veis? 00:24:10
Que tengo aquí. 00:24:11
¿Vale? 00:24:12
Vale, esta de aquí, esta es inmediata. 00:24:13
¿Vale? 00:24:16
Esta es la derivada de una suma de una resta, es la suma o la resta de derivada. 00:24:16
Entonces, ¿cuál es la derivada de x? x cuadrado partido de 2. ¿Cuál es la integral de seno de x? Menos coseno de x. ¿Vale? Y lo único que se pone es una única constante de integración, que yo la separe. ¿Vale, chavales? Estas sí que son inmediatas. 00:24:21
Y siempre os digo lo mismo, si tú pruebas, ah, al resultado lo deriva, me tiene que dar precisamente lo que tengo aquí. 00:24:37
¿Vale, chavales? Entonces, cuando integréis, luego deriváis y os tiene que dar el integrando, ¿vale? 00:24:45
Efectivamente, es al revés. La derivada del seno es el coseno, pero la integral del seno es menos coseno, ¿vale? 00:24:54
Y si no, tú piensa, ¿qué derivada me tiene que dar seno? ¿Qué derivada me tiene que dar seno? Yo sé que la derivada del coseno es menos seno, ¿verdad? Entonces, menos coseno me tiene que dar seno, ¿vale? Dime. 00:25:01
Sí, de integración 00:25:21
Esto se me ha ido a la olla 00:25:26
Esto de integración 00:25:27
Esto se me ha ido aquí 00:25:29
A la olla al máximo 00:25:31
Yo aquí lo que pasa es que he separado 00:25:32
Precisamente la propiedad 00:25:35
Que me dice que la suma o la resta 00:25:38
De integrales es la resta o la suma 00:25:40
De integrales, si yo integro 00:25:42
X es X cuadrado 00:25:44
Partido de 2 más una constante, ¿sí o no? 00:25:46
Si yo integro seno de X 00:25:48
esta, entonces yo tendría dos constantes 00:25:50
al final, lo que se hace, se pone 00:25:51
una única constante de integración, ¿vale? 00:25:53
aquí hay una errata, esto es integración 00:25:55
¿vale, chavales? 00:25:57
entonces 00:25:59
cuando yo tengo x cuadrado 00:26:00
más uno al cuadrado, fijaros 00:26:03
aquí, ¿vale? esta de aquí que parece 00:26:05
fácil, que no, vamos 00:26:08
y lo es, ¿vale? 00:26:10
esta de aquí, chavales, que tengo una 00:26:11
función elevada al cuadrado, ¿sí o no? 00:26:13
para que fuese inmediata 00:26:16
yo tendría que tener aquí la derivada 00:26:17
de x cuadrado más 1, ¿sí o no? 00:26:19
Que la derivada de x cuadrado más 1, ¿cuánto es? 00:26:21
2x. ¿Tengo aquí 2x? 00:26:24
No. Igual que yo 00:26:26
puedo multiplicar por 2 y 00:26:28
dividir entre 2 y demás, lo que 00:26:29
no puedo añadir nunca es una x 00:26:31
a la integración, ¿vale? 00:26:34
Nunca puedo añadir la x. 00:26:35
Entonces, si yo tuviera, por ejemplo, chavales, 00:26:37
esto de aquí, es distinta, 00:26:39
¿vale? Aquí, ¿cuál es la 00:26:43
derivada de x cuadrado más 1? 00:26:45
2x. Entonces yo aquí 00:26:47
sí que necesito aquí un 2 00:26:48
y por lo tanto yo lo que hago es 00:26:51
multiplico por un medio para compensar 00:26:53
ese 2, ¿verdad? 00:26:55
Entonces esta sí, esto es un medio 00:26:57
y esta ya sí que es inmediata. 00:26:59
¿Veis que es inmediata? 00:27:02
Porque yo tengo esta función de aquí 00:27:03
y aquí tengo su derivada. 00:27:05
Esta es f de x 00:27:07
y esta es f' de x. 00:27:08
Es distinta la de arriba, ¿eh? 00:27:10
Esta es distinta la de arriba. Quiero que veáis 00:27:12
la distinción. 00:27:14
Entonces, ¿qué ocurre? Esto sería un medio 00:27:16
¿Y cuál es la derivada integral de 2x por x cuadrado más 1 al cuadrado? 00:27:18
Es x cuadrado más 1 elevado a 2 más 1 partido de 2 más 1. 00:27:23
¿Lo entendéis? 00:27:29
¿Sí? 00:27:31
Más mi constante de integración. 00:27:31
Y entonces, ¿esto qué es? 00:27:33
Es un medio de x cuadrado, bueno, estos tres, más 1 al cubo partido de 3. 00:27:34
Es decir, más la constante. 00:27:43
La constante no olvidarse nunca, ¿vale? 00:27:45
Que es lo que suele también fallar mucho la gente. 00:27:47
Entre 6 más la constante. 00:27:51
Esto si tuviera esto de aquí. 00:27:53
Dime, hija. 00:27:54
La constantista la tienes que poner así, 00:27:56
se puede poner una fila. 00:27:58
¿Una qué? 00:27:59
Una fila. 00:27:59
Sí, yo es que a mí me gusta ponerle este 00:28:00
para distinguirla. 00:28:02
Una K también le puedes poner, ¿vale? 00:28:03
Entonces, ¿aquí qué es lo que ocurre? 00:28:06
Yo aquí no tengo la derivada, ¿lo veis? 00:28:07
Yo aquí no tengo la derivada. 00:28:10
No tengo aquí 2X, 00:28:11
pero es que no tengo ni la X. 00:28:15
Entonces aquí la única posibilidad es desarrollar este binomio. ¿Vale? ¿Y cuál es una identidad notable, chavales? Es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. ¿Vale? Lo desarrollo. Y estas ya son inmediatas, ¿verdad, chavales? 00:28:16
Esto es x a la quinta partido de 5 más, voy a hacer esta primera, ¿vale? Esto es 2x al cubo partido de 3 más x más la constante de integración. ¿Vale, chavales? Es decir, yo aquí no tengo ninguna x que la necesito. Aquí sí, ¿vale? Estos son dos ejemplos distintos. 00:28:35
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Desarrollo el binomio, ¿vale? El binomio que es una identidad notable. 00:28:56
Era el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. 00:29:02
Y aquí yo ya tengo integrales inmediatas, ¿vale? Integrales inmediatas. 00:29:07
¿Sí? Digo... 00:29:13
Si tú haces la derivada de lo que acabas de hacer, te tienes que dar x más 4. 00:29:14
Es que si yo hago la derivada de 2x más 1, me da 2x. 00:29:17
Y como... 00:29:21
De los resultados... 00:29:22
Sí, sí, sí, sí. Deriva esto y te va a salir x cuadrado más 2x cuadrado más 1, que al final y a la postre es x cuadrado más 1 al cuadrado, ¿vale? Otra cosa es que tú creigas que esto realmente es x cuadrado más 1 dos veces, ¿vale? Pero te tiene que dar, ¿vale? Te tiene que dar. 00:29:23
Artema, Fernanda 00:29:43
aquí chavales, por ejemplo 00:29:46
esta, esta de aquí 00:29:54
si yo hago esta de aquí 00:29:55
¿qué dices? 00:29:57
pues esta aquí puedo desarrollar 00:30:00
al cubo 00:30:02
que la mayoría de ustedes no recordáis 00:30:04
como se 00:30:06
el binomio de Newton 00:30:07
¿vale? que esto realmente 00:30:10
Chavales, cuando tengo a más b al cubo, esto es al cubo más 3a cuadrado b más 3ab cuadrado más b al cubo, ¿vale? Esto, natillas de anones, no os acordáis. 00:30:12
Pero, ¿qué ocurre? Yo tengo aquí una función al cubo. ¿Cuál es la derivada de x menos 5, chavales? ¿Cuál es la derivada? ¿1? ¿Lo tengo aquí? 00:30:26
Sí, ¿no? Pues entonces esta es inmediata. Esto es x menos 5 elevado a 3 más 1 partido 3 más 1 más la constante de integración. 00:30:35
Es decir, x menos 5 a la cuarta partido de 4 más la constante. 00:30:46
Y es lo que os digo, si yo derivo esto, chavales, ¿qué ocurre? 00:30:53
Esto es 4 que se va con este 4, x menos 5 al cubo, ¿y cuánto es la derivada de x menos 5? 00:30:56
un 1. Es decir, se me queda esto de aquí. ¿Vale? ¿Sí? Venga. O si no, fija los chochos 00:31:03
que hay que montar y luego ya derivas en 1. ¿De acuerdo? Entonces vamos ahí a lo sencillo. 00:31:11
Cuando tengo una raíz, chavales, cuando tengo una raíz, siempre voy a intentar poner la 00:31:16
raíz como potencia. Entonces, cuando yo tengo la raíz de 3x más 5, esto realmente es lo 00:31:20
mismo que 3x más 5 elevado a un medio. ¿De acuerdo? Y ahora, ¿cuál es la derivada de 00:31:26
3x más 5? Un 3. 00:31:31
Entonces, ¿yo qué es lo que he hecho? Como la 00:31:33
derivada de 3x más 5 00:31:35
es un 3, yo multiplico 00:31:37
por 3, pero tengo que multiplicar también por 00:31:39
un tercio para que se me quede 00:31:41
todo igual, ¿vale? Y entonces, ¿qué ocurre? 00:31:43
Yo tengo un tercio y aquí, 00:31:45
chavales, ¿qué es lo que ocurre? Que tengo 3x 00:31:47
más 5 elevado a un medio, pero 00:31:49
tengo también la derivada de 3x 00:31:51
más 5, que es 3. Por lo tanto, esta 00:31:53
¿cómo es? Es 00:31:55
inmediata. Es 3x 00:31:56
más 5, un medio más 1 00:31:59
partido de un medio más uno, ¿vale? 00:32:01
Y luego lo tengo que volver a pasar a raíz, ¿vale, chavales? 00:32:03
¿Cómo lo veis? 00:32:07
Otra posibilidad es hacer un cambio de variable, ¿vale? 00:32:11
Otra cosa es que tú caigas en el cambio de variable. 00:32:14
Los cambios de variables, 00:32:17
que son más los de los cambios de variable de integración, 00:32:18
que hay algunos casos donde sí se aconseja ciertos cambios 00:32:20
y otros que dices tú, 00:32:24
vaya fumada se han hecho aquí para hacer el cambio. 00:32:26
Entonces, aquí lo único es que tú puedes decir, 00:32:28
Bueno, pues como tengo una raíz cuadrada, lo que me interesa es que lo de dentro sea t, ¿de acuerdo? 00:32:31
Entonces, en vez de tener la integral de un polinomio, tengo la integral de t. 00:32:40
¿Qué es lo que ocurre? Que yo al derivar esto, tengo 3x diferencial de x más diferencial de t. 00:32:45
Por lo tanto, diferencial de x es de t partido de 3, ¿de acuerdo? Si despejo. 00:32:51
Aquí, ¿qué ocurre? 00:32:57
Que 3x más 5 es t y derivada de x es dt partido de 3. 00:32:58
Esto es un tercio. 00:33:02
La raíz de t la pongo como t elevado a 1 medio y, de nuevo, es inmediata. 00:33:03
¿Vale? 00:33:09
t elevado a 1 medio es t elevado a 1 medio más 1 partido de 1 medio más 1, 00:33:09
que es 3 medios y 3 medios. 00:33:13
¿De acuerdo? 00:33:15
¿Sí o no? 00:33:16
Y al final obtengo exactamente, chavales, exactamente lo mismo. 00:33:16
¿Vale? 00:33:22
Esta de aquí es inmediata. 00:33:23
coseno de x, ¿cuál es la derivada de 00:33:24
coseno de x? es menos seno de x 00:33:26
por lo tanto, ¿cuál es la integral de coseno 00:33:28
de x? seno de x, ¿por qué la integral 00:33:30
de coseno de x es 00:33:33
seno de x? porque al derivar seno 00:33:34
de x obtengo coseno de x 00:33:36
y aquí existe más lo que conté el otro día 00:33:38
¿vale? ¿qué ocurre 00:33:40
cuando se integra el elevado a x? 00:33:43
que se quede igual, ¿vale? por eso estaba 00:33:45
en la fiesta el hombre solo 00:33:46
¿vale? entonces la integral de 00:33:48
elevado a x es elevado a x 00:33:50
¿De acuerdo? Aquí otro ejemplillo más, chavales. Lo pongo siempre. Aquí también hay un problema que me encuentro en muchos, chavales, en muchos exámenes, ¿vale? Siempre lo más fácil para nosotros es sumar y restar, ¿vale? Eso es lo de siempre. 00:33:52
Pero, sin embargo, por ejemplo, yo tenía un profesor que siempre decía, la suma y la resta son nuestros enemigos. Sin embargo, la multiplicación y la división son nuestros amigos. ¿En qué sentido se basaba este hombre? Porque cuando yo tengo, por ejemplo, 5 más 7 partido 5, hay gente que me tacha los 5. 5 más 7 partido de 5 me tacha los 5 y dice que es 7, ¿vale? Y eso me lo encuentro así muchas veces. 00:34:11
¿Qué es lo que ocurre? Que normalmente ahí sí que os podéis dar cuenta, pero cuando aparecen las X os hacen un chocho tremendo. 00:34:37
¿Cuándo puedo cepillarme yo cosas? Cuando yo lo que tengo arriba son factores y abajo son factores, es decir, van multiplicando y van iguales, lo puedo tachar. 00:34:44
Pues ocurre también lo mismo con las raíces, es decir, la raíz de una suma no es la suma de raíces. 00:34:52
La raíz de una resta no es la suma de raíces, pero sin embargo, la raíz de una multiplicación es la multiplicación de raíces y la raíz de una división es la división de raíces. 00:35:01
Por lo tanto, yo esto de aquí lo puedo poner como la división de estas raíces. 00:35:12
¿Y esto de aquí qué es? Esto al final es una constante. Una constante que yo la puedo sacar fuera. ¿Lo veis? La puedo sacar fuera. 00:35:16
¿Y ahora aquí qué me queda? Esto es el pie elevado a 2 tercios. Siempre tengo que poner las raíces como potencia. 00:35:23
Y x elevado a 2 tercios, ¿qué es? Es inmediata. Es x elevado a 2 tercios más 1 partido de 2 tercios más 1. ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Aquí, coseno cuadrado de x. No sé si recordáis que hay una función que al derivarla me da 1 partido coseno cuadrado de x. ¿Qué función al derivarla me da 1 partido coseno cuadrado de x? La tangente de x. 00:35:29
¿Vale? Entonces, ¿esto qué es igual? A7 tangente de x más la constante, ¿vale? Aquí he puesto una k, se puede poner la c rara esta que yo pongo, ¿vale? Es decir, esto de aquí es igual a 7 por la derivada de x partido de coseno de x y esta es inmediata. 00:35:56
¿Qué se puede hacer también con potencia? 00:36:10
Pero no tienes aquí el seno. 00:36:14
No tienes aquí el seno. 00:36:17
¿Vale? 00:36:19
Entonces aquí lo que puedes hacer también es un cambio de variable, 00:36:20
un chocho tremendo. 00:36:23
Lo único es saberse que esta es inmediata. 00:36:24
¿Vale? 00:36:27
El seno aquí es inmediato. 00:36:28
Y ahora volvemos aquí a lo mismo, chavales. 00:36:30
Fijaros, esta de aquí. 00:36:32
Es que tengo aquí 16 horas a la puta que no me va a dar tiempo. 00:36:35
Es que vamos fatal de tiempo. 00:36:37
yo lo siento mucho, chavales 00:36:39
al final con la semana de exámenes 00:36:41
es que hemos perdido 4 horas de exámenes 00:36:43
pero bueno, vale, yo tengo aquí 00:36:45
dos funciones, vale 00:36:47
aquí dos funciones, ¿qué es lo que ocurre? 00:36:48
que yo tengo seno de x cuadrado 00:36:51
más 4 00:36:54
¿vale? entonces 00:36:55
¿qué ocurre? 00:36:57
que yo tengo aquí que es 00:36:59
la derivada de x cuadrado menos 4 00:37:01
es 2x, ¿verdad? 00:37:03
¿sí o no? tengo aquí 00:37:05
Que es 2x. Entonces, ¿qué ocurre? Que si yo aquí multiplico un medio y por 2 se me queda igual y ahora que tengo aquí 2x, ¿lo veis? 00:37:07
Buscando el que la derivada de x cuadrado menos 4 es igual a 2x. Y yo ya tengo aquí 2x. 00:37:21
Entonces, esta de aquí ya es inmediata o no es inmediata. No es inmediata, ¿no? ¿Por qué? 00:37:28
vamos a probarlo 00:37:36
hay una función que al derivarla 00:37:45
me de el seno de algo 00:37:47
por la derivada de ese algo 00:37:49
esto no es 00:37:50
menos coseno 00:37:53
bueno esto es menos un medio 00:37:54
menos un medio 00:37:56
de coseno 00:37:59
de x cuadrado menos 4 00:38:01
más una constante 00:38:03
vamos a probar a derivar esto 00:38:04
si yo esto lo derivo chavales 00:38:06
¿qué es lo que tengo? 00:38:08
tengo menos 1 medio 00:38:09
la derivada del coseno 00:38:10
es menos seno 00:38:12
de x cuadrado menos 4 00:38:15
y ahora al aplicar la regla de la cadena 00:38:16
¿cuál es la derivada de x cuadrado menos 4 chavales? 00:38:18
es 2x 00:38:22
este menos con este menos se me va 00:38:24
este 2 con este 2 se me va 00:38:26
¿y qué me queda chavales? 00:38:29
es x por el seno de x cuadrado menos 4. 00:38:30
¿Vale? 00:38:36
Entonces, aquí tenéis la 1, 2, 3, 4, la quinta. 00:38:36
Un segundillo. 00:38:40
Perdóname un segundo. 00:38:44
La quinta tengo la integral de seno de f de x 00:38:45
por la derivada de seno de f de x 00:38:49
por la derivada de f de x, 00:38:53
que es lo que tengo aquí. 00:38:55
Tengo seno de f de x 00:38:56
y aquí casi la derivada, 00:38:57
que multiplicándolo por 2 y por un medio, 00:39:00
ya lo tengo, entonces estoy aplicando 00:39:02
la quinta 00:39:04
claro, tú me habías hecho una pregunta ya 00:39:05
si tú, cuando pones lo de los x 00:39:08
pones, digamos, 6x 00:39:10
o sea, delante 00:39:12
tienes que poner un sexto 00:39:14
sí, siempre el inverso, ¿vale? 00:39:15
pues a veces, imagínate que aquí 00:39:19
me aparece un 6, a mí yo lo que 00:39:20
necesito es un 2, ¿verdad? 00:39:22
entonces, ¿qué hago? que 6 es 2 por 3 00:39:24
saco el 3 fuera y ya lo tengo 00:39:26
no tengo que multiplicar 00:39:28
y lo puedo hacer también, me saco el 6 00:39:30
y luego multiplico por 2 por 1 medio 00:39:32
pero 6 por 1 medio, ¿cuánto es? 00:39:34
¿Vale? 00:39:39
¿Vale, chavales? Esta es inmediata 00:39:40
también. Esta de aquí, chavales 00:39:42
estas también son inmediatas pero pasa 00:39:47
una cosilla. Esta de aquí 00:39:49
Fijaros 00:39:50
¿Cuál es la derivada de 2x? 00:39:52
¿Cuál es la derivada de 2x? 00:39:55
¿Y cuál es la derivada 00:39:59
de menos x? 00:40:01
menos 1, ¿verdad? 00:40:02
Entonces, ¿qué ocurre? 00:40:07
Que esto de aquí, ¿vale? 00:40:08
¿Yo cómo lo puedo poner? 00:40:10
¡Guau! 00:40:12
Ahora me va a salir 800 veces. 00:40:16
Esto de aquí es elevado a 2x diferencial de x 00:40:19
más 3 integral de elevado a menos x 00:40:22
diferencial de x. 00:40:26
¿Lo veis, verdad? 00:40:27
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:40:30
Yo ese 3 lo puedo sacar fuera. 00:40:32
Entonces, a ver si esto quiere. 00:40:35
Ahora, ¿vale? 00:40:36
esta de aquí es inmediata 00:40:37
es inmediata, necesito 00:40:39
necesito tener aquí la derivada 00:40:42
de 2x que es un 2 00:40:44
¿qué es lo que voy a hacer chavales? meto aquí un 2 00:40:45
y aquí tengo que poner un medio 00:40:48
¿lo veis? ¿sí o no? 00:40:50
¿cuál es la derivada de 00:40:52
menos x? un menos 1 00:40:54
entonces pongo aquí un menos 00:40:56
¿y qué ocurre? que yo aquí multiplico 00:40:57
por menos 1 ¿estáis de acuerdo conmigo 00:41:00
o no? ¿veis los trucos que hay que 00:41:02
hacer? ¿sí? entonces ¿qué 00:41:04
me queda aquí, un medio 00:41:06
la derivada de esto 00:41:08
¿cuál es? 00:41:10
¿cuál es la integral? 00:41:12
elevado a 2x, ¿vale? 00:41:13
y aquí este menos 00:41:16
con aquí sería menos 3 00:41:17
elevado a menos x 00:41:19
más c, ¿de acuerdo? 00:41:21
vuelvo a lo mismo chavales 00:41:24
si yo no estoy convencido 00:41:26
derivo, derivo, ¿vale? 00:41:28
si yo derivo esto 00:41:30
este 2 se me va con este 2 y me queda 00:41:31
elevado a x, que es esto de aquí 00:41:34
este menos se me va con este menos 00:41:35
es un más, más 3 elevado a x 00:41:38
más 3 elevado a e menos x 00:41:39
¿vale chavales? 00:41:42
Estos son los tipos que yo creo 00:41:44
que son las más 00:41:46
proclives para que caigan en la pau 00:41:48
según me está diciendo 00:41:50
Javier, como nos quieran poner 00:41:51
una de estas 00:41:53
malagueñas. Esta de aquí chavales 00:41:55
me interesa muchísimo, ¿por qué? 00:41:58
porque aquí hay mucha gente que se confunde 00:42:00
y es muy fácil. Fijaros aquí 00:42:01
Fijaros aquí, esta función de aquí, esto de aquí, yo lo puedo hacer como 2 elevado a 1x diferencial de x más 2 por 1 partido de x cuadrado diferencial de x. 00:42:04
¿Lo puedo hacer o no? Sí, ¿verdad? La suma de una suma es la suma de integrales cuando yo tengo la integral de una constante por una función en la constante por la integral. 00:42:17
Entonces, ¿esta de aquí es inmediata? 00:42:31
Esta de aquí es, ¿qué es? 00:42:34
x elevado a menos 1. 00:42:36
Por lo tanto, sería menos 1 más 1 partido de menos 1 más 1. 00:42:38
¿Sí o no? 00:42:42
¿Vale? 00:42:45
Es el único caso que no vale. 00:42:45
¿Por qué? 00:42:47
Porque me salió la división por 0. 00:42:48
Esto es 2 por el logaritmo neperiano. 00:42:50
Y, chavales, aquí ponerme valor absoluto siempre, ¿vale? 00:42:52
Sin embargo, ¿esto qué es? 00:42:56
Esto es realmente x elevado a menos 2, ¿vale? 00:42:58
Entonces, esto es más 2 por x elevado a menos 2 más 1 partido menos 2 más 1 más la constante de integración. 00:43:02
¿Vale, chavales? 00:43:12
Entonces, ¿esto qué me queda? 00:43:13
Me queda 2 logaritmo neperiano de x más 2 por x elevado a menos 1 partido de menos 1 más la constante. 00:43:15
Pero como esto no queda bonito como ustedes, esto es 2 logaritmo neperiano de x menos 2 partido de x más la constante. 00:43:25
Y así ya quedaría perfecto. 00:43:34
Igual, yo os invito a que si tú lo derivas, te tiene que dar esto. 00:43:38
¿Vale? 00:43:42
¿Lo entendéis, chavales, o no? 00:43:44
Aquí, esta es inmediata, ¿vale? 00:43:47
Esta de aquí, esta de aquí es cachonda. 00:43:49
¿Vale? 00:43:51
Esta de aquí es cachonda, pero vamos, que no es complicada. 00:43:52
Lo único que tenemos que saber, operar, ¿vale? Operar con potencia, ¿de acuerdo? Entonces, chavales, y aquí es lo que yo os digo, aquí es lo que yo os digo. Cuando yo tengo, si fuera al revés, ya sería una jodienda, ¿eh? Si fuese al revés toda la vuelta, ya sería una jodienda. 00:43:54
pero sin embargo 00:44:10
como yo tengo aquí una suma 00:44:12
partido de X, tiene un denominador 00:44:14
común, ¿verdad? que es X al cuadrado 00:44:16
¿sí o no? yo eso lo puedo 00:44:18
poner, chavales 00:44:20
como X partido de X cuadrado 00:44:21
más raíz de X 00:44:25
¡joder! 00:44:26
diferencial de X, lo puedo separar en dos 00:44:28
¿sí? ¿sí, verdad? 00:44:30
y ahora que tengo que jugar 00:44:32
con las propiedades de potencia 00:44:34
esto es 1 partido de X 00:44:36
¿verdad? 00:44:38
conmigo, y esto 00:44:38
¿qué es? esto es 00:44:41
x elevado a un medio 00:44:42
menos 2 00:44:45
¿vale? esto es 00:44:46
x elevado a un medio 00:44:49
partido de x al cuadrado 00:44:51
se restan los exponentes ¿vale? 00:44:53
y entonces chavales, esto de aquí ¿qué era? 00:44:55
logaritmo neperiano, esto es logaritmo 00:44:57
neperiano de x, y esto que 00:44:59
es un medio menos 2 00:45:01
es menos 3 medios ¿verdad? 00:45:02
entonces esto es x menos 00:45:05
3 medios más 1 00:45:07
partido de menos tres medios más uno 00:45:08
más la constante de integración, ¿vale? 00:45:11
Entonces esto me queda logaritmo neperiano de x 00:45:14
menos menos tres medios más uno es menos un medio, ¿verdad? 00:45:17
Entonces esto es un dos 00:45:22
y esto me queda, ¿qué hemos dicho? 00:45:24
Menos un medio. 00:45:27
Menos un medio es raíz de x 00:45:29
que tengo que racionalizar 00:45:31
y me queda logaritmo neperiano de x 00:45:33
más 2 raíz de x 00:45:37
partido de x más la constante 00:45:41
de integración. ¿Vale, chavales? 00:45:43
Escuchadme. 00:45:45
Aquí hay 16 hojas 00:45:47
de tal. Mañana 00:45:49
lo que quiero ver 00:45:50
son... 00:45:52
Chavales, 00:45:54
cosas que nos quedan. Bueno, mañana 00:45:58
examen. 00:46:00
Podéis presentaros todos, lo único que 00:46:02
quien quiera subir nota. 00:46:04
Al final lo que hacemos es romper el examen 00:46:06
Si no estáis convencidos o no. 00:46:08
El examen, como tal, ya os digo, todavía no está aprobado al 100%. 00:46:10
Hoy lo tenemos que aprobar sí o sí. 00:46:14
Yo he propuesto dos cosas, si os soy sincero. 00:46:17
He puesto dos ejercicios, ¿vale? 00:46:19
Lo que pasa es que con muchos apartados. 00:46:21
Entonces, son dos ejercicios. 00:46:23
Cinco de geometría, cinco puntos y cinco de funciones. 00:46:24
¿Qué es lo que pretendemos, chavales? 00:46:28
Cinco puntos, cinco puntos cada uno. 00:46:31
¿Qué es lo que pretendemos con cada apartado? 00:46:32
Que ningún apartado dependa del anterior, ¿vale? 00:46:35
Es decir, que si tú no sabes hacer un apartado, pues que no te jodas el siguiente, ¿vale? 00:46:38
¡Complicado, complicado! 00:46:45
En la hora de clase, en principio he puesto dos cosas. 00:46:49
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Idioma/s:
es
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
12 de marzo de 2026 - 10:57
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
46′ 57″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
99.91 MBytes

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