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Continuidad y Derivabilidad con Parámetros - Contenido educativo
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Vamos a ver ya el típico problema de examen, que es determinar valores de a y b para que la función sea continua y derivable, es decir, es una aplicación de los vídeos anteriores.
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Como hemos dicho, lo primero miramos es una función definida a trozos y vemos que cada uno de los trozos de la función son polinómicos, por lo tanto va a ser continuo en cada uno de esos trocitos.
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¿Dónde podemos tener el problema? ¿Dónde vamos a tener que hacer el estudio?
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Pues justamente en el punto donde estamos haciendo el cambio de trozo
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En este caso, en 1
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Vale, pues vamos a ver, lo primero
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Vamos a imponer que sea continua
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¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 1?
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Pues eso lo que quiere decir es que el límite
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Cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x
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Tiene que ser igual al límite
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Cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x
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Y tiene que ser igual a f de 1
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¿Vale?
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Venga, pues vamos a ir calculando
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El igual, en estos ejercicios siempre el igual está con el menor
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Así que, pero no os acostumbréis que hay que mirar siempre donde está
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Luego en este caso sabemos que f de 1 coincide con el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de ax más b.
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Sustituimos la x por 1 y esto me da a más b.
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Ahora calculamos el límite por la derecha cuando x tiende a 1 por la derecha y ahora es de x cuadrado.
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En este caso esto vale 1 al sustituir la x por 1.
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¿Qué queremos? Queremos que la función sea continua. Luego estos dos valores tienen que ser iguales. Luego de aquí sale mi primera ecuación. a más b igual 1. Esta es la primera ecuación que obtengo para calcular los parámetros que ha salido de estudiar o de imponer que la función sea continua.
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Ahora, ¿qué es lo que vamos a hacer? Vamos a imponer que la función sea derivable.
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Vamos a calcular, ¿quién es la derivada de f de x?
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Hemos dicho que una función definida a trozos, calcular la derivada, es hacer la derivada de cada uno de los trozos.
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La derivada de la primera función será aquí simplemente a, cuando la x es estrictamente menor que 1, recuerdo,
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y la derivada de x cuadrado es 2x cuando x es mayor que 1.
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Y como nos pasaba antes, son polinomios, por lo tanto son derivables, son continuas, es todo perfecto,
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pero tenemos que mirar justamente en el punto en el que cambiamos.
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¿Qué tenemos que hacer ahora? Pues imponer que sea derivable en x igual a 1.
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Y imponemos, o sea, queremos que f de x sea derivable en x igual a 1.
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¿Y esto qué significa? Eso lo que significa es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f' de x
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tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f' de x.
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¿Vale? Eso es lo que nosotros queremos.
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Bien, pues a ver, vamos a imponerlo.
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Lo voy a ir poniendo aquí arriba.
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¿Cuánto es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda?
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Por la izquierda es a, no sustituyo la x porque no hay x, esto es exactamente a, ¿vale?
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Que ese es uno de los fallos que a veces cometemos.
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Y aquí que obtenemos ahora que el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f' de x, que en este caso es 2x,
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sustituyo la x por 1 y esto es 2.
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Y lo que nosotros queremos es que estos dos valores sean iguales.
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Bueno, pues nos sale muy fácil porque ya obtenemos que a vale 2.
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Si a vale 2, ¿qué es lo que sabíamos? Que a más b tenía que ser 1.
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Por lo tanto, b es 1 menos a, b es 1 menos 2, es decir, que b tiene que ser menos 1.
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Pues ya estaría resuelto. Ahora lo único que tendríamos que es que contestar.
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Pues, para que f de x sea continua y derivable en x igual 1, a tiene que ser 2 y b tiene que ser menos 1.
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Bueno, me he comido... no he escrito todo, pero bueno, entendéis lo que tiene que ocurrir, ¿verdad?
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Lo que tenemos que poner.
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Y ya estaría el ejercicio.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 30 de marzo de 2025 - 13:59
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 05′ 21″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 12.76 MBytes