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Continuidad y Derivabilidad con Parámetros 2 - Contenido educativo
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Vamos a ver otro ejemplo en el que me están pidiendo calcular los valores de los parámetros a y b para que la función sea derivable en x igual 1.
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Aunque solamente me hablen de derivabilidad, ya sabemos que implícitamente me están hablando de continuidad, ya que para que sea derivable tiene que ser continua.
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Lo primero, vamos a ver para que sea continua, vamos a ver cómo son cada una de las ramas.
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La primera función, la primera parte, la x más 5 es una función polinómica
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Por lo tanto está definida en todos los reales y es continua en todo su dominio
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La segunda rama, fijaos, la primera parte es una raíz
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Raíz de x, pero estamos para los x mayores que 1
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Lo que significa que la raíz de x en este caso va a existir
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Porque estamos en valores positivos
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Y luego también tenemos la siguiente suma
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es b partido por x, solamente se anularía el denominador cuando la x fuera 0, pero estamos para los x mayores que 1.
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¿Esto qué quiere decir? Que el dominio, o sea que tampoco se nos anula, ¿vale?
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Y por lo tanto el dominio en cada una de esas ramas está bien definida, serían digamos los reales,
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es decir, está bien definida ahí el dominio en cada una de esas ramas y por lo tanto las funciones,
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la función, o cada una de esas funciones, va a ser continua en su trozo correspondiente.
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Como siempre, ¿dónde tendremos que estudiarlo? En el 1, ¿vale?
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Todo esto que yo lo digo de palabra en el examen, y sobre todo para los que vayáis a la EBAU,
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lo tenéis que escribir, es decir, lo que podéis poner simplemente es que la función está definida
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en cada uno de esos trozos, ¿vale? Y por lo tanto es continua.
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Pero eso lo tenemos que dejar claro. Vale, pues ahora ya vamos a hacer las imposiciones que necesitamos.
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Para que sea derivable en x igual 1, lo primero que tiene que ocurrir es que sea continua, queremos que sea continua en x igual 1, ¿vale?
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Para que sea continua en x igual 1, esto lo que quiere decir es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función
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tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de la función
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igual al valor de la función.
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Vale, pues a ver cómo en casi todos estos últimos ejercicios
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el valor de la función coincide con el límite por la izquierda.
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Pues lo ponemos, límite cuando x tiende a 1 por la izquierda
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y esto es de ax más 5.
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Sustituimos la x por 1 y me queda a más 5.
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calculamos ahora el límite por la derecha de A raíz de X más B partido por X
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si la X vale 1 aquí me queda simplemente A más B
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como queremos que esto sea igual pues de aquí sacamos nuestra primera ecuación
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que es A más 5 igual a A más B
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y fijaos que suerte tenemos las A se nos van porque pasaría restando
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y que me queda que la b es 5, ¿vale? No tenemos que hacer mucho más.
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Esto es lo primero que tiene que ocurrir para que la función pueda ser derivable.
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Hemos estudiado la continuidad. Ahora vamos a hacerlo aquí a la derecha.
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Ahora lo que queremos es que sea derivable en x igual 1, ¿vale?
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y esto lo que significaba es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la derivada
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tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de la función derivada.
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Lo primero vamos a calcular la derivada, f' de x.
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La derivada del trozo de arriba es simplemente a, y esto es cuando la x es menor que 1.
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Os recuerdo que no ponemos el igual, ¿vale?
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Porque para que estos límites coincidan
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Y es el valor de esos límites coincidiría con el valor de la función
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De la derivada, ¿vale?
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Y ahora vamos a ir derivando el segundo trozo
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La derivada de la raíz de x era 1 partido por 2 veces la raíz
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Luego esto es a partido por 2 veces raíz de x
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Más b partido por x
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La derivada de 1 partido por x es menos 1 partido por x al cuadrado.
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Luego esto sería menos b partido por x al cuadrado.
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A ver, yo las estoy haciendo rápida porque son fórmulas de las que me sé.
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Si no, vosotros pues lo vais haciendo las derivadas poquito a poco.
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Y ahora ya vamos calculando.
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Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de a.
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Igual que en el ejemplo anterior.
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No tengo x, por lo tanto el valor, aunque sustituya, va a seguir siendo a.
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A la derecha, límite cuando x tiende a 1 por la derecha, ahora es a partido por 2 veces raíz de x menos b partido por x cuadrado.
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Sustituimos la x por 1 y esto me queda a partido por 2 menos b.
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Queremos que estos dos valores sean iguales, luego obtengo la ecuación a igual a medios menos b.
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Entonces podemos, bueno, restamos o quitamos denominadores directamente y aquí me queda 2a, paso la a a la izquierda, igual a menos 2b.
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¿Vale? He multiplicado todo por 2.
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2a menos a es a y me queda que a es igual a menos 2b.
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Habíamos calculado antes que b era 5, por lo tanto esto es menos 10.
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Luego a es igual a menos 10.
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Y ahora respondemos los valores, pues, si a es igual a menos 10 y b es igual a 5, entonces f de x es derivable en x igual a 1.
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Fijaos que siempre hacemos lo mismo en este tipo de ejercicios. Muy sencillito.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 8
- Fecha:
- 30 de marzo de 2025 - 14:00
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 33″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 15.32 MBytes