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Ec Matricial- Caso 2 - Contenido educativo

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Subido el 26 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver el segundo caso de ecuaciones con matrices, que es cuando no podemos despejar la incógnita. 00:00:00
Por ejemplo, vamos a verlo con este caso que suelen ser muy comunes este tipo de ejercicios. 00:00:06
Nos dicen que tenemos las matrices, o sea, la ecuación matricial x por a igual a a por x. 00:00:11
Muchas veces nos piden calcular la matriz x que hace que el producto por la matriz a sea conmutativo. 00:00:17
Pues esto es lo que me quieren decir. 00:00:22
¿Qué ocurre aquí? Que aquí por mucho que quisiéramos no podríamos despejar la x. 00:00:24
En estos casos, ¿qué vamos a hacer? Bueno, pues dependiendo del orden de la matriz A que me den, así nos crearemos con letritas la matriz X. 00:00:29
En este caso, en este ejemplo, me dicen que la matriz A es una matriz 2x2 que vale 1, 4, 0, 2. 00:00:37
Pues como es una matriz 2x2, ¿nosotros qué vamos a hacer? Pues vamos a suponer que nuestra matriz X es la formada por A, B, C y D. 00:00:47
Ponemos todos los elementos con letras, las que queramos 00:00:56
Podríamos poner A11, A12, pero sería más lioso 00:01:00
Así que ponemos las letras 00:01:06
Y ahora operamos 00:01:08
Aquí que me queda X por A, pues esto sería 00:01:09
A, B, C, D por la matriz A, que es 1, 4, 0, 2, igual a la matriz A, que es 1, 4, 0, 2, por la matriz X, que acabamos de poner, que es A, B, C, D. 00:01:12
Pues vamos multiplicando 00:01:32
Matriz 2 por 2 se puede multiplicar 00:01:36
Empezamos primera fila por primera columna 00:01:39
Ya lo voy a ir haciendo de cabeza, ¿vale? 00:01:42
No lo voy a ir marcando 00:01:44
A por 1 es A más 4 por B es 4B 00:01:45
A más 4B 00:01:48
Espero que todos controléis ya cómo se suman 00:01:50
O sea, cómo se multiplican 00:01:53
Siguiente elemento 00:01:54
Primera fila, segunda columna 00:01:55
A por 0 es 0 más B por 2 es 2B 00:01:57
Segunda fila por primera columna, C por 1, C, más D por 4, 4D, así que C más 4D 00:02:00
Y el último elemento, segunda fila, segunda columna, C por 0, 0, D por 2, 2D 00:02:10
Y ahora multiplicamos el segundo miembro 00:02:18
Primera fila por primera columna, 1 por A, A, 0 por C, 0, así que me queda solamente A 00:02:24
Primera fila, segunda columna, 1 por B, B, 0 por D, 0, así que me queda solamente aquí el B 00:02:30
Segunda fila, primera columna, 4 por A, 4A, más 2 por C, 2C 00:02:37
y segunda fila, segunda columna, 4 por b, 4b, más 2 por d, 2d. 00:02:45
Y ya tengo aquí esta igualdad de matrices y aquí es donde vamos a sacar nuestras ecuaciones. 00:02:56
Para que dos matrices sean iguales tienen que ser los elemento a elemento, así que vamos igualando los elementos. 00:03:01
Elemento 1, 1 de cada una de las matrices, pues me queda que A más 4B tiene que ser igual a. 00:03:08
Segundo elemento, el 1, 2, 2B tiene que ser igual a B. 00:03:17
El elemento 2, 1, C más 4D tiene que ser el elemento 2, 1 de la otra matriz, 4A más 2C. 00:03:25
Y el último elemento, 2D, que tiene que ser igual a 4B más 2D, ¿vale? 00:03:35
Pues este sería el sistema. 00:03:46
Hemos pasado de resolver una ecuación matricial a un sistema de ecuaciones. 00:03:48
Como era una matriz 2x2, lo que tenemos son 4 incógnitas. 00:03:52
Si hubiera sido una 3x3, hubiéramos tenido 9 incógnitas, cada uno de los elementos de la matriz. 00:03:56
¿Vale? Pues a ver, vamos a ir viendo por las más fáciles. 00:04:02
La segunda ecuación, la segunda ecuación me queda que 2b es igual a b, esto de cabeza lo tendríamos que sacar, para que el doble de un número sea igual al número la única posibilidad es que el número sea cero, si no lo veo, ¿qué hacemos? Pues 2b menos b, esto es cero, he pasado la b al miembro de la izquierda, 2b menos b es b y que me queda que la b es cero, lo que os había dicho. 00:04:04
¿Vale? Luego ya tenemos la primera solución 00:04:27
B es 0 00:04:31
Si B es 0 en la primera ecuación 00:04:32
¿Qué me queda? 00:04:34
A más 4B 00:04:35
A más 0 es A 00:04:36
Luego me queda que A es igual a 00:04:38
Esta ecuación no me sirve porque no me está dando ninguna información 00:04:40
Ya que lo que obtengo es cierto 00:04:43
¿Dónde tenemos otra B? 00:04:45
En la última ecuación 00:04:48
Si yo sustituyo la B por 0 00:04:49
¿Qué obtengo? 00:04:52
Que 2D es igual a cuánto? 00:04:52
4B es 0 00:04:55
0 más 2D 00:04:56
2D, me pasa como la primera ecuación, ¿vale? 2D es igual a D, esto es cierto, pero no me da ninguna 00:04:57
información. Luego, ¿qué es lo único que me queda? ¿Qué ecuación me queda? Me queda la ecuación del 00:05:03
medio, la tercera, ¿vale? Pues vamos a despejarla, lo que vamos a tener que hacer es poner una incógnita 00:05:10
en función de las otras dos, como de la A y de la D, no tengo ninguna información, va a ser, voy a 00:05:17
intentar poner la C en función de la A y de la D, ¿vale? Entonces, a ver, voy a pasar 00:05:25
la C, esta C, a la derecha y este 4A a la izquierda y me quedaría 4D menos 4A igual 00:05:33
Igual a 2C menos C. 00:05:45
Y a esto, 2C menos C, ahora lo escribo primero. 00:05:49
2C menos C es C. 00:05:52
C igual a 4D menos 4A. 00:05:54
Vale, pues aquí es donde yo sé que vosotros en este tipo de sistemas os bloqueáis, 00:06:02
porque es como, ¿y ahora qué hacemos? No sé hacer nada. 00:06:07
A ver si lo sabéis hacer. 00:06:09
Es igual que cuando resolvemos un sistema por Gauss 00:06:11
y obtenemos que es un sistema compatible indeterminado. 00:06:13
Eso significa que hay algunas soluciones que dependen de parámetros. 00:06:17
Vale, pues eso es lo que hemos hecho aquí. 00:06:21
A es igual a, pues, A va a ser un número real. 00:06:23
D es igual a D, lo que significa que D va a ser también nuestro parámetro, 00:06:28
que también va a ser un número real. 00:06:33
Y C que está en función de la D y de la A, pues ya lo tendríamos. 00:06:34
¿Quién va a ser entonces mi matriz X? 00:06:39
Pues X, si queréis lo pongo aquí arriba, X va a ser, ¿qué matriz? A, hemos dicho que es A, B, sabemos que es 0, C, que sabemos que es 4D menos 4A y D es D, ¿vale? 00:06:40
Luego mi matriz X va a ser esta matriz para A y D, números reales, 00:07:00
que significa que dependiendo de los números que yo le dé a la A y a la D, 00:07:07
obtengo una matriz, es decir, que en este caso hay infinitas matrices que se solucionan, ¿vale? 00:07:11
O sea, es un sistema incompatible indeterminado. 00:07:17
Tenemos infinitas soluciones. 00:07:20
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
26 de enero de 2025 - 15:26
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
07′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
17.63 MBytes

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