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Ejemplo de Examen - Ej 4) - Contenido educativo
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Vale, pues vamos con el ejercicio 4, como os he dicho con el 3, aunque os lo he puesto como un único ejercicio de calcular puntos de inflexión con cavidad y convexidad, normalmente esto te lo ponen solamente en un apartado, ¿vale?
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O sea, lo suyo sería, por ejemplo, apartado A, la monotonía y máximos y mínimos, apartado B, curvatura y puntos de inflexión, pero voy a ser buena para este último examen y por lo tanto os lo estoy poniendo, os lo voy a poner así, ¿vale?
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para facilitaros, pero que tengáis en cuenta que lo normal es que sean apartados, no un ejercicio
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completo. Bien, vamos a empezar. Igual que hemos hecho antes en el de monotonía, yo puedo empezar
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calculando los puntos de inflexión y a partir de ellos mirar cómo va a ser concavidad y convexidad
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o a partir de la concavidad y convexidad calcular después los puntos de inflexión. En este caso es
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Es una función polinómica, por lo tanto son las mejores.
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Ya sabemos que es continua, o sea que su dominio es R y es continua en todo R.
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Fabuloso, ¿verdad?
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Venga, pues vamos a empezar.
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Los puntos de inflexión, ¿qué tienen que ocurrir?
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Tienen que ser los puntos en los que la derivada segunda es 0.
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Pues empezamos.
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f' de x.
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Ya sé que hay una fracción y que diríais, Dios mío, pero está puesto a la aposta.
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El 4 por 1 cuarto es 1 y me quedaría x cubo menos 3x cuadrado.
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¿Cuánto es la derivada segunda? Pues 3x cuadrado menos 6x.
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Y ahora lo que queremos es que la derivada segunda sea 0 para calcular los posibles puntos de inflexión.
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Resuelvo y me queda 3x cuadrado menos 6x igual 0
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De aquí sacamos factor común a la x y me queda x por, también podríamos sacar al 3, ¿vale?
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3x menos 6 igual 0
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Y de aquí obtenemos dos posibles soluciones
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x igual 0 y 3x menos 6 igual 0
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de donde x es 6 entre 3, x es 2.
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Pues estos tenemos nuestros dos posibles puntos de inflexión.
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Para calcular si son puntos de inflexión o no, podríamos calcular la derivada tercera.
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En este caso, como es una función polinómica sencillita, no tarda nada.
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La derivada tercera de x, que sería 6x menos 6,
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y para que sea un punto de inflexión lo que tiene que ocurrir es que la derivada tercera en ese valor sea distinto de cero.
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Por lo tanto, si yo calculo f tercera de cero, esto es menos seis, distinto de cero,
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lo que significa que x igual cero es un punto de inflexión
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Y si yo calculo f tercera en 2, esto es 2 por 6, 12 menos 6, 6, también distinto de 0.
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Luego x igual 2 es un punto de inflexión.
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Normalmente se dan los puntos completos, ¿vale? Con las dos coordenadas.
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Sustituimos arriba y en el x igual 0, si sustituyo, es menos 2.
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Y cuando la x vale 2, sería 2 a la cuarta es 16, 16 entre 4 es 4, 4 menos 8 es menos 4, menos 4 menos 2 es menos 6.
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Por lo tanto esto sería 2 menos 6. Espero no haberme equivocado.
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Y ahora para mirar la concavidad y convexidad, pues vamos a hacer lo mismo que he hecho al estudiar la monotonía.
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voy a poner aquí mi tablita, o sea mi recta real
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empezando aquí por ejemplo en menos infinito
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y aquí pongo los puntos que hemos encontrado
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como es continua y su dominio es R
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no tengo que poner ningún punto entre medias
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si fuera una función racional y tuviéramos un punto
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que no pertenece al dominio lo tendríamos que poner
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y ahora, ¿qué es lo que estudiamos aquí?
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el signo de la segunda derivada
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¿Vale? Vamos a ver cómo es la segunda derivada
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Y dependiendo de cómo sea la segunda derivada, así será la función
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Cogemos un punto intermedio, por ejemplo, menos 1, 1 y 3
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Sustituimos en la segunda derivada
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La segunda derivada la tenemos aquí arriba
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Entonces en el menos 1, esto sería menos 1 al cuadrado
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Es 1, 3 por 1, 3, 3 más 6, 9
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Luego esto es positivo
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Si es positiva es carita sonriente
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¿Vale?
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En el 1
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En el 1 sería 3 menos 6 menos 3
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Por lo tanto carita triste
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Es negativo
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Y en el 3
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Bueno ya sabemos que es un punto de inflexión
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Ya sabíamos que son puntos de inflexión el 0 y el 2
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Por lo tanto en el momento que sé que aquí es sonriente
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Va a ser sonriente triste sonriente
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Pero vamos a comprobarlo
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Por si me he equivocado
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En el 3
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3 al cuadrado es 9 por 3 es 27
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27 menos 18
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también es positivo. Fijaos que estoy diciendo lo de sonriente y triste, porque depende de
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cómo llamemos cada uno, cóncavo o convexo. Ya sabéis que para mí esto es cóncavo,
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esto es convexo y esto es cóncavo. Pero lo importante es que el dibujo sea correcto.
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Entonces ya hemos visto y ya hemos contestado los puntos de inflexión, pues ahora simplemente
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intervalos de concavidad
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y siempre ponemos el dibujo
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para quedar claro
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para dejar claro como lo llamáis
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a mi me da igual como lo llaméis
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pero ser coherentes
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¿vale? con el dibujo
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en este caso esto sería
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de menos infinito a cero
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unión
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dos infinito
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y los intervalos de convexidad
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que es el triste
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que sería de cero a dos
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¿Veis por qué digo que esto normalmente es un apartado y no un ejercicio?
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Porque no se tarda nada en hacer y son muy sencillos.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- Fecha:
- 16 de abril de 2025 - 14:41
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 11″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
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