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Ejemplo de Examen 2 - Ej 4) - Contenido educativo
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Vale, y vamos ya con el último ejercicio, que es lo típico, calcular puntos de inflexión y la curvatura, dónde es cóncava y dónde es convexa.
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Fijaos que en el ejercicio anterior, que era de máximos y mínimos, pongo siempre una función un poquito más complicada, porque solo tenemos que calcular la derivada primera.
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En este caso, con la curvatura os estoy poniendo polinomios, porque tenéis que calcular la derivada segunda, pero ojo, que también nos podemos pedir la curvatura o los puntos de inflexión de funciones racionales.
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¿Vale? Pero bueno, en este caso, si lo estoy poniendo más o menos así sencillito,
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racionales para máximos y mínimos y polinómicas para los puntos de inflexión y la curvatura.
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Venga, lo mismo, para que haya un punto de inflexión, lo que necesitamos es que la derivada segunda se anule.
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Pues vamos a calcular la derivada primera para poder calcular la segunda.
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Tengo fracciones, pero fijaos por qué.
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Porque ahora es un tercio por 3 que es 1 y me queda x cuadrado más un medio por 2 es 1, o sea, me queda x menos 2.
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Y ahora f segunda de x me queda 2x más 1, ¿vale?
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Y ahora lo que hemos dicho que queremos es que la derivada segunda de x sea 0, ¿vale?
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Pues esto significa 2x más 1 igual 0, es decir, x igual a menos 1 medio, ¿vale?
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Me sale fracción, no pasa nada.
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Y ahora lo mismo que hemos dicho antes, bueno, podríamos calcular directamente la derivada tercera, ¿vale?
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Porque en este caso es sencillo, si yo calculo la derivada tercera de x es 2.
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¿Cuánto es la derivada tercera en menos 1 medio?
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pues va a seguir siendo 2 porque no tengo x, es distinto de 0.
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¿Y esto qué significa? Pues significa que x igual a menos 1 medio es un punto de inflexión.
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Y aquí sí que es cierto que tendríamos que calcular el valor,
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y aquí tenemos que tirar un poquito de calculadora o de cálculo mental, según veáis.
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El punto sería menos 1 medio, y ahora voy a intentar hacer, no tengo aquí calculadora, así que de cabeza.
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Sería el menos un medio al cubo es menos un octavo
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Por un tercio sería menos un veinticuatroavos
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Lo voy a poner aquí los cálculos intermedios
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Ahora sería menos un medio al cuadrado es un cuarto
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Por un medio es un octavo
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Menos dos por un medio es más uno
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Y más uno
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Luego esto si le ponemos todo denominado al veinticuatro
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Me quedaría menos uno más tres
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Esto sería dos por veinticuatro, cuarenta y ocho
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Bueno, todo entre 24, y estos serían menos 1 más 3 son 2, más 48, 50, 24 avos, es decir, 25 doceavos.
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Si me he equivocado, pues bueno, ya sabéis que soy de las que me equivoco muy a menudo.
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Vosotros tiráis de calculadora y lo calculáis bien, ¿vale?
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No voy a comprobar los cálculos.
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Simplemente ese sería el punto de inflexión.
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Vale, pues ahora vamos con los intervalos de concavidad y convexidad
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Es un polinomio, lo que significa
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Vale, es un polinomio
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Lo que significa que es continua
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Es continua en todo R
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Ya que su dominio
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Es todo R
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¿Vale? O sea, es lo mejor que nos puede ocurrir
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No tenemos que poner ningún punto
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Directamente
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Hago aquí mi tablita
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Esto está aquí en menos infinito
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Aquí ponemos el punto que hemos obtenido
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Que es menos un medio
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Y aquí ponemos el infinito, no tenemos más
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Y os pongo aquí en un ladito lo que significa cuando es cóncavo y cuando es convexa
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Si la derivada segunda de x es mayor que 0, es sonriente
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Que yo a esto le llamo cóncavo
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Lo que siempre digo, porque es positiva, así que soy feliz
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Si la derivada segunda de x es negativa, está triste
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Y yo le llamo convexa
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me da igual si los dibujos para vosotros son de una manera o le llamáis al revés
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cóncava o convexa, lo que me interesa es que si es positiva tiene que ser una u
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y si es negativa es como si fuera la intersección
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vale, pues ponemos aquí derivada segunda de x
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y aquí como va a ser mi función
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vale, pues a ver, uy he dejado un sitio de más
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Tenía que haber puesto aquí la
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Aquí quería haber puesto el f segunda de x
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Y aquí la f de x
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Porque empieza en menos infinito
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¿Vale?
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No tengo nada más por ahí
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Se me ha ido un poquito
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Entre menos infinito y menos un medio
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Pues por ejemplo cojo el menos uno
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Y entre el menos un medio y el infinito
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Pues cogemos el cero que es más fácil
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Sustituimos el menos uno en la derivada segunda
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Y esto sería menos 2 más 1, menos 2 más 1, menos 1.
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Negativo, por lo tanto, triste.
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Aquí no haría falta, ya sabemos que como es un punto de inflexión,
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está cambiando la curvatura, pero aún así sustituimos para verificar.
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2 por 0, 0, más 1, 1.
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Positivo, convexo y congao.
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Y como sabíamos, este es un punto de inflexión.
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Por lo tanto, ahora, ¿cuáles son los intervalos de convexidad?
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Y para mi convexo es triste, sería de menos infinito a menos un medio.
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Y los intervalos de concavidad, que en este caso solo hay un intervalo cuando es feliz, que es de menos un medio a infinito.
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¿Vale? Y como os dije en el ejercicio anterior, es muy rápido de hacer, por eso normalmente es un apartado en un ejercicio, ¿vale?
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Y lo que os he dicho al empezar, os estoy poniendo polinomios, pero también pudiera ser que fueran funciones racionales,
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o que en lugar de ser solamente un valor, tuviéramos más de uno, ¿vale? Pero sería siempre igual.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- Fecha:
- 18 de abril de 2025 - 14:42
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 25″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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