Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

discusión y resolución con parámetro - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 17 de febrero de 2025 por Francisca Beatriz P.

33 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a ver este ejercicio que es de la EBAU del año pasado y es el típico que os he dicho de discutir y resolver un sistema en función de los valores de un parámetro. 00:00:00
Lo primero que os he dicho, vamos a empezar primero por la parte A que es discutir, lo primero que tenemos que hacer que es siempre, 00:00:15
Bueno, podríamos escribir todas las matrices, yo ya directamente, como no tengo aquí mucho espacio, voy a empezar directamente por el determinante de la matriz de coeficientes, ¿vale? La matriz de coeficientes, escribimos el determinante, por columna son 2, 1, 1, 1, a, 1, 1, 1, a. 00:00:23
Calculamos el determinante, ¿vale? 00:00:48
Aplicamos la regla de Sarrus. 00:00:51
2 por a por a, 2a cuadrado, más 1 por 1 por 1 es 1, más 1 por 1 por 1 es 1, y ahora los negativos. 00:00:53
1 por a por 1 es a, menos 1 por 1 por a es también a, y menos 2 por 1 por 1 es 2. 00:01:03
Luego esto es 2a cuadrado menos 2a 00:01:13
Porque si os fijáis el más 1 más 1 son 2 00:01:20
Con el menos 2 se nos va 00:01:25
Luego ya tenemos el valor del determinante 00:01:27
Ahora que hacemos lo igualamos a 0 00:01:30
Para calcular los valores que hacen que el determinante sea 0 00:01:32
Bien, pues resolvemos la ecuación 00:01:37
2a al cuadrado menos 2a igual 0, sacamos factor común, ya que es una ecuación de segundo grado que no tiene término independiente, sacamos factor común directamente, el 2a, y me queda aquí a menos 1 igual 0. 00:01:40
Para que un producto sea cero, lo que tiene que ocurrir es que el primer factor es cero, es decir, 2a es igual a cero, de donde a es cero, o bien a menos 1 es cero, de donde a es igual a 1. 00:01:59
¿Vale? Pues en este caso tenemos dos posibles valores de a. Ya está, no hay ningún problema. 00:02:19
Ya hemos calculado los valores que hacen que el determinante sea cero. 00:02:24
Ahora ya empezamos a discutir. 00:02:28
Primer caso, el más sencillo. 00:02:30
Si a es distinto de cero y además a es distinto de uno, 00:02:33
entonces ¿qué ocurre? 00:02:41
Que sabemos que el determinante de c es distinto de cero. 00:02:42
Por lo tanto, el rango de c es máximo. 00:02:47
En este caso, lo máximo que puede ser es tres. 00:02:51
que va a coincidir también con el rango de la ampliada, ya que la ampliada como máximo puede tener rango 3, 00:02:54
y c es un menor de la matriz ampliada, y además coincide con el número de incógnitas, 00:03:01
que tenemos tres, la x, la y y la z. 00:03:08
Por lo tanto, por el teorema de Ruchefrobenius, sabemos que es un sistema compatible determinado, 00:03:11
es decir, una única solución. 00:03:18
Ahora, tenemos que ir mirando cada uno de los casos 00:03:20
¿Qué ocurre si a es igual a 0? 00:03:25
Pues si a es igual a 0, lo que nosotros sabemos es que el determinante de c va a ser 0 00:03:28
¿Vale? Por lo tanto tenemos que ver si el rango, bueno y en este caso si el determinante de c es 0 00:03:35
Sabemos que el rango de c va a ser más pequeño que 3, o 2 o 1 00:03:41
¿Qué vamos a hacer en ese caso? A ver, voy a escribir la matriz ampliada, ¿vale? 00:03:48
Sustituyendo la A por 0, entonces es 2, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, y los términos independientes que son 0, 1, 2. 00:03:53
0, 1, 2. Esta es mi matriz ampliada. 00:04:06
Vale, estábamos hablando primeramente de que el determinante de C es 0, y por lo tanto el rango de C es menor que 3. 00:04:10
vamos a buscar en C 00:04:16
y os recuerdo que yo escribo la matriz ampliada 00:04:18
porque dentro de la matriz ampliada 00:04:21
se encuentra también la matriz C 00:04:22
es lo que está a la izquierda de la línea vertical 00:04:25
entonces vamos a buscar un determinante de orden 2 00:04:29
porque lo que también habíamos estado hablando 00:04:32
no sé si veis alguna relación entre las filas 00:04:34
no sé si os habéis dado cuenta 00:04:38
que si cojo la fila 3 y la fila 2 00:04:40
si la sumo, me da la fila 1, o al revés, si cojo la fila 1 y le resto la fila 2, obtengo 2 menos 1, 1, 1 menos 0, 1, 1 menos 1, 0. 00:04:44
Solamente estoy hablando de la matriz de coeficientes, ¿vale? No me estoy centrando en nada más. 00:04:56
Por lo tanto, por eso sabíamos que el rango no iba a ser 3, ¿no? Hay una línea, una afila, que es combinación lineal de las restantes. 00:05:03
Entonces busco un determinante de orden 2, que vea yo que no son proporcionales, cojo los primeros 2, 1, 1, 0, y esto sería 2 por 0, 0, menos 1, pues menos 1, distinto de 0, ¿y esto qué significa? 00:05:11
A ver, voy a mover un poquito esta línea. Esto significa que el rango de C es 2, porque he encontrado un menor de orden 2 que es distinto de 0. 00:05:27
Ahora, ¿qué pasa con la matriz ampliada? Pues a ver, podría ser rango 3, porque hay más menores. 00:05:44
¿Vemos alguna relación? Igual que he encontrado de las dos primeras filas 00:05:52
Si yo resto, como habíamos dicho, ¿qué le pasa a los términos independientes? 00:05:56
Que 0 menos 1 no es 2 00:06:00
Luego tiene pinta de que no veo así ninguna relación, ¿verdad? 00:06:02
En un principio 00:06:07
Por lo tanto, pues bueno, vamos a intentar encontrar 00:06:08
Ya sabéis que bien triangulamos o bien cogemos un menor 00:06:13
Yo me voy a coger el menor que tiene 00:06:16
Voy a coger el menor de estas tres columnas 00:06:19
Ya que ya tenemos bastantes ceros, ¿vale? 00:06:22
Y seguro que va a ser más fácil 00:06:25
Por lo tanto tengo el 1, 0, 1 00:06:26
1, 1, 0 00:06:30
0, 1, 2 00:06:32
También podríamos hacer Gauss, ¿vale? 00:06:35
Este sería 1 por 1 por 2, 2 00:06:37
Más 0, más 1 00:06:40
Menos 0, menos 0, menos 0 00:06:43
O sea que solamente me queda 2 más 1, 3 00:06:47
por eso es bueno coger el que tiene muchos ceros, este es distinto de 0, ¿qué significa entonces? Pues que el rango de la ampliada va a ser 3. 00:06:49
¿Qué le pasa a estos dos rangos? Pues que son distintos, ¿verdad? Por lo tanto, esto lo que significa es que es un sistema incompatible. 00:07:01
Bueno, pues ya hemos estudiado el caso cuando a es igual a 0 00:07:14
Vamos a estudiar aquí el caso cuando a es igual a 1 00:07:18
Bueno, pues vamos a sustituir y vamos a escribir a ver 00:07:26
O viene la matriz a, si queréis, volvemos a poner la matriz a 00:07:29
Ya que la he puesto antes 00:07:33
Podríamos haber puesto también el sistema 00:07:34
Y me quedaría 2, 1, 1, 1, 1, 1 00:07:37
1, 1, 1 00:07:44
Y mis términos independientes son 00:07:46
1, 2, 2 00:07:50
1, 2, 2 00:07:52
Vale, fijaos ahora 00:07:54
¿Qué vemos ahora? 00:07:56
Vemos que la fila 2 y la fila 3 son iguales 00:07:58
Pero no solamente fijándome en la matriz de coeficientes 00:08:02
Sino en la matriz ampliada 00:08:06
Luego aquí está claro que si yo quisiera estudiar el rango de A 00:08:07
podríamos eliminar la última 00:08:11
a ver, lo que quiero decir es que si yo pongo aquí 00:08:14
que esto es el rango de A, este es el rango 00:08:17
de la matriz que acabo de escribir 00:08:20
la vuelvo a escribir, 2, 1, 1 00:08:22
1, 1, 1 00:08:24
1, 1, 1 00:08:25
1, 2, 2 00:08:27
voy a poner la línea para indicar que es ampliada 00:08:30
como la fila 2 y la fila 3 00:08:33
es la misma, yo podría 00:08:35
olvidarme de esa 00:08:37
y me quedaría que esto es lo mismo que el rango 00:08:38
de la matriz 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ¿vale? ¿Qué me bastaría? O sea, podríamos hacer aquí directamente en este un 0 para triangular 00:08:41
o me es más fácil coger un menor. Si yo cojo el menor 2, 1, 1, 1, ¿vale? He cogido justamente, bueno, el menor de la izquierda. 00:08:55
Esto es 2 por 1 es 2, menos 1 por 1 es 1, 2 menos 1 es 1, distinto de 0. 00:09:05
¿Qué ocurre? Que el rango tanto de A como de C no pueden ser 3, ya lo sabíamos. 00:09:11
Bueno, no lo he puesto al principio, pero como pasaba antes. 00:09:16
Cuando A es igual a 1, yo sé que el determinante de C es 0, 00:09:20
y por lo tanto sabría que el rango de C es menor que 3. 00:09:26
Esto ya lo sabíamos desde el principio, ¿vale? No lo había puesto. 00:09:31
pero ahora para mirar los rangos 00:09:33
¿qué es lo único que tenemos que fijarnos? 00:09:36
en lo que acabamos de calcular 00:09:38
he encontrado un menor de orden 2 00:09:40
distinto de 0 00:09:42
por lo tanto el rango de la ampliada 00:09:43
que coincide con el rango de C 00:09:48
ya que fijaos que estoy mirando dentro de la misma matriz 00:09:50
¿vale? puedo entender como que son cualquiera de las dos 00:09:54
va a ser 2 00:09:57
¿qué ocurre ahora? que 2 es más pequeño que 3 00:09:59
que es el número de incógnitas, ¿verdad? 00:10:02
Por lo tanto, en este caso tenemos sistema compatible indeterminado. 00:10:07
Y este sería el apartado A. 00:10:14
Voy a borrar la pizarra, ¿vale? 00:10:19
Pues vamos ahora con el apartado B. 00:10:22
Ahora lo que queremos es resolver, en este caso, para A igual 1. 00:10:24
Bien, ¿qué ocurre? ¿Qué hemos encontrado en el apartado A? 00:10:30
Pues que por el apartado A, si A es igual a 1, es el último caso que hemos estudiado, el sistema es compatible indeterminado. 00:10:34
Es decir que tenemos infinitas soluciones. 00:10:46
Luego vamos a tener que escribir, o sea que resolver o escribir la solución en función de un parámetro. 00:10:49
¿Cuántos parámetros vamos a utilizar? 00:10:56
he dicho un parámetro, pero bueno, ya sabéis que en algunos casos son dos parámetros, 00:10:58
¿de qué dependía? Del rango, ¿no? Es decir, sabíamos que el número de parámetros 00:11:03
que teníamos que utilizar, uy, he puesto la tilde donde no es parámetros, 00:11:06
era el rango, que en este caso es, perdón, es el número de ecuaciones que tenemos, 00:11:15
el número de incógnitas, que es 3, menos el rango, que es 2. 00:11:23
Por lo tanto vamos a necesitar solamente un parámetro 00:11:27
Bueno, pues a ver, os voy a enseñar 00:11:30
Porque hasta ahora hemos estado haciendo, bueno, os voy a ver 00:11:35
Una forma muy sencilla también de verlo 00:11:38
Lo primero, yo podría coger y sustituir, ¿vale? 00:11:40
Y tendríamos, mi sistema es 2x más y más z 00:11:43
Igual a, vale, 1, igual 1 00:11:49
X más Y más Z igual 2 00:11:52
Y la última es X más Y más Z igual 2 00:11:58
¿Vale? ¿Qué ocurre? 00:12:03
Que la segunda y la tercera ecuación es la misma 00:12:05
Por lo tanto me puedo olvidar de esta ecuación 00:12:08
Y lo que tengo es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas 00:12:12
¿Vale? 00:12:16
Entonces, visteis que en clase que era súper fácil hacer 00:12:17
a hacer 00:12:21
cramer, ¿verdad? 00:12:23
pues voy a explicar el truquito para intentar hacerlo 00:12:25
con cramer 00:12:27
¿qué es lo que voy a hacer yo? 00:12:28
pues a una de las incógnitas va a ser mi parámetro 00:12:30
entonces yo voy a empezar 00:12:33
por ejemplo diciendo 00:12:35
voy a poner aquí 00:12:36
o bueno, luego lo podríamos pasar 00:12:37
pero bueno, voy a decir que z va a ser t 00:12:40
¿cómo me quedaría si z es t? 00:12:42
mis incógnitas son solamente 00:12:46
la x y la y 00:12:48
Por lo tanto, todo lo que no tenga t lo paso a la derecha y tendríamos 2x más y es igual a 1 menos t. 00:12:48
Y el otro sería x más y igual a 2 menos t. 00:12:58
Y este es el sistema que tendríamos que resolver. 00:13:04
A ver si os fijáis, la verdad es que lo quería hacer por Cramer para que vierais que también es muy sencillito, 00:13:09
Pero prácticamente si hago aquí una reducción 00:13:14
Saco quién es la X y quién es la Y 00:13:18
¿Vale? 00:13:21
¿Habéis entendido lo que he hecho? 00:13:22
Cojo, como van a depender de un parámetro 00:13:23
Voy a decidir que la Z es mi parámetro 00:13:25
Y paso todo lo que tenga que ver con Z a la derecha 00:13:29
Entonces fijaos, si yo aquí 00:13:33
Lo voy a hacer primeramente como si fuera un sistema normal 00:13:35
Si yo cogiera y restara las ecuaciones 00:13:38
Para que se me vaya la Y 00:13:42
Sería 2x menos x es x 00:13:44
Y menos y es 0 00:13:46
¿Y aquí qué me queda? 00:13:48
A ver, ¿cómo se resta esto de la derecha? 00:13:49
Pues números con números y letras con letras 00:13:51
1 menos 2, menos 1 00:13:54
Menos t, menos, menos t 00:13:57
Pues se me va 00:14:00
Y me queda que la x es exactamente menos 1 00:14:02
¿Vale? 00:14:05
Bueno, no todos tienen que depender de un parámetro 00:14:08
¿Y ahora cuánto vale la y? 00:14:11
Pues por ejemplo cojo 00:14:13
En cualquiera de las dos ecuaciones, la que queráis, voy a coger en la segunda, despejo la y y que me queda que la y es 2 menos t y la x pasa restando, menos x, pero la x hemos visto que es menos 1, luego esto sería y igual a 2 menos t menos 1, por lo tanto y sería igual a cuánto? 00:14:14
2 menos 1 es 1, 1 menos t, y ya tendríamos aquí resuelto el sistema, x, o sea la solución sería x igual menos 1, y igual a 1 menos t, y z igual a t, con t un número real, ¿vale?, perteneciente a los reales. 00:14:41
Pues esa sería una forma de resolverlo, simplemente así, pues aplicando el método de reducción, lo que sabemos. 00:15:11
Siempre haciendo un poquito el juego de pasar una incógnita a la derecha, como si fuera un parámetro. 00:15:18
¿Cuál voy a coger? He cogido la Z, pero podría haber cogido la Y, o podría haber cogido la X, y ahí la que quisiera. 00:15:23
¿Cómo podríamos haber hecho esto aplicando Cramer? 00:15:30
Mirad, ¿cómo podemos aplicar la regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado? 00:15:32
Si yo lo quisiera hacer por Cramer, lo primero que tendríamos que hacer es que mi matriz de coeficiente esté, en este caso, ¿quién sería? La 2, bueno, empezaríamos haciendo lo mismo, ¿vale? 00:15:38
Que esto a lo mejor no lo he puesto, ¿vale? Es decir, yo tendríamos que poner el sistema igual como 2x más y igual a 1 menos z, o como la estamos llamando con el parámetro, pues 1 menos t, por ejemplo, y la otra ecuación, x más y, x más y igual a 2 menos t, ¿vale? 00:15:54
este sería mi parámetro, o sea, mi sistema, y aquí calcularíamos la matriz de coeficientes, o vamos a poner la matriz ampliada, 00:16:22
¿quién sería? 2, 1, 1, 1, y ahora mi término independiente es 1 menos t, 2 menos t, ¿vale? 00:16:33
¿Y qué tendríamos que hacer ahora? Pues a ver, lo primero, determinante de c sería el determinante de 2, 1, 1, 1 y esto sería 2 menos 1, 1, pues lo mejor, el más sencillito. 00:16:43
Y ahora ya calculamos x a quien va a ser igual, ponemos su columna que es la primera, los términos independientes, 1 menos t, 2 menos t y la segunda igual y se divide entre el determinante de c que acabamos de ver que es 1. 00:17:02
Luego esto ¿cuánto es? Hacemos arru, si es 1 menos t por 1, 1 menos t, menos 2 menos t por 1, que es 2 menos t, entre paréntesis 00:17:18
Fijaos que voy a obtener justamente lo mismo que antes cuando restábamos 00:17:28
Y esto sería 1 menos t, menos 2, más t 00:17:32
La t con el menos t se me va y 1 menos 2 me queda menos 1, que es exactamente lo mismo que habíamos calculado antes 00:17:37
Es decir, que la x vale menos 1. 00:17:46
Para la y, pues lo mismo. 00:17:50
Primera columna se mantiene igual, 2, 1. 00:17:53
Segunda columna, 1 menos t, 2 menos t. 00:17:57
Todo dividido de 1. 00:18:02
Y esto es 2 por 2 menos t, hago ya el producto. 00:18:05
4 menos 2t, menos 1 menos t. 00:18:08
Es decir, 4 menos 2t, menos 1, más t 00:18:13
No se me ve ahí el igual, pero esto sería 4 menos 1 00:18:20
A ver, lo he multiplicado bien 00:18:25
4 menos 2t, vale, sí 00:18:28
4 menos 1 sería 3 00:18:32
Y la otra es menos 2t, más t, menos t 00:18:38
Y aquí es donde algo he hecho raro en el caso anterior 00:18:42
¿Qué es lo que hemos hecho antes aquí? 00:18:48
Ah, claro, que la x era menos 1, no ese 00:18:53
Luego siempre lo dice Claudia que siempre tengo muchos fallos, efectivamente 00:18:56
¿Yo qué he puesto aquí? 00:18:59
He puesto el menos, pero la x resulta que es menos 1 00:19:01
Es decir, aquí tendría que ser menos 1 00:19:05
Menos menos es más, y quedaría 2 más 1, 3 00:19:07
pero está muy bien que me equivoque 00:19:10
para que veáis que es muy fácil equivocarse 00:19:14
pero cuando veis que te han dado un resultado 00:19:15
diferente 00:19:18
pues darse cuenta 00:19:18
de que hay algo que ha fallado 00:19:21
que solamente hubierais hecho el primer caso 00:19:23
este de aquí 00:19:25
pues hubiéramos tenido que quitar un 0.25 00:19:26
por un error 00:19:30
de cálculo, así que no hagáis como yo 00:19:32
estar muy atentos 00:19:34
cuando hagáis los ejercicios 00:19:35
y que me faltaría aquí simplemente porque tenemos 00:19:36
que dar tres soluciones, pues el valor de la zeta. ¿Quién hemos dicho que vale la zeta? Pues t, pues ya estaría, ¿vale? 00:19:39
Y obviamente conté un número real. Pues esta sería una forma también de resolver un sistema compatible 00:19:47
indeterminado, que siempre tenemos que utilizar los parámetros. Fijaos que este fue el que cayó el año pasado 00:19:54
en la EBAU en junio. 00:20:00
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
33
Fecha:
17 de febrero de 2025 - 22:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
20′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
52.20 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid