Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

discusión y resolución con parámetro 2 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 17 de febrero de 2025 por Francisca Beatriz P.

18 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a ver otro ejercicio de resolver y discutir un sistema de ecuaciones con un parámetro. 00:00:00
Es también un ejercicio de BAU de la convocatoria del año pasado, 23-24 de junio. 00:00:07
Pues nada, lo primero, como siempre, empezamos escribiendo para el apartado A, que es discutir, 00:00:13
el determinante de la matriz de coeficientes, 1, 1, menos 2, 1, 1, 2a, a, 1, 8. 00:00:18
Y calculamos este determinante. 00:00:36
1 por 1 por 8, 8, más 1 por 2a por a, 2a cuadrado, 00:00:39
más 1 por 1 por menos 2, menos 2 00:00:45
menos menos 2 por 1 por a sería menos 2 00:00:49
con el menos ac, 2a, me he comido la a, vale 00:00:53
1 por 1 por 8 es menos 8 00:00:56
y menos 1 por 2a por 1, 2a 00:00:59
el 2a en positivo con el negativo se nos va 00:01:03
el 8 positivo con el menos 8 se nos va 00:01:08
y nos queda 2a cuadrado menos 2 00:01:11
Igualamos al 0 el determinante para calcular los valores 00:01:15
Y de aquí resolvemos la ecuación y nos queda 00:01:21
a cuadrado igual a 2 partido por 2 00:01:25
Es decir, a igual a más menos la raíz de 1 igual a más menos 1 00:01:33
Importante el más menos, que no se nos olvide 00:01:40
Luego tenemos dos valores posibles de la A. Empezamos discutiendo. Primer caso, si A es distinto, podría poner del 1 y luego poner y de menos 1 o lo puedo poner como son el mismo número, puedo poner distinto de más menos 1 de esta manera. 00:01:45
¿Qué ocurriría entonces? Que el determinante de C es distinto de 0, lo que significa que el rango de C es máximo. 00:02:02
Como C es una matriz 3x3, el rango es 3, el máximo, que coincide con el rango de la matriz ampliada, 00:02:11
ya que el rango máximo que puede tener la ampliada es 3, y C es un menor de la matriz. 00:02:19
Y además coincide con el número de incógnitas. 00:02:24
Por lo tanto, por el teorema de Rouchet, tenemos que es un sistema compatible determinado. 00:02:28
¿Vale? 00:02:36
Y ahora estudiamos cada uno de los casos por separados. 00:02:36
¿Qué ocurre si A vale 1? 00:02:40
Pues si A vale 1, la matriz que tengo sería... 00:02:43
Voy a escribir... 00:02:47
A ver, voy a escribir... 00:02:48
siempre escribo la matriz ampliada 00:02:50
porque dentro de la matriz ampliada 00:02:51
tenemos la matriz de coeficientes 00:02:54
sería 1, 1, menos 2 00:02:55
1, 1, la a vale 1 00:02:59
por lo tanto esto es 2 00:03:04
1, 1, 8 00:03:05
y los términos independientes serían 2, 1 y menos 13 00:03:11
Vale, fijaros que la matriz, a ver voy a cambiar para que veáis lo que quiero decir 00:03:20
Este tracito de aquí, vale, este que he puesto en rojo, esto es la matriz C 00:03:27
Entonces basta con fijarme, escribiendo solamente la matriz C 00:03:36
¿Nosotros qué sabemos? 00:03:44
Nosotros lo que sabemos si A es igual a 1 00:03:46
Por lo que acabamos de hacer es que el determinante de C vale 0 00:03:49
Lo que queda claro porque veis que hay dos filas que son 1 00:03:53
Solamente me estoy fijando en la matriz C 00:03:55
Y por lo tanto, esto lo que me dice es que el rango de C es menor que 3 00:03:58
¿Qué hacemos? 00:04:05
Pues vamos a coger un menor 00:04:06
Pero vamos a coger un menor que sean filas, o sea, las columnas que no sean proporcionales 00:04:07
como la primera y segunda fila de la matriz de coeficientes son iguales, 00:04:12
pues voy a coger, por ejemplo, el 1, 1, pero cojo los dos de abajo, menos 2, 2, 00:04:17
que como tienen diferentes signos ya sabemos que no pueden ser proporcionales. 00:04:23
1 por 2, 2, menos, menos 2 por 1 es menos 2, con el menos hace 2 más, y 2 más 2 es 4. 00:04:27
Distinto de 0, luego esto lo que me dice es que el rango de C va a ser 2 00:04:35
Porque hemos encontrado un menor de orden 2 00:04:43
Ahora, ¿qué tenemos que hacer? 00:04:46
Buscar, calcular el rango de la ampliada 00:04:49
Igual que, o sea, estábamos viendo que las dos primeras filas en la de coeficientes son iguales 00:04:52
Sin embargo, en la ampliada no 00:04:58
Entonces, ¿qué vamos a hacer? 00:05:00
Bueno, pues nos la podemos, o bien podíamos ir a hacer ceros 00:05:01
por gauss 00:05:04
para conseguir escalonar y ver 00:05:05
el tamaño 00:05:08
de, o sea 00:05:10
ver los escalones que tenemos para calcular 00:05:12
el rango, o nos la podemos jugar 00:05:14
a ver si vemos 00:05:16
algún 00:05:18
o sea, si encontramos un menor de orden 3 00:05:19
que sea distinto de 0 00:05:22
entonces pues 00:05:24
pues bueno, pues a ver 00:05:26
vamos a coger por ejemplo 00:05:27
este menor, no sé, vamos a coger 00:05:29
1, 1, yo me la estoy jugando 00:05:32
estoy por coger, por poner algunos 00:05:34
el 1, 1, 2 00:05:36
y cojo ya el último 00:05:38
2, 1, menos 13, vale 00:05:40
he quitado la tercera columna 00:05:42
vamos a ver si tengo la misma suerte 00:05:44
1 por 1 por menos 13 es 00:05:46
menos 13 00:05:48
1 por 2 por 2 es 4, o sea más 4 00:05:49
1 por 1 menos 2 00:05:53
menos 2, y ahora en negativo 00:05:54
menos 2 por 1 por 2 es menos 4 00:05:57
luego más 4 00:05:59
1 por 1 por menos 13 es menos 13 con el menos 00:06:00
Hace más 13 00:06:03
Y 2 por 1 por 2 es 2 con el menos 2 00:06:05
Menos 2 00:06:08
El menos 13 con el más 13 se nos va 00:06:09
Y aquí me queda 4 y 4, 8 00:06:12
8 menos 4, 4 00:06:14
Pues hemos tenido suerte 00:06:17
Esto es distinto de 0 00:06:18
Luego hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0 00:06:20
Luego el rango de la ampliada va a ser 3 00:06:24
¿Qué ocurre? 00:06:29
que el de coeficiente será 2, esto entonces es distinto, por lo tanto en este caso estamos en un sistema incompatible, ¿vale? 00:06:30
Es un sistema incompatible porque los rangos son distintos, como los rangos son distintos me da igual el tamaño, o sea, el número de incógnitas que tengamos. 00:06:41
a ver, para el caso 00:06:51
el caso C, vamos a subir un poquito 00:06:55
para la pizarra, o sea, el caso C 00:06:58
no, no quería decir eso, quería decir el tercer caso, cuando la A 00:07:03
si A es igual a menos 1 00:07:07
en este caso, mi matriz, bueno, estamos igual que antes 00:07:13
el determinante de C es 0 00:07:17
por lo tanto el rango de C es menor que 3 00:07:21
vamos a escribir aquí a la izquierda la matriz ampliada como quedaría 00:07:26
ahora sería 1, 1, menos 2 00:07:30
1, 1, menos 2 00:07:33
menos 1, 1, 8 00:07:36
y a ver que se me ha ido el otro 00:07:39
2 a menos 13 00:07:43
Por lo tanto, aquí sería 2 menos 1 menos 13 00:07:44
Bien, pues vamos a hacer, si nos fijamos ahora 00:07:53
La primera columna y la segunda columna son iguales 00:07:59
Por lo tanto, vamos a coger como menor para calcular el rango de C 00:08:02
Igual que he hecho antes, ¿vale? 00:08:06
Fijaos que aquí tengo también este de aquí 00:08:09
A ver, que no sé qué forma se pondrá 00:08:13
Este de aquí es nuestra matriz 00:08:17
Bueno, pues cogemos por ejemplo el menor 00:08:20
1 menos 1, 1, 1 00:08:25
Fijaos que siempre estoy cogiendo los que tengan 1 negativo 00:08:28
Porque así sé que no va a ser 0 00:08:32
Porque no son proporcionales 00:08:34
1 por 1 es 1, menos 1 por menos 1 es menos 1 00:08:35
Luego más 1, luego esto es 2 00:08:39
Distinto de 0 00:08:41
Lo que significa que el rango de C es 2, como pasaba antes 00:08:43
Para calcular el rango de la matriz ampliada 00:08:49
Miramos a ver si de alguna forma vemos alguna relación entre filas y columnas 00:08:55
A primera vista no se ve nada 00:09:01
Así que podemos hacer dos cosas 00:09:04
O jugárnosla a encontrar un menor que sea distinto de 0 00:09:07
o a triangular 00:09:11
no siempre ocurre que todos 00:09:13
o sea, que cada uno de los casos sean diferentes 00:09:17
pudiera ser que este caso que vamos a ver 00:09:19
fuera un sistema 00:09:21
compatible e indeterminado 00:09:24
a ver 00:09:27
nos ha salido el cartelito de 00:09:28
que me estaba quedando sin batería en el vídeo 00:09:30
lo siento 00:09:32
no me había dado cuenta 00:09:33
vale, pues a ver, lo que os estaba diciendo 00:09:35
que el A igual 1 00:09:37
era un sistema incompatible 00:09:40
aquí también podría ser para el menos uno 00:09:41
un sistema también incompatible 00:09:44
pero muchas veces 00:09:46
sueles poner uno de cada 00:09:48
que no te puedes fiar 00:09:49
pero bueno, muchas veces lo suelen hacer 00:09:51
entonces, si fuera también 00:09:53
o sea, si fuera incompatible 00:09:55
yo encontraría un menor 00:09:57
que fuera distinto de cero 00:09:58
pero si fuera un sistema 00:10:00
compatible indeterminado 00:10:01
lo que me encontraría 00:10:02
es que todos los determinantes 00:10:04
van a ser cero 00:10:05
¿vale? 00:10:07
por eso a veces por menores 00:10:08
Es más complicado que si restara 00:10:09
Entonces ya que el anterior lo he hecho por menores 00:10:13
En este voy a calcular el rango 00:10:15
Haciendo gauss, ¿vale? 00:10:17
O sea, haciendo ceros 00:10:20
Entonces me vais a permitir que ponga 00:10:20
La r aquí de que estoy calculando el rango 00:10:23
Le llamo rango a esto también 00:10:25
Para que me sea más fácil, ¿vale? 00:10:27
Rango de la matriz 00:10:29
Dejo la primera fila igual 00:10:30
1, 1, menos 1, 2 00:10:33
No voy a poner ya la rayita de la ampliada, ¿vale? 00:10:35
Y ahora voy a restar porque quiero hacer este 0, así que resto 1 menos 1, 0, 1 menos 1, 0, menos 1, menos 1, menos 2, 2 menos menos 1, 3, ¿vale? 00:10:37
He restado la fila 1 y la fila 2 y ahora mi fila 3 lo que voy a hacer es multiplicar la primera por 2 y sumar, 2 menos 2, 0, 2, estamos sumando 00:10:53
2 menos 2, 0, y aquí me quedaría menos 2 más 8, 6, y 4, 4 menos 13, menos 9, ¿vale? 00:11:07
Bien, pues fijaos, aquí ahora mismo ya tengo un primer escalón. 00:11:24
Ahora lo que necesito es hacer este otro 0. 00:11:29
Para eso lo que hago es multiplicarla de arriba la segunda por 3 y sumarla 00:11:33
Espero no haberme equivocado con los signos, vale 00:11:38
El rango esta queda igual, 1, 1, menos 1, 2 00:11:42
0, 0, menos 2, 3 00:11:46
Y ahora multiplico la segunda por 3 y sumo 00:11:50
Aquí siguen quedando los ceros 00:11:53
Me quedaría por 3, menos 6, más 6, 0 00:11:55
Y multiplico por 3 y que me quedaría 3 por 3, 9 00:11:59
Bueno, si se vea, ojo, que es el triple 00:12:03
¿Vale? 00:12:06
Por lo tanto, ¿qué ocurre? 00:12:10
Que hemos obtenido una fila de ceros 00:12:11
Aquí tenemos el rango 00:12:13
El rango va a ser 2 00:12:15
¿Vale? 00:12:18
Es lo que yo os decía que 00:12:19
A ver, pudiera haberse dado el caso de que este fuera también un incompatible 00:12:20
Pero muchas veces cuando te lo ponen en la evau 00:12:24
Es para tener uno de cada 00:12:26
Aunque no te puedes fiar 00:12:28
Pero bueno, en este caso 00:12:28
¿Qué significa? 00:12:30
Que los dos rangos son iguales 00:12:32
¿Vale? Es decir, lo que hemos obtenido que es, hemos obtenido que el rango de C es igual al rango de A, pero es menor, bueno, en este caso es 2, ¿vale? 00:12:34
Y esto es menor que 3, bueno, he puesto ahí un menor, quería decir que este rango es 2, que es menor que 3, que es el número de incógnitas, ¿vale? 00:12:48
He dicho una cosa y he puesto otra. Por lo tanto, por el teorema de Rouchet, es un sistema compatible indeterminado. Si en lugar de hacerlo con los escalones haciendo ceros, hubiera hecho menores, tendría que haber calculado tres menores para darme cuenta de que el rango era 2. 00:13:02
Bueno, pues de esta manera ya estaría discutido 00:13:21
Ya habríamos hecho el apartado A 00:13:26
Vamos ahora con el apartado B 00:13:27
Voy a borrar la pizarra 00:13:29
Vale, pues empezamos el apartado B 00:13:31
Que es resolver el sistema de ecuaciones para A igual a 0 00:13:34
He borrado todo menos el valor del determinante 00:13:37
Porque lo vamos a necesitar 00:13:40
A ver, me están diciendo para A igual a 0 00:13:41
¿Qué es lo que sabemos? 00:13:45
Sabemos que si A es igual a 0 00:13:47
por el apartado A que acabamos de hacer, lo que tenemos es un sistema compatible y determinado. 00:13:50
¿Vale? Porque era compatible y determinado para todos los valores distintos de más o menos 1. 00:13:57
Pues en este caso, ¿qué vamos a aplicar? Pues vamos a aplicar Cramer para resolver el sistema. 00:14:02
Me voy a escribir aquí a la derecha cómo me queda la matriz ampliada. 00:14:10
La matriz ampliada, cuando la A vale 0, es 1, 1, menos 2, 1, 1, 0, 0, 1, 8, y los términos independientes son 2, 0, 13, ¿vale? 00:14:13
1, 1, menos 2, 1, 1, 0, 0, 1, 8 00:14:41
Vale, pues nada, lo primero, ¿cuánto va a ser el determinante de C? 00:14:46
Pues sustituimos, es decir, el determinante de C ahora 00:14:50
Si la A vale 0, me queda que es menos 2 00:14:57
Bueno, pues vamos a aplicar Cramer 00:15:00
X, ¿cuánto va a ser X? 00:15:03
¿El cociente de quién? 00:15:06
El determinante de cambiar la columna correspondiente a X 00:15:07
¿Qué es la primera? Por los términos independientes, luego me queda 2, 0, 13, la siguiente es 1, 1, 0 y la siguiente es 0, 1, 8. 00:15:12
Todo esto dividido por el determinante de c, que es menos 2 00:15:28
¿Y esto cuánto es? 00:15:31
2 por 1 por 8, 16 00:15:34
Más 0 por 0 por 0, 0 00:15:36
Más 1 por 1 por 13, pues 13 00:15:38
Menos 13 por 1 por 0, es 0 00:15:41
0 por 1 por 8 es 0 00:15:44
Y 0 por 1 por 2 también es 0 00:15:47
2 por 8 lo había puesto bien así 00:15:50
Sí, ¿no? Es que estaba viendo unos valores un poco raros 00:15:54
Entre menos 2 me sale menos 29 medios 00:15:57
Vale, estaba diciendo que estaba viendo algo raro 00:16:04
Lo había pausado y claro, es que me he comido el menos 00:16:08
Menos 13 00:16:10
No es que ha sido raro porque me saliera negativo 00:16:12
Es que sabía que no salía negativo, no 00:16:16
Porque salía fracción 00:16:19
Sino porque sabía que no salía este número tan grande 00:16:20
¿Vale? 00:16:24
Entonces, bueno, voy a borrar, vamos a borrar este resultado. 00:16:25
Es que ya os digo que me estaba chirriando eso. 00:16:32
Aquí tenemos el menos que no he puesto y ahora sí. 00:16:36
2 por 1 por 8, 16. 00:16:39
0 por 0 por 0, 1 por 1 por menos 13, menos 13. 00:16:42
Y lo demás vuelve a ser todo 0, entre menos 2. 00:16:46
16 menos 13 es 3. 00:16:51
entre menos 2 menos 3 medios, ¿vale? Es que sabía que salía fracción, pero no me parecía que fueran tan grandes los números. 00:16:55
Ese sería el valor de la x, es decir, la x vale menos 3 medios. 00:17:03
¿Cuánto va a valer la y? Pues a ver, la columna de las x se queda igual, la columna de las y se cambia, 2, 0 menos 13, 00:17:10
y la de las zetas, la de la zeta la dejamos igual, todo partido de menos 2. 00:17:21
Fijaos en el caso anterior que nunca dejamos un signo negativo en el denominador, ¿vale? 00:17:32
Lo hemos puesto en medio. 00:17:37
Vale, multiplicamos aquí, o sea, hacemos la regla de Sarrus, 00:17:39
1 por 0 por 8 es 0, 1 por menos 13 por 0 es 0, 2 por 1 por menos 2, menos 4. 00:17:42
En negativo, menos 2 por 0 es 0, menos 2 por 1 por 8 es menos 16, menos 1 por 1 por menos 13 es más 13. 00:17:48
Todo esto entre menos 2, y esto sería menos 20 más 13, menos 7 entre menos 2, es decir, 7 medios. 00:18:02
Luego la y es 7 medios y la incógnita que me falta, z, pues primera columna la dejo igual, 1, 1 menos 2, segunda columna la dejo igual y la tercera columna la cambio por el término independiente, entre el valor del determinante de c. 00:18:14
¿Y esto cuánto es? 1 por 1 por menos 13, menos 13 00:18:39
1 por 0 por 2, 0 00:18:44
1 por 0 por menos 2, 0 00:18:46
Menos, menos 2 por 1 por 2 es menos 4, o sea más 4 00:18:47
1 por 1 por menos 13 sería menos 13 00:18:51
Con el menos se hace más 13 00:18:55
Y 1 por 0 por 0, 0 00:18:56
Todo esto dividido entre menos 2 00:18:58
El menos 13 con el 13 se me va y me queda 00:19:01
4 entre menos 2, que es lo mismo que menos 2 00:19:05
Y con esto ya estaría el ejercicio hecho 00:19:09
Fijaos que me salen dos fracciones y uno que no es 00:19:13
No pasa nada, ¿vale? 00:19:17
Si nos pasarás en el examen, puede ser 00:19:18
Pero no hagáis como yo, por favor 00:19:21
Copiar bien, fijaros 00:19:22
De todas maneras, aquí es lo que os digo 00:19:24
Que como yo no tengo el folio 00:19:26
Sino que yo estoy escribiendo en una tableta de estas 00:19:28
Que no veo lo que escribo 00:19:31
Pues me es muy fácil confundirme y olvidarme de los signos 00:19:32
Pero vosotros no lo hagáis en el examen 00:19:36
Gracias. 00:19:39
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
18
Fecha:
17 de febrero de 2025 - 22:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
19′ 41″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
52.00 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid