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1ª Sesión 3ª Evaluación Tema 4.- Sistemas de ecuaciones 26-03-2026 - Contenido educativo

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Subido el 15 de abril de 2026 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 26 de marzo. 00:00:00
El último día, vamos, la semana pasada no tuvimos clase porque estuvimos a la Feria de la Ciencia, 00:00:06
entonces esta sería la primera clase de este último trimestre. 00:00:13
Si os acordáis, pues acabamos la segunda evaluación con las ecuaciones de primer y segundo grado. 00:00:19
vamos a empezar esta tercera evaluación con los sistemas de ecuaciones lineales. 00:00:25
Vamos a por ello. 00:00:31
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿qué es? 00:00:35
Pues es una expresión algebraica de esta forma, 00:00:41
donde tengo dos ecuaciones de primer grado, 00:00:44
pero en los que hay dos variables distintas, la x y la y. 00:00:47
Tengo dos ecuaciones con esa misma estructura 00:00:53
y donde esas a, b, c, a', b', c' son números reales, o sea, coeficientes y variables. 00:00:56
Y ahora tengo dos variables distintas, dos incógnitas. 00:01:09
Ejemplo, lo que me ponen aquí, ¿quién sería la x y la y? 00:01:13
Que hacen que 2x más 3y me dé 9, 5x más 1y me dé 16. 00:01:19
eso es lo que me están diciendo estos sistemas de ecuaciones 00:01:24
para resolver estos sistemas de ecuaciones 00:01:29
vamos a aprender unas nuevas herramientas 00:01:33
que son lo que se llaman los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales 00:01:37
y hay tres distintos que veamos 00:01:41
que vayamos a ver de forma analítica, o sea, haciendo cuentas 00:01:45
luego cuando lleguemos al tema de funciones después 00:01:49
Veremos que hay otro método que se llama gráfico, que es dibujar estas funciones lineales 00:01:52
y ver dónde sus gráficas, que van a ser dos rectas, se cortan 00:01:59
y el punto en el que se corten sería la solución del sistema. 00:02:05
Pero bueno, eso sería para el siguiente tema. 00:02:09
Ahora nosotros vamos a ver cómo resolverlo de forma analítica, o sea, haciendo operaciones. 00:02:12
Y vamos a ver cómo tenemos que hacer esas operaciones. 00:02:17
Entonces, vamos a empezar viendo ese primer método, el método de sustitución. 00:02:22
Y aquí es muy importante seguir el orden de los pasos que os voy a decir para que no salgan bien esas operaciones y cumplamos los requisitos del método. 00:02:28
Entonces, cuando yo quiero resolver un sistema de ecuaciones con el método de sustitución, voy a seguir estos cuatro pasos. 00:02:39
Primero, lo que haré será despejar en una de las ecuaciones una de las dos incógnitas, la que yo quiera, la que me parezca más fácil. 00:02:46
Cuando he encontrado cuánto vale esa incógnita al despejarla, lo que hago es sustituir ese valor en la ecuación contraria, en la ecuación que no he usado. 00:02:56
La ecuación que me va a quedar va a ser una ecuación de primer grado en la que ya solo va a haber una incógnita, solo va a haber una variable. 00:03:07
la resuelvo como cualquier ecuación de primer grado resolvíamos en su día 00:03:16
y obtengo el valor de esa incógnita que me había quedado en esa ecuación. 00:03:20
Cuando tengo el valor numérico de esa incógnita, lo que hago es, 00:03:27
que sería el cuarto paso, volver al primer paso 00:03:31
y en esa ecuación en la que yo despejé una de las incógnitas, 00:03:34
sustituyo el valor de la otra, hago las cuentas 00:03:39
y me saldrá el valor de esa segunda incógnita 00:03:43
bueno, pues esto que hemos visto así 00:03:46
tan compuesto y en teórico 00:03:49
vamos a verlo en práctico 00:03:54
digo, tengo mi sistema este 2x más 3y igual a 9 00:03:55
5x más y igual a 16 00:04:00
quiero saber qué números son esos 00:04:02
x e y tal que el doble de x más el triple de y me dé un 9 00:04:05
y que 5bx3x más una y me dé 16 00:04:10
voy a despejar en la primera incógnita 00:04:14
perdón, en la segunda ecuación, que es la más fácil 00:04:17
¿y qué incógnita voy a despejar? 00:04:20
la y, que no tiene coeficiente 00:04:22
tiene coeficiente 1 00:04:24
entonces, cuando yo utilice el método de sustitución 00:04:25
la variable que voy a despejar es aquella que tenga el coeficiente más sencillo 00:04:29
más sencillo que el 1, ninguna 00:04:34
entonces, si despejo la y en esta segunda ecuación 00:04:36
despejar si os acordáis de las ecuaciones de primer y segundo grado era 00:04:40
que deje esa y sola y el 5x me la lleve al otro lado 00:04:43
pues ese 5x ¿cómo va a pasar al otro lado? 00:04:48
restando, voy a tener que la y va a ser 16 menos 5x 00:04:51
entonces si ya sé lo que vale la y 00:04:56
puedo irme a la primera ecuación que no la he usado 00:04:58
y donde haya y es 00:05:02
aquí yo pongo ese valor que he dicho que tiene la y 00:05:05
¿Qué me quedaría cuando hago eso, que es el segundo paso que veíamos antes? 00:05:11
Pues 2x más 3 por todo lo que va a ir ahí, que era 16 menos 5x, me tiene que dar 9. 00:05:15
Entonces, ¿qué tengo que hacer ahora? 00:05:25
Resolver esta ecuación de primer grado que me ha quedado, donde ya solo hay una incógnita, solo hay x. 00:05:28
Resolvemos la ecuación. ¿Y cómo la resolvemos? 00:05:35
Pues como siempre, quitando paréntesis, luego agrupando los términos semejantes, tal y cual como hemos hecho siempre. 00:05:37
Entonces, lo primero, quito paréntesis. 00:05:45
El 2x se queda como está. 00:05:48
3 por 16 me da 48. 00:05:50
3 por menos 5x me va a dar menos 15x, e igual a nuevo. 00:05:53
Ahora, ¿qué hago? 00:05:59
Pues juntar las x en un lado, lo que no tiene x en el otro. 00:06:00
Pues las x ya las tengo a la izquierda, las dejo donde están. 00:06:03
2x menos 15x 00:06:06
Y a la derecha me llevo los términos independientes 00:06:08
Lo que no tiene x 00:06:13
O sea, el 9 que ya estaba se queda como está 00:06:14
Y el 48 que está sumando 00:06:17
Pasará restando 00:06:19
Sumo esos términos semejantes 00:06:21
Y tengo 2x menos 15x 00:06:24
Menos 13x 00:06:27
9 menos 48 00:06:28
Menos 39 00:06:30
Y ahora despejo ese valor de x 00:06:32
donde diré que ese menos 13 va a pasar dividiendo 00:06:34
y me queda que la x va a valer lo que me salga del resultado de dividir 00:06:38
menos 39 entre menos 13, lo primero 00:06:42
regla de signos, menos entre menos más 00:06:46
39 entre 13, 3, entonces lo que hago 00:06:49
con este 3 es irme a la primera ecuación 00:06:54
y cambiar esa x por un 3, o sea sustituyo 00:06:58
otra vez, entonces la y que yo quiero es 00:07:02
16 menos 5 por el 3 que he dicho que vale la x 00:07:06
pues eso hago la cuenta y me queda 16 menos 15 00:07:11
pues igual a 1, entonces la solución que yo quería de mi sistema 00:07:15
es que la x vale 3 y la y 00:07:19
vale 1, entonces hemos visto que hemos hecho 00:07:23
los 3 pasos que hacíamos, en este primer paso 00:07:27
Primero, yo he despejado la variable que me ha parecido más fácil. En el segundo paso he sustituido en la ecuación contraria. En el tercero he resuelto la ecuación que me ha quedado. 00:07:31
y en el cuarto vuelvo a sustituir el resultado que me ha salido de esa primera variable en la ecuación que yo puse en el primer paso para poder encontrar esa segunda variable. 00:07:49
¿Qué nos faltaría por hacer? Pues una cosa que no la he puesto aquí porque quería comentar. 00:08:07
Lo que me faltaría por hacer es un quinto paso en el que vamos a comprobar la solución. 00:08:13
Comprobación. 00:08:21
Igual que hacíamos en las ecuaciones de grado 1 y grado 2, la forma de comprobar es sustituir el valor de la variable en una ecuación 00:08:23
para ver si el resultado de las cuentas que me decía la ecuación sale correcto o no. 00:08:32
entonces yo me vengo a cada una de mis ecuaciones 00:08:38
y donde pone una x o pone una y 00:08:42
yo cambio esa x y esa y por su valor 00:08:46
en la primera digamos 00:08:48
2 por, ¿cuánto dijimos que valía la x? 00:08:49
aquí dijimos que valía 3 00:08:53
2 por 3 más 3 por, ¿cuánto dijimos que valía la y? 00:08:54
por la y hemos dicho que valía 1 00:09:03
pues por 1, ¿cuánto me da esa cuenta? 00:09:04
Pues tengo 2 por 3, 6, más 3 por 1, 3, y 6 más 3 es el 9 que yo quería aquí. 00:09:09
Pues bueno, esa ecuación se cumple. 00:09:17
Voy a ver si se cumple la siguiente también. 00:09:19
5 por, ¿cuánto dijimos que valía la X? 00:09:22
3 más lo que vale la Y, que la Y dijimos que valía 1. 00:09:25
Pues ¿cuánto es esa cuenta? 00:09:34
5 por 3, 15, más 1, 16 00:09:35
Pues eso es lo que nosotros queríamos que saliese, 16 00:09:41
Luego estas dos soluciones 00:09:44
O esta solución donde la x vale 3 y la y vale 1 00:09:46
Es la que yo quería 00:09:52
Normalmente esto se escribe de una forma abreviada 00:09:53
Diciendo que el par de números que yo buscaba 00:09:57
x y son, en este caso, el 3 y el 1, ¿vale? Se pone como una pareja de números, que esta pareja de números es la que luego cuando veamos el tema de funciones 00:10:00
representará las coordenadas de ese punto de corte de las rectas que me saldrán cuando dibuje cada una de estas ecuaciones que tengo en el sistema. 00:10:15
Bueno, pues este es el método de sustitución. Vamos a ver otro ejercicio paso a paso, aparte de este del ejemplo, para volver a repasar los pasitos que hemos dado. 00:10:26
Entonces, nos vamos a los ejercicios mismamente y me dice que resuelva cualquiera de estos métodos por sustitución. 00:10:38
vamos a coger uno de ellos, cualquiera 00:10:44
pues por ejemplo, yo que sé, L 00:10:48
por coger alguno, vosotros podéis 00:10:51
hacerlo vosotros y como habéis visto que puedo 00:10:56
comprobar la solución, pues siempre puedo comprobar si he hecho bien 00:11:01
el ejercicio, ¿no? vamos a hacerlo más pequeñito 00:11:05
lo traemos por acá y decimos 00:11:09
que vamos a hacer el método de sustitución 00:11:13
entonces, primer paso 00:11:17
despejo una de las variables en una de las dos ecuaciones 00:11:25
la que yo quiero, despejamos 00:11:31
¿cuál voy a coger? pues yo voy a coger esta que me parece que es más sencilla 00:11:34
entonces me vengo aquí y digo, la y en esa ecuación 00:11:41
si la dejo solo sería menos 4 menos 3x 00:11:45
¿Vale? Lo que he hecho es las x que estaban a la izquierda llevármelas a la derecha 00:11:50
Segundo paso 00:11:55
Sustituimos 00:11:57
¿Dónde voy a sustituir? 00:12:00
Pues en la ecuación contraria 00:12:05
¿Y cuál es la ecuación contraria? 00:12:08
La que no he usado, esta otra de aquí abajo 00:12:13
Pues si sustituyo la y en esa de abajo 00:12:16
me va a quedar menos x menos 4 por, ¿cuánto dije que valía la y? 00:12:19
Pues la y mancheroa de menos 4 menos 3x, en el primer paso, 00:12:26
y eso tiene que ser igual a menos 6. 00:12:33
Bueno, ya he sustituido, ¿qué es lo siguiente que hago? 00:12:36
Tercero, pues resolver la ecuación. 00:12:39
Bueno, resolvemos. Tengo menos x, menos 4 por menos 4 más 16, menos 4 por menos 3x más 12x igual a menos 6. 00:12:41
O sea, he quitado el paréntesis. Una vez que quito el paréntesis, pues solo se agrupan los términos semejantes. 00:12:57
Con lo cual tengo menos x y más 12 que se queda a la izquierda y el menos 6 y el menos 16 que va a la derecha. 00:13:06
Menos x más 12 van a ser 11x. 00:13:17
Menos 6 menos 16 es menos 22. 00:13:22
Pues la x que estamos buscando es menos 22 dividido entre 11 va a ser menos 2. 00:13:26
O sea, que la x vale menos 2. ¿Qué hago ahora? Pues ahora lo que hago es volver a sustituir. ¿Pero dónde? En la primera ecuación, o sea, cuarto paso, vuelvo a sustituir, por eso se llama sustitución, en la ecuación del primer paso. 00:13:34
Pues tengo que la y va a ser igual a menos 4 menos 3 por... ¿Cuánto he dicho que vale la x? 00:14:05
Pues la x hemos dicho que vale menos 2. 00:14:14
Pues voy a poner un menos 2 aquí. 00:14:17
Entonces la y que me queda va a ser menos 4 y la menos 3 por menos 2 me da un más 6. 00:14:21
Pues la y que quiero es un 2 positivo. 00:14:30
Pues mi solución es x y igual a menos 2 la x, 2 la y. 00:14:32
Como he dicho antes, puedo comprobar que esto está bien. 00:14:47
¿Cómo lo compruebo? Pues en el sistema original, ¿vale? 00:14:52
en ese sistema original 00:14:57
voy a cambiar cada letra por su valor 00:15:00
y ver que las cuentas salen 00:15:08
quinto paso, que os gusta poco hacerlo pero 00:15:11
aseguramos que todo está bien 00:15:16
quinto, comprobamos 00:15:19
y lo que hago para comprobar, hemos dicho que es sustituir 00:15:23
cada letra la x 00:15:34
por el menos 2 que vale 00:15:37
y la y por el 2 que hemos dicho que vale 00:15:40
y ver si al hacer esa cuenta 00:15:46
3 por menos 2, menos 6 00:15:50
más 2 me da el resultado que quería 00:15:52
que en este caso es la menos 4 00:15:56
correcta la primera ecuación, voy a ver la segunda 00:15:58
la segunda me dice menos 00:16:01
menos x, o sea, menos menos 2, menos 4 por y, o sea, menos 4 por 2. 00:16:04
¿Cuánto me va a dar? Pues menos por menos, más 2, 4 por menos 2, menos 8. 00:16:16
2 menos 8, menos 6. ¿Y eso es lo que queríamos? Sí. 00:16:23
Pues entonces sé que la solución es correcta y el sistema está bien resuelto. 00:16:28
Bueno, pues ese es el método de sustitución 00:16:33
Facilito, solo es despejar y sustituir 00:16:36
Vamos a ver el siguiente método 00:16:40
Pues el siguiente método será el método de igualación 00:16:42
Idea parecida, nada más que me suelen salir las cuentas un poquillo más largas 00:16:48
Porque aparecen fracciones algunas veces 00:16:55
Pero bueno, la idea prácticamente la misma que hemos hecho en sustitución 00:16:57
Primero, despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones 00:17:01
O sea, ahora en vez de despejar en una y sustituir en otra, despejo en las dos 00:17:07
Y los resultados que me salen los igual, o sea, de segundo paso, igualar las expresiones obtenidas 00:17:12
Esas dos expresiones que he obtenido ya solo van a tener una variable 00:17:19
Me va a dar una ecuación de primer grado, pues resuelvo esa ecuación de primer grado 00:17:23
con el resultado que me sale al resolver esa ecuación del primer grado 00:17:27
me voy al primer paso y sustituyo en la que más rabia me dé 00:17:32
para calcular la otra variable que no tenía 00:17:36
vamos a verlo en el ejemplo 00:17:40
primero despejo 00:17:43
en este caso la que parece más fácil es la x 00:17:53
en la segunda ecuación 00:17:56
segunda, me he confundido aquí, en la segunda 00:17:58
ecuación, porque es la más baja, ¿vale? Entonces 00:18:02
tengo, ahí 00:18:05
que las estoy poniendo al revés, perdón, vamos a ponerlo bien, que he puesto 00:18:08
primero la de la segunda y luego la de la primera 00:18:14
nueva vuelta. Bueno, despejo en la primera 00:18:17
ecuación, damos eso, despejo en esta primera ecuación 00:18:22
la x, o digo la y, perdón, entonces me queda que este 2x pasa a restar, entonces tengo 3y igual a 9 menos 2x, pero yo no quiero saber cuánto es 3y, quiero saber cuánto es una y sola, entonces ¿qué hago con este 3? 00:18:26
le paso dividiendo, entonces la y va a valer 9-2x todo ello dividido entre 3 00:18:40
si me voy a la segunda ecuación, pues en la segunda ecuación es más fácil 00:18:49
porque lo único que tengo que hacer es ese 5x llevármelo al otro lado 00:18:56
pues la y es 16-5x sin más 00:18:59
¿qué hacíamos en el segundo paso después de haber despejado una de las dos ecuaciones? 00:19:05
igualar los resultados, entonces tengo ese 9-2x entre 3, lo igualo al 16-5x. 00:19:10
¿Qué hago en el tercer paso? Resolver esa ecuación que me ha quedado. 00:19:20
9-2x dividido entre 3 igual a 16-5x, para resolverlo, como tengo fracciones, 00:19:25
lo que hago es denominador común, que en este caso sería el 3, entonces tengo 9-2x partido de 3, 00:19:32
Y a ese 16 menos 5x le tengo que multiplicar a todo por 3. 00:19:39
Pues nada, multiplico y me queda 48 menos 15x partido entre 3. 00:19:44
Entonces, me quedo solo con los numeradores y tengo 9 menos 2x. 00:19:51
Me tiene que dar lo mismo que 48 menos 15x. 00:19:56
¿Vale? 00:20:01
Sigo resolviendo y tengo menos 2x más el 15x que viene sumando. 00:20:03
Va a ser igual a 48 menos el 9 que pasa a restar. 00:20:09
O sea, estoy juntando los términos semejantes. 00:20:12
Lo sumo. 00:20:17
15 menos 2, 13. 00:20:19
49, 8 menos 9, 39. 00:20:21
Pues la x que quiero es 39 entre 13 que me da como resultado 3. 00:20:24
Una vez que yo tengo cuánto vale la x, ¿qué hago? 00:20:30
irme a una de las dos ecuaciones del principio, la que más rabia me dé 00:20:35
y cambiar la x por su valor, pues me voy a la segunda 00:20:40
que es la más fácil, digo la y que estoy buscando es 16 menos 00:20:44
5 por 3, pues 16 menos 15, 1 00:20:48
pues he llegado a que las soluciones son x igual a 3 00:20:52
e y igual a 1, fijaos, estamos resolviendo 00:20:56
el mismo sistema que hicimos en el ejemplo del método 00:21:00
de sustitución, lo estoy haciendo por otro sistema 00:21:04
por otro método y me está dando la misma solución, lógico 00:21:08
porque el sistema tiene una solución única 00:21:12
lo resuelva con el método que lo resuelva, tengo que llegar al mismo sitio 00:21:15
la diferencia es que a mí me guste más, me guste menos un método 00:21:19
que otro, sea más rápido sea menos este 00:21:24
la idea es parecida al método de sustitución pero las cuentas 00:21:27
al haber aparecido fracciones, como que han sido un pelín más complicadas. 00:21:32
Entonces, si yo tuviese que elegir cómo resolver este sistema de ecuaciones 00:21:36
entre el método de igualación y el de sustitución, 00:21:42
pues lógicamente el que menos me costaría sería el de sustitución. 00:21:45
Pero valen los dos igual. 00:21:49
Vamos a hacer uno nosotros paso a paso. 00:21:53
Vamos al ejercicio 25 que me dice que resuelva estos sistemas. 00:21:58
Pues igual que antes. Vamos a coger, por ejemplo, el E otra vez, que no es el mismo de antes. Ahora no se repite. Pues cojo ese sistema del ejercicio E, nos vamos a nuestra pizarrita y ponemos nuestro sistema. 00:22:03
Y ahora quiero resolverlo por el método de igualación. 00:22:26
A ver, por igualación. 00:22:35
Pues me dice, primero, despejo en las dos ecuaciones. 00:22:43
Despejo en las dos ecuaciones la misma variable, o incógnita, como queráis llamarla. 00:22:49
Pues, por ejemplo, vamos a despejar la Y, que es la que como abajo la tengo solita, va a ser más fácil. 00:23:08
Pues si despejo la Y en la de arriba, me queda 2Y igual a 17 menos 5X. 00:23:14
Pero yo no quiero 2Y, quiero una Y sola, entonces la Y va a ser 17 menos 5X dividido entre 2. 00:23:23
Ahora, si despejo en la otra ecuación 00:23:32
Pues me queda que la Y es igual a 3 más 3X 00:23:36
Me voy a quedar con estas dos cosas 00:23:43
Con lo que vale la Y en cada una de las dos situaciones 00:23:48
Y en el segundo paso lo que hago es igualar 00:23:53
Igualando, tendré que el 17 menos 5x, dividido entre 2, tiene que dar lo mismo que el 3 más 3x. 00:23:57
Bueno, pues vamos a ver qué x es la que hace que eso sea cierto. 00:24:09
Pues tercer paso, después de haber igualado, resolvemos la ecuación anterior. 00:24:16
Y la forma de resolverla es hacer denominador común. 00:24:25
Entonces, denominador común, 2 en los dos sitios. En el primero no toco nada porque ya teníamos puesto bien el denominador. En el segundo digo 2 entre 1, porque aquí es como si hubiese un 1, 2. Y ese 2 tiene que multiplicar a todo el numerador, ¿vale? Cuidadito con multiplicar solo a este primer término y al segundo no. 00:24:32
Entonces me queda 17 menos 5x igual a 2 por 3, 6, más 2 por 3, 6x. 00:24:53
Agrupo los términos semejantes. 00:25:05
Menos 5x menos 6x igual a 6 menos 17. 00:25:08
Pues me queda menos 11x igual a menos 11. 00:25:16
Pues la x que estoy buscando es menos 11. 00:25:21
dividido entre menos 11, 1, entonces la x que estaba buscando vale 1, 00:25:25
¿qué hacíamos una vez que sabíamos cuánto valía la x? 00:25:33
Pues lo que hacíamos era venirnos arriba, decíamos, cuarto paso, 00:25:37
sustituyo en una de las ecuaciones del primer paso, 00:25:43
la que a mí me dé más rabia, y en este caso la que me da más rabia, 00:25:55
lo que va a ser más fácil es esta segunda 00:25:59
la y que estoy buscando 00:26:01
tiene que ser 3 00:26:03
más 3 por 00:26:04
lo que hemos dicho que valía la x 00:26:06
y la x valía 1 00:26:09
la x acabamos de decir 00:26:10
que vale 00:26:15
esta ecuación que hemos resuelto antes 00:26:19
voy a hacer la cuenta 00:26:23
y bueno pues vale 00:26:25
entonces la y que estoy buscando 00:26:26
es 3 más 3 por 1, 3 00:26:29
la Y vale 6 00:26:32
pues la solución 00:26:34
X, Y 00:26:37
como hemos dicho que lo escribimos así, va a valer 00:26:41
1 la X, 6 la Y 00:26:44
esa es mi solución 00:26:47
vamos a comprobar que es cierto 00:26:49
y que esta solución es la correcta 00:26:52
perdón, este sistema 00:26:58
original 00:27:08
y vamos a comprobar 00:27:10
quinto 00:27:20
comprobación 00:27:23
pues sustituyo 00:27:25
5 por 00:27:32
dijimos que la X valía 1 00:27:34
más 00:27:36
2 por 00:27:39
¿cuánto dijimos que valía la Y? 00:27:40
pues la Y hemos dicho que valía 00:27:42
a ver que se me ha olvidado 00:27:44
la Y valía 6 00:27:45
Pues 2 por 6, pues 5 por 1 es 5, más 2 por 6 es 12, me da en total 17, que es lo que yo quería. 00:27:50
Entonces, primera ecuación se cumple. 00:28:03
Segunda ecuación, menos 3 por la x que vale 1 y más la y que valía 6. 00:28:05
Pues vamos a ver qué pasa. 00:28:16
menos 3 por 1, menos 3, más 6 00:28:18
3 positivo, y 3 positivo es lo que queríamos 00:28:22
ya que la solución es correcta 00:28:26
y vamos a ver ahora por último que pasaría 00:28:29
con el último método, que es el método 00:28:34
de reducción, pues vamos a ver, método de reducción 00:28:38
¿qué tenemos que hacer en método de reducción? este es un poco 00:28:44
más lioso de entender los pasos, pero 00:28:51
el más rápido con mucho, y el que cuando le pillamos 00:28:55
es el más sencillo también con mucho, cuando me quedo con el truco 00:28:59
ahora el truco hay que verlo, cuando no le veo pues me vuelvo un poco loco 00:29:03
me dice, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:29:08
por el método de reducción, los pasos que tenemos 00:29:12
que hacer son los siguientes, primero, multiplicar 00:29:15
a ambas ecuaciones por los números enteros que necesite 00:29:19
de tal forma que la incógnita que queramos simplificar o reducir 00:29:26
tenga los coeficientes iguales pero opuestos en ambas ecuaciones. 00:29:31
Luego vamos a ver qué quiere decir eso. 00:29:38
Después de que he hecho eso, las ecuaciones que resultan se suman 00:29:40
y cuando haga esa suma va a desaparecer la incógnita que quería reducir, ¿vale? 00:29:45
Entonces, la que queda sin reducir la despejo y encuentro su valor. 00:29:52
Y lo que hago luego es, o bien, ese valor que he encontrado, 00:29:58
me voy al principio y sustituyo la incógnita correspondiente por ese valor 00:30:02
y resuelvo la otra, o vuelvo a hacer reducción en la otra. 00:30:07
Vamos a ver las dos formas de hacerlo y luego cada uno como más le guste. 00:30:11
Tengo este sistema, el de siempre. Multiplico para cargarme las i's. 00:30:17
Entonces digo, bueno, quiero que si aquí tengo un 3, abajo me aparezca un menos 3. 00:30:25
O que este 3 se vuelva negativo y abajo que aparezca uno positivo. 00:30:34
Bueno, a ver, ¿qué números me harían eso? 00:30:39
Pues los números que me hacen eso es que a la de arriba la multiplique por un menos uno 00:30:42
y que a la de abajo la multiplique por un tres. 00:30:47
Entonces, lo que estoy haciendo es esto que os voy a apuntar aquí. 00:30:50
Aquí arriba estoy multiplicando a todo por menos uno 00:30:55
y abajo estoy multiplicando a todo por tres. 00:30:58
Si os fijáis, he cruzado los coeficientes y a uno de ellos le he cambiado de signo. 00:31:01
¿Vale? 00:31:08
Entonces, cuando hacemos eso, ¿qué ocurre? Que me queda menos 1 por 2x, menos 2x, menos 1 por más 3y, menos 3y, y menos 1 por más 9, menos 9. 00:31:09
abajo tengo que multiplicar por 3, 3 por 5x 00:31:27
15x, 3 por i 00:31:31
3i, 3 por 16, 48 00:31:35
vale, ya me han quedado 00:31:40
estos dos coeficientes como yo pretendía 00:31:43
iguales, pero cambiados de signos, o sea me han quedado 00:31:47
opuestos, como me decían en el paso 00:31:51
Y me dice que sume esas dos cosas 00:31:55
Si sumo esas dos cosas, ¿qué va a ocurrir? 00:31:58
Que este menos 3y con este más 3y desaparece 00:32:03
Y aquí 15x menos 2x me da 13x 00:32:07
Y 48 menos 9 me da 39 00:32:12
O sea, aquí me ha quedado 13x igual a 39 00:32:15
Que es lo que ponemos aquí abajo 00:32:19
Pues me ha quedado ya una ecuación con una sola incógnita y de primer grado 00:32:21
¿Cómo la resuelvo? Pues este 13 que está multiplicando a la X me lo llevo dividiendo al 39 00:32:27
Pues la X que quiero es 39 entre 13, 3 00:32:32
Cuando ya sé que la X que buscaba vale 3 00:32:36
Pues lo tengo casi hecho 00:32:43
Digo, si ahora cojo ese 3 y le sustituyo en la que me dé la gana de arriba 00:32:45
por ejemplo, en la segunda, que es más fácil 00:32:51
¿vale? si sustituyo en esta de aquí, tengo 5 por 3 00:32:54
que sería la x, más la y, me tiene que dar 16 00:32:59
pues 5 por 3, 15, más y igual a 16 00:33:02
este 15 que está sumando le paso restando, pues la y que estoy buscando es 00:33:06
16 menos 15, 1, pues ya tengo las soluciones 00:33:11
que yo quería, ¿vale? 00:33:15
ya está el método de reducción 00:33:17
lo que he hecho ha sido primero reducir 00:33:22
una de las dos incógnitas 00:33:25
reducir es hacer que desaparezca 00:33:27
pasando a unas ecuaciones equivalentes 00:33:30
en las que he multiplicado a todos los términos 00:33:33
por el número que yo he decidido para que 00:33:36
los coeficientes de esa variable que quería reducir 00:33:38
quedasen opuestos 00:33:43
ya está, me queda una ecuación de primer grado 00:33:45
la resuelvo y al final sustituyo 00:33:49
vamos a ver un ejemplo 00:33:52
otra vez pasito a paso 00:33:56
una vez más 00:33:59
el e, lo que voy a hacer en este 00:34:02
que hay una de las variables que se ve muy fácil 00:34:05
mejor vamos a hacer el c 00:34:08
para que así veáis bien todas las multiplicaciones 00:34:10
Entonces, cogemos el C, digo, reducción, y vamos a poner aquí entre paréntesis, doble, porque vamos a hacer reducción dos veces para las dos variables. 00:34:12
Yo miraría aquí este sistema y digo, uy, pues hay una muy fácil de reducir, porque aquí tengo una I negativa arriba y una I positiva abajo. 00:34:50
A ver, que me he comido el signo. Una i negativa arriba y una i positiva abajo. Pero arriba tengo solo una y abajo tengo tres. ¿Por quién podría multiplicar para que se volviesen una el opuesto de la otra? 00:35:00
Pues muy fácil, si multiplico arriba por 3 y abajo por el 1 de arriba, ya lo tengo, porque tendría 3 por 3x, 9x, 3 por menos y, menos 3y, y 3 por 5, 15, esto es cuando he multiplicado ese 3 por todo eso. 00:35:16
Ahora voy a hacer lo mismo con el 1, 1 por 2x, 2x, 1 por 3y, 3y, 1 por 7, 7, o sea que primer paso ya lo he hecho, segundo paso sumamos y cuando sumamos, ¿qué ocurre? 00:35:39
que este menos 3y con ese más 3y va a desaparecer 00:36:05
o sea, desaparece una de las variables que es lo que yo quería 00:36:10
y me queda 9x más 2x, 11x 00:36:13
15 más 7, 22 00:36:18
pues la x que yo quiero va a ser 22 00:36:22
entre 11, 2 00:36:26
ya tengo el valor de x 00:36:29
Ahora digo, ¿y si yo hubiese querido reducir las X? 00:36:31
Si hubiese querido que lo que desapareciesen son las X 00:36:39
¿Qué hago? 00:36:42
Pues vamos a ponerlo aquí 00:36:45
Vamos a ver, si yo lo que hubiese querido cargarme hubiesen sido las X 00:36:46
A ver, que lo veamos aquí a la pared 00:36:53
Venga, más pequeño que se vea bien 00:37:00
A ver, que me quede muy arriba, perdón 00:37:13
perdón, perdón, yo quiero hacer lo mismo pero cargándome 00:37:33
las x, ahora hemos dicho, ¿vale? 00:37:53
quiero cargarme estas x de aquí, ¿por quién podría 00:37:58
multiplicar? bueno, si arriba multiplico por el 2 00:38:02
de abajo, y abajo multiplico por el 3 de arriba, o sea 00:38:06
los cruzo, ese para arriba y este para abajo, me quedaría 3 por 2 00:38:09
6, 2 por 3, 6, pero yo no quiero que queden los 00:38:14
6. Quiero que queden 1 con 6 y otro con menos 6 para que sean opuestos. 00:38:18
Lo pongo muy fácil. En vez de multiplicar abajo por un más 3, multiplico por un menos 3. 00:38:23
Y ya está solucionado. Multiplico ese 2 por la de arriba. 00:38:28
Entonces tengo 2 por 3x, 6x. 2 por menos y, menos 2y. 2 por 5, 10. 00:38:32
10, multiplico el menos 3 por la de abajo, menos 3 por 2x, menos 6x, menos 3 por 9y, menos 9y, y ahora menos 3 por 7, menos 21, sumamos y ¿qué pasa? 00:38:42
que el 6X y el menos 6X desaparecen y me queda menos 11Y igual a menos 11, pues la Y que 00:38:59
estoy buscando es menos 11 entre menos 11, 1, ¿vale? O sea que en lugar de hacer ese 00:39:13
método de reducción-sustitución que hicimos en el ejemplo, he visto que si hago dos veces 00:39:23
la reducción, también encuentro la solución. Porque ahora diríamos, la solución que estoy 00:39:32
buscando es x y igual a 2, 1. Vamos a comprobar que es cierto. Comprobamos, como siempre, 00:39:39
sustituyendo. Comprobación. Comprobamos. 3 por el 2 que vale la x menos el 1 que vale 00:40:14
la y. ¿Cuánto me daría eso? 3 por 2 es 6 menos 1 es 5, que es lo que yo quería. Voy 00:40:34
a la otra ecuación. 2 por el 2 que vale la x, más 3 por el 1 que vale la y. Hacemos 00:40:44
las cuentas y tengo 2 por 2, 4, más 3 por 1, 3. Cuando lo sume 7, que era lo que yo 00:40:57
quería. Entonces ya tengo la solución y he comprobado que es correcta. Pues ya lo 00:41:05
tengo. Si hubiese querido hacer reducción-sustitución, pues da igual desde aquí o desde aquí lo 00:41:11
que habría ido es a una de las ecuaciones del principio y hubiese sustituido. Si tiro 00:41:21
por aquí habría sustituido las x, si hubiese tirado por aquí habría sustituido las y. 00:41:26
Como hemos hecho en el ejemplo. Cualquiera de las dos opciones nos vale. A mí me parece 00:41:32
de más rápido hacer la doble reducción cuando ya he pillado el truco. 00:41:39
Si a otros nos gusta hacer la reducción doble esta, pues hacéis la reducción 00:41:43
simple y sustitución de la variable que habéis encontrado y ya está. 00:41:47
Vale igualmente. Bueno, lo vamos a dejar aquí 00:41:51
para que si podéis, esta Semana Santa, practiquéis 00:41:55
estos métodos para que a la vuelta podamos aplicarlos 00:41:58
a problemas. Entonces, a la vuelta 00:42:03
lo que haré es recordar cómo era cada uno de los tres métodos 00:42:07
haciendo un ejemplo de cada y luego nos pondremos a resolver problemas 00:42:11
que vamos a ver que el tener 00:42:15
la posibilidad de separar las condiciones del problema 00:42:19
usando dos variables, o sea dos incógnitas 00:42:23
va a hacer que el plantear 00:42:27
las ecuaciones que corresponden a lo cometido al problema va a ser 00:42:31
muchísimo, muchísimo más sencillo que cuando estábamos en ecuaciones 00:42:34
de primer grado y de segundo grado. Ahora, lo que por un lado 00:42:38
es sencillo, si no aprendo a hacer las cuentas 00:42:42
de alguno de estos métodos bien, pues no me va a dejar 00:42:46
luego que resuelva el sistema final y por tanto que 00:42:50
pueda resolver el problema. Entonces, hay que aprender bien las cosas. Primero 00:42:54
a utilizar la herramienta, que son los métodos de resolución 00:42:58
para luego poderla aplicar en los problemas 00:43:02
que es nuestro objetivo final siempre 00:43:05
bueno, pues lo dejamos aquí 00:43:07
que tengáis unas buenas vacaciones 00:43:09
y nos vemos me parece que el día 16 de abril 00:43:11
porque la semana anterior tenéis las recuperaciones 00:43:15
quien se haya quedado alguna asignatura 00:43:18
vale, venga pues 00:43:22
buena tarde y buenas vacaciones 00:43:24
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Matemáticas
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Autor/es:
Angel Sanchez Sanchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
15 de abril de 2026 - 7:11
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Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
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