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Asíntotas 3 - Contenido educativo

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Subido el 29 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos con el ejercicio 3 de la ficha de asíntotas. 00:00:00
A ver, como siempre empiezo por las asíntotas horizontales. 00:00:03
Calculamos el límite cuando x tiende a más o a menos infinito de x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9. 00:00:09
Esto es un cociente de polinomios, infinito entre infinito, 00:00:22
y como el grado del numerador es más grande que el grado del denominador, 00:00:25
esto de ahí infinito lo que significa que no existe asíntota horizontal 00:00:30
supongo que ya os habréis dado cuenta 00:00:35
en el fondo lo sabíamos, en el momento que veamos que tenemos una función 00:00:39
en la que el grado del numerador, en este caso es 3 00:00:43
es más grande que el grado del denominador 00:00:47
nunca va a tener asíntota horizontal 00:00:49
para que tengan asíntotas horizontales 00:00:51
o tienen el mismo grado o el grado del denominador 00:00:54
tiene que ser más grande que el numerador 00:00:57
para que el resultado sea cero, ¿vale? 00:01:00
De la misma forma, para que haya asíntota oblicua, después lo veremos, 00:01:02
pero ya lo podemos saber que va a haber siempre que haya una diferencia de un grado 00:01:07
entre el numerador y el denominador. 00:01:11
Si, por ejemplo, el numerador fuera grado 4 y el denominador grado 2, 00:01:14
no habría tampoco asíntota oblicua. 00:01:18
Tiene que ser la diferencia solamente de un grado, 00:01:21
para que al dividir se nos quede el mismo grado, ¿vale? 00:01:23
Estos son truquitos que los tenemos que mirar antes de hacer los cálculos, pero así vamos comprobando si las cosas salen bien. 00:01:26
Venga, vamos con las verticales, asíntotas verticales. 00:01:37
¿Qué tenemos que hacer? Los candidatos son los puntos donde se nos anula el denominador. 00:01:41
Luego aquí es x igual a más menos raíz de 9, es decir, más menos 3. 00:01:47
Y como siempre os dije, no basta con hacer esto, tenemos que comprobar, porque podemos llevarnos sorpresas. 00:01:52
Si yo ahora calculo el límite cuando x tiende a 3, de x cubo menos 27, entre x cuadrado menos 9, resulta que esto es 0 partido de 0. 00:02:00
¿Vale? Aquí es donde tenemos la sorpresa 00:02:14
No siempre nos da infinito 00:02:17
Hay veces que tenemos un factor que tenemos que eliminar 00:02:20
A lo mejor luego resulta que también 00:02:23
Pero en principio lo tenemos que ir haciendo 00:02:26
x cubo menos 27 00:02:28
Bueno, pues lo tendremos que factorizar 00:02:30
Hacemos Ruffini 00:02:32
1, no hay término cuadrado, no hay término en x 00:02:34
Menos 27 00:02:37
Y probamos con el 3, que es el que sabemos que es raíz 00:02:39
3 por 1 es 3, 3 por 3 es 9, 9, 3 por 9 es 27, 0, ¿vale? 00:02:44
Y entonces arriba me queda que esto es x menos 3 y abajo me queda, o sea, multiplicado, perdón, 00:02:51
abajo quería decir este polinomio, el x cuadrado más 3x más 9, ¿vale? 00:03:00
x cuadrado más 3x más 9. 00:03:06
El denominador es suma por diferencia 00:03:11
x más 3 por x menos 3 00:03:15
Simplificamos el factor común 00:03:17
Por eso teníamos un 0 partido por 0 00:03:21
Y sustituimos 00:03:23
A ver que nos queda en el 3 00:03:24
Arriba sería 9 más 9, 18 00:03:26
Bueno, son 27 00:03:29
Porque es 9 más 9 más 9 00:03:30
Y abajo nos queda 3 más 3, 6 00:03:35
¿Vale? 00:03:37
Pues, ¿esto qué ocurre? 00:03:39
Esto significa que es distinto de infinito 00:03:40
¿Veis lo que os decía? Voy a borrar el Ruffini, ¿vale? 00:03:43
Ahí va, que me he ido. 00:03:46
Vamos a borrar el Ruffini. 00:03:51
El límite no nos da infinito. 00:03:53
¿Esto qué significa? 00:03:55
Pues que x igual 3 no es asíntota vertical. 00:03:57
¿Vale? Entonces mucho ojo con poner siempre que los ceros del denominador son asíntotas verticales. 00:04:03
No es el primero que hacemos en el que no se verifica, ¿vale? 00:04:09
Ahora hacemos lo mismo para el otro valor que habíamos obtenido, el menos 3, límite cuando x tiende a menos 3 de x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9. 00:04:12
Sustituimos y ahora es menos 3 al cubo es menos 27 00:04:28
Menos 27 menos 27 es menos 54 00:04:32
Y abajo es 9 menos 9 es 0 00:04:36
Ahora sí 00:04:39
Sería menos infinito 00:04:40
Por lo tanto x igual a menos 3 es asíntota vertical 00:04:42
En este caso sí que es cierto 00:04:48
Calculamos los límites laterales 00:04:52
El límite cuando x tiende a menos 3 por la izquierda de x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9. 00:04:55
arriba es menos 54 00:05:09
abajo es 0 00:05:13
pero 0 como 00:05:15
menos 3 por la izquierda 00:05:16
luego vengo desde el menos 4 00:05:18
es un menos 4 o menos 3 como algo al cuadrado 00:05:19
es más grande que 9 00:05:24
por lo tanto aquí va a quedar positivo 00:05:25
y ahora es menos entre más 00:05:26
menos infinito 00:05:29
y el otro límite lateral 00:05:31
límite cuando x tiende a menos 3 por la derecha 00:05:34
de x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9 00:05:37
arriba sigue quedándonos el menos 54 00:05:45
abajo sustituimos, pero ahora el menos 3 por la derecha es un menos 2, algo 00:05:48
al cuadrado va a ser más pequeño que 9 00:05:53
por lo tanto esto va a ser menos 00:05:55
menos entre menos más infinito 00:05:57
¿vale? luego ya tenemos por donde van a venir las ramas de la asíntota vertical 00:06:00
Como en este caso no había asíntota horizontal, tenemos que calcular las asíntotas oblicuas, ¿vale? 00:06:04
Voy a pausar un momentito. 00:06:12
Vale, pues vamos a seguir con las asíntotas oblicuas. 00:06:14
Era por limpiar un poquito la pizarra. 00:06:17
Las asíntotas oblicuas. 00:06:20
Hemos dicho que es de la forma MX más N, ¿verdad? 00:06:21
¿Quién va a ser la M? 00:06:27
Pues m es el límite cuando x tiende a infinito, ¿de quién? De f de x partido por x. 00:06:28
Es decir, límite cuando x tiende a infinito de arriba x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9 y abajo la x. 00:06:39
operamos este cociente de fracciones 00:06:53
haciendo extremos entre medios 00:06:57
y me queda arriba x cubo menos 27 00:07:00
cuando no quiere escribir 00:07:03
y abajo el producto de x cuadrado menos 9 por x 00:07:06
es decir x cubo menos 9x 00:07:10
veis por lo que decía al principio 00:07:13
que va a haber asíntota oblicua 00:07:14
cuando la diferencia de grado solamente es de 1 00:07:17
porque se están multiplicando 00:07:19
Se va a multiplicar por x, es decir, se va a aumentar un grado 00:07:21
Esto ahora es infinito entre infinito 00:07:24
Como tienen el mismo grado 00:07:28
Pues es cociente de coeficientes de mayor término 00:07:33
Es decir, del x cubo y del x cubo, uno entre uno, uno 00:07:38
Por lo tanto tenemos asíntota oblicua que es m igual uno 00:07:41
O sea, la m, ahora tenemos que ver si hay una n 00:07:46
n es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos mx, es decir, límite cuando x tiende a infinito de x cubo menos 27 entre x cuadrado menos 9 menos m por x, m es 1, así que solamente menos x. 00:07:51
igual al límite cuando x tiende a infinito, restamos, en el numerador me queda el x cubo menos 27, 00:08:21
porque estamos como multiplicando en cruz, ahora multiplicamos x cuadrado menos 9 por menos x, 00:08:32
y me queda menos x cubo más 9x, y abajo me queda x cuadrado menos 9. 00:08:37
las x cubo se me van 00:08:46
y que me va a quedar aquí 00:08:49
podemos volverlo a escribir o simplemente ya mirar 00:08:51
el resultado es un cociente de polinomios 00:08:53
es un infinito entre infinito 00:08:55
pero que ocurre ahora 00:08:57
que el grado del numerador 00:08:58
es más pequeño que el grado del denominador 00:09:01
por lo tanto esto va a 0 00:09:04
lo que significa que la n 00:09:05
vale 0 00:09:07
es un valor válido 00:09:09
o sea puede ocurrir 00:09:12
luego que hemos obtenido 00:09:13
un sostenido que la recta y igual a x es mi asíntota oblicua, ¿vale? 00:09:15
Pues ya habríamos calculado todas las asíntotas. 00:09:23
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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5
Fecha:
29 de marzo de 2025 - 12:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
09′ 26″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
22.53 MBytes

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