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AL4. 2. Resolución de problemas de Programación lineal - Contenido educativo

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Subido el 15 de septiembre de 2024 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:18
de la unidad AL4 dedicada a la programación lineal. 00:00:23
En la videoclase de hoy estudiaremos la resolución de problemas de programación lineal. 00:00:31
En esta videoclase vamos a discutir la resolución de problemas de programación lineal. 00:00:37
Voy a utilizar como ejemplo el mismo ejercicio 1a que utilicé como ejemplo en la videoclase anterior. 00:00:51
La base para el algoritmo que vamos a desarrollar en esta videoclase es el teorema fundamental de la programación lineal, 00:00:56
que por eso se llama fundamental, porque es clave para todo ello. 00:01:05
Lo primero que vamos a hacer, una vez que tengamos ya descritas las variables, que es lo más importante, 00:01:08
la función objetivo y el conjunto de restricciones de nuestro problema de programación lineal 00:01:13
es utilizar ese conjunto de restricciones para determinar gráficamente la región factible. 00:01:17
Y vamos a distinguir tres situaciones una vez que tengamos representada la región factible 00:01:24
y el tratamiento que hagamos del problema va a ser distinto dependiendo en cuál nos encontremos. 00:01:30
Distinguiremos el caso en el que la región factible es un conjunto vacío. 00:01:35
En ese caso nos encontramos ante un problema infactible que no tiene solución y con esto hemos terminado. 00:01:39
Y vamos a distinguir el caso en el que tenemos una región poligonal convexa y el caso en el que tenemos un politopo convexo. 00:01:44
En el primer caso esta región va a estar acotada y en el segundo caso esta región, el politopo convexo, no va a estar acotado. 00:01:51
Vamos a pasar a nuestro ejemplo a ver cómo representamos gráficamente la región práctica. 00:01:59
En el ejemplo que estamos resolviendo se nos pide maximizar la función objetivo rendimiento energético en calorías 600x más 400y, 00:02:06
400y, sujeto a, en primer lugar, las dos restricciones triviales x mayor o igual que 0 e y mayor o igual que 0 00:02:13
y las otras dos restricciones x más y menor o igual que 120, 3x más y menor o igual que 150. 00:02:20
Las restricciones triviales x mayor o igual que 0 y mayor o igual que 0 nos indican que nos centremos en el primer cuadrante 00:02:27
dentro de esta representación cartesiana. 00:02:34
Fijaos en que el primer cuadrante viene delimitado por los semiejes x positivo con ecuación y igual a 0 00:02:37
e y positivo con ecuación x igual que 0. 00:02:44
Y el punto de corte es el origen del sistema de referencia, el punto 0, 0. 00:02:49
x mayor o igual que 0, y mayor o igual que 0. 00:02:53
Tenemos que utilizar el primer cuadrante. 00:02:56
En cuanto a la siguiente restricción, x más y menor o igual que 120, 00:02:58
lo primero que vamos a hacer siempre es representar la línea recta que corresponde con x más y igual 00:03:03
a 120, opiando la desigualdad y tomando siempre la igualdad estricta. Hay distintas formas de 00:03:10
representar esa recta. Podemos hacer una tabla de valores dando valores arbitrarios, viene a x, 00:03:17
viene a y, calculando la otra variable. A mí lo que me gusta hacer es siempre dar, por ejemplo, 00:03:21
En primer lugar, el valor x igual a 0. En ese caso, y es igual a 120. Y de esta forma tan sencilla, tengo que el punto 0, 120, este que se encuentra aquí, es uno de los puntos que pertenecen a esta recta. 00:03:27
A continuación voy a dar el valor y igual a 0, con lo que tengo que x es igual a 120. Y tengo, de esta forma tan simple, que el punto 120, 0, este que tengo aquí, es también otro punto de esta recta. 00:03:40
No tengo más que unir esos dos puntos. Esta es la recta. Como veis aquí, x más y igual a 120. 00:03:52
Y yo lo que necesito no es esta recta, sino el semiplano que cumple que x más y es menor o igual que 120. 00:04:00
Tengo varias posibilidades para elegir cuál de los dos semiplanos, el que está hacia arriba y a la derecha de la recta, 00:04:08
o bien hacia abajo y a la izquierda de la recta, se corresponde. 00:04:13
Una de las formas más sencillas, y es la que yo voy a utilizar, es tomar un punto cualquiera del plano, 00:04:17
que yo sepa que está en uno de los dos semiplanos claramente, 00:04:22
y voy a tomar el origen del sistema de referencia, el punto 0, 0, 00:04:26
sustituir las coordenadas y comprobar si se cumple o no se cumple la desigualdad. 00:04:29
En este caso, si sustituyo 0, 0, 0 más 0 que es igual a 0 es realmente menor o igual que 120, 00:04:34
y eso quiere decir que ese punto que yo he elegido y el semiplano que lo contiene, 00:04:41
o sea, de la recta hacia abajo y hacia la izquierda, cumplen esta desigualdad. 00:04:45
Voy a hacer lo mismo con la otra. 3x más y menor o igual que 150. 00:04:51
Voy a representar en primer lugar la recta 3x más y igual a 150, 00:04:56
obviando la desigualdad, tomándole igualdad estricta. 00:05:01
Si tomo x igual a 0, tengo y igual a 150. 00:05:05
El punto 0, 150, es este que tengo aquí en el eje de las y. 00:05:08
Si hago y igual a 0, tengo 3x igual a 150, o sea que x es igual a 50. 00:05:12
Y entonces el punto 50, 0, este que tengo aquí sobre el eje de las x, también es un punto de esa recta. 00:05:18
Trazo la recta que une esos dos puntos. 00:05:25
Todos estos puntos cumplen 3x más y igual a 150, como veis, y tengo la misma situación. 00:05:28
Debo elegir cuál de los dos semiplanos, el que está hacia arriba y hacia la derecha, hacia abajo y hacia la izquierda, cumple la desigualdad. 00:05:33
Vuelvo a tomar el punto 0,0, sustituyo 3 por 0 más 0 es igual a 0, que es menor o igual que 150, así que ese punto y el semiplano que lo contiene, el que está con respecto de esta recta hacia abajo y hacia la izquierda, cumplen con la desigualdad y no el otro. 00:05:41
¿Cuál es la región factible? Pues la delimitada por los segmentos que unen el origen del sistema 00:05:58
de referencia y este punto A, este punto A y este punto B, este punto B y este punto C, 00:06:05
este punto C y el origen del sistema de referencia. Es una región poligonal convexa la que viene 00:06:11
sombreada en azul dentro de este gráfico y que viene delimitada por esos segmentos rectos que 00:06:18
acabo de comentar. Una vez que hemos determinado gráficamente la región factible, el siguiente 00:06:23
paso es determinar analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible. No basta 00:06:31
con tener determinado cuáles son, sino que necesitamos cuáles son sus coordenadas. Para 00:06:36
determinar analíticamente las coordenadas de los vértices, lo que hacemos es fijarnos en cuáles 00:06:42
son las rectas que forman los lados cuya intersección definen el vértice. Por ejemplo, 00:06:48
El más sencillo de todos aquí es el origen del sistema de referencia, 0, 0. 00:06:55
Es la intersección de las rectas x igual a 0 e y igual a 0 que dan las restricciones triviales. 00:07:00
El vértice A sería la intersección de la recta x igual a 0, es la ecuación del eje de las y, 00:07:07
y esta recta que era x más y igual a 120. 00:07:13
Ya tengo que x es igual a 0, sustituyo y igual a 120, pues es el punto 0, 120. 00:07:17
Fijaos que con la técnica que utilicé para representar gráficamente esas rectas, 00:07:24
que me van a dar en última instancia los segmentos que delimitan la región poligonal convexa, 00:07:28
este punto, el 0, 120, ya lo había determinado, era uno de los que utilicé para poder representar la recta x más y igual a 120. 00:07:34
De igual manera, este punto c, el vértice c, ya tenía de antes cuáles eran sus coordenadas. 00:07:42
Podría pensarlo como es el punto de corte de la recta con ecuación y igual a 0, que sería el eje de las x, y esta recta con ecuación 3x más y igual a 150. 00:07:50
Si sustituyo y igual a 0, tengo 3x igual a 150, así que x es igual a 50 y este punto c será el 50 a 0. 00:08:02
Pero os recuerdo que tal y como había determinado la forma en la que había determinado los puntos que formaban estas rectas, este punto 50 a 0 ya lo había determinado de antes. 00:08:09
El que todavía no tengo son las coordenadas de este punto B. Es la intersección de las rectas 3x más y igual a 150, esta, y esta otra de aquí, x más y igual a 120. 00:08:19
Tengo que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Insisto, 3x más y igual a 150, x más y igual a 120 en este caso. 00:08:32
Puedo utilizar cualquiera de los sistemas que hemos visto en la ESO, sistemas métodos, ya sea reducción, sustitución, igualación, etc. 00:08:39
Si hemos hecho un dibujo muy limpio, muy claro, puedo incluso utilizar el método gráfico y de cualquiera de las maneras llegaremos a la solución, a las coordenadas de este vértice B, 15, 105. 00:08:47
Una vez que tenemos las coordenadas de los vértices de la región factible, podemos pasar al último paso para poder determinar cuál es la solución del problema. 00:09:01
Se nos abren dos posibilidades. Una de ellas es el denominado método gráfico. 00:09:10
En este caso lo que haríamos sería utilizando la función objetivo, puesto que ya hemos hecho uso del conjunto de restricciones, utilizando la función objetivo, trazar las curvas de nivel, en este caso como indico aquí serán rectas paralelas dado que la función objetivo es lineal, que pasan por los vértices de la región factible. 00:09:15
Y nos quedaremos, como solución óptima, con el vértice que corresponda bien a la mayor o bien a la menor curva de nivel, dependiendo de si estamos en un problema de maximizar o bien de minimizar. 00:09:33
Nosotros no emplearemos el método gráfico, sino que, con carácter general, utilizaremos la segunda posibilidad, que es el método analítico. 00:09:46
En lugar de representar las curvas de nivel lo que vamos a hacer es calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y nos quedaremos como solución óptima como la solución que corresponde al valor óptimo máximo o mínimo dependiendo de cuál sea el problema que tengamos. 00:09:54
En el caso que estamos trabajando, la función objetivo a maximizar es el rendimiento energético en calorías dado por la función 600X más 400Y y los vértices son los que acabamos de determinar O00, A0120, B15105 y C500. 00:10:12
Así que vamos a hacer una tabla en la que tenemos los vértices identificados por su etiqueta O, A, B, C, las coordenadas X e Y y sustituyendo en la función objetivo vamos a calcular el contenido energético en calorías, os recuerdo que la función objetivo tiene unidades, que corresponden a estos valores de X y de Y. 00:10:33
vieja. Así que, por ejemplo, vuelvo atrás, sustituyo el vértice O. 600 por 0 más 400 por 0 es igual a 0, 00:10:54
este valor que tengo aquí. Sustituyo el vértice A. 600 por 0 más 400 por 120 es este valor 48.000 00:11:03
que tengo aquí. Y así con todos. Una vez que tengo estos resultados, me pregunto, ¿qué quiero hacer? 00:11:12
Maximizar la función objetivo. Pues lo que debo hacer es buscar cuál es el vértice en el cual la 00:11:19
función objetivo alcanza su valor máximo. En este caso tengo uno único, que es el 00:11:24
vértice b, con un valor de 51.000 calorías. ¿Cuál es la solución óptima para este 00:11:30
problema de programación lineal? El vértice b. En concreto, debo decir que se 00:11:38
deben preparar 15 raciones de tipo a, que es el valor de x, y 105 raciones de tipo 00:11:45
b. Puesto que la solución, dado que me han hecho una pregunta con texto, determina el número de 00:11:50
raciones d, pues no puede ser vértice b, no puede ser 105, 105, no puede ser x igual a 15 y igual a 00:11:58
105, sino tiene que ser, necesitas preparar tantas, en este caso 15 raciones de tipo a y 105 raciones 00:12:06
de tipo b. También se nos pedía calcular cuál era el rendimiento máximo total. Bien, pues lo vamos a 00:12:12
Es decir, para obtener un rendimiento máximo total igual a, pues en este caso, 51.000 calorías. 00:12:17
Esto no es más que un ejemplo, hay distintas posibilidades. 00:12:24
Tal y como mencioné en la videoclase anterior, podría haberse dado la circunstancia en la que sean dos vértices consecutivos 00:12:28
en donde se alcance el mismo valor máximo, o podría haber sido mínimo, de la función objetivo. 00:12:34
En ese caso, la solución óptima no son los dos vértices solo, sino todos los puntos que se encuentran en el segmento, 00:12:39
que los unen podría haber sido que tuviéramos como región factible un 00:12:47
politopo convexo y que la solución fuera no está acotado el problema puesto que 00:12:54
valores arbitrariamente grandes de x y de y fueran aquellos que maximizarán o 00:12:59
minimizarán la función objetivo todos esos casos los discutiremos en los 00:13:03
ejercicios propuestos que resolveremos en clase y que también resolveremos en 00:13:09
alguna de las videoclases posteriores. En el aula virtual de la asignatura tenéis 00:13:13
disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las 00:13:21
fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase 00:13:27
o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto. 00:13:32
Idioma/s:
es
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
15 de septiembre de 2024 - 18:31
Visibilidad:
URL
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
14′ 03″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
33.65 MBytes

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