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Ejercicio Teorema de Rolle - Contenido educativo
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Hola, en este vídeo vamos a ver cómo resolver este ejercicio.
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Nos piden hallar los valores a, b y c para que la función f verifique las hipótesis del teorema de ROLL en el intervalo 0,4.
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Y además nos piden encontrar el dicho punto.
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ROLL nos dice que si f es continua en 0,4 y derivable en 0,4
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y además f de 0 igual a f de 4, entonces podemos garantizar que existe un número c perteneciente a 0,4 tal que f' de c es igual a 0.
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Venga, pues tenemos que garantizar que la función sea continua en el intervalo 0,4
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Bueno, como son polinomios, son continuos y son derivables
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El único punto conflictivo va a ser el 2
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Bien, hacemos f de 2
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Cogemos el trozo en el que está el 2, que es el de aquí abajo
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Y esto nos da 2c más 1
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Vale, el siguiente paso es calcular el límite cuando x tiende a 2
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Como la función cambia de expresión en 2, tendremos que hacer los límites laterales, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda y 2 por la izquierda tendremos que coger esta expresión ax cuadrado más bx más 5,
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lo cual nos da el límite 4a más 2b más 5 y por el otro lado el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de cx más 1, esto va a ser 2c más 1.
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Para que sea continua el límite tiene que existir y de aquí sacamos la ecuación 4a más 2b más 5 igual a 2c más 1.
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Si la queremos simplificar, 4a más 2b menos 2c igual a menos 4. Como son todos divisores de múltiples de 2, la puedo simplificar poniendo 2a más b menos c igual a menos 2.
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Y la enmarco porque tengo una ecuación con tres incógnitas. Eso me tiene que dar la pista de que tengo que hacer otras cosas.
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La otra cosa es derivable. Bueno, pues derivo, puesto que yo sé que son derivables en todos los trozos, la derivada va a ser 2ax más b y aquí abajo va a ser c.
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Esto sí, x menor que 2 y sí, x mayor que 2.
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Bueno, me ha quedado un churro.
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x menor que 2, x mayor que 2.
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No pongo el igual porque no lo sé.
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Para hacerlo del igual tendré que hacer la derivada de 2 por la izquierda,
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La derivada lateral, que como ya sabéis, es el límite cuando h tiende a 0 por la izquierda de f de 2 más h menos f de 2 partido de h.
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Sustituyendo y calculando el límite, esto me va a dar que es 4a más b.
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Si hago lo mismo, f de 2, f' de 2 por la derecha, ya sabéis que esto es el límite lateral cuando h tiende a 0 por la derecha,
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df de 2 más 2 más h
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menos f de 2 partido por h
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y esto va a salir c
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fijaros que cuadra con lo que tiene que salir
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bien, para que sea derivable en ese entorno
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esto tiene que coincidir
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4a más b tiene que ser igual a c
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Ya tengo la segunda ecuación, como podéis ver.
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¿Dónde está la tercera pista que va a hacer falta?
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Porque hay tres letras.
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Pues en el hecho de que f de 0 tiene que ser igual a f de 4.
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f de 0 va a ser 5, porque fijaros que al sustituir aquí la x por 0 sale 5.
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Y en el otro lado, f de 4, que es mayor que 2, esto va a ser 4c más 1.
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Como el teorema de Rolle tiene que coincidir, tengo 4c más 1, que es igual a 5.
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De aquí puedo deducir que c es igual a 1. Ya tengo mi primera variable.
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Bien, fijaros, la otra ecuación que teníamos, si la copio, pues está aquí, y junto con esta, pues tenemos un sistema.
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Como ya sabemos que lo que vale la c, podemos cambiarlo, así que de aquí tendremos que 2a más b menos 1, que es lo que vale la c, es igual a menos 2.
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Y de aquí tenemos que 4a más b igual a 1.
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Por ejemplo, podemos restar para que se vayan las b y ¿qué me va a quedar?
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Pues arriba me va a quedar 2a más b menos 1 igual a menos 2, 2a menos 4a menos 2a, las b se van, menos 1 igual, esto se resta menos 3.
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Luego, menos 2a es igual a menos 2, la a me sale que vale 1.
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Y si la a vale 1, de esta misma ecuación, resulta que la b vale menos 3.
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Por lo tanto nuestra función va a ser f de x igual a x cuadrado menos 3x más 5 si x menor que 2 y x más 1 si x mayor o igual que 2.
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Por tanto, la derivada de f de x es igual a 2x menos 3 si x es menor que 2 y 1 si x es mayor o igual que 2.
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Y ahora sí pongo el mayor igual porque sé que es derivable.
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Bien, si me piden c, pues obviamente hay que hacer f' de x igual a cero.
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Entonces la única opción es igualar a 2x menos 3 igual a cero.
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Y aquí saco que x es igual a 3 medios.
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Luego, por tanto, existe c perteneciente a 0, 4, tal que f' de c es igual a 0.
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Esto me lo garantiza el teorema de Rolle, pero es que además sé que c, por esto que acabo de hacer aquí,
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c, por esto que acabo de hacer aquí, c es igual a 3 medios.
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luego por tanto
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el teorema de Rolle me dice que existe
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y además la derivada y la función
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permiten encontrarlo
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y eso es todo
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casado
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 47
- Fecha:
- 25 de noviembre de 2024 - 20:13
- Visibilidad:
- URL
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 10′ 09″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 4096x2304 píxeles
- Tamaño:
- 264.93 MBytes