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Ejemplo de Examen - Ej 1a) - Contenido educativo

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Subido el 16 de abril de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos ahora con el apartado b del ejercicio 1. 00:00:00
Otro típico ejercicio en el que me dan una función definida a trozos 00:00:04
y me piden calcular los valores de a y b 00:00:07
para que la función sea derivable en x igual 2. 00:00:09
Me podrían haber dicho también que sea derivable en todo su dominio, 00:00:12
o para que fuera derivable en general. 00:00:16
¿Qué es lo que ocurre? 00:00:19
Cada uno de los trozos son funciones polinómicas, 00:00:20
por lo tanto son tanto continuas como derivables. 00:00:22
El único posible punto raro donde puedo tener problemas es exactamente en el 2, 00:00:25
por eso es en el que me lo están pidiendo. Lo primero que tenemos que tener en cuenta para que una función sea derivable, 00:00:28
la función tiene que ser continua. Por lo tanto, lo primero que tengo que estudiar es, o sea, o tengo que exigir que la función sea continua en x igual 2. 00:00:34
Entonces, lo primero que queremos ver es que sea continua en x igual 2. ¿Y qué significa que sea continua en x igual 2? 00:00:44
Pues que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función es igual al límite cuando x tiende al 2 por la derecha de la función y tiene que coincidir con el valor de la función. 00:00:54
Nos fijamos donde está el igual, en este caso está a la derecha, para los x mayores o iguales que 2, es decir, está en la parte de la derecha del 2 más. 00:01:11
Por lo tanto empezamos primero calculando el límite por la izquierda, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, de ax cuadrado más 3x, sustituimos en el 2 y esto me queda 4a más 3 por 2, 6, f de 2 en este caso hemos dicho que coincide con el límite cuando x tiende al 2 por la derecha, 00:01:23
de x cuadrado menos bx menos 4, sustituimos en el 2 y esto es 4 menos 2b menos 4 00:01:47
y lo que hacemos es imponer que estos dos valores sean iguales para que la función sea continua 00:01:58
y saco la primera ecuación, 4a más 6, quiero que sea 4 menos 2b menos 4, ¿vale? 00:02:04
Podríamos haber operado antes, este 4 con este menos 4 se me va y me queda la ecuación, 4a más 2b igual a menos 6, ¿vale? 00:02:14
Que incluso aquí lo podemos todo simplificar entre 2, pero como no sabemos cómo va a ser la otra ecuación, voy a esperar para simplificar y siempre tenemos tiempo. 00:02:27
Vale, esto es el haber impuesto que sea continua, ahora lo que queremos es que sea derivable, ¿vale? 00:02:35
Entonces lo primero, vamos a calcular cuánto sería la función derivada. 00:02:42
f' de x, sabemos que la derivada de una función definida a trozos es derivar cada uno de los trozos, 00:02:47
por lo tanto, la de arriba es 2ax más 3, cuando x es menor que 2, 00:02:53
y la de abajo es 2x menos b, cuando x es mayor que 2. 00:03:01
Recordad que no se pone el igual, ¿vale? 00:03:06
porque no podemos poner el valor de la derivada en ese punto, es justamente los límites laterales si coinciden. 00:03:08
Y entonces ahora, para que la función sea derivable, ¿vale?, que es lo que nosotros queremos, 00:03:14
es decir, lo que queremos ahora es que f de x sea derivable en x igual 2, 00:03:20
esto lo que quiere decir es que el límite, cuando x tiende a 2 por la izquierda, 00:03:31
de f' de x tiene que ser igual al límite, cuando x tiende a 2 por la derecha, de f' 00:03:37
de x. Pues calculamos los límites laterales, voy a hacer esto un poquito más pequeño. 00:03:45
Entonces, a ver, hacemos límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de f', en este 00:03:56
caso es de 2 a x más 3. Sustituimos la x por 2 y que me queda 4a más 3. Calculo el 00:04:04
límite por la derecha, 2 por la derecha y ahora es de 2x menos b. Sustituyo y esto es 00:04:14
4 menos b. Como antes imponemos que estos dos valores sean iguales y saco la segunda 00:04:23
la ecuación. Y me queda 4a más 3 igual a 4 menos b. O lo que es lo mismo, 4a más b 00:04:30
igual a 4 menos 3 directamente sub. Y ya tengo, esta era mi primera ecuación y esta es mi 00:04:41
segunda ecuación. Y ahora lo que tengo que hacer es resolver ese sistema. ¿Vale? Fijaos 00:04:50
que he dicho que no la iba a simplificar, lo voy a poner aquí a la derecha aunque quede 00:04:55
un poquito cutre. ¿Por qué? Porque, o sea, que no la iba a simplificar hasta saber cómo 00:05:00
era la otra ecuación. Coincide que las dos son 4a, así que de lujo. Hacemos una reducción 00:05:06
directa y resto. 4a menos 4a se me va, 2b menos b me queda b, menos 6 menos 1, menos 00:05:14
7. Pues ya tenemos calculado el valor de b. Y ahora para calcular el valor de a, pues 00:05:22
por ejemplo, en la segunda ecuación me queda que 4a es igual a 1 menos b, es decir, 1 menos 00:05:28
menos 7, por lo tanto me queda que a es 8 entre 4, 2. Por lo tanto, para que la función 00:05:35
sea derivable en x igual 2, b tiene que ser menos 7 y a tiene que ser 2, ¿vale? Esto lo tendríamos que escribir 00:05:46
para que la función sea derivable en x igual 2, a igual 2 y b igual menos 7, ¿vale? Y ya estaría el ejercicio 1. 00:05:54
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
63
Fecha:
16 de abril de 2025 - 14:37
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
06′ 04″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
15.39 MBytes

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