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Ejercicios del cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios polinomios - Contenido educativo

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Subido el 11 de enero de 2021 por Jose S.

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Vamos a hacer el ejercicio 4 de la página 45 del libro. 00:00:00
En todo caso, os muestro aquí el enunciado. 00:00:05
Da igual si no tenéis el libro. 00:00:08
Dice, hallar mentalmente, sin operar, el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los siguientes pares de polinomios. 00:00:11
Bien, tenemos estos polinomios. 00:00:23
En fin, que sea uno operando es relativamente anecdótico. 00:00:25
Lo que me interesa es que sepamos calcularlo y lo voy a... 00:00:29
Entonces os propongo que lo hagáis primero, paráis este vídeo, lo hacéis en base a lo explicado anteriormente 00:00:33
y luego continuéis con el vídeo para la explicación. 00:00:41
Pero os propongo que lo hagáis sin ver esta explicación que viene a continuación. 00:00:44
Bien, entiendo que ya habéis intentado el ejercicio y paso a explicarlo. 00:00:51
Tenemos que calcular en este caso el mínimo común múltiplo 00:00:55
El mínimo común múltiplo de el polinomio x cuadrado menos 1 y x más 1 al cuadrado 00:01:01
Pues bien, mentalmente ¿qué hacemos? 00:01:09
Pues digo, bueno, x cuadrado menos 1 lo puedo factorizar mentalmente 00:01:11
Es x cuadrado x más 1 por x menos 1 00:01:15
Algo sabido, aplicando los productos notables al revés 00:01:19
Este de aquí ya está factorizado 00:01:23
Entonces, ¿cómo hacemos el mínimo común múltiplo? Pues tomando los comunes y no comunes al mayor exponente. 00:01:24
A ver, lo que se repiten es x más 1, pero aparece aquí al cuadrado, por tanto, tomaríamos x más 1 al cuadrado. 00:01:31
Perdón, pues sí, para el máximo común, estoy haciendo el mínimo común múltiplo, ¿de acuerdo? 00:01:40
Entonces, tomaríamos x más 1 al cuadrado y finalmente x menos 1, que es el que no se repite. 00:01:46
Y así obtenemos este resultado, ¿de acuerdo? 00:01:51
Para el máximo común divisor, ¿cómo se hacía? Pues tomamos los comunes al menor exponente, y claro, los comunes al menor exponente, en este caso son x más 1 sin elevar al cuadrado, que es al menor exponente, aquí lo tenemos, porque aquí aparece al cuadrado. 00:01:54
Por tanto, el máximo común divisor será x más 1, ¿de acuerdo? 00:02:19
Hacemos el b, por ejemplo, pues factorizarmos este polinomio y luego este. 00:02:25
Rápidamente se factoriza porque se hace sacando factor común en este caso, ¿no? 00:02:32
Y nos quedaría x por x más 1 y aquí sería x por x menos 1. 00:02:39
Bien, para el MCD, el máximo común divisor, tomamos los comunes al menor exponente. 00:02:44
¿Cuál se repite? Pues x. Por eso el MCD es x. 00:02:50
Y para el MCM, pues, tomamos los que se repiten y los que no se repiten al mayor exponente. 00:02:55
En este caso es x por x más 1 por x menos 1. 00:03:00
¿Se ve? Es sencillo. 00:03:05
Al final es seguir la regla del cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de números. 00:03:07
lo mismo pero adaptado a los polinomios 00:03:12
por ejemplo, veamos en este caso 00:03:16
el de el apartado C 00:03:19
pues sería, factorizamos este polinomio 00:03:23
que nos queda x por x cuadrado menos 1 00:03:26
que por cierto es x más 1 por x menos 1 00:03:31
¿de acuerdo? 00:03:34
rápidamente, podríamos verlo 00:03:36
es x más 1 por x menos 1 y este de aquí pues sería x más 1 por x menos 1 vemos que está repetido esto 00:03:38
así que va a ser sencillo el mcd máximo común divisor sería tomando los comunes al los comunes 00:03:50
al menor exponente 00:03:59
y por tanto sería 00:04:02
x menos 1 por x más 1 00:04:04
aquí lo tenemos 00:04:07
el máximo común divisor 00:04:08
es x más 1 por x menos 1 00:04:09
porque son los que se repiten nada más 00:04:11
y para el mínimo común múltiplo 00:04:13
sería tomando los que se repiten 00:04:16
y los que no se repiten 00:04:18
siempre al mayor exponente 00:04:19
que en este caso es 00:04:22
x por x menos 1 por x más 1 00:04:23
aquí lo tenemos 00:04:26
¿de acuerdo? 00:04:27
Bien, para hacer el apartado de, pues os lo dejo ahí, bueno, simplemente observar una cuestión importante, x más 1 al cuadrado no se puede factorizar, rápidamente si resolvéis mentalmente esta operación, esta ecuación, veis que no tiene solución, te obliga a hacer una raíz de un número negativo, y por tanto no tiene solución en el campo de números reales. 00:04:28
Bien, pues lo que decíamos es que ya está factorizado 00:04:53
Este polinomio no se puede factorizar 00:04:58
Y este también está factorizado 00:05:00
Entonces para el máximo común divisor 00:05:02
Pues tomaremos los comunes al menor exponente 00:05:04
Pero no hay comunes, así que es 1 00:05:07
Y para el mínimo común múltiplo 00:05:09
Pues tomamos los comunes y no comunes al mayor exponente 00:05:11
Como no se repiten, pues lo ponemos tal cual es 00:05:15
En fin, ahora propondría hacer el ejercicio 5 de la misma página 00:05:19
Que os presento aquí el enunciado 00:05:27
Dice calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 00:05:30
De, bueno, pues de polinomio p de x y q de x en cada apartado 00:05:34
En este caso no se puede hacer mentalmente 00:05:43
Y bueno, pues lo que hacemos es factorizar los polinomios 00:05:47
Obtenemos la factorización y a partir de ahí 00:05:50
pues calculamos el mínimo común múltiplo y máximo común divisor aplicando la regla ya explicada. 00:05:53
Propongo que copiéis el enunciado del ejercicio 5 y os tomáis, paráis el vídeo y lo hacéis 00:06:00
y después lo explico. Aquí tenéis mejor el enunciado puesto de acuerdo. 00:06:08
Bien, doy un tiempo, paráis el vídeo y a continuación paso a explicarlo. 00:06:19
Bien, supongo que ya habéis hecho el ejercicio y ya habéis pausado el vídeo y ahora estáis viendo la explicación. 00:06:27
Vamos a ello. 00:06:34
En este caso nos piden calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de P y Q en cada caso. 00:06:35
Vamos al apartado A. 00:06:41
Tenemos el polinomio x cuadrado menos 9 y x cuadrado menos 6x más 9. 00:06:43
Pues lo dicho, hay que factorizar ambos polinomios, bien, si factorizas x cuadrado menos 9 se ve fácil por la aplicación del producto notable al revés, la fórmula de la suma por diferencia, diferencia de cuadrados, que la factorización sería x más 3 por x menos 3, o sea, la factorización de este polinomio es x más 3 por x menos 3, lo hacéis por el método que prefiráis. 00:06:47
Y para factorizar este polinomio, pues, o bien aplicando los productos notables al revés 00:07:14
o calculando la ecuación igualada a cero, las raíces, el método, o Ruffini, el método que prefiráis. 00:07:19
Y vais a ver que Q de X tiene como factorización X menos 3 al cuadrado. 00:07:27
Bien, una vez hecha la factorización de ambos polinomios de P y Q, que aquí tenemos, pues, hacemos lo de siempre. 00:07:34
El máximo común divisor va a ser tomar los comunes de todos los factores, los comunes, o sea, los que se repiten, al menor exponente. 00:07:42
¿Quién es este? Pues yo veo que sólo se repite x menos 3. 00:07:52
Aquí aparece al cuadrado, pero como hay que tomarlo como al menor exponente, pues pondremos que el máximo común divisor es x menos 3. 00:07:57
Bien, ¿cómo haremos el mínimo común múltiplo? 00:08:07
Pues, habiendo hecho la factorización, es sencillo, tomaríamos los comunes, o sea, los que se repiten, al mayor exponente y también los no comunes. 00:08:09
Pues bien, ¿cuáles se repiten? Pues x menos 3 está aquí, lo tomamos al mayor exponente, entonces habría que poner x menos 3 al cuadrado. 00:08:20
y bien aquí lo tenemos x menos 3 al cuadrado 00:08:30
y finalmente también hay que tomar los no comunes 00:08:35
en este caso no se repite x menos 3 00:08:39
está solo en la expresión de p de x 00:08:42
pero no en la de q de x 00:08:44
y por tanto también se toma y se pone aquí 00:08:46
bien este sería el mínimo común múltiplo 00:08:49
de los polinomios p de x y q de x 00:08:52
que uno lo puede dar en su expresión polinómica 00:08:55
operando esto, pero bien, de esta manera también nos valdría 00:08:59
¿de acuerdo? vamos a hacer ahora el apartado B 00:09:04
este es interesante en cuanto, yo creo que es importante 00:09:09
que lo hagáis vosotros sin mirar, porque tiene una factorización 00:09:13
interesante, vamos a ver, es un polinomio de grado 3, aquí lo tenemos 00:09:17
y Q de X es un polinomio de grado 4, bien 00:09:22
¿cómo factorizamos el primer polinomio P de X? 00:09:26
de grado 3, pues vemos que 00:09:29
como no tiene término independiente 00:09:32
podríamos sacar factor común x 00:09:34
en primer lugar 00:09:36
esto sería pues x por 00:09:37
x cuadrado menos 7x 00:09:40
más 12 00:09:42
es la factorización de este 00:09:43
polinomio 00:09:46
digamos 00:09:47
sacar factor común y ahora habría que factorizar 00:09:49
este polinomio de grado 2 00:09:52
pues como pues resolviendo 00:09:54
la ecuación por ejemplo y encontrando 00:09:56
las raíces, ¿no? La ecuación esta. Se resuelve, encuentras los valores de x y te van a dar 00:09:58
las raíces. Y ya vimos en las explicaciones anteriores que a partir de las raíces podría 00:10:08
factorizar este polinomio, ¿de acuerdo? Aquí lo tenemos. Decíamos que el polinomio 00:10:16
px sacando factor común x pues obtenemos esta expresión y ahora este polinomio pues si lo 00:10:27
igualamos a 0 y calculamos las raíces nos va a dar que los las raíces son x igual a 4 00:10:36
y x igual a 3 y por tanto la factorización es esta x por x menos 4 por x menos 3 ya está 00:10:44
explicado de acuerdo de vídeos anteriores tenemos el 00:10:54
polinomio factorizado de px vamos a factorizar el polinomio q 00:10:58
de x nuevamente habrá que sacar factor común 00:11:06
factorizamos este polinomio en primer lugar lo que haremos es sacar factor 00:11:15
común x cuadrado nos queda x cuadrado por x cuadrado menos 3x menos 4 y ahora habría que 00:11:21
factorizar este polinomio de grado 2 por ejemplo igualando a 0 y resolviendo las raíces que si 00:11:31
hacéis la fórmula de la ecuación de grado 2 veréis que una raíz es x igual a 4 y otra es x igual a 00:11:44
menos 1 se resuelve y por tanto la factorización va a ser x cuadrado por x menos 4 por x más 1 00:11:51
vamos a recordar que si 4 por ejemplo es una raíz del polinomio pues x menos 4 es un factor y si x 00:11:58
menos 1 es raíz pues x más 1 es un factor así tenemos la factorización del polinomio 00:12:07
Y aquí tenemos la factorización de ambos polinomios, p de x y q de x, ¿de acuerdo? 00:12:13
Bien, el mínimo común múltiplo ya es fácil y el máximo común divisor también, 00:12:21
aplicando nuestros algoritmos, nuestra forma de calcularlo. 00:12:26
En este caso, para el máximo común divisor de este polinomio y este, pues tomaríamos los comunes al menor exponente. 00:12:32
¿Cuáles son los comunes, los que se repiten? Vemos que x se repite. Aquí aparece como x cuadrado, pero me interesa el que tiene menor exponente y, por tanto, ponemos aquí x, que es el que se repite al menor exponente. 00:12:40
Y también se está repitiendo x menos 4. Pues lo ponemos aquí, x menos 4. Ya no hay más que se repita y, por tanto, el máximo común divisor es x por x menos 4. ¿De acuerdo? 00:12:54
En cuanto al mínimo común múltiplo, pues vamos a tomar los que se repitan y los que no se repitan al mayor exponente. 00:13:07
En este caso se repite x, digo que se repite x, pero el de mayor exponente es x al cuadrado y por tanto lo ponemos como x al cuadrado, 00:13:15
porque para el mínimo común múltiplo sí que tomamos el que tiene mayor grado de los que se repiten. 00:13:29
También se está repitiendo x menos 4 y por tanto lo ponemos aquí y no se está repitiendo x menos 3 que hay que ponerlo y x más 1 que hay que ponerlo y así obtenemos este polinomio operándolo nos dará un polinomio que es el mínimo común múltiplo de p de x y q de x. 00:13:34
y bien, pasamos a realizar el apartado C 00:13:54
el apartado C os lo he seleccionado aquí 00:13:58
bien, ya está factorizado 00:14:02
nos vienen en el enunciado los polinomios factorizados 00:14:06
pdx viene así expresado y qdx viene así expresado 00:14:10
solamente darnos cuenta de que está factorizado 00:14:14
bueno, de que esta parte podría no estarlo 00:14:17
Pero si realmente intentas factorizarlo, por ejemplo, resolviendo la ecuación, verás que no tiene raíces y por tanto no se puede factorizar. 00:14:19
Ya es un polinomio irreducible. 00:14:29
Así pues, pdx y qdx nos vienen factorizados. 00:14:33
Pues el mínimo común múltiplo será el que resulta de obtener los comunes y no comunes al mayor exponente. 00:14:38
En este caso se repite x y x³, se repite pero el de mayor exponente es x³, pondríamos x³. 00:14:48
También se está repitiendo x-3 pero no hay exponente pues lo ponemos tal cual x-3 00:14:56
y ahora habría que añadir los que no se repiten que son x más 5 y x² más x más 2. 00:15:05
así pues este polinomio es el mínimo común múltiplo de p de x y q de x 00:15:15
y en cuanto al máximo común divisor pues tomaremos únicamente los que se repiten al menor exponente 00:15:21
que son x y x cubo se repiten pero tomamos x porque es al menor exponente y aquí lo pongo 00:15:28
y también se está repitiendo x menos 3 que lo tomamos en esta versión dado que es menor exponente 00:15:34
Y ponemos x menos 3. Bien, así pues obtenemos el máximo común divisor. 00:15:42
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Fecha:
11 de enero de 2021 - 16:48
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
15′ 50″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
271.33 MBytes

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