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Ejercicio 3-1-4 - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver este ejercicio. Nos dicen sea f de x igual a x cubo más bx cuadrado más cx más d, un polinomio que cumple f de 1 igual 0, f prima de 0 igual 2 y tiene dos extremos relativos para x igual 1 y x igual 2. 00:00:01
Y me piden determinar los valores de a, b, c y d y luego decir si los extremos relativos son máximos o mínimos. 00:00:16
Es el típico ejercicio en el que me dan una función con parámetros y una serie de condiciones que cumple 00:00:22
y a partir de esas condiciones tenemos que ser capaces de sacar ecuaciones y resolverlas para poder calcular los valores. 00:00:27
Entonces, a ver, si nos damos cuenta, nos están dando un dato completo, f de 1 es igual a 0, ya me lo están dando, 00:00:34
f' de 0 igual a 2 ya me lo están dando, pero me están hablando de que tiene dos extremos relativos para x igual a 1 y x igual a 2. 00:00:42
¿Qué significa que sean extremos relativos? 00:00:49
Pues un número, o sea un valor de x es un extremo relativo 00:00:53
Si la derivada primera en ese punto es 0 00:00:56
¿Vale? Eso es lo que tiene que ocurrir para que sean extremos relativos 00:00:59
¿Vale? Pues vamos a poner todas las condiciones que tengo 00:01:03
Tenemos que f de 1 sea 0 00:01:08
Que f' de 0 sea 2 00:01:11
y lo que acabamos de decir, para que sea extremo relativo en x igual 1 00:01:15
lo que tiene que ocurrir es que f' de 1 sea 0 00:01:20
y para que el 2 sea otro extremo relativo lo que tiene que ocurrir es que f' de 2 sea también 0 00:01:24
¿Vale? Esto sería mi sistema de ecuaciones 00:01:32
Vamos a calcular aquí a la derecha cuánto es, bueno, voy a reescribir 00:01:36
f de x es ax cubo más bx cuadrado más cx más d, f' de x es 3ax cuadrado más 2bx más c 00:01:41
y voy a calcular también la derivada segunda que lo vamos a necesitar para el apartado b 00:01:59
Y este sería 6ax más 2b, ¿vale? Voy a dejar aquí a la derecha los datos que necesito, o sea, los valores de las funciones. 00:02:04
Y ahora vamos a ir sustituyendo. f de 1 igual a 0, bueno, pues sustituyo en la función y esto sería a más b más c más d igual a 0, ¿vale? 00:02:15
Si la x es 1, se quedan solamente los coeficientes. 00:02:28
La derivada en 0, pues sustituyo y obtengo 3a por 0 es 0, más 2b por 0 es 0, más c, y esto tiene que ser 2. 00:02:32
Luego aquí acabo de sacar ya uno de los valores. 00:02:41
La derivada primera en 1, bueno, pues esto serían 3a más 2b, más c, que ya voy a poner el valor, es decir, más 2, tiene que ser 0. 00:02:45
y la última sería la derivada en 2, es decir, 2 al cuadrado es 4 por 3, 12a, más 2 por 2, 4b, más c, es decir, más 2, igual a 0. 00:02:56
Y este es mi sistema de ecuaciones. 00:03:11
Voy a utilizar las dos últimas ecuaciones porque solamente tienen a y b para calcular el valor de a y b. 00:03:13
Y luego, utilizando la primera, vamos a calcular el valor de d despejándolo, porque el valor de d sería menos a menos b menos c, que ya sabemos que es 2. 00:03:19
Una vez que tengamos el valor de a y b, pues ya sustituiremos arriba. 00:03:30
Para hacer la reducción, bueno, pues voy a dejar la primera ecuación igual, 3a más 2b, voy a poner el término independiente a la derecha, igual a menos 2. 00:03:35
y la última ecuación, la cuarta, la voy a simplificar entre 2 00:03:44
y me quedaría 6a más 2b igual a menos 1. 00:03:50
He dividido todo entre 2. 00:03:57
Y ahora si yo resto las dos ecuaciones, 3 menos 6 me quedaría menos 3a, 00:04:00
2b menos 2b es 0 y aquí me quedaría menos 2 menos menos 1, 00:04:06
sería menos 2 más 1, es decir, menos 1. 00:04:10
De donde obtenemos que la A vale menos 1 entre menos 3, es decir, un tercio 00:04:12
Ya tengo el valor de A 00:04:20
Para calcular el valor de B, ¿qué hacemos? 00:04:23
Pues por ejemplo, despejamos en la primera ecuación 00:04:26
Y que me queda, que la B es menos 2 menos 3 por A, 3 por un tercio 00:04:31
sería 1 entre el coeficiente de b que era 2 00:04:37
y aquí que me queda menos 3 medios 00:04:43
luego ya tenemos también calculado el valor de b 00:04:46
y como os hemos dicho para calcular el valor de c 00:04:50
voy a venir aquí abajo, o sea el valor de d 00:04:53
obtenemos que la d es menos a, es decir menos un tercio 00:04:55
menos b que sería más 3 medios 00:05:01
menos 2 00:05:04
Tiramos de calculadora o de cálculo mental mínimo común múltiplo 6 00:05:07
Y esto sería menos 2 más 9 menos 6 por 2, 12 00:05:11
Luego esto sería menos 14 más 9, es decir, menos 5 sextos 00:05:16
Y con esto ya tendríamos los cuatro valores, el apartado A 00:05:23
Ya tenemos determinado el valor de A, de B, de C y de D 00:05:28
Ahora para el apartado B, me preguntan si esos puntos son máximos o mínimos 00:05:32
Bueno, pues vamos a ver cómo me quedaría la función 00:05:38
O sea, esto que acabo de hacer es el apartado A 00:05:41
Para el apartado B, vamos a escribir la función 00:05:44
Me quedaría f de x, sería la a es un tercio, luego sería un tercio de x cubo 00:05:47
La b es menos, la b la he perdido, menos tres medios 00:05:54
Menos 3 medios de x cuadrado 00:05:58
Más c, la c es 2 00:06:02
Más 2x 00:06:04
Y la d es menos 5 sextos 00:06:05
¿Vale? 00:06:08
Pero nosotros ¿Qué es lo que necesitamos? 00:06:09
He puesto aquí la función f 00:06:12
Pero sustituyendo lo que nos interesa 00:06:14
Para ver si son máximos o mínimos 00:06:17
Es la derivada segunda 00:06:19
La derivada segunda de x 00:06:20
Que la hemos calculado antes 00:06:22
Sería 6 por a 00:06:23
6 tercios que es 2 00:06:25
2x más 2b, es decir, menos 3. 00:06:27
Este sería el valor de la derivada segunda sustituyendo los valores. 00:06:33
Y ahora, a partir de esto, ¿qué es lo que tengo que calcular? 00:06:37
Pues para el primer punto que teníamos, por el x igual 1, 00:06:41
sustituyo ¿cuánto es f segunda de 1? 00:06:45
Pues 2 menos 3 menos 1, menor que 0, 00:06:48
lo que significa que x igual 1 es un máximo relativo. 00:06:51
¿Vale? Y sustituyo lo mismo en la derivada segunda, el valor 2, y sería 2 por 2, 4, menos 3, 1, mayor que 0. 00:06:57
Por lo tanto, x igual 2 es un mínimo relativo. 00:07:08
A ver, que se me ha quedado un poco raro. ¿Vale? Pues este sería un problema bastante típico de examen y de PAU. 00:07:16
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
14
Fecha:
13 de noviembre de 2025 - 21:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
07′ 24″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
19.77 MBytes

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