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AE2. 12 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. 00:00:21
En la videoclase de hoy estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres 00:00:47
incógnitas utilizando el método de Gauss. Los sistemas de ecuaciones, tres ecuaciones 00:00:52
generalmente lineales con tres incógnitas, toman la forma canónica, la forma más habitual 00:00:59
que vemos aquí. Un coeficiente por x más un coeficiente por y más un coeficiente por 00:01:03
z igual al término independiente, esto tres veces, puesto que tenemos tres ecuaciones. 00:01:08
A la izquierda limitaremos con una llave para indicar que estas tres ecuaciones se deben 00:01:12
resolver simultáneamente. En este caso las soluciones de existir van a ser pernas de 00:01:17
números en forma de punto x, y, z, valores que van a cumplir simultáneamente las tres ecuaciones. 00:01:21
Nosotros lo que vamos a hacer es utilizar el método de Gauss en forma matricial. Estamos 00:01:29
adelantando aquí en primero de bachillerato algo que ya utilizaremos en segundo de bachillerato. 00:01:33
Lo que vamos a hacer es transcribir el sistema de ecuaciones así dado, imaginémonos, 2x más 3y más 00:01:40
5 es igual a 7 a una forma de matriz si comparamos lo que hay a la derecha con 00:01:46
lo que a la izquierda vemos que tenemos los mismos coeficientes y lo que ocurre 00:01:51
es que habéis han desaparecido las incógnitas es una forma más limpia de 00:01:56
representar la información contenida dentro de las ecuaciones así pues lo que 00:02:01
vamos a hacer es transcribir los sistemas de ecuaciones en forma 00:02:05
matricial de esta manera entre paréntesis vamos a escribir ordenados 00:02:09
los coeficientes de x, y, z y término independiente en cada una de las líneas. Para la primera 00:02:14
ecuación tenemos a11 el coeficiente de x, aquí estaría, a12 el coeficiente de y, aquí 00:02:22
estaría, a13 el coeficiente de z, aquí estaría y a continuación el término independiente. 00:02:28
Esta línea vertical es estética, no es obligatoria, no forma parte de la matriz y nos ayuda a 00:02:35
distinguir el miembro de la izquierda con los coeficientes de la parte literal y el 00:02:40
miembro de la derecha con los términos independientes. Si os fijáis, he hecho lo mismo en las tres 00:02:44
líneas. A21 por x, aquí tengo A21, A22 por y, aquí tengo A22, A23 por z, aquí tengo 00:02:49
A2z y el término independiente B2. Lo mismo en la tercera ecuación. A la parte de la 00:02:56
izquierda, esta matriz que tiene tres filas y tres columnas, se le llama matriz de coeficientes 00:03:02
y se representa con la letra M mayúscula. 00:03:08
A todo completo, la matriz de coeficientes junto con los términos independientes a la derecha 00:03:11
se le llama matriz de coeficientes ampliada, puesto que le hemos añadido los términos independientes 00:03:16
y se representa por M con un asterisco en la parte de arriba a la derecha. 00:03:22
Como veis, esta línea vertical no es más que una ayuda visual. 00:03:27
Cuando nosotros tengamos un sistema de ecuaciones expresado en forma canónica de esta manera, 00:03:31
lo primero que vamos a hacer siempre va a ser transcribirlo en forma de matriz. 00:03:37
Una matriz, en última instancia, no es más que un conjunto de números organizados por filas y columnas. 00:03:41
Y aquí tengo tres filas que se corresponden con las tres ecuaciones 00:03:47
y cuatro columnas que se corresponden con las tres incógnitas más una extra con los términos independientes. 00:03:49
Nosotros resolveremos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas con carácter general 00:03:59
utilizando el método de Gauss. 00:04:03
Como veis aquí, el método de Gauss no es más que una sistematización, una sistematización 00:04:06
algorítmica del método de reducción que ya habíamos discutido al hablar de sistemas 00:04:11
de dos ecuaciones con dos incógnitas, con carácter general para sistemas de n ecuaciones 00:04:15
con n incógnitas, arbitrario n, aunque nosotros lo vamos a ver en este momento restringiéndonos 00:04:20
en principio a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, puesto que queremos 00:04:26
determinar tres incógnitas y para eso necesitamos de tres ecuaciones independientes. 00:04:30
Como decía, el método de Gauss sistematiza de forma algorítmica el método de reducción y para ello lo que vamos a hacer es utilizar una serie de transformaciones elementales, fundamentalmente estas cuatro y que por su importancia voy a volver a insistir sobre ellas. 00:04:35
En primer lugar, en cualquier momento podremos cambiar el orden de las ecuaciones. 00:04:50
Según nos convenga, nos parezca más adecuado, más cómodo, lo que corresponda. 00:04:54
En cualquier momento podremos multiplicar por un número real distinto de cero una ecuación, 00:04:58
no cero porque entonces las estaremos borrando, las estaremos haciendo desaparecer, 00:05:03
y también podemos dividir por un número real distinto de cero, 00:05:06
no entre cero porque la división entre cero no está bien definida. 00:05:10
Esto nos va a ser muy útil cuando, por ejemplo, nos encontremos con una ecuación 00:05:13
en la que todos los coeficientes del término independiente son pares. 00:05:16
Bueno, pues podremos dividir todo entre 2. 00:05:19
O bien nos encontramos que todos los coeficientes y el término independiente son negativos. 00:05:21
Bueno, pues podremos multiplicar por menos 1. 00:05:25
O en un momento dado nos podremos encontrar con que todos los coeficientes están divididos entre 2 00:05:28
o querremos en un momento dado eliminar denominadores, aunque sean distintos. 00:05:35
Bueno, pues lo que haremos será multiplicar por el mínimo como múltiplo de los denominadores para eliminarlos. 00:05:39
Algo en este estilo. 00:05:45
Siempre en la idea de simplificar las ecuaciones lo más posible. 00:05:47
El núcleo del método de Gauss es esta transformación que digo aquí. 00:05:52
Sustituir una ecuación por una combinación lineal formada por dicha ecuación sin anular y un número arbitrario de las restantes. 00:05:57
Y nosotros habitualmente lo que haremos serán sustituciones del estilo de sustituyo la ecuación 2 por 3 veces la ecuación 2 menos 2 veces la ecuación 1. 00:06:03
O sustituyo la ecuación 3 por la ecuación 3 más la ecuación 2. 00:06:12
Siempre será en el método de Gauss algo de este estilo. 00:06:16
Sustituyo una ecuación por ella misma y utilizo otra ecuación más. 00:06:19
Por último, siempre podremos eliminar una ecuación que sea combinación lineal de las otras ecuaciones del sistema, ya sin incluirla. 00:06:23
Nosotros más fácilmente veremos dos ecuaciones que sean iguales, eliminaremos una de ellas. 00:06:31
Una ecuación que sea múltiplo de otra, eliminaremos una de ellas. 00:06:36
Si en un momento dado nos damos cuenta de que la ecuación 3 es la ecuación 1 más dos veces la ecuación 2, 00:06:42
que no siempre es fácil de ver este tipo de combinaciones, argumentando de esa manera podremos eliminar la ecuación. 00:06:47
El método de Gauss es muy sencillo de entender. 00:06:53
Insisto en que no es más que una sistematización algorítmica del método de reducción. 00:06:56
Y lo que voy a hacer es explicarlo utilizando un ejemplo. 00:07:01
Y entonces os invito a que veáis la siguiente videoclase en la cual voy a resolver como ejemplo este ejercicio 15 00:07:04
utilizando el método de Gauss. 00:07:10
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:07:15
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:07:22
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:07:27
Un saludo y hasta pronto. 00:07:32
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
8
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 16:36
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
08′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
18.80 MBytes

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