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CLASE 14 DE OCTUBRE - Contenido educativo

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Subido el 15 de octubre de 2026 por M.jose S.

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Bueno, estos días de atrás hemos estado viendo de los polinomios, hemos visto lo que es un polinomio, el grado de un polinomio, un poco la nomenclatura de los polinomios 00:00:00
y luego cómo se hacían las operaciones de sumar, restar, multiplicar por un número y multiplicar dos polinomios. 00:00:10
En principio nos quedaría exclusivamente el cociente entre polinomios. 00:00:18
El cociente entre polinomios siempre se puede hacer cuando el dividendo es de un grado superior al divisor. 00:00:22
Es decir, yo podría dividir x cubo más 2x cuadrado menos x, lo puedo dividir entre x cuadrado más 5x menos 1, por ejemplo. 00:00:42
¿Por qué? Porque esto es mayor que el mayor de los estos. 00:00:56
Si fuese al revés, si yo quisiese dividir este entre este, no podría. 00:01:03
No se puede dividir si el polinomio del dividendo es de un grado inferior al divisor. 00:01:08
Esto tiene una manera de hacerse, pero nosotros no la vamos a utilizar. 00:01:19
Os lo digo esto por si miráis en internet o algo así, esto tiene una forma de hacerse 00:01:24
Pero nosotros esta forma no la utilizamos, nosotros no dividimos polinomios 00:01:32
Nosotros cuando tenemos dos polinomios divididos como este, se pone así como una fracción 00:01:37
y como mucho esto es una fracción polinómica 00:01:47
y como mucho lo que hacemos es, ya veremos un poquito más adelante, simplificarla. 00:01:58
Pero siempre la división de polinomios la dejamos en forma de fracción. 00:02:05
Trabajamos siempre con fracciones polinómicas. 00:02:09
Entonces la manera en que se dividen dos polinomios, en principio no la vamos a trabajar. 00:02:13
Solo vamos a trabajar un caso muy particular del cociente de polinomios, que es cuando el divisor, el polinomio divisor, es de la forma x más menos un número cualquiera. 00:02:17
Ese tipo de divisiones sí que las vamos a hacer, solo y exclusivamente 00:02:40
Fijaros, esta división que yo había puesto aquí es una división en que el divisor es un polinomio de esa manera 00:02:47
Entonces yo, en este caso, ese caso no forma parte del caso particular 00:02:56
Para que yo pueda utilizar la división que vamos a aprender a hacer 00:03:04
Tiene que ser que el divisor tenga siempre, es un polinomio de esta forma, x más o menos un número. 00:03:08
No vale x cuadrado más o menos un número, solo x más o menos un número. 00:03:16
¿De acuerdo? 00:03:21
Cuando se da este caso particular, entonces hay una manera especial de dividir, de hacer la división, que se llama el método de Ruffini. 00:03:22
¿En qué consiste el método de Ruffini? 00:03:33
El método Ruffini consiste, si yo quisiera por ejemplo dividir x cubo más 2x menos x más 5 y lo quiero dividir entre x menos 2, yo como el divisor es un polinomio de la forma x menos un número, digo, ah, pues este sí le puedo hacer por Ruffini. 00:03:43
¿Cómo se hace Ruffini? Ruffini se pone los coeficientes organizados de mayor potencia a menor potencia del dividendo, lo veis, ¿no? Con su signo. 00:04:09
Esto es un menos 1, más 5 y un 1. Y aquí se pone eso cambiado de signo, es decir, que si tengo un menos 2, pongo un 2. 00:04:25
Si tuviese un más 2, pondría un menos 2. ¿Vale? 00:04:36
Y ahora, ¿cómo se hace? Este se baja, tal cual está, un 1. Y ahora se multiplica este por este, 1 por 2 es 2, y estos se suman, 4. 00:04:41
¿Vale? 00:04:52
Vuelvo a hacer lo mismo 00:04:54
Este por este, 4 por 2, 8 00:04:55
Y se suman, 7 00:04:57
Este por este 00:04:59
Vuelvo a hacer lo mismo y se suman 00:05:01
Una vez que yo he hecho esto 00:05:04
Resulta que esto 00:05:06
Es igual a 00:05:09
Si esto es un cubo, aquí se pone un x cuadrado 00:05:11
Y esto es el resto 00:05:14
¿De acuerdo? 00:05:26
Es sencillo, con su signo 00:05:31
Con su signo, o sea, si estoy sumando menos 1 y 8, estoy haciendo una resta, 8 menos 1, ¿no?, lo estoy sumando, ¿de acuerdo? 00:05:33
Y este último número de aquí, esto de aquí es el resto, acordaros que cuando una división no es exacta, pues la división da lo que dé y me queda un resto. 00:05:48
En este caso, cuando se hace Ruffini, el resto es siempre este último número que me queda. 00:05:58
Sí, voy a hacer otro. 00:06:04
No, no, no, entonces no hay mitad. 00:06:06
Toda sin mitad. 00:06:08
Esto no sirve para resolver sistemas de ecuaciones. 00:06:09
Esto es otra cosa. 00:06:12
A ver, por ejemplo, si yo tengo x a la sexta menos 2x a la quinta. 00:06:14
Uy, estoy tonta. 00:06:23
2x a la quinta 00:06:25
más 3x a la cuarta 00:06:29
menos 2x a la cuarta 00:06:31
menos 5x 00:06:34
menos 8 00:06:34
y lo quiero dividir 00:06:37
entre 00:06:40
x más 3 00:06:42
bueno, entonces yo cuando me ponen una división de estas 00:06:45
yo lo primero que miro es 00:06:47
si se puede hacer por Ruffini o no 00:06:49
porque si este 00:06:50
si este polinomio divisor no es de la forma x más o menos un número, entonces no puede utilizar Ruffini. 00:06:52
No podéis utilizar Ruffini si el divisor es otro de cualquier otra manera. 00:07:01
Como puedo hacerlo, entonces yo empiezo bajando los coeficientes. 00:07:06
x a la sexta, x a la quinta, x a la cuarta, x al cubo, x cuadrado no hay, luego pongo un cero. 00:07:12
x y números 00:07:19
cuando falta alguna potencia de la variable 00:07:22
y ahora aquí pongo este número cambiado de signo 00:07:26
y empiezo 00:07:29
el primero baja tal cual 00:07:30
sea el número que sea 00:07:32
y ahora es 00:07:33
esto por esto lo pongo aquí abajo 00:07:34
y sumo 00:07:37
otra vez 00:07:38
esto por esto 00:07:40
y sumo 00:07:41
esto por esto 00:07:44
que son 3 por 8, 24, 54 00:07:46
y sumo 00:07:51
esto por esto 00:07:53
que son 6 por 3, 18, 15, 16 00:07:57
y sumo 00:08:01
esto por esto 00:08:03
que son 3 por 8, 24, 2, 0, 5 00:08:04
y sumo 00:08:08
y ahora esto por esto 00:08:11
que son 14 00:08:16
positivos y sumo, ya está, siempre es igual, este le bajo y luego es este por este y lo que da aquí y lo sumo, 00:08:18
este por este lo que da aquí, siempre es la misma operación, siempre es la misma operación, ¿veis?, ¿de acuerdo? 00:08:30
Por lo tanto, ¿cuál es el polinomio resultante?, ¿cuál es el resultado de esa división?, como este es x a la sexta, 00:08:38
Este primero será x a la quinta, entonces tengo una x a la quinta menos 5x a la cuarta, esto es x a la quinta, esto es x a la cuarta, esto es x al cubo, esto es x al cuadrado, esto es x, esto es el número y esto es el resto. 00:08:44
Luego será menos 5 más 18x cubo menos 56x cuadrado más 168x menos 499. 00:09:06
El resto, 1489. 00:09:22
¿De acuerdo? 00:09:28
¿Y por qué x a la quinta y de... o sea, el x a la sexta no se cuenta por...? 00:09:29
Porque si yo divido, yo empiezo dividiendo X a la sexta entre X, luego es X a la quinta. 00:09:33
El primero tiene que ser, es uno menos que la mayoría de la potencia. 00:09:39
Empiezo por ahí, aquí, empiezo por aquí. 00:09:44
Pongo unas cuantas, ¿vale? 00:09:46
A ver si sois capaces de hacerlo. 00:09:48
¿Puedo ya? 00:09:51
Os pongo unas cuantas. 00:09:54
Entonces, x cubo más 2x más 70 dividido entre x más 4, otro, x a la quinta menos 32, x a la cuarta menos 3x cuadrado. 00:09:55
acordaros que 00:10:24
todas las potencias de la variable 00:10:30
que no estén 00:10:33
hay que poner ceros 00:10:35
aquí habría que poner cero en x a la cuarta 00:10:36
en x al cubo, en x al cuadrado 00:10:39
y en x, en todas esas 00:10:41
tienen que aparecer todas 00:10:42
las que no estén ahí, ceros 00:10:44
¿de acuerdo? 00:10:47
venga, a mí 00:10:48
Este, yo tendría que poner 00:10:49
X al cubo, 1 00:11:08
X al cuadrado, 0 00:11:10
Y 70 00:11:13
Y aquí tengo que poner un menos 4 00:11:15
Esto es 1 00:11:17
Menos 4 00:11:20
Por lo tanto, esta división es x al cuadrado menos 4x más 18 y resto menos 2. 00:11:21
¿Has olvidado eso? 00:11:44
Sí. 00:11:45
Vale. 00:11:46
x a la quinta tiene uno 00:11:47
x a la cuarta cero 00:11:50
x al cubo cero 00:11:51
x al cuadrado cero 00:11:53
x cero 00:11:54
y menos treinta y dos 00:11:55
y aquí tengo que poner 00:11:57
¿dónde? 00:12:00
aquí 00:12:02
no, siempre empiezo por uno menos 00:12:03
si este es x al cubo aquí empiezo por x al cuadrado 00:12:05
siempre por uno menos 00:12:08
ten en cuenta que lo primero que hago es dividir 00:12:09
esto entre esto 00:12:11
para dividir 00:12:12
igual que para multiplicar sumamos potencias 00:12:13
para dividirlas restamos, entonces 3 menos 1, 2, siempre es 1 menos de lo que tengas aquí, 00:12:16
del más alto, siempre empiezas por 1 menos, este sería 1, 1 por 2, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 00:12:21
16, 32, 0 00:12:33
Por lo tanto, este será 00:12:37
X a la cuarta 00:12:40
Más 2X al cubo 00:12:42
Más 4X al cuadrado 00:12:45
Más 8X 00:12:48
Más 16 00:12:51
Y el resto es 0 00:12:53
Es decir, esta división es exacta 00:12:55
¿No? 00:12:57
La división que tiene el resto es 0 00:12:59
Eso está mal 00:13:00
además es un error 00:13:01
muy normal, muy común 00:13:04
cuando estás haciendo Ruffini 00:13:06
sobre todo si va nervioso y rápido 00:13:07
pues aquí 00:13:10
es más difícil olvidarse 00:13:12
porque tienes un X a la quinta, pero aquí por ejemplo 00:13:14
aquí dices, ah, y no te das cuenta 00:13:16
que te faltan los discuadrados 00:13:18
y es fundamental 00:13:19
la potencia que falta, sea una 00:13:20
dos, cinco, ocho, me da igual 00:13:23
fíjate que aquí faltan cuatro potencias 00:13:26
hay que poner un cero a cada una de ellas 00:13:28
¿De acuerdo? 00:13:30
Este, este sería 1x a la cuarta 0x cubo menos 3x cuadrado 0x y 2 ¿Ves? 00:13:32
Yo tengo que poner siempre todos los ceros que me faltan 00:13:41
Y aquí te voy a poner un 3 00:13:45
1, 3, 3, 9, 6, 18, 54, 56 00:13:46
Luego esto es igual a x al cubo más 3x al cuadrado más 6x más 18 y el resto es 56. 00:13:55
¿De acuerdo? ¿Lo habéis hecho bien? 00:14:11
Tenéis que fijaros, es que es muy importante fijarse cuáles son las potencias que faltan. 00:14:15
¿Vale? 00:14:21
¿Puedo pasar la página? 00:14:22
bueno, vamos a hacer los ejercicios 00:14:23
tenéis ahí los que hacía el otro día 00:14:26
hicimos la primera cara 00:14:28
darle la vuelta 00:14:30
y vamos a hacer 00:14:31
el 10 00:14:32
vamos a hacer el 10 00:14:37
tenéis un montón de ellas 00:14:39
estos son más 00:14:42
no sé por qué no han salido 00:14:43
esos son más 00:14:47
Bueno, con eso lo hago una. 00:14:57
Lo hago una. De momento... 00:15:01
¿Lo ves en la pizarra? 00:15:03
Le voy a echar la jodida porque de lejos no lo veo, pero lo veo. 00:15:04
Si salís a hacer una de las X, así se va. 00:15:09
Eso no es una... 00:15:12
¿Lo hago? 00:15:13
¿Lo hago, chicos, chicas? 00:15:37
Bueno, vamos. 00:15:39
Empezamos. El primero. 00:15:41
Este, el a, el a, tengo un x a la quinta, luego pongo un 1, menos 2x a la cuarta, un menos 2, menos x al cubo no tengo, luego tengo que poner un 0, x al cuadrado tengo menos 3, x tengo 7 y números tengo 1. 00:15:43
Y aquí tengo que poner un 2, opero, 1, 2, 0, 0, 0, 0, menos 3, menos 6, 1, 2, 3. 00:16:06
Luego el resultado del a es, esto era x a la quinta, pues x a la cuarta, x al cubo no hay, x al cuadrado tampoco, menos 3x más 1 y resto 3, el resto es esto 00:16:24
El b, el b tengo x a la cuarta que tengo 1, x al cubo que tengo 1, x al cuadrado que tengo menos 2, x que tengo 1 y números menos 1 y está entre x más 1 luego aquí pongo menos 1. 00:16:41
Siempre pongo con signo cambiado el número del divisor. 00:16:57
Bajo este, menos 1, 0, 0, menos 2, 2, 3, menos 3, menos 4. 00:17:02
Luego, si aquí la primera era x a la cuarta, esta sería, la primera será un x al cubo, 00:17:15
x cuadrado no hay, menos 2x más 3 y el resto menos 4, ¿vale? 00:17:22
El c, el c es 2x cubo, x cuadrado tiene menos 3, x 4 y números menos 3 y está entre x menos 1, 00:17:32
Luego aquí pongo un 1. Bajo el 2, 2, menos 1, menos 1, 3, 3 y 0. Como esto era un 2x al cubo, pues entonces tengo 2x cuadrado, 00:17:47
esto ya es una x cuadrado, menos x más 3 y el resto es 0. Vale, vamos con otro. ¿Puedo borrar esto? ¿Puedo borrarlo? 00:18:04
¿Puedo borrarlo, chicos, chicas? 00:18:13
Bueno, la d a lo mejor la puedo poner aquí 00:18:16
Venga, hago la d 00:18:18
La d, tengo un x a la cuarta 00:18:20
Tengo menos 3x al cubo 00:18:24
No tengo x cuadrado 00:18:29
No tengo x 00:18:31
Y tengo un menos 3 00:18:33
Y aquí es entre x más 2 00:18:34
Luego aquí pongo un menos 2 00:18:37
Bajo el 1 00:18:38
Menos 2, menos 5 00:18:40
menos 20 00:18:46
menos 20 00:18:48
y 37 00:18:51
como habíamos empezado en la D con un X a la cuarta 00:18:53
pues entonces esto es un X al cubo 00:18:57
es X cubo 00:18:59
es que eso es el 11 00:19:01
¿por qué no me está cuadrando en un segundo? 00:19:02
uy madre mía, estoy haciendo uno que no es 00:19:06
bueno, vale, no preocuparse 00:19:08
no preocuparse, volvemos 00:19:13
¿este primero le he hecho bien? 00:19:15
sí, ¿no? el primero sí 00:19:17
el que no ha hecho bien ya ha sido el B, ¿no? 00:19:18
¿este ya le he hecho mal? 00:19:21
el D 00:19:23
¿el B le he hecho bien? 00:19:23
también mal 00:19:27
no, era el D 00:19:27
el que iba a hacer 00:19:30
el B sí que lo has hecho bien 00:19:31
ah, el B está bien hecho, ¿el C? 00:19:34
el C está bien 00:19:37
es este, ¿no? vale 00:19:38
estos son más 00:19:39
El d, tengo un x, este es el d, un x a la cuarta, 3x al cubo, menos una x cuadrado, menos una x y un 3. 00:19:41
Es entre x más 3, luego aquí pongo un menos 3. 00:19:55
1, menos 3, 0, 0, menos 1, 3, 2, menos 6, menos 3. 00:19:59
Luego, como había empezado con un x a la cuarta, tengo un x al cubo, 0x cuadrado, x más 2 y resto, menos 3. 00:20:09
¿De acuerdo? Voy con el e. 00:20:23
El e tengo menos un x a la cuarta, 4x al cubo, menos 3x cuadrado, menos 2x y un 7. 00:20:26
Y aquí tengo que poner un 3 00:20:36
Menos 1, menos 3, 1, 3, 0, 0, menos 2, menos 6, 1 00:20:39
Como había empezado con un x a la cuarta, pues esto es un x al cubo 00:20:50
Menos x al cubo, más x al cuadrado, x no hay, menos 2 y resto 1 00:20:55
y por último tengo un x a la quinta, un x a la cuarta, menos dos x al cubo 00:21:02
x cuadrado no hay, x cuatro y números menos tres 00:21:16
y aquí tengo que poner un menos dos 00:21:21
1, menos 2, menos 1, 2, 0, 0, 0, 0, 4, menos 8, menos 11 00:21:24
Como había empezado en un x a la quinta lo que tengo es x a la cuarta, menos x al cubo 00:21:35
x cuadrado no tengo, x tampoco, luego más 4 y resto menos 11 00:21:42
¿Está claro? 00:21:51
Sí 00:21:52
¿No? 00:21:53
¿Sí o no? 00:21:54
Sí, sí, lo que pasa es que son los signos que no hay. 00:21:55
Hay los signos, pues tienes que... 00:21:58
Hombre, es mucho mejor de cabeza, pero si ves que te pueden llegar a fallar los signos, asegúrate. 00:21:59
¿Vale? 00:22:07
Es que, profe, por ejemplo, en el F, que pusiste en el menos 2, 00:22:07
¿cuál es el menos 2? Un 2, ¿no? 00:22:14
Sí. 00:22:16
Pues yo hice menos 2 o menos 1, puse menos 2. 00:22:16
Pues menos o menos, eso lo sabe todo el mundo, casi casi nacemos sabiendo eso, menos por menos es más, ojo con los signos, ¿de acuerdo? Vale, bueno, pues fijaros que una vez que se hacen este tipo de visiones, salió, de aquí salió una regla que es importantísima, que es el teorema del resto. 00:22:20
¿Qué dice el teorema del resto? 00:22:49
El teorema del resto dice que cuando yo hago una división de estas por Ruffini, 00:22:50
puedo saber cuál es el resto de la división sin necesidad de hacer la división. 00:22:56
¿Cómo se sabe eso? 00:23:02
Pues si yo pongo, meto este número, lo meto en el polinomio, me da el resto. 00:23:03
Me da el resto. 00:23:13
Fijaros, voy a borrar aquí. 00:23:14
Voy a borrar esto. 00:23:18
Teorema del resto. 00:23:27
El teorema del resto dice que si yo tengo un polinomio cualquiera en x 00:23:28
y lo divido entre otro polinomio del tipo x menos más o menos a, 00:23:32
el resto de este polinomio es de... 00:23:38
¿Qué quiere decir esto? 00:23:42
Quiere decir, coge la... 00:23:43
Yo tengo el polinomio x a la quinta menos 2x a la cuarta 00:23:45
menos 3x al cuadrado 00:23:51
más 7x 00:23:54
más 1 00:23:57
y lo quiero dividir entre x menos 2 00:24:00
pues sin hacer esta división 00:24:04
yo puedo saber cuál es el resto de esa división 00:24:07
haciendo donde pone x 00:24:10
pongo este número 00:24:14
cambiado de signo, siempre cambiado de signo 00:24:16
Es decir, 2 a la quinta menos 2 por 2 a la cuarta menos 3 por 2 al cuadrado más 7 por 2 y más 1. 00:24:19
Hago esta cuenta y esto es, esto es 2 a la quinta, eso se va, esto es 3 por 4, 12, son 2, resto, resto 3. 00:24:32
¿Os salía eso? Salió resto 3. 00:24:51
Sin hacer la división, yo puedo saber cuál es el resto. 00:24:53
Otra, la b. 00:24:58
Yo tenía x a la cuarta más x al cubo menos 2x cuadrado más x menos 1. 00:25:01
Y lo tenía que dividir entre x más 1. 00:25:10
Pues cambiar nuestro signo 00:25:14
Si el resto sería 00:25:17
1 a la cuarta más menos 1 al cubo 00:25:18
Menos 2 por menos 1 al cuadrado 00:25:23
Más menos 1 y menos 1 00:25:27
Hacerme esta operación 00:25:30
A ver que vamos 00:25:31
No os quedéis en blanco 00:25:32
Meteros en la calculadora 00:25:34
La luz nos da 00:25:35
Os tiene que dar el mismo resto 00:25:36
Que ha salido cuando 00:25:40
¿Entendéis lo que estoy haciendo? 00:25:41
O sea 00:25:42
Hemos aprendido a dividir por Ruffini 00:25:42
Y resulta que de la división por Ruffini 00:25:47
Salió un teorema que luego vamos a utilizar 00:25:49
Que es el teorema del resto 00:25:51
Que dice el resto de una división de las de Ruffini 00:25:53
Solo de las de Ruffini 00:25:55
Estoy hablando siempre 00:25:57
Es decir, en que el divisor 00:25:58
Es un polinomio en este tipo 00:26:01
Pues resulta que yo puedo calcular 00:26:03
El resto de esa división sin necesidad de hacerla 00:26:05
¿Cómo? 00:26:08
Menos 4 00:26:09
¿Salió menos 4 antes? 00:26:10
¿De acuerdo? Entonces, aprovechando el teorema del resto vamos a hacer el ejercicio 11, que es sacar el resto sin hacer la división, ¿de acuerdo? 00:26:12
Me vais a sacar el resto de todas estas divisiones sin hacer la división, ¿de acuerdo? En primer caso en el A sería el valor del polinomio para X igual a 2, en el B para X igual a 1, en el C para X igual a menos 1 y así sucesivamente, ¿de acuerdo? 00:26:30
Venga, ánimo, a trabajar, vamos, vamos. 00:26:47
Vamos compañero, que solo de verlo te me hundes. 00:26:52
Vamos, la calculadora, coge la calculadora. 00:26:57
¿No? 00:27:02
No, que no son más eso. 00:27:03
Aprendemos a hacer el cine para aprender a hacer esto, para aprender lo que ahora te voy a enseñar. 00:27:06
Yo en este curso, no sé si lo consigo, pero enseñaros sólo las cosas que os vais a necesitar, sólo. 00:27:10
Ya os dije desde el primer día que yo no intento enseñaros matemáticas. Si yo te estoy enseñando esto es porque sé que luego no entiendes lo que te digo. 00:27:21
Si no, no te lo estaría enseñando. Igual que no os he enseñado a dividir polinomios, igual que no os he enseñado muchas cosas, porque sé que luego en el examen no lo necesitáis. 00:27:29
Pero esto sí, porque ahora lo necesitamos para hacer otra cosa. 00:27:37
Entonces, calcular el resto de una división de Ruffini sin hacer Ruffini, hay que saber cómo se hace. 00:27:42
Y hay que tener cierta habilidad. 00:27:49
En el caso B, que pone... 00:27:52
Es un más. 00:27:55
Que faltan algunos, son máses. 00:27:56
Otra. 00:27:58
Lo saco. 00:28:08
En el ejercicio A lo que yo tendría que hacer es 2 a la quinta menos 2x al cubo más 2 al cuadrado menos 1. 00:28:08
Esto es 32 menos 16 más 4 y menos 1 00:28:27
Luego esto es 16, 17, 13, 12, 20, 19 ¿no? 00:28:34
Sí 00:28:43
El resto sería 19 00:28:43
¿Entendéis lo que estoy haciendo? 00:28:46
Estoy dividiendo este polinomio entre esto 00:28:48
Entonces para saber el resto si quiero hacer la división 00:28:51
Tengo que hacer la división por Ruffini 00:28:55
pero si solo quiero saber el resto 00:28:56
me basta con poner este número 00:28:58
siempre cambiado de signo 00:29:00
ponerlo donde está la x 00:29:02
y me da un número que es el resto de esa 00:29:03
¿cuál? ¿2x al cubo? 00:29:06
ay no, no, no, que me he ido, me he ido 00:29:08
me he ido, me he ido 00:29:10
esto es, perdón, sí 00:29:12
esto es 00:29:14
2 por 2 00:29:16
pero vamos, está bien hecho 00:29:18
o sea, está bien calculado 00:29:20
pero al escribir se me ha ido 00:29:21
en el b, como lo tengo que dividir entre menos 00:29:23
1, donde pone x tengo que poner un 1, luego es 1 al cubo más 3 por 1, más 2, que es 00:29:26
1, 3, 6, ¿no? 6. Este es el a. El c tendría, como lo tengo que dividir entre x más 1, 00:29:37
pues donde pone x te voy a poner menos 1 00:29:47
luego 2 por menos 1 00:29:49
a la cuarta 00:29:52
menos 3 00:29:53
por menos 1 al cuadrado 00:29:55
más menos 1 00:29:58
y menos 1 00:30:01
esto sería 2 más 3, 7 00:30:03
menos 2, 5 00:30:07
¿os da eso? 00:30:08
a mí da menos 3 00:30:12
no, espérate, a ver 00:30:13
que lo he calculado 00:30:14
esto es 1, luego esto es 2, 2 menos 3, menos 1, menos 1, 3, 5, si no, no, no, no, no da eso, no da eso, no da eso, un momento 00:30:16
estos son 2, menos 3, menos 1 y menos 1, luego es 3, 4, 5, es menos 3, menos 3 00:30:27
En el D lo tengo que dividir por X más 2, luego tengo donde pone X menos 2 00:30:38
Entonces tengo menos 2 a la cuarta, menos 3 por menos 2 al cubo y menos 3 00:30:45
Entonces esto es igual, estos son 16, estos son menos 8, menos 8 menos 3, más 24 y menos 3. 00:30:58
Estos son 16, 17, 37 si no me he equivocado. 00:31:11
En el E como estoy dividiendo entre x menos 1 donde pone x pongo 1, 1 al cubo menos 2 por 1 al cuadrado más 1. 00:31:15
y más 3, esto es 1 menos 2 más 1 más 3, esto es 3, 4, 5 menos 2, en el f estoy dividiendo 00:31:28
entre x menos 3, donde pone x pongo 3, 2 por 3 a la cuarta más 3 por 3 al cuadrado menos 00:31:42
3 y más 1. Esto es 81 por 2, que son 162, más 9 por 3, 27, menos 3 y más 1. Luego 00:31:53
esto es menos 2, que son 25, 25, que son 80, 187 si no me he equivocado. El g dividido 00:32:08
entre menos x menos 2, luego tengo que poner un 2 donde pone x, 2 a la cuarta menos 3 por 2 al cubo más 2 por 3, no, algo estoy haciendo mal, no, esto es un 2, estoy poniendo un 2. 00:32:20
Luego esto es igual a 16 menos 24 más 4, que es menos 4, ¿no? 00:32:39
Y por último el h, que como estoy dividiendo entre x más 1, 00:32:54
donde pone x, menos 1, o sea que 3 por menos 1 a la cuarta, más 2 por menos 1 al cubo, más 3, esto es 3 menos 2 más 3, que es igual a 4, ¿de acuerdo? 00:33:01
Así se calcula el resto. 00:33:23
Entonces, a partir del teorema del resto, si yo soy capaz de calcular el resto de una división, 00:33:27
y estoy hablando siempre de divisiones que se pueden hacer por Ruffini, 00:33:40
es decir, todas las divisiones de polinomios en que el divisor no sea de la forma x más un número o x menos un número, 00:33:43
Y nos olvidamos, esas divisiones no las hacemos, las ponemos, como hemos dicho, en el primero, bueno, no sé si he ido borrando, bueno, creo que he ido borrando, da igual, las ponemos en forma de fracción y las dejamos como una fracción algebraica. 00:33:53
Entonces, si yo puedo calcular el resto de una división 00:34:10
De las que se pueden hacer por Ruffini entre dos polinomios 00:34:15
Yo puedo ser capaz de calcular cuando el resto va a ser cero 00:34:19
Es decir, cuando esa división va a ser exacta 00:34:26
Si a mí alguna de estas me hubiese dado el resto cero 00:34:29
Hubiese podido decir que la división de esos dos polinomios es exacta 00:34:33
Entonces, ¿para qué utilizamos esto? 00:34:37
Utilizamos precisamente para hacerlo al contrario, no para calcular el resto, sino para calcular qué número me da resto cero. 00:34:40
¿Qué número tengo que meter yo aquí para que me dé resto cero? 00:34:51
Tú podrás decir, qué barbaridad, pues ponte a mí ahí calculando números hasta el infinito. 00:34:57
No, no. Esos números, si es que hay alguno, esos números son siempre un divisor del término independiente. 00:35:03
¿Qué quiere decir? 00:35:11
Quiere decir que, ¿puedo borrar? 00:35:12
Sí. 00:35:15
Si yo quisiera saber, por ejemplo, este, este. 00:35:16
Si yo quiero saber, si este poli... 00:35:24
Yo quiero saber qué número, a qué valor tengo que dar a la X para que eso sea cero, 00:35:26
Solamente es posible, solamente los números que tengo que probar son 00:35:34
Los divisores del término independiente, es decir, del que no tiene x 00:35:40
En este caso, más 1 y menos 1 00:35:44
Los pruebo, entonces digo, más 1 00:35:48
Si x fuese 1, esto sería 1 más 1 menos 2 más 1 menos 1 00:35:51
Esto sería 0, ¿lo veis? 00:35:58
luego entonces el 1 00:36:01
el 1 quiere decir que si yo pongo 00:36:05
quiere decir si esto es el polinomio en x 00:36:09
quiere decir que cuando x vale 1 00:36:13
el resto, esto vale 0 00:36:18
¿vale? 00:36:21
¿y qué quiere decir eso? 00:36:22
fijaros que si unís las dos cosas que hemos estado haciendo 00:36:24
el teorema del resto, yo he dicho 00:36:27
el resto, el resto de una división así es igual al valor de poner, el valor del polinomio cuando x es igual a este número, ¿no? 00:36:29
¿Vale? Bueno, pues si resulta que el polinomio, cuando x es 1, esto es 0, 00:36:43
Quiere decir que si yo divido este polinomio entre x menos 1, esta es resto 0. 00:36:50
Es decir, que esa diviso me sirve para buscar qué es lo que nosotros vamos a utilizar. 00:37:08
Que es, sabiendo el teorema del resto de Ruffini, sabiendo dividir por Ruffini, 00:37:13
Yo puedo calcular entre qué polinomios tengo que dividir un polinomio para que las divisiones sean, todo va unido 00:37:20
Entonces, yo ahora, ahora, ahora yo podría coger y decir voy a dividir esto entre esto 00:37:31
¿No? El resto es 0, me tiene que dar resto 0 00:37:40
Hago Ruffini, 1, 1, menos 2, 1, menos 1, aquí pongo el 1 00:37:43
1, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 0 00:37:49
¿Veis que el resto me da 0? 00:37:57
¿Veis? Es decir, esta división es exacta 00:38:01
Y es, esto es x cubo, esto es x cuadrado y esto es más 1 00:38:05
Entonces, si yo divido esto entre esto 00:38:10
Eso quiere decir 00:38:15
Me da x cubo 00:38:18
Más 2x cuadrado 00:38:20
Más 1 00:38:22
Y es una división exacta 00:38:23
Fijaos, yo todo lo que he hecho 00:38:25
He cogido el polinomio 00:38:27
He cogido el polinomio que me dan 00:38:29
Y miro cuáles son los divisores 00:38:32
Del término independiente 00:38:34
En este caso, los números que dividen a menos 1 00:38:35
Es el 1 y el menos 1 00:38:38
Nada más, no hay ningún otro número que lo divida exacto 00:38:39
¿Vale? 00:38:42
Entonces, digo, voy a probar, ¿cuál de estos dos? 00:38:43
A ver, esto se llama buscar los ceros de un polinomio, 00:38:47
es decir, aquellos números que al meterlos en el polinomio, 00:38:51
al darle ese valor a la x, me sale el polinomio y me coge el valor cero. 00:38:55
Empiezo con el uno y me encuentro que con el uno... 00:39:00
Y entonces, eso que de ahí deduzco, de ahí deduzco que, 00:39:05
Como el teorema del resto me dice que el resto de la división de x menos este número, su resto se hace poniendo aquí ese valor aquí y me da 0. 00:39:08
Yo sé que la división de este polinomio entre x menos 1 da resto 0, luego es esa. 00:39:25
¿De acuerdo? Bueno, yo he probado el 1, pero también puedo probar el menos 1, que no lo he probado, entonces yo ya sé, de momento, con todo este lío, yo ya sé que por ser un 0, por ser el 1 un 0, se llama un 0 porque al meter el 1 aquí me da 0, 00:39:32
Quiere decir que este polinomio, que esta división, x menos ese número, esta es una división exacta. 00:39:53
¿De acuerdo? 00:40:13
Sí. 00:40:14
Esto es cero. 00:40:15
Voy a probar el menos uno. 00:40:15
Si yo pruebo el menos uno, eso será menos uno a la cuarta más menos uno al cubo. 00:40:17
Menos dos por menos uno al cuadrado más menos uno y menos uno. 00:40:24
Esto es 1, menos 1, esto es menos 2, esto es menos 1, menos 1. 00:40:30
Pues fijaros que esto me da, esto no me da 0, evidentemente, esto me da 2, 3, 4, 5, esto me da menos 4. 00:40:37
Luego, si yo divido este polinomio, lo divido entre x más 1, o sea, estoy poniendo el menos 1, 00:40:48
luego tengo que cambiarlo de signo, esta división no es exacta, esta división tiene el resto menos 4, ¿de acuerdo? 00:41:04
Sí, esto se llama, esta operación se llama buscar los ceros del polinomio, buscar los ceros del polinomio es buscar todos aquellos números 00:41:17
que sustituyendo la X por ese valor, el resto de esa división me daría cero. 00:41:28
Es decir, que yo puedo decir que todos los ceros del polinomio 00:41:35
yo puedo convertirlos en divisores exactos de ese polinomio. 00:41:40
¿De acuerdo? 00:41:44
Bueno, vamos a buscar ceros del polinomio. 00:41:45
El ejercicio de números 6. 00:41:48
Los ceros de 6. 00:41:49
Empezamos por el primero. 00:41:50
El primero, ¿qué números tendríais que probar? 00:41:52
¿Cuáles son los de 1? 00:41:55
El 1 y el menos 1 siempre están 00:41:56
Otro 00:42:01
¿Qué número divide al 2? 00:42:02
Igual, igual, el 1, el menos 1, el 2 y el menos 2 00:42:04
Que son los divisores del término independiente 00:42:08
¿Y hay que probar todos? 00:42:11
Hay que probar todos, son ceros 00:42:12
¿De acuerdo? 00:42:15
Hay que probar todos para saber cuáles de los divisores son 00:42:16
O sea, cual dirá el término independiente, son ceros 00:42:20
¿Habéis hecho el primero? 00:42:23
¿Cuáles están? 00:42:25
El 1 y el 2 00:42:30
El 1 y el 2 son ceros de este punto 00:42:32
Yo tengo el polinomio x cuadrado menos 3x más 2 00:42:35
Y yo puedo decir que este polinomio se puede dividir entre x menos 2 00:42:42
Y entre x menos 1 00:42:48
¿De acuerdo? 00:42:51
Sí 00:42:53
Venga, el siguiente 00:42:53
¿El siguiente lo habéis hecho ya también? 00:42:54
Venga, por eso. 00:42:57
Puede ser, ¿eh? No tiene por qué dar. 00:43:06
Esa también os lo digo, ¿eh? 00:43:09
Puede ser que no... 00:43:11
Es decir, hay polinomios que no tienen ninguna división exacta entre otros. 00:43:13
O sea, que eso es posible. 00:43:18
¿Y el tipo de polinomios hay? 00:43:19
No tiene cero, el polinomio no tiene cero. 00:43:21
¿El polinomio no tiene cero? 00:43:24
No tiene ceros, pero voy a hacerlo porque a mí me da la sensación de que sí que lo tiene. 00:43:24
Por eso te iba a decir que voy a hacerlo. 00:43:29
X cubo menos 2X cuadrado menos 5X más 6. 00:43:31
Aquí tendríamos que probar. 00:43:39
Más y menos 1. 00:43:41
Siempre empezamos por los pequeños. 00:43:42
Más y menos 2, más y menos 3 y más y menos 6. 00:43:44
Todos esos tendríamos que probar. 00:43:50
Entonces, empezamos con el 1. 00:43:52
Si es el 1, esto sería 1 menos 2 menos 5 más 6, mirad, esto ya me da, el menos 1 sería menos 1 menos 2 más 5 y más 6, este no me da, estos son 11, este no me da. 00:43:53
el 2, el 2 sería, 2 al cubo son 8, menos 8, menos 10 y más 6, este tampoco me da, menos 2, menos 2 serían, menos 8, esto es menos 8, 00:44:15
Esto sería más 10 00:44:34
Y más 6 00:44:37
Este sí 00:44:38
En menos 2, sí 00:44:39
¿Por qué no te lo daba? 00:44:40
Porque uno al cubo 00:44:48
Yo lo que estoy haciendo es la operación directamente 00:44:49
En vez de hacer por pasos 00:44:51
Vamos, yo te lo escribo lo que hago 00:44:52
Pero yo lo que he hecho ha sido 00:44:54
Estoy probando el 1, ¿no? 00:44:56
Entonces hago 00:44:59
1 al cubo 00:45:00
Menos 2 por 1 al cuadrado 00:45:03
menos 5 por 1 00:45:06
más 6 00:45:08
pero vosotros 00:45:09
no tenéis, o sea, yo lo hago de cabeza 00:45:12
por aquí en la calculadora, pero si no 00:45:14
lo metes en la calculadora 00:45:16
pones 1 al cubo menos 2 00:45:18
por 1 al cuadrado menos 5 por 1 00:45:20
más 4, pero es que yo no estoy poniendo 2 00:45:22
estoy poniendo 1, 1 al cuadrado 00:45:24
es 1 00:45:26
yo antes de operar 00:45:27
lo he hecho directo de cabeza, pero si no 00:45:30
yo metería esto en la calculadora 00:45:32
Es solo donde pone x 00:45:35
Donde pone x 00:45:38
Poner el valor que estoy utilizando 00:45:39
¿De acuerdo? 00:45:42
¿Cuál más? 00:45:47
Hemos hecho esto 00:45:49
El 3 00:45:49
El 3 sería 00:45:50
3 al cubo son 00:45:51
9 por 3, 27 00:45:53
Menos 2 por 3 al cuadrado 00:45:55
Que son 9 00:45:59
Menos 5 00:46:00
Menos 5 por 3 00:46:02
y más 6, esto es 27 menos 18 menos 15 y más 6, estos son, esto es 0, luego este también y aquí me quedo, ¿por qué?, porque esto no os lo he dicho, 00:46:04
que el número de ceros que tiene un polinomio es como máximo esa potencia, la máxima potencia. 00:46:24
Es decir, este polinomio puede tener ningún cero, o sea, puede ser o tres, o uno, o dos, o tres, 00:46:34
pero ya cuatro no puede tener. 00:46:42
Entonces, si yo he probado ya tres de ellos y ya me han dado, ya sé que es un par. 00:46:43
Luego, esto de aquí se deduce que el polinomio x cubo menos 2x cuadrado menos 5x más 6 es divisible entre x más 1, entre x más 2 y entre, no, no, perdón. 00:46:49
Entre x menos 1 00:47:19
x menos 1 00:47:22
x más 2 00:47:26
Porque ese me ha dado negativo 00:47:27
Y he cambiado de signo 00:47:28
Y x menos 3 00:47:29
¿De acuerdo? 00:47:31
Bueno, aquí lo dejamos por hoy 00:47:34
Porque esto ya lo vamos a utilizar 00:47:36
La semana que viene 00:47:39
Esto quedaoslo 00:47:40
A esto hay que darle otra vuelta 00:47:41
Pero se la vamos a dar 00:47:44
Esa vuelta se la damos ya 00:47:46
Con las ecuaciones 00:47:48
Hemos acabado los cálculos con expresiones algebraicas 00:47:49
Y ahora que ya sé calcular expresiones, ya sé sumarlas, restarlas, multiplicarlas 00:47:59
Sé hacer una división si es por Ruffini y sacar los ceros 00:48:04
Ahora ya vamos a pasar directamente a ecuaciones 00:48:09
¿Vamos a usar algún otro método que no sea de Ruffini? 00:48:13
¿Para qué? ¿Pero para qué? 00:48:16
métodos que me enseñan mil 00:48:18
métodos, pero cada uno con una cosa 00:48:20
a ver, Ruffini 00:48:22
sirve para hacer esas divisiones 00:48:24
y sirve para hacer una cosa que es 00:48:25
el último paso, que es el que voy a enseñaros 00:48:28
con las letras, que es 00:48:30
la factorización de un polinomio 00:48:32
¿para qué utilizo la factorización 00:48:34
de un polinomio? para resolver 00:48:36
ecuaciones de grado superior 00:48:38
a 2, vosotros 00:48:40
si no habéis hecho bachillerato 00:48:41
os habéis quedado en las ecuaciones 00:48:44
de segundo grado 00:48:46
habéis hecho ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado 00:48:47
nunca habéis hecho una ecuación 00:48:50
de tercer grado 00:48:52
eso no lo habéis hecho nunca 00:48:53
bueno, pues esto 00:48:55
sirve para resolver 00:48:57
ecuaciones de grado superior 00:49:00
entonces 00:49:02
va por pasitos 00:49:04
todo esto va por pasitos muy despacito 00:49:05
entonces, ¿os van a poner 00:49:08
un polinomio de suma, resta, multiplicación 00:49:10
y división? no 00:49:13
¿os van a poner división por Ruffini? 00:49:14
no, pero si os pueden poner 00:49:16
una ecuación de tercer grado 00:49:19
para llegar a eso hay que pasar 00:49:21
por todas las ecuaciones 00:49:22
hay que saber factorizar un polinomio 00:49:23
y por lo tanto para factorizar un polinomio 00:49:26
tienes que saber sacar los ceros 00:49:28
del polinomio y tienes que saber 00:49:31
dividir por rufina 00:49:33
¿entendéis? o sea todo va 00:49:34
poco a poco 00:49:36
lo que yo os enseño 00:49:38
estas cosas 00:49:40
son porque las necesitáis 00:49:41
¿De acuerdo? Entonces, la semana que viene, ecuaciones. 00:49:44
¿Vale? Que paséis un buen fin de semana. 00:49:48
Hasta luego. 00:49:54
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Matemáticas
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