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Ejercicio 4 - Ficha 3 de Análisis - Contenido educativo

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Subido el 31 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos con el ejercicio 4 de la ficha, con el último, ¿vale? 00:00:00
Me piden estudiar la continuidad y la derivabilidad. 00:00:04
Vale, pues lo primero que tenemos que hacer, vamos a empezar con la continuidad. 00:00:07
Fijaos, me están diciendo los puntos en los que lo tengo que calcular, en el 2 y en el 6. 00:00:11
¿Cuáles son justamente esos puntos? 00:00:16
Los puntos en los que cambiamos los trozos de la función. 00:00:17
Esta es una función definida en tres trozos, pero se hace exactamente como si fueran dos, 00:00:21
es decir, me da igual tener 2, 3, 24. 00:00:25
Lo que tenemos que hacer siempre es el estudio en esos puntos en los que cambia de función. 00:00:27
Cada uno de los trozos de la función son polinomios, por lo tanto, fuera de esos puntos todo lo demás funciona perfectamente 00:00:33
porque al ser función polinómica son continuas y también son derivables. 00:00:41
Venga, vamos a empezar con la continuidad. 00:00:45
Lo primero, ¿qué significa que f de x sea continua en x igual 2? 00:00:48
Pues esto lo que quiere decir es que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función 00:00:55
Tiene que coincidir con el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la función 00:01:04
Y tiene que coincidir con el valor de la función 00:01:10
El igual está aquí, está por la derecha en este caso 00:01:14
Por lo tanto, f de 2 es igual que el límite, cuando x tiende a 2 por la derecha, de x cuadrado menos 8x más 15, sustituimos en el 2, esto es 2 al cuadrado es 4, menos 16 más 15, es decir, 3. 00:01:20
¿Vale? Calculamos ahora el límite por la izquierda 00:01:41
Por 2 por la izquierda sería de menos 4x más 11 00:01:45
Sustituimos la x por 2 y me queda menos 8 más 11 00:01:50
Es decir, 3 00:01:55
¿Y qué hemos obtenido? 00:01:57
Hemos obtenido el mismo valor en el límite 00:01:59
Pues esto lo que significa es que f de x es continua en x igual 2 00:02:01
¿Vale? 00:02:12
Que sea continua significa, o sea, si hubiera sido que no es continua hubiéramos dicho 00:02:14
Por lo tanto no es derivable 00:02:19
Pero que sea continua significa que puede ser derivable o puede no ser 00:02:20
¿Vale? Vamos a estudiar la otra continuidad 00:02:24
¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 6? 00:02:27
Pues que lo que tiene que ocurrir es que el límite por la izquierda en 6 de la función 00:02:35
tiene que coincidir con el límite por la derecha en 6 de la función 00:02:42
y coincidir con el valor de la función en 6. 00:02:48
Aquí vuelve a estar el igual cuando me acerco por la derecha, 00:02:53
por lo tanto aquí tenemos otra vez que f de 6 es igual al límite 00:02:58
cuando x tiende a 6 por la derecha de 3 cuartos por menos x más 10. 00:03:02
Sustituimos, esto es tres cuartos, por menos seis más diez es cuatro, es decir, tres cuartos por cuatro, esto es tres. 00:03:12
Calculamos ahora el límite por la izquierda, cuando x tiende a seis por la izquierda, de x cuadrado menos ocho x más quince. 00:03:22
Sustituimos y me queda seis al cuadrado es treinta y seis, menos ocho por seis, cuarenta y ocho, más quince. 00:03:33
Luego esto es 51 menos 48, es decir, es 3 00:03:40
Coinciden los valores 00:03:47
Ojo, que me haya dado otra vez 3 como arriba es casualidad, ¿vale? 00:03:50
No tiene que dar siempre el mismo valor 00:03:55
Pero como en estos dos límites son iguales, pues volvemos a decir lo mismo 00:03:57
Que f de x es continua en x igual 6, ¿vale? 00:04:01
En ambos puntos es continua, por lo tanto, no sabemos si va a ser derivable o no. 00:04:10
Lo tenemos también que verificar. 00:04:16
Voy a borrar y ahora calculamos la derivabilidad. 00:04:18
Vale, pues vamos para estudiar la derivabilidad. 00:04:21
Ya he borrado todo. 00:04:24
Lo primero que hacemos es calcular la función derivada. 00:04:25
La derivada de una función definida a trozos es hacer la derivada de cada uno de los trozos. 00:04:29
Como he dicho antes, en cada uno de los trozos son polinomios, por tanto es derivable. 00:04:34
La derivada de menos 4x más 11 es menos 4 00:04:38
Esto es si la x está entre 0 y 2 00:04:42
Uy, que me he comido el menos 00:04:47
Os recuerdo que en la derivada no se pone el igual, ¿vale? 00:04:48
En la derivada de x cuadrado menos 8x más 15 es 2x menos 8 00:04:51
Cuando la x está entre 2 y 6 00:04:55
Y la última derivada, dejo fuera la constante 00:04:59
Y ahora es la derivada de menos x más 10 que es menos 1 00:05:03
Por lo tanto pongo el menos delante y aquí esto es cuando la c es 6 menor que x menor que 10. 00:05:07
Ya tenemos la función derivada y ahora a ver, lo primero que tenemos que estudiar, 00:05:14
¿qué significa que f de x sea derivable en x igual 2? 00:05:19
Pues esto lo que quiere decir es que la derivada por la izquierda y por la derecha en 2 tienen que coincidir, 00:05:28
Es decir, que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de f' de x tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 2 por la derecha de f' de x. 00:05:34
Si estos límites coinciden, en ese caso el valor obtenido sería el valor de la derivada en 2, ¿vale? 00:05:48
Pero esto no lo podemos calcular directamente, sino que es el valor que sí coinciden los dos límites. 00:05:56
Pues vamos a ver, la derivada por la izquierda, esto es el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de menos 4, no tenemos x, luego esto es menos 4. 00:06:04
La derivada por la derecha es el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de 2x menos 8, sustituimos y es 2 por 2, 4 menos 8 menos 4. 00:06:20
Bueno, pues fijaos, los dos límites coinciden, luego eso significa que f de x sí es derivable en x igual 2 y en este caso el valor de la derivada en 2 es justamente ese valor que hemos obtenido, el menos 4. 00:06:34
Vamos a hacer lo mismo pero en el 6 00:06:56
f de x derivable en x igual 6 00:07:00
Si, solo si, los límites laterales 00:07:09
Si, el límite cuando x tiende a 6 por la izquierda 00:07:13
Es decir, la derivada por la izquierda de la función en 6 coincide con la derivada por la derecha 00:07:20
Y como hemos dicho antes, si este límite coincidiera, eso significaría que ese valor sería f' de 6 00:07:27
Pero esto solo, pongo aquí el interrogante, esto solo sería si los límites coinciden 00:07:38
Pues vamos a ver, ¿cuánto es el f' la derivada por la izquierda? 00:07:43
Pues límite cuando x tiende a 6 por la izquierda, 6 por la izquierda es 2x menos 8 00:07:48
Luego esto es 12, menos 8, 4 00:07:56
La derivada por la derecha es el límite, cada vez escribo peor, lo sé 00:08:01
6 por la derecha de menos 3 cuartos 00:08:08
No tenemos x, luego esto es menos 3 cuartos 00:08:12
¿Qué ocurre ahora? 00:08:15
Que estos dos valores no coinciden 00:08:17
Pues esto ¿qué significa? 00:08:19
Pues que f de x no es derivable en x igual 6, ¿vale? 00:08:20
Por lo tanto, esto de aquí no lo podríamos calcular. 00:08:33
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
11
Fecha:
31 de marzo de 2025 - 19:36
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
08′ 38″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
20.73 MBytes

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